1.2 集合间的基本关系-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

第二篇高中知识预习 1.2集合间的基本关系 基础知识整合-C3。 ◆◆◆ 1.子集的概念 素，那么，集合A与集合B相等，记作 ·也就是说，若A二B且B三A, 般地，对于两个集合A,B,如果集 则A=B. 定义 合A中 元素都是集合B中 的元素，称集合A为集合B的子集 3.真子集的概念 如果集合A三B,但存在元素 ,且 记法 记作 (或 ),读作 定义 ,我们称集合A是集合B的真子集 与读法 “A包含于B”(或“B包含A”) 记法 记作AB(或B昆A) 图示 图示 (1)任何一个集合是它本身的子集， (1)AB且BC,则A C; 结论 即A A (2)A二B且A≠B,则A B 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且B三 4.空集的概念 C,则A二C 定义 我们把 的集合，叫做空集 2.集合相等的概念 记法 0 如果集合A的 是集合B的元素， 规定 空集是任何集合的 ,即0二A 同时集合B的 都是集合A的元 新知自主探究C②D ◆◆◆ 探究点一集合与集合间关系的判定 ⑤{1}∈{0,1,2}： 【典例1】(1)设集合A={x一1<x<2}, ⑥{xx>1}二{x|x≥2}. B={x一1<x<1},则 ( 【解析】(1)如图所示 A.ACB B.BCA B☐A』 C.A=B D.A车B -1 (2)下列命题中正确的有 (写出 A的范围包含B的范围，所以B二A 全部正确命题的序号) (2)根据子集的定义，①显然正确；②中 ①{2,4,6}二{2,3,4,5,6： 只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱 ②菱形}二{矩形}： 形不是矩形：③中集合{x|x=0}中的元素 ③{xlx2=0}二{0}： 只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中 ④(0,1)}三{0,1}； {(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数 19 初高中衔接直通车·数学 集，元素不同：⑤中两个集合之间使用了“∈” (2)列方程组时针对不同情况常常要分 符号，这是用来表示元素与集合的关系时使 类讨论 用的符号，不能用在集合与集合之间：⑥中两 [对点训练] 集合的关系应该是{xx>1}口{xx≥2}.因 设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+ 此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥： b= 【答案】(1)B(2)①③ 探究点三由集合间的关系求参数问题 【方法总结】判断集合关系的方法 【典例3】(1)若集合M={x|x2+x (1)观察法：一一列举观察. 6=0},N={xa.x+2=0,a∈R},且NM, (2)元素特征法：首先确定集合元素是什 则a的取值集合为 么，弄清集合元素特征，再利用集合元素特征 【解析】化简M={xx2+x一6=0}= 判断. {一3,2}，因为a.x十2=0的系数a是字母，所 (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 以对a分类讨论如下： [对点训练] 当a=0时，a.x十2=0无解，所以N=0 满足题意，当a≠0时，a.x十2=0的解为x= 写出满足{1,2}A二{1,2,3,4,5}的所有 集合A. -子，因为N医M,所以由一吕=一3：得a 由一名=2，得a=-1,所以符合条件的。 2 的取值集合为0，号-1小。 【答案】 0-1 2 (2)已知集合A={x一3≤x≤4}，B= {x2m一1<x<m+1},且B二A,求实数m 的取值范围。 探究点二相等问题 【典例2】设集合A={x,y},B={0, 【解】因为B二A,①当B=☑时，m+1≤ 2m-1,解得m≥2. x2},若A=B,则2x十y= B.1 -3≤2m-1, A.0 C.2 ②当B≠0时有m+1≤4， D.-1 【解析】由A=B,知x=0或y=0. 2n-1<m十1， 当x=0时，x2=0,此时B={0,0},不满 解得-1≤m<2,综上得m≥-1. 足集合中元素的互异性，舍去；当y=0时， 【方法总结】 x=x2,则x=0或x=1. 应用集合关系求参数的四个步骤 由上知x=0不合题意.故x=1,y=0, 化简 将给定的集合加以化简，岩有不确定因素 则需分类讨论 则2x十y=2. (列式 根据所给集介关系构造方程（或不等式） 【答案】C 求解 对所列方程（或不等式)进行求解 【方法总结】集合相等的解题策略 检验 对求出的解进行检测，看是不满足集合巾 (1)利用集合相等的概念建立方程组， 元索的互异性 20 第二篇高中知识预习 2.集合子集的个数 [对点训练] 求集合的子集问题时，一般可以按照子集 设A={x|-1<x<1},B={xx-a>0}, 元素个数分类，再依次写出符合要求的 若A二B,则a的取值范围是 () 子集. A.{aa<-1} B.{aa≤-1} 集合的子集、真子集个数的规律为含n个元 C.{aa≥1} D.{aa>1} 素的集合有2"个子集，有2一1个真子集，有 [归纳小结] 2”一2个非空真子集.写集合的子集时，空集 和集合本身易漏掉 1.对子集、真子集有关概念的理解 3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B 用方法 中的元素，即由x∈A能推出x∈B,这是 (1)注意点：①不能忽视集合为☑的情形： 判断A二B的常用方法. (2)不能简单地把“A三B”理解成“A是 ②当集合中含有字母参数时，一般需要分 B中部分元素组成的集合”，因为若 类讨论 A=⑦时，则A中不含任何元素；若A= (2)常用方法：对于用不等式给出的集合， B,则A中含有B中的所有元素， 已知集合的包含关系求相关参数的范围 (3)在真子集的定义中，A,B首先要满足 (值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴 A三B,其次至少有一个x∈B,但xA. 解答 学习效果检测G335 A基础巩固练 A.P={-3,0,1 1.已知下列四个命题：①0={0}；②空集没 B.Q={-1,0,1,2} 有子集；③任何一个集合都有两个或两个 C.R={yl-π<y<-1,y∈Z} 以上的子集：④空集是任何集合的子集.其 D.S={xllx|<3,x∈N 中正确的命题个数是 4.设集合A={x1<x<2},B={xx<a}, A.0 B.1 若A二B,则a的取值范围是 ( C.2 D.3 A.{aa≤2} B.{ala≤1} 2.(多选题)下列四个集合中，不是空集的是 C.{aa≥1} D.{aa≥2} 5.已知集合A={x|x>1},B={yy=x2, x∈R},则 () A.{xx+3=3} A.A=B B.BA B.((x,y)ly2=-z2,x,yER) C.A￥B D.BCA C.{xx2≤0} 6.已知集合A={0,1,2},B={x|x∈A},则 D.{xx2-x+1=0,x∈Ry ( 3.已知集合M={x|-5<x<3,x∈Z}, A.ACB B.BCA 则下列集合是集合M的子集的为() C.A=B D.以上都错 -21 初高中衔接直通车·数学 7.已知集合A={x|1<x-1≤4》，B= 11.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和 (一oo,a),若A二B,则实数a的取值范围 P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 是(c,十∞)，其中c= 的关系为 8.设A={xx2-5.x+m=0},B={xx 12.设集合A={x-1≤x≤6}，B={xm 3=0},且B二A,则m= 1≤x≤2m+1},已知B二A. B能力提升练 (1)求实数m的取值范围： 9.设A={x-3<x<2},B={xx≥a},若 (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数. A二B,则a的取值范围是 () A.a≤-3 B.a≤2 C.a≥2 D.a≥-3 10.（多选题)下列说法正确的是 ( A.-3任Q B.方程x2十9=6.x的解集为{x=3} x+y=6, C.方程组 的解集为{(4,2)》 x=2y D.集合{xx=3k十2，k∈Z}={x|x= 3k-1,k∈Z 1.3 集合的基本运算 第1课时并集、交集 基础知识整合-G⑦⑤ ◆◆◆ 1.并集的概念及表示 3.并集、交集的运算性质 自然语言 符号语言 图形语言 由 集合A 并集的运算性质 交集的运算性质 集合B的元素组成 AUB= 的集合，称为集合A与B 的并集，记作 AUB=BUA A∩B=B∩A (读作“ ”) 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 AUA= A∩A= 由 集合A 集合B的所有元素组成 A∩B= 的集合，称为A与B的交 A⑦B AUO- A∩0= 集，记作 (读作 ”) 22初高中衔接直通车·数学 8.解析：（一1）2=12=1，（一2）2=22=4,02=0，所以B 由方程组工十6·解得 (0,1,4}. 1x=2y, x=4所以解集为(4,2) y=2, 答案：{0,1,4 故C正确：因为x=3歇+2=3(k+1)一1，所以{xx=3k+ 9.C①中“0”不能表示集合，而“(0”可以表示集合，故① 2,k∈Z》={.xx=3k-1,k∈Z},故D正确：故选ACD 错误.根据集合中元素的无序性可知②正确：根据集合 11.解析：：xy>0,xy同号，又x+y<0,x<0,y< 中元素的互异性可知③错误：④不能用列举法表示，原 0,即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三 因是集合中有无数个元素，不能一一列举 象限内的，点，故M=P 10.B 答案：M=P 11.0 12.解：(1)①当m一1>2n十1，即m<-2时，B=0特合 6 题意：②当m一1≤2m十1，即m≥一2时，B≠0. 12.解：1)当x=1时2十1=2∈N: 由B二A,借助数轴如图所示， 当2时，2年2-2eN,所以1e.2EB -12+16x （2)令=0,14代入2∈N检整，可得B=014 得四一1·解得0<m<受 5 12m+16. 1.2集合间的基本关系 [基础知识整合] 所以0≤号 1.任意一个A二BB2A□ 综合①②可知， 2.任何一个元素任何一个元素 A-B 实教m的取值范国为mm<-2,或0≤m≤2》 3.x∈BxA(1)(2) (2)当x∈N时，A={0,1,2,3,4,5,6}, 4.不含任何元素子集 .集合A的子集的个数为2=128. [新知自主探究] 典例1对点训练 1.3 集合的基本运算 解：由(1,2)手A二{1,2,3,4,5}可知集合A中必含元素 1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个，因此根据集合A 第1课时 并集、交集 的元素的个数分类如下： [基础知识整合] 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5. 1.所有属于或属于AUBA并B{xx∈A,或x∈B 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，1,2,4,5. 2.属于且属于A∩BA交B{xx∈A,且x∈B} 含有5个元素：{1,2,3,4,5. 3.AAA 典例2对点训练 [新知自主探究] 解析：因为A=〈4，a},B={2,ab),A=B, 典例1对点训练 所以解得a=2,b=2,所以a十b=4. A因为集合P={x-1<x<1},Q={x|0<x<2), 答案：4 所以PUQ={x-1<x<2}. 典例3对点训练 典例2对点训练 B集合B={x{x>a},A二B,则只要a≤一1即可. 1.B因为A={xx≥0}，B={-1,0,1},所以A∩B={0,1. [学习效果检测] 1.B空集是不含任何元素的集合，所以①错误：空集是任何 2D聚立将子1=o消去y得2一1-，一 集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只 =0,解得x=1,y=1,则A∩B={(1,1). 有一个，所以②③错误，①正确. [学习效果检测] 1.A因为集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},所以 2.ABC.A中集合为{0}，B中为{(0,0)}，C中为{0}，而 A∩B={2,3}. D中方程无解，是空集. 3.D集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合 2.B因为集合A={x-1≤x<3},B={x2<x≤5}，所 S={0,1},不难发现集合P中的元素-3任M,集合Q 以AUB={-1≤x≤5}. 3.D因为集合N中的元素0∈M,1∈M,2任M,所以 中的元素2任M,集合R中的元素一3任M,而集合S M∩N=0,1}. {0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S二M. 4.A根据题意，x∈A推不出x∈B,x∈B能推出x∈A, 4.D由A={x|1<x<2},B={x|x<a},ASB,则 所以B二A,故AUB=A.故选A. {aa≥2）. 5.D因为M={-4,-1),N={4,1}, 5.CB={yly=x2,x∈R={yly>01,所以AB. 所以M∩N=0. 6.C由题意可得，集合B={1,2,3),所以A=B. 6.C由MUN={-1,0,1},得到集合M=MUN,且集 7.解析：因为A=(2,5],A≤B,所以5<a, 合NEMUN. 又a∈(c,+oo),所以c-5. 答案：5 又M={-1,0},所以元素1∈N,则集合N可以为1} 或{0,1}或{-1,1}或0，-1,1}，共4个. 8.解析：因为B=《3}二A,所以3∈A, 7.解析：由题意1∈B,显然a2十4≥4，所以a=1,此时a2 即9一15十m=0,所以m=6. 十4一5，满足题意。 答案：6 答案：1 9.AA≤B.∴a≤-3. 8.解析：A={x-1≤x<21,B={xx≤a},由A∩B≠ 10.ACD一3是无理数，所以一5任Q,故A正确：方程 0,得a≥-1. x2十9=6x解得1=2=3，所以解集为{3}，故B错误： 答案：a≥-1 106