2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

初高中衔接直通车·数学 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知-识整合- 1.一元二次不等式 未知数,并且未知数的最高次数是 一般地,我们把只含有 的不等式,称为 一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是 或ax{}十bx十c<0,其中a,b, 均为常数,a关0. 2.二次函数的零点 一般地,对于二次函数y-ax^{}士bx十c,我们把使ax{}士bx十c=0的 叫做二次函数 y-ax*十bx十c的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △-0 △0 ##⊙ # y-ax2十bx十c(ao) 的图象 0-* 有两个不相等的实数根x, 有两个相等的实数根 ar+bx十c-0(a>0) 没有实数根 的根 2() 2-2- ar2+bx十c>0(a>0) 2## (xl或x>) 的解集 ar+bx十c<0(a>0) xlx.<x<x # 的解集 新知自王-探一究 探究点一 解不含参数的一元二次不等式 【解析】不等式-2x*十x十3<0可 【典例1】(1)不等式-2x*+x十3<0 化为2r*-x-3>0,因为△-(-1)-4×2x ) ( 的解集是 (-3)-25>0,所以方程2x2-x-3-0的两 A.xx-1 B.{#}# x-3的图象开口向上,所以不等式一2x*十 C.{#1一1#}# x+3<0的解集是({1<一13}),故 选D. D.{#1或x3# 【答案】 D 第二篇 高中知识预习 (2)不等式(3x-2)(2-x)>0的解集是 探究点二 解简单的分式不等式 ( ) #A#{##2# ( ) B.#{^{} #A#{#)1)# C.### B.{#### D.####2# C##1 【解析】原不等式等价于(x-)(x-2)<o, D.{01}## 4+20(4.x+2)(3.x-1)> 【解析】 3-1 【答案】A 【方法总结】 ####) 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够 【答案】 A 因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积 ( 形式,则可以直接由一元二次方程的根及不 。 等号方向得到不等式的解集, A.(xx>1 (2)若不等式对应的一元二次方程能够 B.(x-1x<2 化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始 C.{#-11)# 终大于或等于零,则不等式的解集易得 (3)若上述两种方法均不能解决,则应采 #D.{# -1}# 用求一元二次不等式的解集的通法,即判别 式法. [对点训练] 1-2 0=(x+1)·(1-2x)<0=(2x-1)· 解下列不等式: 2+1 (1)2+3x-2x*>0; (2)x(4-x)x(x+3)-3. 【答案】C 【方法总结】 (1)对于比较简单的分式 不等式,可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解,但要注意分母不为零, (2)对于不等号右边不为零的较复杂的 分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使 之转化为不等号右边为零,然后再用上述方 法求解. ⊙ 初高中衔接直通车·数学 [对点训练] ax{+bx+c>0(或<0)(a0)的解集端点 方程ax}+bx+c=0(a 0)的根 (1)不等式-1→2的解集为 数y-ax{+bx+c(a≠0)的零点 [对点训练] (2)不等式ax <1的解集为x|x<1或 -1 若不等式ax②+5x-2>0的解集是 x>2,那么a的值为 探究点三 三个“二次”之间的关系 的解集为 【典例3】(1)若不等式(x-a)(x-b)<0 的解集为x1 x<2,则a十6的值为 [归纳小结] ( ~ 1.解一元二次不等式的一般步骤是 A.3 B.1 (1)化为标准形式;(2)确定判别式 C.-3 D.-1 A=b}一4ac的符号;(3)若A>0,则 【解析】因为不等式(x-a)(x-b)<0的解 求出该不等式对应的二次方程的根, 集为x1 x2,所以1和2为方程(x-a)· 若△<0,则对应的二次方程无根; a-1,.a-2, (x一b)一0的两个根,则有 或 (4)联系二次函数的图象得出不等式 6-2,6-1. 的解集,特别地,若一元二次不等式的 所以a+b-1+2-3,即a十b的值为3 左边的二次三项式能分解因式,则可 【答案】A 立即写出不等式的解集(在两根之内 (2)已知关于x的不等式x一ax十 或两根之外). 2a0在R上恒成立,则实数a的取值范 2.解一元二次不等式,应首先尝试因式分 围是 解法,若能够进行因式分解,那么在解含 【解析】因为不等式x{②-ax十2a>0 参数的不等式时,就可以避免对△<0 在R上恒成立,所以△=(一a)-8a<0,解 的讨论. 得0a8. 3.解不等式的过程实际上就是不断转化 【答案】 0<a_8 的过程,是同解不等式的逐步代换,基 【方法总结】 本思路是代数化、分式整式化、有理化 三个“二次”之间的关系 低次化、低维化,最后转化到可解的常 (1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨 见一元一次不等式、一元二次不等式 论二次函数主要是将问题转化为一元二次方 上来. 程和一元二次不等式的形式来研究, 4. 当一元二次不等式ar*十bx十c>0(a>0)的解 (2)讨论一元二次方程和一元二次不等 集为R时,意味着ax十bx十c>0恒成立.由 式又要将其与相应的二次函数相联系,通过 图象可知:关于这类恒成立问题只需考虑开口 二次函数的图象及性质来解决问题,关系 方向与判别式△即可 如下: 50 第二篇 高中知识预习 学习效黑-检测-G A基础巩固练 8.对任意-2<a<3,不等式x2+(a-6) 1.(多选题)下列不等式中是一元二次不等式 9一3a>0恒成立,则x的取值范围 ) 为 的是 ( A.(n十1)x?>x B能力提升练 B.-x*+5x十6>0 9.当a<0时,不等式42x^{}十ax-a②2<0的解 集为 ( C.(x十a)(x十a十1)<0 ) ##{#### D.2x-x>2 2.若集合A-{x ar^{}-ax+1<0 =,则$ .{####}# 实数a的取值范围是 ( ) B.{a0a<4) A.(a0<a<4 C.{4### C. al0<a<4 D. al0>a<4 D. _ 10.在R上定义运算⊙;a⊙b-ab十2a+b,则 A.xx<-1或x>1 满足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范 围是 B.x|x>1) ( ) C.x2<-1) A.(xl0<x<2) D.x -1<x<1 B.x|-2<x<1) 4.已知集合M={x|x<4},N={x|- C.xx<-2或x>1 _~ 2x-3<0,则集合MON ( D.x-1<r<2 A.xlx<-2) B.(xx>3 11.若a<0,则关于x的不等式a(x十1)· C.(x-1<x<2 D.(x|2<x<3 (+)<的解集为 5.不等式x(x-9)<x-21的解集为( 12.关于x的方程x{-2(m+2)x+m{}-1=0.$ A.(3,7) (1)n为何实数时,方程有两正实数根? B.(-,3)U(7,+) (2)n为何实数时,方程有一正实数根、一 C.(-7,-3) 负实数根? D.(-,-7)U(-3,+) 6. 关于x的不等式x②}十ax-3<0的解集为 (一3,1),则不等式ax^{}十x-3<0的解 集为 ( B.(61) A.(1,2) C.(-1,1) D.(-,1) 7. 不等式x^*}-2x-5 2x的解集$ 是 51初高中衔接直通车·数学 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 6.D因为x2十ar-3<0的解集为(-3,1)， [基础知识整合] 所以-3,1是方程x2+ax一3=0的两根， 1.一个2a.x2+bx+c>02.实数x [新知自主探究] 由市达定理可得{仁+13.0时。=2： 典例1对点训练 所以不等式4x2十x-3<0为2.x2+x-3<0, 解：(1)原不等式可化为2x2-3x一2<0， 所以(2x+1)(x-2)<0 即(2x+3)(r-1<0,解得-2<<1， 故原不等式的解集是工 <<2 故所求解集为(-多)故选D, (2)原不等式可化为2x2-x-3≥0， 7.解析：由x2-2.x-5>2x得x2-4.x-5>0, 所以(2x-3)(x十1)≥0， 因为方程x2一4x一5=0的两根为一1.5. 故原不等式的解集是{x K1或>2引 故不等式x2-4.x-5>0的解为x<-1或x>5. 答案：{xx<-1或x>5} 典例2对点训练 8.解析：设f(a)=x2+(a-6)x+9-3a=(x-3)a十x2 (1)解析：二≥2化为二1-2≥0，即二1一≥0， 6x十9，由已知条件得 Jf(-2)=-2x+6+x2-6.x+9>0. 士它等价于结0-1长<0 f(3)=3x-9+x2-6.x+9>0, 所以原不等式解集为{x|-1≤x<0). 即任0…所以文 1x<0或x>3. 答案：{x|一1≤x<0 所以x<0或x>5. (2)解析：晋<1化为晋-1<0， 即x的取值范围为{x|x<0或x>5}. 答案：{xlx<0或x>5} 即a-Dx+1<0.等价于[a-1x+1]r-1)<0. 9,A不等式化为(6.x十a)(7x-a)<0, x-1 所以(a-1)x2-(a-2).x-1<0. ”a<0d-号>号戴选A 因为不等式的解集为{xx<1或x>2}, 10.B由题意知x⊙(x-2)=x2十x-2, 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x一1=0的两个根. ∴.x2+x-2<0,解得-2<x<1. 1+2=0-2 所以 a-1' 11.解析：因为a<0,所以原不等式等价于(x十1)· 1 解得a= 1×2= a-1 (+)>0,方程+1D(+日）=0的商暴为-1 1 答案：2 日，显终一日>0>-1，所以原不等式的解集 典例3对点训练 为x>-或x<-1 解析：由已知条件可知a<0,且了，2是相应方程ar2十 答案：{x>-或x<-1 5 5 a 12.解：(1)由已知，得 5.x一2=0的两个根，由根与系数关系得 21 △=2-4ac=4(m+2)2-4(m2-10≥0， x1+x2=2(m+2)>0, 得a=-2. x1x2=m2-1>0, 所以a.x2-5x+a2-1>0化为2x2+5.x-3<0,化为 (2a-1D6x+3)<0.解得-3<r<2 解得-5 4 ≤m<-1或m>1, 所以不等式的解集为{工 -3<r<2 即m的取值范国是-号<m<-1浅m>1 答案：x -3<<号} (2)由已知，得4>0. 1z2=m2-1<0, 解得一1<m<1. [学习效果检测] 所以m的取值范围是一1<m<1. 1.BCD由一元二次不等式的定义可知，B、C、D为一元 二次不等式 章末检测（二） 2.D由题意知a=0时，满足条件. 1.Dab≠0且ab. A.取a=一3，b=2,可知A不正确： a≠0时，由88：-u<0.得0<a≤4 B.取a=-3,b=2,可知B不正确： 所以实数a的取值范围是{a0≤a≤4. C.取a=1,b=2,可知C不正确： 8小圆为异<1，所以名 一1<0，即片<0，孩不 D.a<h,∴.一a>一b,可知D正确. 2.B原不等式等价于x2+5x-14>0, 等式可化为(x十1)(x一1)>0，所以x<-1或x>1. 所以(x十7)(x-2)>0, 4.C由已知，集合M={xx2<4}={x-2<x<2},N 即x<-7或x>2,故选B ={xx2一2x-3<0}={x-1x3}, 所以M∩N=(x|-1<x<2}. .A>08-士=3-（日+小3-2= 5.Ax(x-9)<r-21,.x2-10x+21<0, ∴.(x一3)(x-7)<0,解得3<r<7,故选A. 当且仅当r=1即x=1时，取等号. 112