第21章 二次函数与反比例函数 素能测评 课件 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

第21章素能测评 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知反比例函数的表达式为 y ＝ ，则 a 的取值范围是（　C　） A. a ≠2 B. a ≠－2 C. a ≠±2 D. a ＝±2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. 函数 y ＝－ x2的图象经过平移后，可以得到函数 y ＝－ （ x －1）2＋ 1的图象，平移方法是（　C　） A. 向左平移1个单位，向下平移1个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移1个单位 C. 向右平移1个单位，向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. 在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝－ kx ＋ k 与 y ＝ （ k ≠0）的图象 可能为（　D　） A B C D 4. 若抛物线 y ＝ x2－ mx ＋ m ＋3（ m 是常数）的顶点在 x 轴上，则 m 的值 为（　C　） A. －2 B. 6 C. －2或6 D. －6或2 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. 关于反比例函数 y ＝ ，下列结论正确的是（　C　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象与坐标轴有公共点 C. 图象所在的每一个象限内， y 随 x 的增大而减小 D. 图象经过点（ a ， a ＋2），则 a ＝1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中 x 与 y 的部分对应值如下表： x … －1 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 m 3 … 下列结论正确的是（　C　） A. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象的开口向下 B. 当 x ＜3时， y 随 x 的增大而增大 C. 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的实数根为 x1＝0， x2＝2 D. 当 y ＞0时， x 的取值范围是0＜ x ＜2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. 如图所示为二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象的一部分，有下列结论： ① 5 a ＋ b ＋ c ＝0；② b ＞2 a ；③ 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0的实数根为 x1＝－3， x2＝1；④ b2－4 ac ＞0.其中正确的有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第7题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. 如图，正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数 y ＝ 和 y ＝ 的图 象的四个分支上， O 是正方形对角线的交点，则实数 n 的值为 （　A　） A. －3 B. － C. D. 3 第8题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. 如图，正方形 ABCD 的边长为5，点 A 的坐标为（4，0），点 B 在 y 轴 上.若反比例函数 y ＝ 的图象过点 C ，则 k 的值为（　C　） A. 4 B. －4 C. －3 D. 3 第9题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高8米，跨度24米，若相邻两 支柱间的距离均为6米，则支柱 MN 的长为（　D　） A. 6米 B. 5米 C. 4.5米 D. 4米 第10题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、 填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 11. 已知二次函数 y ＝－ x2＋8 x ＋3，当 x ＞ m 时， y 随 x 的增大而减小， 则 m 的值可以是 （写出一个即可）.（答案不唯一） 12. 在平面直角坐标系中，若函数 y ＝ （ k ≠0）的图象经过点 A （－ 3，2）和 B （ m ，－2），则 m 的值为 ⁠. 4　 （答案不唯一） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 如图，抛物线 y ＝－ x2＋4 x 的顶点为 P ， M 为对称轴上一点，连接 PM . 若 PM ＝ OM ，则点 M 的坐标为 ⁠. （2， ）　 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. 已知二次函数 y ＝ ax2－2 ax ＋3（ a 是常数）. （1） 若该函数的图象经过点（－1，－9），则 a 的值为 ⁠； （2） 若 a ＜0，且当0＜ x ＜3时对应的函数值 y 均为正数，则 a 的取值范 围是 ⁠. －4　 －1≤ a ＜0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、 解答题（本大题共6小题，满分58分） 15. （8分）已知抛物线 y ＝ x2－4 x ＋ a 的顶点在直线 y ＝－4 x －1上，求 抛物线的顶点坐标. 解：∵ y ＝ x2－4 x ＋ a ＝（ x －2）2＋ a －4，∴ 抛物线的顶点坐标为 （2， a －4）.把（2， a －4）代入 y ＝－4 x －1，得 a －4＝－9.∴ 抛物 线的顶点坐标为（2，－9） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. （8分）某种消毒药喷洒释放完毕开始计时，药物浓度 y mg/m3与时 间 x min之间成反比例关系，其部分对应值如下表： 时间 x /min … 2 4 12 … 药物浓度 y /（mg/m3） … 18 9 3 … （1） 求 y 关于 x 的函数表达式； 解：（1） 设 y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ .把（2，18）代入，得18＝ ，解得 k ＝36.∴ y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 当药物浓度不低于6mg/m3并且持续时间不少于5min时消毒算有 效，这次消毒是否有效？ 解：（2） 当 x ＝5时， y ＝ .∵ ＞6，∴ 这次消毒有效 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. （10分）已知点 A （ a ，7）在抛物线 y ＝ x2＋4 x ＋10上.求： （1） 点 A 的坐标； 解：（1） ∵ 点 A （ a ，7）在抛物线 y ＝ x2＋4 x ＋10上，∴ a2＋4 a ＋10＝7，解得 a1＝－1， a2＝－3.∴ 点 A 的坐标为（－1，7）或 （－3，7） （2） 抛物线的对称轴和顶点坐标. 解：（2） ∵ y ＝ x2＋4 x ＋10＝（ x ＋2）2＋6，∴ 抛物线的对称轴是直 线 x ＝－2，顶点坐标为（－2，6） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. （10分）在平面直角坐标系中，坐标原点为 O ，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与反比例函数 y ＝ 的图象相交于点 A （2，4）， B （4， n ）. C 是 y 轴上的一点，连接 CA ， CB . （1） 求一次函数和反比例函数的表达式； 解：（1） 把 A （2，4）代入 y ＝ ，得4＝ ，解得 m ＝8.∴ 反比例函 数的表达式为 y ＝ .将 B （4， n ）代入 y ＝ ，得 n ＝ ＝2.∴ 点 B 的坐 标为（4，2）.把 A （2，4）， B （4，2）代入 y ＝ kx ＋ b ，得 解得∴ 一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 若△ ABC 的面积是6，求点 C 的坐标. 解：（2） 在 y ＝－ x ＋6中，令 x ＝0，得 y ＝6.设一次函数 y ＝－ x ＋6 的图象与 y 轴交于点 D ，则点 D 的坐标为（0，6）.由题意，得 S△ ABC ＝ S△ BCD － S△ ACD ＝ CD ×4－ CD ×2＝6，∴ CD ＝6.∴ 点 C 的坐标为 （0，0）或（0，12） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. （10分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点） 在空中的运动轨迹是一段抛物线，运动员离水面 OB 的高度 y m与离起跳 点 A 的水平距离 x m之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点 A 的水平 距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点 A 的水平距离为3m时离水 面的高度为7m.求： （1） y 关于 x 的函数表达式； 第19题 解：（1） 由题意，得抛物线过点（0，10）和（3， 7），对称轴为直线 x ＝1.设 y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .∴ 解得 ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y ＝－ x2＋2 x ＋10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 入水点 B 离起跳点 A 的水平距离（即 OB 的长）. 解：（2） 在 y ＝－ x2＋2 x ＋10中，令 y ＝0，得－ x2 ＋2 x ＋10＝0，解得 x1＝ ＋1， x2＝－ ＋1 （不合题意，舍去）.∴ 入水点 B 离起跳点 A 的水平 距离为（ ＋1）m 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ 抛物线与 x 轴相交于点 A （－3，0）， B （1，0），∴ 设抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a （ x ＋3）（ x －1）.把（2，5）代入，得 a ·（2＋3） ×（2－1）＝5，解得 a ＝1.∴ 抛物线对应的函数表达 式为 y ＝（ x ＋3）（ x －1）＝ x2＋2 x －3 第20题 20. （12分）如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与 x 轴相交于 A ， B 两点，点 A 的坐标为（－3，0），点 B 的坐标为（1，0），且点（2，5）在抛物 线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解：（2） ① 在 y ＝ x2＋2 x －3中，令 x ＝0，得 y ＝ －3.∴ 点 C 的坐标为（0，－3）.∴ OC ＝3.设点 P 的 坐标为（ x ， x2＋2 x －3）.∵ S△ POC ＝2 S△ BOC ，∴ ×3×｜ x ｜＝2× ×3×1.∴ ｜ x ｜＝2.∴ x ＝±2.当 x ＝2时， x2＋2 x －3＝4＋4－3＝5；当 x ＝－2时， x2 ＋2 x －3＝4－4－3＝－3.∴ 点 P 的坐标为（2，5）或 （－2，－3） （2） C 为抛物线与 y 轴的交点. ① 点 P 在抛物线上，且 S△ POC ＝2 S△ BOC ，求点 P 的坐标； ② 设 M 是线段 AC 上的动点（不与点 A ， C 重合），过点 M 作 x 轴的垂 线交抛物线于点 N ，求线段 MN 长的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第20题 ② 设直线 AC 对应的函数表达式为 y ＝ kx ＋ t .将 A （－3，0）， C （0， －3）代入，得解得∴ 直线 AC 对应的函数表 达式为 y ＝－ x －3.设点 M 的坐标为（ m ，－ m －3）（－3＜ m ＜0）， 则点 N 的坐标为（ m ， m2＋2 m －3）.∴ MN ＝（－ m －3）－（ m2＋2 m －3）＝－ m2－3 m ＝－（ m ＋ ）2＋ .∵ －1＜0，∴ 当 m ＝－ 时， MN 的长有最大值，为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$