1.5 全称量词与存在量词-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

初高中衔接直通车·数学 12.在下列各题中，判断p是g的什么条件 (4)p:一5.x2y”与x”y是同类项；q: (请用“充分不必要条件”“必要不充分条 m+n=3. 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答). (1)p:∠C=90°；q:△ABC是直角三 角形 (2)p:a,b至少有一个不为零；q:a2+b>0. (3)p:a+1>b:q:a>b. 1.5全称量词与存在量词 基础知识整合c33包 ◆◆◆ 1.全称量词与全称量词命题 续表 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 存在量词命题 含有 的命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号 形式 可用符号简记为“3x∈M,p(x)” 全称量词命题 含有 的命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 “对M中任意一个x,有p(x)成 (1)全称量词命题p:Hx∈M,p(x)的否 形式 立”，可用符号简记为“ 定： ,全称量词命题的否 定是 2.存在量词与存在量词命题 (2)存在量词命题p:3x∈M,p(x)的否 定： ,存在量词命题的否 存在一个、至少有一个、有一个、 存在量词 定是 有些、有的 4.命题的否定与原命题的真假 符号表示 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命 题只能是一真一假. 新知自主探究G还包 ◆◆◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 的概念及真假判断 D.存在x∈R,2x十1是奇数 (2)下列命题为真命题的是 【典例1】(1)下列语句不是存在量词命题 A.Hx∈R,x2-x-1>0 的是 () B.3x∈R,x2+x=-1 A.有的无理数的平方是有理数 C.3x∈R,x2-x+1=0 B.有的无理数的平方不是有理数 D.Hx∈(3，+oo),x2>2x+1 32 第二篇高中知识预习 【解析】(1)因为“有的”“存在”为存在量 C.两个无理数的和必是无理数 词，“任意”为全称量词，所以选项A,B,D均为 D.存在一个负数x,使上>2 存在量词命题，选项C为全称量词命题， 2.给出下列几个命题： 2)x2-x-1=(-2）-≥ -5 4 ①至少有一个x,使x2十2.x+1=0成立； 所以A是假命题，2十x十1=(+》)十 ②对任意的x,都有x2+2x十1=0成立； ③对任意的x,都有x+2x+1=0不成立： >0,所以十x=-1对任意实鼓x年 ④存在x,使x2十2x十1=0成立. 不成立，所以B是假命题；x2一x十1= 其中是全称量词命题的个数为( B.2 (x-)+>是，所以C是假命题. A.1 C.3 D.0 2x-1=(x-1)2-2,当x>3时，(x 探究点二 由全称量词（存在量词）命题的 1)2-2>0,所以D是真命题. 真假确定参数的范围 【答案】(1)C(2)D 【典例2】(1)若存在x∈R,使a.x2+2x+ 【方法总结】 a<0,则实数a的取值范围是 () 1.判断命题是全称量词命题还是存在量 A.a<1 B.a≤1 词命题的方法： C.-1<a<1 D.-1<a≤1 (1)分析命题中是否含有量词. (2)已知命题P:Hx∈(2,3)，x2+5> (2)分析量词是全称量词还是存在量词. ax是假命题，则实数a的取值范围是() (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义 A.{aa≥25 去判断. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的 ca≥ D.{aa≤25 判断方法： (1)要判定全称量词命题“Hx∈M, 【解析】(1)当a≤0时，显然存在x∈ p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素 R,使ax2十2x+a<0: x,证明p(x)都成立；如果在集合M中找到 当a>0时，由△=4-4a2>0, 一个元素x,使得p(x)不成立，那么这个全 解得-1<a<1,故0<a<1. 称量词命题就是假命题. 综上所述，实数a的取值范围是a<1. (2)要判定存在量词命题“了x∈M, (2)若Hx∈(2,3)，x2十5>a.x恒成立， p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个 则a<r+）xe(2.3. 元素x,使p(x)成立即可；如果在集合M中， 使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在 因为f)=+在(2)上是减函 量词命题就是假命题. 数，在(5,3)上为增函数，所以函数f(x)的 [对点训练] 最小值是f(5)=2√5，则a<2w5. 1.以下四个命题中既是存在量词命题又是真 因为命题P:Hx∈(2,3)，x2十5>ax是 命题的是 ( 假命题，所以a≥2√5，实数a的取值范围是 A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 {ala≥25}. B.至少有一个实数x,使x2≤0 【答案】(1)A(2)A 33 初高中衔接直通车·数学 【方法总结】应用全称量词命题与存在 A.3x∈R,x2-2x+1≤0 量词命题求参数范围的两类题型 B.3x∈R,x2-2x+1≥0 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立” C.3x∈R,x2-2x+1<0 问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的 D./x∈R,x2-2x+1<0 集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以 【解析】因为命题“Hx∈R,x2一2x十 代入求解，也可以根据函数等数学知识来解决. 1≥0”为全称量词命题，所以命题的否定为 (2)存在量词命题的常见题型是对适合某 3x∈R,x2-2x十1<0.故选C. 种条件的结论用“存在”“不存在”“是否存在”等 【答案】C 语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出 【方法总结】 肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合 写全称量词命题与存在量词 已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则 命题的否定的思路 存在性随之解决：若导致矛盾，则否定了假设 在书写全称量词命题与存在量词命题的 [对点训练] 否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从 1.若命题“3x∈R,x2一2.x十m≤0”是假命 量词入手，书写命题的否定.全称量词命题的 题，则m的取值范围是 否定是存在量词命题，存在量词命题的否定 2.若命题“3x∈（一1,1），2.x十a=0”是真命 是全称量词命题. 题，则a的取值范围是 [归纳小结] 探究点三 全称量词命题与存在量词命题 的否定 1.判断全称量词命题的关键：一是先判断是 【典例3】(1)命题“存在一个无理数， 不是命题：二是看是否含有全称量词. 它的平方是有理数”的否定是 2.判定全称量词命题的真假的方法：定义法， A.任意一个有理数，它的平方是有理数 对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 真；代入法，在给定的集合内找出一个x, C.存在一个有理数，它的平方是有理数 使p(x)为假，则全称量词命题为假。 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 3.判定存在量词命题真假的方法：代入法，在 【解析】量词“存在”改为“任意”，结论 给定的集合中找到一个元素x,使命题 “它的平方是有理数”否定后为“它的平方不 p(x)为真，否则命题为假 是有理数”.故选B. 4.写出一个含有量词的命题的否定，一般分 【答案】B 两步：一是改量词，二是否结论 (2)命题“Hx∈R,x2-2x+1≥0”的否 5.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意 定是 到一个命题和命题的否定一真一假. 学习效果检测C运包 ◆◆◆ A基础巩固练 A.所有不能被2整除的数都是偶数 1.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 定是 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 34 第二篇高中知识预习 2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于 ①有的实数是无限不循环小数 ( ②有些三角形不是等腰三角形 A.存在x∈R,使得f(x)>0成立 ③有的菱形是正方形 B.存在x∈R,使得f(.x)≤0成立 8.已知命题“3x∈R,2x2+(a-1)x+ C.对任意x∈R,使得f(x)>0成立 D.对任意x∈R,使得f(x)≤0成立 20”是假命题，则实数a的取值范围是 3.数学符号的使用对数学的发展影响深远， “=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一 B能力提升练 书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特 9.命题“HACB,Card(A)≤Card(B)”的否 首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示， 定是 () 则命题：x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的 A.3ACB,Card(A)>Card(B) 否定为 () B.3ACB,Card(A)<Card(B) A.Vz,yER.(x+y)<+y C.VACB,Card(A)>Card(B) B.3x,y∈R,(x十y)3>x3+y D.3ACB,Card(A)>Card(B) C.32,yER,(z+y)<r3+y 10.已知命题“3x∈R.使4r+(a-2)x+≤0 D.3x,y∈R,(x+y)3≤x3+y 是假命题，则实数a的取值范围是() 4.给出四个命题：①末位数字是偶数的整数 A.a<0 B.0≤a<4 能被2整除：②有的菱形是正方形：③存在 C.a>4 D.0<a<4 实数x,使x>0:④对于任意实数x,2x十1 11.已知命题p:存在x∈R,x2+2x+a=0. 都是奇数.下列说法正确的是 () 若命题一p是假命题，则实数a的取值范 A.四个命题都是真命题 围是 B.①②是全称量词命题 12.命题p是“对某些实数x,有x一a>0或 C.②③是存在量词命题 x一b≤0”，其中a,b是常数. D.四个命题中有两个假命题 (1)写出命题p的否定； 5.下列命题中既是全称量词命题又是真命题 (2)当a,b满足什么条件时，命题p的否 的是 ( 定为真？ A.Hx∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 6.已知命题“存在一1≤x≤1，一x2+3x+ a>0”为真命题，则实数a的取值范围是 ( A.jaa>-g) B.{aa>4} C.{a-2<a<4》 D.{aa>-2} 7.在下列存在量词命题中真命题有 (填序号). 35初高中衔接直通车·数学 等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A 1.5 全称量词与存在量词 正确：对于B,由a>b推不出a2>b2,如a=0,b=一1， [基础知识整合] 满足a>b,但是a2<b2,故充分性不成立：由a2>2也 1,V全称量词 Hx∈M,p(x)2.3存在量词 推不出a>b,如a=-2,b=-1,满足a2>b2,但是a< 3.(1)3x∈M,p(x)存在量词命题(2)Hx∈M, b,故必要性不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分 一p(x)全称量词命题 也不必要条件，故B错误：对于C,当n=4时，一元二次 [新知自主探究] 方程x”-4x十4=0的根为x1=xg=2,故C错误，对于 典例1对点训练 D,若函数y=x2十m.x十1的图象关于直线x=1对称， 1,BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词 则一罗=1，解得m=一2，所以函数y=2十mx十1的 命题：B中x=0时，x=0,所以B既是存在量词命题又 是真命题：C中因为√2十（一√2）=0，所以C是假命题： 图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2，故D正 确：故选AD. D中时任意一个负数，郑有<0，所以D是报命超。 3.BCD由于x2<1即-1<x<1,A显然不能使-1<x 2B因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为 <1成立，BC,D满足题意. 全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词 4.Cx2一x<0→0<x<1,运用集合的知识易知只有C 命题，所以全称量词命题的个数为2 中由<号可以整出0心<1，共会均不可 典例2对点训练 1.解析：因为命题“3x∈R,2一2x十m≤0”是假命题，所以 5.B图为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的 Hr∈R.x2-2r十m>0为真命题， 必要条件， 即△=4-41<0.得1>1. 6.ABCA选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错 答案：{mn>1 误：B选项，当x=-1y=一2时，x2<y2,则B错误：C 2.解析：设y=2x十a,则y=2x十a在(-1.1)内有零点， 选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长 所以(a+2)(a-2)<0,解得-2<a<2. 之比的平方，则C错误：D选项，由m>2,得m>4,即 答案：一2<a<2 m2一4>0，则方程x2一mx十1=0有实根，故D正确. [学习效果检测] 故选ABC. 1.D全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所 7.解析：由x=一1→x2一x一2=0，所以“x=一1”是“x2-x 有”变为“存在”，并且将结论进行否定 2=0”的充分条件，“x2一x一2=0”是“x=一1”的必要条件. 2.A“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数 答案：充分必要 x,使得f(x)>0成立”. 8.解析：方程x2-4x十a=0有实根，需要△>0，即a≤4，所以 3.D因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 当a=2时方程有实根.所以是充分条件. 所以命题p:x,y∈R,(.x十y)3>x3十y3的否定为 答案：充分 3x,y∈R,(x十y)3≤x3十y3.故选D. 9.B若△ABC中有一个角是36°，但△ABC不是等腰三 4.C①④为全称量词命题：②③为存在量词命题： 角形，则△ABC不是黄金三角形. ①②③为真命题：④为假命题： 若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角 5.c 是36°. 6.D命题存在“一1≤x≤1，一x2+3x十4>0”为真命题， 则“△ABC中有一个角是36”是“△ABC为黄金三角 等价于a>x2-3.x在{x-1≤x≤1}上有解，令y=x2 形”的必要不充分条件 一3.x,(-1≤x≤1)，则等价于a>ymin=-2,所以a> 故选B -2. 10.A由条件，知D→C=B→A.即D→A,但A→D,故选 7.①②③ A. 11.解析：当m=一2时，f(x)=x2一2x+1,其图象关于直 8.解析：由题意可得“对VxER.2x十a一1)z+2>0越成 线x=1对称，反之也成立，所以函数f(x)=2+x十1 立”是真命题，令△=(a-1)2-4<0得-1<a<3. 的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2. 答案：{a-1<a<3) 答案：一2 9.A由否定的定义可得，命题“VA二B,Card(A)≤ 12.解：(1)由题意得，p→q,9Pp,所以p是q的充分不必 Card(B)”的否定是3A三B,Card(A)>Card(B).故 要条件； 选A. (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b至少有一个大 10.D:命题“3x∈R,使4r2+(a-2)x+}<0是餐 于零，所以a2十>0，反之由a2+b2>0也可推出a,b 至少有一个不为零，所以p台g,所以p是g的充要 命题命题“Vx∈R,使r2+(a-2)x+>0”是 条件 (3)p:a十1>b,g:a>b,因为a十1>a,所以g→p,pp 真命题，即判别式4=a-2)2-4×4×}<0,即△ q,所以p是q的必要不充分条件. (a-2)2<4,则-2<a-2<2,即0<a<4,故选D. (4)若-5x2ym与x"y是同类项，若m=1,n=2,所以 11.解析：，命题p是假命题，.p是真命题， m十n=3,当n十n=3时，一5x2ym与x"y不一定是同 即存在x∈R,.x2+2.x十a=0为真命题， 类项，所以p→q,q户p,所以p是q的充分不必要 .△=4-4a≥0，.a≤1. 条件 答案：{aa≤1} 108 参考答案 12.解：(1)命题p的否定：对任意实数x,有x一a≤0且x一b 16.解：(1)由题设B={3),则AUB={x-3<x≤4， >0. CRA={x.x≤-3或x>4},则(CRA)∩B=必. (2)要使命题p的否定为真，则需要使【0的解集不 (2)由AUB=A→B二A, 1x-b>0. 若B=0时，k+1>2k一1→k<2,满足： 为空集，a,b应满足的条件是<a. k+1≤2k-1, 章末检测（一） 若B≠巧时，k+1>一3，→2≤≤号☐ 1.D由B=(xx1},可知CRB={xx≥1.又A={x1 2k-1≤4 ≤x≤2，.A∩(CRB)={x1≤r≤2%. 2.BA.锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题： 蟒上长号 B.为存在命题，当x=0时，2=0成立，所以B正确： 即长的取位范周为k≤号引· C.因为3+（一√3）=0，所以C为假命题. 17.解：(1)当a=-1时，B={x-1<x<2},因为A= D.对于任何一个负数x,都有】<0，所以D错误 {x0<x<1},所以A∩B={.x|0<x<1}. (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件知B二A, 故选B, 3.A由x>1,解得x>1或x<-1,故“x>1”是“|x 当B=必时，显然BCA,则e≥1-a,即a≥ >1”的充分不必要条件，故选A 1a<1-a, 4.D集合X可以是{1}，{1,2}，(1,3}，{1,4}，(1,2,3}， 1,2,4},{1,3,4,共7个. 当≠时，由EA得。≥0，即0a<号 1-a≤1， 5.D因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命 综上，a≥0，即实数a的取值范围为{aa≥0}. 题“对任意x∈R都有x≥1”的否定是：存在x∈R,使 18.解：(1)若存在实数m满足x∈B是x∈A的充要条 得x2<1.故选D. 件，则A=B, 6.A7.A8.B 9.ACD由所有有理数都为实数，但不是所有实数都为有 得后2释阳”无解 理数，A正确；当a=0时，ax2十ax十1=0无解，即集合 故不存在这样的m符合题意. A为空集，B错误：由2>0得>2，所以力对应的集 (2)若x∈B是x∈A的充分条件，则B二A, 合是{xx>2},所以一p对应的x的集合为 当B=0时，m十1>2m一1.解得m<2: {x|x≤2}，C正确：MUN=M,则NCM,因为集合M n+1≤2m-1, 当B≠☑时， -2≤m十1，解得2≤n≤3， 有2个元素，所以集合N的个数为22=4，D正确.故 2m-1≤5， 选ACD. 综上，m≤3， 10.ACD由题意可知，满足題设条件的集合A有{0,8}， 即实数m的取值范国为（一∞，3]. {2,6,{3,5),共3个. (3)若A∩B=0, 11.AB,A∩B=B,.B≤A. A={-2}≠0，∴.B=0或B≠0 当B=⑦时，m+1>2m一1，解得m<2: 当B≠0即m+1≤2m一1，即m≥2时， ①当B=心时，方程a.x十1=0无解，此时a=0. 2m-1<-2或5<m十1，解得m>4. @当B≠必时，此时a≠0，则B={日} 综上，m<2或m>4, -1EA,即有-=-2.得a=2 即实数m的取值范围为（一o,2)U(4,十∞）. 1 19.解：(1)当n=5时，A={1.2.3,4.5},所以A的所有 综上得a=0或a=合 P(4)子集为：{1,3,2,4}，{1,3,2,5}，{1,3,5， 4},{5,3,2.4). 12.解析：：B={xx>1},∴.CB={xx≤1， (2)当n≥3时，取W={1,3},因为1+3=22，所以W 则AU(CB)={xx≤1}. 是A的P(2)子集，此时m=2符合题意： 答案：{xx≤1} 若m≥3，设a1,a2ag∈W且1≤a1<a2<a3, 13.解析：不等式x一m<1的解集为{xx<m十1}， 根据题意，a1十a2=2,a1十a3=2,a2十a3=2,其 根据题意可得{xx<2}是{xx<m十1}的真子集，故 中k1-k2,k3∈N, 可得m十1>2，m>1, 因为a1十ag<a1十a3<a2+ag,所以25<2：<2，所 即实数m的取值范国是{mm>1}. 以1<k2<k8+ 故答案为《nm>1}. 又因为k1,k2,ks∈N,所以k3≥k2十1， 答案：{mm>1} 因为2(a1十a2十a3)=2,十2十2， 14.解析：由题意知，Hx∈R,2x2-3a.x+9≥0为真命题， .△≤0，∴.-22≤a≤22 所以a1十a十a=号(2+2头+25) 答案：[-22,2√2 所以a=号(2然+2然+2)-2=号(25+2路-2的， 15.解：由已知得B={rx≥-3} 因为2%，十2<2十2=2，+1≤2， (1)A∩B={x|-3≤x≤-2. 所以2十2-2<0， (2)AUB={xx≥-4}. 所以a1<0,与a1≥1矛盾， (3)CR(A∩B)={xx<-3x>-2. 综上所述，只有m=2满足题意。 109