1.4 充分条件与必要条件-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

第二篇高中知识预习 1.4充分条件与必要条件 基础知识整合G®D ◆◆◆ 1.命题及相关概念 一般地，数学中的每一条判定定理都给出 定义：用语言、符号或式子表达的 了相应数学结论成立的一个 可以 的陈述句 条件. 真命题：判断为 的语句 命题{分类 数学中的每一条性质定理都给出了相应数 假命题：判断为 的语句 形式：“若p,则g”.其中p称为命题 学结论成立的一个 条件 的 ,9称为命题的 3.充要条件 2.充分条件与必要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p” “若，则g”是真 “若p,则g”是 均是真命题，即既有 ,又有q→， 命题 假命题 记作p台g.此时p既是g的充分条件，也 由条件p不能推 推出关系及 由p通过推理可 得出q,记作： 出结论q,记作： 是q的必要条件.我们说力是q的 符号表示 q 2 简称为充要条件 6 q的充分 如果p是q的充要条件，那么q也是p的 p是q的 条件 条件 条件关系 充要条件，即如果p台q,那么p与g互为 q是p的 条件 p的必 要条件 新知自主探究C83D ◆◆◆ 探究点一充分条件和必要条件的判断 （2)当a<0<b时，日<0<： 【典例1】(1)已知集合A={1,a},B=1, 2,3},则“a=3”是“A二B”的 (填“充分” 当Ka<0时，}名0： 或“必要”)条件。 当b0<a时，6<0< (2)下列式子： ①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a; 当0<b<a时，0<1<1 ④0<b<a. 所以能使】名成立的充分条件有0@④。 其中能使是<石成立的充分条件有 【答案】(1)充分(2)①②④ 【方法总结】 (只填序号) 充分、必要、充要条件的判断方法 【解析】(1)因为A={1,a},B={1,2, (1)定义法 3},A二B,所以a∈B且a≠1，所以a=2或 若p一q,g产p,则p是q的充分不必要条件； 3,所以“a=3”是“A二B”的充分条件. 若pPq,qPp,则p是q的必要不充分条件； 29 初高中衔接直通车·数学 若→q,q→p,则p是q的充要条件； 综上可知，a=一 、1 若ppq,q本，则p是g的既不充分也不 3 必要条件. 【答案】一 或 (2)集合法 【方法总结】 对于集合A={x|x满足条件p},B= 由条件关系求参数的值（范围）的步骤 {xx满足条件q},具体情况如下： (1)根据条件关系建立条件构成的集合 若A二B,则p是q的充分条件： 之间的关系 若A已B,则p是q的必要条件； (2)根据集合端点或数形结合列方程或 若A=B,则p是q的充要条件； 不等式（组）求解. 若A手B,则p是q的充分不必要条件； [对点训练] 若A早B,则p是q的必要不充分条件. 1.若p:x(x-3)<0是q:2x-3<m的充分 [对点训练] 不必要条件，则实数的取值范围 是 m=1是y=x”一m+5为二次函数的 2.函数y=x2十mx十1的图象关于直线x=1 (填“充分”或“必要”)条件 对称的充要条件是 探究点二 充分条件、必要条件、充要条件 [归纳小结] 的应用 1.能够将一个命题改写成“若p,则g”的形 【典例2】(1)已知p:一4<x一a<4, 式，并能准确地用语言表述充分条件、必要 q:(x一2)·(x-3)<0,若q是p的充分条 条件. 件，则a的取值范围为 2.充分条件、必要条件的判断，其实质是判断 【解析】化简p:a-4<x<a+4,q:2 “若p,则g”及其逆命题“若q,则p”的真假， x<3,由于q是p的充分条件， “若p,则g”为真命题，则p是g的充分条件， a-4≤2， 否则p不是q的充分条件.“若g,则p”为真 故有 解得-1≤a≤6. a+4≥3， 命题，则p是q的必要条件. 【答案】-1≤a≤6 3.掌握集合的包含关系与充分条件、必要条 件的关系， (2)若p:x2十x一6=0是q:a.x十1=0的必 4.充要条件的证明与探求 要不充分条件，则实数a的值为 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必 【解析】p:x2十x一6=0，即x=2或 要性的证明.在证明时要注意两种叙述方 x=-3. 式的区别： q:ax十1=0，当a=0时，方程无解；当 ①p是g的充要条件，则由p→q证的是充 a0时=一日 分性，由q→p证的是必要性； ②p的充要条件是q,则由p→q证的是必 由题意知pPq,q→p,故a=0舍去：当 要性，由q→p证的是充分性. a≠0时，应有-是=2或-日=-3，解得a (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再 证充分性；如果能保证每一步的变形转化 2或a=3 过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 30 第二篇高中知识预习 学习效果检测C83与 ◆◆◆ A基础巩固练 C.若两个三角形相似，则它们的面积之比 1.设p:实数x>1且y>1,q:实数x,y满足 等于周长之比 x十y>2,则p是g的 D.若m>2,则方程x2一mx十1=0有实根 A.充分条件 7.“x=-1”是“x2-x-2=0”的 条 B.必要条件 件，“x2一x一2=0”是“x=一1”的 C.充要条件 条件.（用“充分”“必要”填空） D.既不充分也不必要条件 8.“a=2”是“方程x2一4x十a=0有实根”的 2.(多选题)下列说法正确的是 ( (填“充分”或“必要”) A.两个三角形全等是这两个三角形面积 条件. 相等的充分不必要条件 B能力提升练 B.设a,b是实数，则“a>b”是“a>b2”的 9.黄金三角形被称为最 必要而不充分条件 美等腰三角形，因此它 C.设n∈N”,一元二次方程x2-4x十n=0 经常被应用于许多经 有整数根的充要条件是n=3 典建筑中（例如图中所 D.函数y=x2十m.x十1的图象关于直线 示的建筑)，黄金三角 x=1对称的充要条件是m=一2 形有两种，一种是顶角为36°，底角为72 3.(多选题)下列式子中，可以是x<1的充 的等腰三角形，另一种是顶角为108°；底 分条件的为 角为36°的等腰三角形，则“△ABC中有一 A.x<1 B.0<x<1 个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的 C.-1<x<1 D.-1<x<0 4.已知p:x2一x<0,那么命题p的一个充分 A.充分不必要条件 条件是 ( B.必要不充分条件 A.0<x<2 B.-1<x<1 C.充要条件 c<号 D.3<<2 D.既不充分也不必要条件 10.如果A是B的必要不充分条件，B是C 5.若p是g的充分条件，则q是p的() 的充要条件，D是C的充分不必要条件， A.充分条件 那么A是D的 B.必要条件 A.必要不充分条件 C.既不充分条件也不必要条件 B.充分不必要条件 D.充要条件 C.充要条件 6.(多选题)下列命题不正确的有 ( D.既不充分也不必要条件 A.对角线垂直的四边形是菱形 11.函数f(x)=x2十m.x+1的图象关于直线 B.若x>y,则x>y x=1对称的充要条件是m= 31 初高中衔接直通车·数学 12.在下列各题中，判断p是g的什么条件 (4)p:一5.x2y”与x”y是同类项；q: (请用“充分不必要条件”“必要不充分条 m+n=3. 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答). (1)p:∠C=90°；q:△ABC是直角三 角形 (2)p:a,b至少有一个不为零；q:a2+b>0. (3)p:a+1>b:q:a>b. 1.5全称量词与存在量词 基础知识整合c33包 ◆◆◆ 1.全称量词与全称量词命题 续表 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 存在量词命题 含有 的命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号 形式 可用符号简记为“3x∈M,p(x)” 全称量词命题 含有 的命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 “对M中任意一个x,有p(x)成 (1)全称量词命题p:Hx∈M,p(x)的否 形式 立”，可用符号简记为“ 定： ,全称量词命题的否 定是 2.存在量词与存在量词命题 (2)存在量词命题p:3x∈M,p(x)的否 定： ,存在量词命题的否 存在一个、至少有一个、有一个、 存在量词 定是 有些、有的 4.命题的否定与原命题的真假 符号表示 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命 题只能是一真一假. 新知自主探究G还包 ◆◆◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 的概念及真假判断 D.存在x∈R,2x十1是奇数 (2)下列命题为真命题的是 【典例1】(1)下列语句不是存在量词命题 A.Hx∈R,x2-x-1>0 的是 () B.3x∈R,x2+x=-1 A.有的无理数的平方是有理数 C.3x∈R,x2-x+1=0 B.有的无理数的平方不是有理数 D.Hx∈(3，+oo),x2>2x+1 32参考答案 9.AC '(1)UB=(1,2)..'.B可能为(2或(1,2》. 8.解析:由LA-(5.说明5U,5A,且3A.列式可 10.AB 如图,要使AOB-②,应有a -1. 得{12a-1-3 a+2a-3-5. ) 11.解析,用数轴表示集合A,B如图所示。 由AOB-xl5 x6),得m-6. 答案:2 9.C B-xlx1或x2,如图所示. 答案:6 .AU(B)-R..'a2. 12.解:当A只有一个真子集时,A为单元素集,这时有两 10.C 由题意,甲:AOB=A-ACB; 种情况:当a一0时,方程化为2x十1一0,解得工 乙:AUB-B-ACB: 2.当a-0时,由△-4-4a=0,解得a-1.综上所 丙:CB-tACACCB-BCA; T:(CA)U(CB)-CuACBCCA-ACB 述,a-0或1. 由于甲、乙、丁是等价的,故如果有且只有一个不成立, 第2课时 补集 则该式是丙,故选C. 11.解析;U-1,2.3,4.5,6.7,8. [基础知识整合] xrCU.且 则A-(1.3,5,7),B-(3,6) 1.(1)所有元素 (2)U 2.不属于集合A xA(1) U(2)A .AUB-(1,3,5,6,7) .C(AUB)-(2,4,8. [新知自主探究 典例1 对点训练 答案:(2,4,8) 12.解:对于集合M,当m-0时,x一-1,即M-(0),当m 1.C 因为集合U-(1.2,3,4,5,6),M-(1,3,6),所以 0时,△-1+4m0,即m- 1且mo,所以 fM-(2.4,5. 2.C 因为U=(xl-2<x2),所以A-x -2< 0 的补集lA-l0<x<2. 典例2 对点训练 #即#,以- {}),所以(CoM)N# C 由已知得A-1,6,7),所以BA-6,7. 典例3 对点训练 #{-).# (1)解析:因为A-(xlr<1或x2. 所以A-{rl1<x<2,所以b-2. 1.4 充分条件与必要条件 答案:2 [基础知识整合] (2)解析:*.U-2,3,a-a-1),A-2,3,A-1. 真 假 条件 结论 2→ 1.判断真假 充分 .1U.,a②-a-1-1,即a②-a-2-0, 必要 不是 不是 充分 必要 3.。充分必要条件 解得a--1或a-2. 充要条件 答案:-1或2 [新知自主探究] [学习效果检测 典例1 对点训练 1.B 解x2-5x+4~0得1<r4,所以A-(2,3),所以 解析:当m-1时,n{}-4m十5-2,反之,当函数为二次 fA-1,4. 函数时,m{}-4m+5-2,即n-1或m-3.所以m-3也$ 2.A 因为集合A={xlx>-1),所以lnA= xl-1,则(A)B-(xl-1(-2.-1. 能使函数为二次函数。 答案:充分 0.1)--2,-1. 典例2 对点训练 3.A 全集U=R,B=x -1<x<0 ,所以CB-x 1.解析::x(x-3)<0,则0x<3. <-1或 0,又集合A={xlx-2或x1,所以 AU(CB)-xlx-1或x0》. v:2r-3<m则x-n+3 2 4.C A-(0,1,3),真子集有7个. 由题意知p→q,则”33解得m二3. 5.A 因为全集U-(a,b,c,d),A-a,b,B-). 2 所以AUB-(a,b,c,则C(AUB)-d。 答案:nm3 6.C 因为M-xl3a-1<x<2aì,若M:,则2a>3a 2.解析:晶数y=r2十mx十1的图象的对称轴为x=- 一1,即a<1,又M={: x<3a-1或x2a},N 2 (CM). 3a-13,或{ 由题意:-_1,所以m-2. #2一1所以<-.# 所以 1. <1. 答案:n=-2 若M-,则2a<3a-1.即a1,此时M-R.NC [学习效果检测] (CM)显然成立. 1.A 若x1且y>1,则x十y2成立,故 是q的充分 条件;若x十y2,如x-4,y=-1,故不是的必要 条件。 7.解析:因为B={xl-2 2),所以CB=xx-2 2.AD 对于A,两个三角形全等→两个三角形的面积相 或x2)(fB)0A-x|x>2. 等,故充分性成立;但两个三角形的面积相等不能推出 答案:(xx>2 两个三角形全等,故必要性不成立,所以两个三角形全 107 初高中衔接直通车·数学 等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件,故A 1.5 全称量词与存在量词 正确;对于B,由a>b推不出a}→b^,如a-0,b--1; [基础知识整合] 满足ab,但是a^{②}<^{},故充分性不成立;由a{}→b^也 1.V 全称量词 VxEM,(x)2.3 存在量词 推不出a→b,如a--2,b--1,满足a2→b②,但是a 3.(1)xM,一p(r)存在量词命题 (2)VxM. b,故必要性不成立,所以“a一b”是“a一b”的既不充分 7(x)全称量词命题 也不必要条件,故B错误;对于C,当n一4时,一元二次 [新知自主探究 方程x-4x+4-0的根为x.-x。-2,故C错误;对于 典例1 对点训练 D,若函数y一r*十mx十1的图象关于直线x=1对称, 1.B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词 则--1,解得m=-2,所以函数y-x2十mx十1的 命题;B中x一0时,r^}一0,所以B既是存在量词命题又 是真命题:C中因为/2十(一2)一0,所以C是假命题; 图象关于直线x-1对称的充要条件是n一一2,故D正 确;故选AD. D中对任意一个负数x,都有一<0,所以D是假命题. 3.BCD 由于<1即-1<x1,A显然不能使-1x 2.B 因为“至少有一个”“存在”是存在量词,“任意的”为 <1成立,B、C、D满足题意. 全称量词,所以①④为存在量词命题,②③为全称量词 4.C 2-x0→0 x1,运用集合的知识易知只有C 命题,所以全称量词命题的个数为2. 典例2 对点训练 1.解析:因为命题“习xR,r”-2x十m<0”是假命题,所以 5.B 因为力是o的充分条件,所以p→q,所以q是力的 VxR,?-2x十m0为真命题. 必要条件。 即△-4-4n0.得n>1. 6.ABC A选项,等腰梯形的对角线也可能垂直,则A错 答案:nn>1{ 误;B选项,当x=-1,y=-2时,r^?<y^{},则B错误;C$ 2.解析:设y-2x十a,则y-2x十a在(-1,1)内有零点. 选项,若两个三角形相似,则它们的面积之比等于周长 所以(a+2)(a-2)<0,解得-2<a<2. 之比的乎方,则C错误;D选项,由n>2,得n{} 4,即 答案:-2<a2 n2-40,则方程x2一mx十1-0有实根,故D正确. [学习效果检测] 故选ABC 1.D 全称量词命题的否定为相应的存在量词命题,即将“所 7.解析:由x--1→r---2-0,所以“x--1”是“-- 有”变为“存在”,并且将结论进行否定. 2-0”的充分条件,“x-x-2-0”是“x--1”的必要条件, 2.A “关于x的不等式f(x)0有解”等价于“存在实数 答案:充分必要 x,使得f(x)>0成立” 8.解析:方程x?-4x+a-0有实根,需要△0,即a4,所以 3.D 因为全称量词命题的否定为存在量词命题, 当a一2时方程有实根,所以是充分条件. 所以命题:Vx,R,(x十y)x+的否定为 答案:充分 1x.yR,(x十y)+y.故选D. 4.C 9.B 若△ABC中有一个角是36{*},但△ABC不是等腰三 ①④为全称量词命题;②③为存在量词命题; 角形,则△ABC不是黄金三角形. ①②③为真命题;④为假命题. 若△ABC为黄金三角形,则△ABC中必有一个角 5.C 是360。 6.D 命题存在“-1<x1,-r?+3x十a>0”为真命题, 则“△ABC中有一个角是36{*”是“△ABC为黄金三角 等价于a>r?-3x在(x -1<x1上有解,令y=x②} 形”的必要不充分条件. -3x,(-1<x<1),则等价于a>yn=-2,所以a 故选B. -2. 10.A 由条件,知D→C一B→A,即D→A,但A→D,故选 7.①②③ A. 8.解析:由题意可得“对Vx<R.2+2c十(a-1)x+→>o恒成 11.解析:当m--2时,f(x)-x2-2x+1,其图象关于直 线x一1对称,反之也成立,所以函数f(x)一r2十mx十1 立”是真命题,令△-(a-1)2-4~0得-1<a<3 的图象关于直线x-1对称的充要条件是m--2. 答案:(a-1<a<3) 答案:-2 9.A 由否定的定义可得,命题“VACB,Card(A) 12.解:(1)由题意得,→q,,所以,是q的充分不必 Card(B)”的否定是习ACB,Card(A)Card(B).故 选A. 要条件; (2)若a,b至少有一个不为零,则a^{},^{}至少有一个大 于零,所以a^{②}十b^{}一0,反之由a^{②}十b→0也可推出a,b 至少有一个不为零,所以,一q,所以力是q的充要 条件。 真命题,即判别式△-(a-2)※-4x4x1<o,即△= (3)p:a+1>b,q:a>b,因为a+1>a,所以q→, q,所以,是q的必要不充分条件. (a-2)2<4,则-2<a-22,即0 a<4,故选D (4)若-5x2“与x”y是同类项,若m=1,n-2,所以 11.解析:.命题一,是假命题,是真命题, m十n-3,当m十n-3时,-5r②y”与x"y不一定是同 即存在xR,r^{}+2x十a-0为真命题 类项,所以→,,所以力是q的充分不必要 .4-4-4a0...a<1. 条件。 答案:ala<1 108