3.4 函数的应用-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

初高中衔接直通车·数学 【提醒】 解一次函数模型题的关键是准 探究点三 分段函数模型 确读懂题意,从中提炼出一次函数模型以及 【典例3】某车站有快、慢两种列车。 一些关键点,并用待定系数法确定一次函数 始发站距终点站7.2km,慢车到达终点 解析式. 站需16min,快车比慢车晚发车3min,且 [对点训练] 匀速行驶10min后到达终点站,则快车 一段导线,在0C时的电阻为20,温度每增 所行驶路程y关于慢车行驶时间x的函 加1C,电阻增加0.008O,那么电阻R(0)表 数关系式为 - 【解析】 示为温度(C)的函数关系式为 当0x3时,快车还未发车, A.R-0.008t B.R-2+0.008/ 故y-0; C. R-2.008/ D.R-21+0.008 当3 x13时,快车的速度为 探究点二 二次函数模型 0.72(km min),故y=0.72(x-3); 【典例2】 某沙漠地区的某时段气温与 当13 x16时,快车到达终点站,v始 时间的函数关系是f(t)=-r*+24t-101 终不变,故y-7.2. (4/18),则该沙漠地区在该时候的最大 (0.0<x<3. 温差是 ( ) 综上可得y-{0.72(x-3),3<x<13, A.54 B.58 7.2,13<x16. C.64 D.68 [0,0<x<3. 【解析】 f(t)=-7*+24/-101,对 【答案】 y-0.72(-3),3<x<13, 称轴为1-12,所以f(t)在[4,12上单调 7.2,13 x16 递增,在[12,18]上单调递减,所以 【方法总结】 分段函数主要是每一段自 f(t)x=f(12)=43,f(t)mn=f(4)= 变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当 一21,所以在该时段的最大温差是43一 作几个问题,将各段的变化规律分别找出来, (-21)-64. 【答案】C 再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特 别是端点值. 【方法总结】 二次函数模型是实际应用 [对点训练] 题中常见的类型,也是高考考查的重点题型, 特别是在解决实际问题中的最大、最小值问 甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲 题时,可用配方法、函数的单调性等方法 到公园的距离与乙到公园的距离都是 [对点训练] 2 km.下图表示甲从家出发到乙同学家经 过的路程y(km)与时间x(min)的关系,其 某类产品按工艺共分10个档次,最低档次 中甲在公园休息的时间是10min,那么y 产品每件利润为8元,每提高一个档次,每 f(x)的表达式为 件利润增加2元,用同样工时,可以生产最 sm 低档次产品60件,每提高一个档次将少生 产3件产品,则每天获得利润最大时生产 ( 产品的档次是 _。 A.7 B.8 10 20 30 40 5060 ximin C.9 D.10 80 第二篇 高中知识预习 学习效黑一检测 A.基础巩固练 {}一。“#{# 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每 月的销售量成一次函数关系,其图象如图 C A B D 所示,由图中给出的信息可知,营销人员没 ) ( 有销售量时的收入是 4.某地固定电话的市话收费规定:前三分钟 收人/元 0.20元(不满三分钟按三分钟计算),以后 1300...-.-... 每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一 800--- 分钟计算),那么某人打市话550s,应支付 电话费 ( ) D 2销售量/万件 A.1.00元 B.0.90元 C.1.20元 A.310元 B.300元 D.0.80元 D.280元 C.290元 5.某厂有许多形状为直 2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时 角梯形的铁皮边角 料,为了降低消耗,现 间;的关系图象如图,则一2时,汽车已 20 ( ) 要从这些边角料上截 行驶的路程为 取矩形铁片(如图所 tv/(km/h) 示),当截取的矩形面 积最大时,矩形两边的长x,v分别应为 ( ) A.x-15,y-12 0 0.5 1 1.522.533.5 44.5 5t/h B.-12,y-15 C.x-14,y-10 A.100 km B. 125 km D.x-10,-14 C. 150 km D. 225 km 6.(多选题)某公司在甲、乙两地同时销售 一种品牌车,利润(单位;万元)分别为 3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长, L =-x*+21x和L。=2x(其中销售 在P处有一棵树与两墙的距离分别是am (0 a 12),4m,不考虑树的粗细.现在 量单位:辆),若该公司在两地共销售 15辆车,要使获得的利润最大,则在甲 想用16m长的篱笛,借助墙角围成一个矩 ( 地销售的车辆数为 ) 形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面 A.8 B.9 积为S,若需要将这棵树围在花圃内(含边 C.10 D.11 界),则函数S三f(a)(单位:m^{})的图象大 7.根据统计,一名工人组装第x件某产 致是 ( ) 品所用的时间(单位:分钟)为f(x) C (A,c为常数)已知工人组装 _.am...P. C ,x二A. 14m /A C 第4件产品用时30min,组装第A件产品 81 初高中衔接直通车·数学 用时15min,那么c= ,A一 # 8.图中折线是某电信局规定打长途电话所 需要支付的电话费y(元)与通话时间 (分钟)之间的函数关系图象,根据图象 12.为了更好地提倡节约用水,对水资源使用 填空:通话2分钟,需支付电话费 进行合理配置,对居民自来水用水收费采 元;通话5分钟,需支付电话费 用阶梯收费,某市经物价部门批准,对居 元:如果二3分钟,电话费3 民生活用水收费如下:第一档,每户每月 (元)与通话时间/(分钟)之间的函数关 用水不超过20立方米,则水价为每立方 系式是 米3元;第二档,若每户每月用水超过 /元 20立方米,但不超过30立方来,则超过 部分水价为每立方米4元;第三档,若每 3.6{ 户每月用水超过30立方米,则超过部分 水价为每立方来7元,同时征收其全月水 费20%的用水调节税,设某户某月用水 t/分钟 x立方米,水费为y元. B能力提升练 (1)试求关于:的函数 9.一个人以6ms的速度去追停在交通灯前 (2)若该用户当月水费为80元,试求该月 的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红 的用水量; 变绿,汽车以1m/s{}的加速度匀加速开 (3)设某月甲用户用水a立方米,乙用户 走,那么 ) 7 用水6立方米,若a,6之间符合函数关 A.此人可在7s内追上汽车 系:6--a^{②}十47a-530.则当两户用水合 B.此人可在10s内追上汽车 计达到最大时,一共需要支付水费多 C.此人追不上汽车,其间距最少为5m 少元? D.此人追不上汽车,其间距最少为7m 10.规定从甲地到乙地通话(min的电话费 由f(t)-1.6×(0.5×[z十1)(元)决定; 其中t>0,[t]是大于或等于t的最小整 数,如[2]-2,[2.7-3,[2.1]-3,则从 甲地到乙地通话时间为4.5min的电话 费为 ( ) A.4.8元 B.5.2元 C.5.6元 D.6元 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车 投入运营,据市场分析,每辆客车营运的 利润v与营运年数x(xN)为二次函数 关系(如图),则客车有营运利润的时间不 超过 年. 82参考答案 11.解析:考查幕函数y=x,因为y一工在定义域[0. 所以a<x<12. 十co)上是增函数, 则矩形ABCD的面积为x(16一x). (3-2n0. 解得-1<”}# 当0 a<8时,当且仅当x-8时,S-64; 所以m+10, 当8a<12时,S-a(16-a). 3-2nm+1. 故的取值范因为[一1). 所以$-64.0<<8. l(16-a),8~a<12. 分段画出函数图象可得其形状与选项C接近 答案:[-一1,) 4.B y=0.2+0.1X([x]-3)([]是不小于x的最小整 数,x0),令x一 550 12.解:(1)y--1 0,故[g]=10. #在(-o0-1)和 *-1 (一1,十)上均单调递增,对称中心为(一1,1). 则y-0.9. 5.A 本题考查二次函数的应用,结合图形,可得 2,得24 十& (一b,十c)上均单调递减,对称中心为(一b,1). 2016 若此函数是由某个寡函数平移,可得a一b-1. 所以a,b满足的条件为a-b-1. 3.4 函数的应用 所以当x--24 -一15时,S最大, 2×(-) [新知自主探究] 典例1 对点训练 B 由题意知电阻R与温度1构成一次函数关系,即 R-2十0.008t. 典例2 对点训练 6.BC 设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x) C 由题意,当生产第人档次的产品时,每天可获利润是 辆,公司获利为L--r+21x+2(15-x)=-r+19 +30-(-0)0+0+0 生产件数与每件的利润的乘积,为y一[8十2(k一1)]· [60-3(k-1)]--6^+108+378(1 10),配方 可得y=-6(-9){}十864,所以当 -9时,获得利 所以当x一9或x-10时,L最大为120万元. 润最大。 7.解析:由题意知,组装第A件产品所需时间为--15, 典例3 对点训练 /A 解析:由图象知是一个分段函 故组装第4件产品所需时间为--30,解得c=60.将c 数,且各段均是直线,可用待 定系数法求得, V4 如图,设OA的表达式为y一 -60代入--15,得A-16. T 。 答案:6016 8.解析:由图知通话2分钟,需支付电话费3.6元;通话5 r(0r<30). 分钟需支付电话费6元; 设BC的表达式为y一hx十b, 当13时,设v-b十b. 因为B(40.2).C(50.3). {2-40k2十b.解得k?= 则有{3.6-3解得-1.2、b-0. 所以 ,-2. (6-5h十b, 3-50。十b. 所以-1.2t(3). 所以y-10x-2(40<1<60). 答案:3.6 6 y=1.2t(t3) 综上可得,y-2,30 x40. 人的间距d-(s+25)-6t-2-6t+25- 110x-2,40<<60. 1. 十7.当t一6时,d取得最小值7. [1 10.C 由[4.5]-5,得ft)=1.6×(0.5×[t]+1)-1.6 15^*0<30. ×(0.5×5+1)-5.6.故选C. 答案:y-2,30<x<40. 11.解析:设二次函数y-a(r-6)②十11,又图象过点(4,7),所 110-2,40<x<60 1。 以a=-1,即y=-(r-6)②+11.令y0,解得6-1l [学习效果检测] x<6十11,所以有营运利润的时间为211年,又6 1.B 设函数解析式为y一x十b(右0). 2 11二7,所以有营运利润的时间不超过7年. 函数图象过点(1,800),(2,1300). 答案:7 (十-800, (-500. 解得 12.解:(1)因为某户该月用水:立方米, 则 -300. 2+6-1300. 按收费标准可知,当0<x20时,y-3x; 所以y-500x+300,当x-0时,y-300. 当2 0 x30时,y-20×3+4(t-20)-4x-20; 所以营销人员没有销售量时的收入是300元 当x30时,-[20×3+4(30-20)+7(r-30)]$ 2.C 1一2时,汽车行驶的路程为 1.2-8.4r-132. $-50×0.5+75$1+100×0.5-25+75+50-150($m). 3x.0<x<20. 3.C 设AD长为x,则CD长为16-x. 所以y一 4r-20,20 x30. 又因为要将P点围在矩形ABCD内, 8.4x-132,x>30. 119 初高中衔接直通车·数学 (2)由题可得,当该用户水费为80元时,处于第二档, 对于B,若f(x)在[0,+o)上有最小值-1,即x0 所以4x-20-80,解得x-25. 时,f(x)-1,则有-<0,f(-x)=-f(x)<1,即 所以该月的用水量为25立方米。 f(c)在(一o,0]上有最大值1,B正确; (3)因为b--a2+47a-530,所以a+b--a?+48a- 对于C,奇函数在对应的区间上单调性相同,则若f(x) 530=-(a-24)2+4646. 在[1,十)上单调递增,则/(x)在(一,-1]上单调 当a-24时,(a+b)mx=46,此时b-22. 递增,C错误: 所以此时两户一共需要支付的水费是y一4×24一20 对于D,设x<0,则一x>0. +4×22-20-144元. 则 /(-x)=(-x)2-2(-x)=r+2x,则/(x) 章末检测(三) 一f(-r)--(r2+2x)--r2-2x.D正确. 1.C 要使函数有意义,需满足 1+x0,即x>-1且x70. 12.解析:设f(x)=ax十b,因为f(x十1)=a(x+1)+/ =ax+a+b-2x. 1x0. 则a-2,a+b-0,故a-2,b--2. 2.D.31..f(3)-32+3-12. 所以f(x)-2x-2.故答案为2x-2. 3.B 由图可知,g(2)一1. 答案:2x-2 由表格可知/(g(2))一f(1)一2,故选B. 4.B A、C、D选项中的三个函数在(一,0)上都是减函 13.解析:根据题意,得函数/(x)是R上的奇函数,且 数,只有B正确. f(一5)-0,则f(5)一一f(-5)-0,又函数f(x)在(0. 5.C 由f(x)-r-4x=(x-2)?-4. 十)上单调递减,则在区间(0,5)上,f(x)>0,在区 当x一2时,f(x)取到最小值一4. 间(5,+)上,f(x)~0. 当x-5时,f(x)取得最大值5,故值域为[-4,5] 又函数为奇函数,则在区间(一5,0)上,f(x) 0,在区 6.D 由题图知,小李从点A到点B的过程中,y的值先 间(-o,-5)上,f(r)>0. 增后减, 不等式(x-3)/(x)0 1f(x)>0 从点B到点C的过程中,y的值先减后增, /(x)~0. 从点C到点D的过程中,v的值先增后减,从点D到点 则-5r0或3r<5. A的过程中,y的值先减后增, 即不等式的解集为(一5.0)U(3,5). 所以,在整个运动过程中,小李和小陈之间的距离(即y 答案:(-5.0)U(3.5) 的值)的增减性为:增、减、增、减、增,D选项合乎题意, 14.解析:由题意可知,设消费金额为工元,应付款为y元, 故选D. (x,0<x<200. 7.Af(x)-(6-x-r2)}-(6-x-x})3. 则y一 0.9r.200 x<500. 由6-r-r2二0,得-3:2. 0.8(x-500)+450.r500. 由168~200,得第一次购物的消费金额为168元. ,所以函数/(x)的单 470(元). 8.A 由甲、乙两图可知,进水速度为1,出水速度为2,结 所以x-168+470-638>500. 合图丙中直线的斜率,只进水不出水时,蓄水量增加速 则-0.8X(638-500)+450-560.4 度是2,故①正确;不进水只出水时,蓄水量减少速度是 答案:560.4 2.故②不正确;两个进水口进水且出水口出水时,蓄水 15.解:(1)由1-2子0,得x去士1, 量减少速度也是0,故③不正确. 即f(x)的定义域为(xlx关士1》. 9.BCD 函数f(x)=(r-1)*+x十1的定义域为[-1 (2)f(x)为偶函数,证明如下: 1)U(1,十o),A不正确; 由(1)知f(r)的定义域为{xlx子士1, 函数y-f(x),x[-1,1]的图象与y轴有且只有一个 因为Vxxx士1,都有一xxlx士1. 交点,根据函数的定义可知B正确; 且/(-)-1+(-)2}1+} 1“函数/f(x)一(一1)x十(ER)为增函数”,因 1(-){}1_)()), 此“>1”是“函数f(x)一(k一1)x十k(kéR)为增函数” 所以((r)为偶函数。 的充要条件,C正确; 16.解:(1)因为一4~0,5>0. 奇函数y一f(x)在x-0处有定义,则f(一0)一一f(0), 所以f(-4)-(-4)2+2X(-4)-3-5. 因此f(0)-0.D正确.故选BCD f(5)--5-3--8. 10.BC 对于A,y一x是奇函数,故不符合题意; (2)如图所示,图象上升时x的取值集合为x一1 对于B,y-|x |十1是偶函数,在(0,十oo)上单调递 <o. 增,符合题意; 对于C,y一x是偶函数,在(0,十oo)上单调递增,符合 题意; 对于D,y--1是奇函数,不符合题意. 11.ABD 根据题意,依次分析选项: 对于A,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(一x) --f(x),当x一0时,有f(0)一一f(0),变形可得 /(0)一0,A正确; (3)当x[-2,0]时,函数的值域为[-4,-3]. 120