2.1认识无理数（第二课时） 课件 2024-2025学年 北师大版数学 八年级上册

第二章　实　数 1　认识无理数（第二课时） 数学 八年级上册 BS版 课前导入 典例讲练 目录 CONTENTS 课前预习 数学 八年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 有理数总可以用 或 表示. 注意：有理数包括整数和分数. 2. 无限 小数称为无理数. 注意：无理数必须同时具备三个条件：（1）小数；（2）无 限；（3）不循环. 3. 无限循环小数能化为分数；无限不循环小数 ⁠化为分数. 有限小数　 无限循环小数　 不循环　 不能　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 0 2 课前导入 (1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ (2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格： 1 a 2 面积为 2 问题2：a 究竟是多少？ 面积为 1 面积为 4 6 请同学们借助计算器进行探索： 边长 a 面积 S 1 < a < 2 1.4 < a < 1.5 1.41 < a < 1.42 1.414 < a < 1.415 1.4142 < a < 1.4143 1 < S < 4 1.96 < S < 2.25 1.988 1 < S < 2.016 4 1.999 396 < S < 2.002 225 1.999 961 64 < S < 2.000 244 49 (1) 边长 a 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 2 呢？为什么？ (2) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ 想一想 估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值. b = 2.236067978…，它也是一个无限不循环小数 做一做 a = 1.414 213 56…，它是一个无限不循环小数 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 无限不循环小数称为无理数. 如 π = 3.14159265…， 0.101 001 000 1… (两个 1 之间依次多 1 个 0) 要点归纳 10 数学 八年级上册 BS版 0 3 典例讲练 把下列各数填入相应的集合内： － ， 2， － ， 0. ， 0.121 221 222 1…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），0，－3.6，－1.202 002. 非负整数集合 ； 分数集合 ； 有理数集合 ； 无理数集合{－ ，0.121 221 222 1…（相邻两个1之间2…}. － ，0.121 221 222 1…（相邻两个1之间2的个数逐次加1） 数学 八年级上册 BS版 返回目录 【解析】2和0都是整数，且都不是负数；因为分数都能化成有限小数或无限循环小数，所以分数有－ ，0. ，－3.6，－1.202 002.又因为整数和分数统称为有理数，所以上述这六个 数都是有理数.剩下的两个数显然是无理数，它们都是无限不循环小数. 【点拨】（1）无理数必须具备三个条件：①小数；②无限；③不循环.三个条件缺一不可. 因为圆周率π＝3.141 592 65…是一个无限不循环小数，所以π是无理数.（2）有理数包括整数和分数，整数也可以看作分母为1的“分数”或小数点后是0的“小数”，因此可以说有理数都能用分数来表示.判断一个数是不是有理数的关键是看这个数能否写成分数的形式. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 1. 有理数与无理数的区别在于（　B　） A. 有理数是有限小数，无理数是无限小数 B. 有理数能用分数表示，而无理数不能 C. 有理数是正数，无理数是负数 D. 有理数是整数，无理数是分数 B 数学 八年级上册 BS版 返回目录 2. 在5，－ ，0， ，3.141 592 6，－1.666 6…，0.101 001 000 1…这些数中，无理数有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，已知直角三角形两直角边的长分别为2，3，阴影部分是以其斜边为边长的正方形.（1）设正方形的边长为 a ， a 是有理数吗？ （2）估计 a 的值（结果精确到百分位），并用计算器验证； （3）估计 a 的值，使误差小于0.01. 解：（1）由勾股定理，得 a2＝32＋22＝9＋4＝13. 因为32＜ a2＜42，所以 a 既不是整数，也不是分数. 所以 a 不是有理数. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （2）对 a 的值近似计算如下表所示： a a2 3＜ a ＜4 9＜ a2＜16 3.6＜ a ＜3.7 12.96＜ a2＜13.69 3.60＜ a ＜3.61 12.960 0＜ a2＜13.032 1 3.605＜ a ＜3.606 12.996 025＜ a2＜13.003 236 由表可知， a 精确到百分位约为3.61. 利用计算器计算：3.6052＝12.996 025≈13， 所以 a 精确到百分位约为3.61是正确的. （3）由（2）知， a 取近似值为3.60或3.61时，误差小于0.01. 【点拨】（1）估计 x2＝ a （ a ＞0）中的正数 x 的近似值：①估计 x 的整数部分，看它在哪两个连续正整数之间，较小数即为整数部分；②确定 x 的十分位上的数字，同样寻找它在哪两个连续的一位小数之间；③按照上述方法可以依次确定 x 的百分位、千分位……上的数字，从而确定 x 的值；④按要求取近似值：如要求 x 精确到百分位，就应找到 x 的千分位上的数字，由四舍五入精确到百分位即可.（2）快速找到十分位上两个连续数的技巧：如32＝9＜13＜42＝16，9离13比16离13要远些，因此应在 3.5≤ x ＜4这个范围内去找十分位上连续的两个小数. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，一张纸由五个边长为1的小正方形组成，可以把它剪开拼成一个正方形. （1）拼成的正方形的面积是多少？ 解：（1）根据题意知，每个小正方形的面积＝1×1＝1.因为由五个这样的小正方形剪开拼成一个正方形，所以拼成的正方形的面积是5. （2）因为拼成的正方形的边长为 a ，所以 a2＝5. （2）设拼成的正方形的边长为 a ，求 a2的值； 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （3） a 是无理数吗？若是，请估计 a 的值（精确到十分位）；若不是，请说明理由. （3）因为22＜5＜32，所以 a 既不是整数，也不是分数. 所以 a 是无理数. 因为2.22＝4.84＜5＜2.32＝5.29， 所以2.2＜ a ＜2.3. 又因为2.252＝5.062 5＞5，即 a ＜2.25， 所以由四舍五入，得 a 精确到十分位约为2.2. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 在本节中，我们遇到这样一个问题：无限循环小数是分数吗？ 下面我们以0. 为例来说明无限循环小数与分数的关系： 设 x ＝0. ，则10 x ＝3. . 所以10 x － x ＝3. －0. ，即9 x ＝3. 所以 x ＝ ＝ ，即0. ＝ . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 通过上面的方法可知，无限循环小数可以化为分数，从而说明 无限循环小数是有理数.下面你也来试一试： （1）2. ；　　　　　　　（2）0. 0 . 解：（1）设 x ＝2. ，则10 x ＝10×2. ＝25. . 所以10 x － x ＝25. －2. ，即9 x ＝23.所以 x ＝ ，即2. ＝ . （2）设 x ＝0. 0 ，则1 000 x ＝103. 0 . 所以1 000 x － x ＝103. 0 －0. 0 ，即999 x ＝103.所以 x ＝ ，即0. 0 ＝ . 【点拨】（1）利用本例的这种方法可以将任何一个无限循环小数化成分数，从而验证了无限循环小数是有理数.（2）有限小数、无限循环小数与分数之间能实现互化，但无限不循环小数不能化为分数.故有理数可以用分数表示，而无理数不能用分数表示.（3）本例这种方法把无限循环小数化为分数，只是为了说明有理数可以用分数表示，这种方法不要求掌握. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 把下列无限循环小数化为分数的形式： （1）5. ；　　　　 解：（1）设 x ＝5. ，则100 x ＝512. . 所以100 x － x ＝512. －5. ，即99 x ＝507. 所以 x ＝ ＝ ，即5. ＝ . （2）设 x ＝0.1 ，则10 x ＝1. ，100 x ＝16. . 所以100 x －10 x ＝16. －1. ，即90 x ＝15. 所以 x ＝ ＝ ，即0.1 ＝ . （2）0.1 . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 八年级上册 BS版 $$