第2课时集合的表示-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

初高中衔接直通车·数学 第2课时 集合的表示 基础知识整合 1.列举法 组成的集合表示为 ,这种表示集 把集合的所有元素 出来,并用花 合的方法称为描述法,有时也用冒号或分 括号“)”括起来表示集合的方法叫做列 号代替竖线. 举法. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个 2.描述法 集合元素的 及 (1)定义:一般地,设A表示一个集合,把 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合A中所有具有 的元素x所 集合中元素所具有的 新知自主探究 探究点一 用列举法表示集合 (3)元素个数无限但有规律时,也可以类 【典例1】用列举法表示下列集合: 似地用省略号列举,如“自然数集N”可以表 (1)36与60的公约数组成的集合 示为0,1,2,3,... (2)方程(x-4)②}(x-2)=0的根组成的 【注意】(1)花括号“”表示“所有”“整 集合; 体”的含义,如实数集R可以写为实数,但 如果写成实数集 、全体实数 、R都是不 3 确切的. 的图象的交点组成的集合, (2)用列举法表示集合时,要求元素不重 【解】(1)36与60的公约数有1,2,3 复、不遗漏. 4.6,12,所求集合为(1,2,3,4,6,12. [对点训练] (2)方程(x-4)②(x-2)-0的根是4,2, 用列举法表示下列集合: 所求集合为4,2 {用。 (1)不大于10的非负偶数组成的集合; 5--1, (2)方程x}一2x的所有实数解组成的 (3)方程组 集合; (3)直线y=2x十1与y轴的交点所组成 所求集合为{(#).# 的集合; (4)由所有正整数构成的集合 【方法总结】 列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时,全部列举,如 (1,2,3,4). (2)元素个数多且有限时,可以列举部 分,中间用省略号表示,如“从1到1000的所 有自然数”可以表示为(1,2,3,..,1000). 。 第二篇 高中知识预习 探究点二 用描述法表示集合 (2)当0时,要使集合A-{xlr^{} 【典例2】用描述法表示下列集合: 8x十16一0)中只有一个元素,则方程r^*- (1)被3除余数等于1的整数的集合; 8x十16一0只有一个实数根, (2)比1大又比10小的实数的集合; 所以△-64-64-0,解得 -1,此时集 (3)平面直角坐标系中第二象限内的点 合A一{4,满足题意 组成的集合 综上所述,一0或一1,故实数的值 【解】(1)被3整除的整数可以表示为 组成的集合为0,1. 3n,nZ,故被3除余数等于1的整数的集 【方法总结】 此题容易漏解一0,漏解 合可表示为xx-3n+1,n乙. 的原因是默认所给的方程一定是一元二次方 (2)比1大又比10小的实数的集合可以 程,其实,当一0时,所给的方程是一个一元 表示为x1<x10,xR. 一次方程;当关0时,所给的方程才是一个 (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组 一元二次方程,求解时要注意对及进行分类 成的集合可以表示为((x,v)x0,y0. 讨论, 【方法总结】 [对点训练] 使用描述法表示集合应注意的问题 已知集合A-(xlax2-3x-4-0,xR . (1)写清楚该集合的代表元素,如数或点等 若A中至多有一个元素,求实数a的取值 (2)说明该集合中元素的共同属性。 范围. (3)不能出现未被说明的字母, (4)所有描述的内容都要写在花括号内, 用于描述的内容力求简洁、准确。 [对点训练] 用描述法表示下列集合 (1)大于4的所有偶数; (2)直线一2x十3上的点组成的集合. [归纳小结] 1.表示集合的要求 探究点三 集合表示方法的简单应用 (1)根据要表示的集合元素的特点,选择适 【典例3】集合A-xx*-8x十16=0 当方法表示集合,一般要符合最简原则 若集合A中只有一个元素,求实数?的值组 (2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜 成的集合. 用列举法表示,描述法既可以表示元素个 【解】(1)当k-0时,方程k2-8x十16-0 数有限的集合,也可以表示元素个数无限 变为-8x十16-0,解得x-2,满足题意; 的集合. 初高中衔接直通车·数学 2.在用描述法表示集合时应注意的问题 (2)元素具有怎样的属性,当题目中用了 (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是 其他字母来描述元素所具有的属性时, 什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集 要去伪存真,而不能被表面的字母形式 合或其他形式 所迷惑. 学习效果一检测C A基础巩固练 8.已知集合A={-1,-2,0,1,2 ,B= _ 1.集合xNx<4还可以表示为 ( (xx一y{},yA,则用列举法表示B$ A.0,1,2,3,4) B.2,1,3,4) 应为 D.x0<x<4 C. (1,2,3,4 B能力提升练 2.把集合{x|x*-3x十2-0)用列举法表 9.下列命题正确的是 ( 示为 C ) ①0与(0表示同一个集合;②由1,2,3组 A.x-1,x-2 B.{xlx-1,x-2 成的集合可表示为{1,2,3或3,2,1); C.(c*-3x+2-0) D.(1,2 ③方程(x-1)②(x-2)=0的所有解组成的集 3.设集合A-1,2,4,集合B-x x=a+ 合可表示为1,1,2);④集合xl4<x5可 b.aEA,6A,则集合B中的元素个数为 以用列举法表示. ( ) A.只有①和④ B.只有②和③ A.4 B.5 C.只有② D.只有②和④ C.6 D.7 10.已知P=x2<x<,EN ,若集合P 4.(多选题)已知集合A=x x=2n-1; 中恰有4个元素,则 ( ) mZ,B=x-2,z,且·A A.6<h<7 B.6<<7 ( x。CB,则下列判断正确的是 ~ C.5<6 D.5<6 A.x.·xA B.x。·xB 11.若集合A={xax+1=0,xER不含有 C.x.十xB D.x.十x。十xA 任何元素,则实数a二 5.(多选题)下列集合,表示相等集合的是 ( 。 A.((-5,3)),(-5,3 (1)试判断元素1和2与集合B的关系 B.3,-5),(-5,3 (2)用列举法表示集合B C. π,3.1415 D.|x-3x+2-0 ,yly-3y+2- 6.设集合A={-2,0,1,3 ,集合B=x 一xEA,1-xA ,则集合B中元素的个 数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 7. 已知集合A=x x}+2x十a=0 ,若1 A,则a一 ,A一 。参考答案 [新知自主探究] 典例1对点训练 十方十后十艇的值为0：@当为一正两负 C对于A,参加杭州亚运会的全体乒兵球选手明确可 知，可以构成集合：对于B,小于5的正整数明确可知， 时，代数式后十守十府十艇的维为0：⑩当 xyz 可以构成集合：对于C,2023年高考数学难题模棱两可， 给定一个2023年高考数学题不能判断其是否为难题， 均为负载时，代载式贡十立十后十架的位 tye 不能构成集合：对于D,无理数明确可知，可以构成集 为一4，所以集合M为{4,0，一4}，故选D. 合.故选C 11.G∈ 典例2对点训练 12.解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2一2x≠ 解析：1)号是实数巨是无理教，-3=3是非负整 x,x2一2x≠3，解得x≠-1，x≠0，且x≠3. (2)若-2∈A,则x=一2或x2-2x=一2.由于方程 数，|一√引=√是无理数.因此，①②③正确，①错误. x2-2.x十2=0无解，所以x=一2.经检验，x=一2符 (2)因为a∈A且4一a∈A, 合互异性，故x=一2. a∈N且4-a∈N,若a=0,则4一a=4, 第2课时 集合的表示 此时A满足要求；若a=1,则4一a=3, [基础知识整合] 此时A满足要求：若a=2,则4一a=2, 1.一一列举2.(1)共同特征P(x){x∈AP(x) 此时A含1个元素不满足要求. (2)一般符号取值（或变化）范围共同特征 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C 新知自主探究] 答案：(1)C(2)C 典例1对点训练 典例3对点训练 解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于 A因为-2∈A.所以-2=a-1或-2=a2+3a,解得 或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2， a=-2或-1. 4,6,8,10}. 当a=-1时，a一1=一2，a2+3a=-2,此时不符合集 (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组 合中元素的互异性，故a=一1舍去， 成的集合为〈0,2)， 当a=-2时，a-1=-3,a2+3a=-2,此时A含有 (3)将x-0代入y-2x+1,得y-1,即交点是(0,1)，故 一3，一2,6三个元素，满足条件. 交点组成的集合是{(0,1). 所以a=一2. (4)正整数有1,2,3，…，所求集合为(1,2,3，…. [学习效果检测 典例2对点训练 1.B在(1)中，比较小的数，没有确定性，故(1)不能构成 解：(1)偶数可表示为2m,n∈N,因为大于4，故n≥3，所 集合： 以可表示为{xx=2n,n∈N且n≥3， 在(2)中，不大于10的偶数，具有确定性，故(2)能构成 (2)直线y=2x十3上的点用坐标表示为(x,y),故直线 集合： y=2x十3上的点的集合可表示为{(x,y)y=2x+3). 在(3)中，所有三角形，具有确定性，故(3)能构成集合： 典例3对点训练 在(4)中，高个子男生，没有确定性，故(4)不能构成 集合， 解：当a=0时A-(一引，当a≠0时，关于x的方程 2.CR,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整 ax2-3x一4=0应有两个相等的实数根或无实数根，所 数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理 以4=9+16a<0,即a≤-8 数，所以②③⑤⑥不正确. 3.B这两个方程的实数解分别是2,3和2，一1，根据集 故所求的a的取值范周是a≤-品或a=0 合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成 [学习效果检测] 含有3个元声的集合， 1.A{x∈Nx≤4}={0,1,2,3,4}.故选A. 4.C由题意可知b川=1，所以b=士1. 2.D解方程x2-3x十2=0可得x=1或2，所以集合{xx2 5.D由于集合中的元素具有“互异性”，故a,b,c,d四个元 一3x十2=0}用列举法可表示为{1,2}. 素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等 3.C由题意，B={2,3,4,5,6,8},共有6个元素. 6.CD集合N是自然数集，其中最小的数是0，A错误： 4,ABC由题意，可知集合A表示奇数集，B表示偶数集， 一√②EN且√2EN,故B错误：a∈N,b∈N且a≠b,所以 所以x1,x2是奇数，x3是偶数，所以x1十x2十x3应为 十b的最小值是1，C正确：不是实效，一定不是有理 偶数，即x1十x2十x3任A. 数，故D正确 5.BDA中{(-5,3)表示，点集，{-5,3}表示数集，不相 7.解析：1任A,∴.2十a≤0，即a≤一2. 等；由集合中元素的无序性，B中两集合相等：因为π子 答案：a≤一2 3.1415,故C中两集合不相等：D中两集合均为{1,2}. 8.解析：因为5∈A,5任B, 6.C若x∈B,则一x∈A,所以x的可能取值为2,0，一1， 所以十.5解得a=一-4 -3,当2∈B时，则1-2=-1任A, 所以2∈B:当0∈B时，则1一0∈A,所以0任B: 答案：一4 当-1∈B时，则1一（一1）=2任A,所以-1∈B: 9.AB因为y=-x2+1≤1，且y∈N,所以y的值为0， 当-3∈B时，则1-(-3)=4年A,所以-3∈B. 1,所以A={0,1},又tEA,所以1=0或1=1. 综上，B={一3，一1,2}，所以集合B含有的元素个数 10.D①当y:均为正数时，代数式而十立十奇十 为3. 7.解析：把x=1代入方程x2十2x十a=0可得a=一3，解 的值为4：②当少为两正一负时，代数式司 方程22+2x-3=0可得A=(-3,1}. 答案：-3{-3,1} 105 初高中衔接直通车·数学 8.解析：（一1）2=12=1，（一2）2=22=4,02=0，所以B 由方程组工十6·解得 (0,1,4}. 1x=2y, x=4所以解集为(4,2) y=2, 答案：{0,1,4 故C正确：因为x=3歇+2=3(k+1)一1，所以{xx=3k+ 9.C①中“0”不能表示集合，而“(0”可以表示集合，故① 2,k∈Z》={.xx=3k-1,k∈Z},故D正确：故选ACD 错误.根据集合中元素的无序性可知②正确：根据集合 11.解析：：xy>0,xy同号，又x+y<0,x<0,y< 中元素的互异性可知③错误：④不能用列举法表示，原 0,即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三 因是集合中有无数个元素，不能一一列举 象限内的，点，故M=P 10.B 答案：M=P 11.0 12.解：(1)①当m一1>2n十1，即m<-2时，B=0特合 6 题意：②当m一1≤2m十1，即m≥一2时，B≠0. 12.解：1)当x=1时2十1=2∈N: 由B二A,借助数轴如图所示， 当2时，2年2-2eN,所以1e.2EB -12+16x （2)令=0,14代入2∈N检整，可得B=014 得四一1·解得0<m<受 5 12m+16. 1.2集合间的基本关系 [基础知识整合] 所以0≤号 1.任意一个A二BB2A□ 综合①②可知， 2.任何一个元素任何一个元素 A-B 实教m的取值范国为mm<-2,或0≤m≤2》 3.x∈BxA(1)(2) (2)当x∈N时，A={0,1,2,3,4,5,6}, 4.不含任何元素子集 .集合A的子集的个数为2=128. [新知自主探究] 典例1对点训练 1.3 集合的基本运算 解：由(1,2)手A二{1,2,3,4,5}可知集合A中必含元素 1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个，因此根据集合A 第1课时 并集、交集 的元素的个数分类如下： [基础知识整合] 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5. 1.所有属于或属于AUBA并B{xx∈A,或x∈B 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，1,2,4,5. 2.属于且属于A∩BA交B{xx∈A,且x∈B} 含有5个元素：{1,2,3,4,5. 3.AAA 典例2对点训练 [新知自主探究] 解析：因为A=〈4，a},B={2,ab),A=B, 典例1对点训练 所以解得a=2,b=2,所以a十b=4. A因为集合P={x-1<x<1},Q={x|0<x<2), 答案：4 所以PUQ={x-1<x<2}. 典例3对点训练 典例2对点训练 B集合B={x{x>a},A二B,则只要a≤一1即可. 1.B因为A={xx≥0}，B={-1,0,1},所以A∩B={0,1. [学习效果检测] 1.B空集是不含任何元素的集合，所以①错误：空集是任何 2D聚立将子1=o消去y得2一1-，一 集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只 =0,解得x=1,y=1,则A∩B={(1,1). 有一个，所以②③错误，①正确. [学习效果检测] 1.A因为集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},所以 2.ABC.A中集合为{0}，B中为{(0,0)}，C中为{0}，而 A∩B={2,3}. D中方程无解，是空集. 3.D集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合 2.B因为集合A={x-1≤x<3},B={x2<x≤5}，所 S={0,1},不难发现集合P中的元素-3任M,集合Q 以AUB={-1≤x≤5}. 3.D因为集合N中的元素0∈M,1∈M,2任M,所以 中的元素2任M,集合R中的元素一3任M,而集合S M∩N=0,1}. {0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S二M. 4.A根据题意，x∈A推不出x∈B,x∈B能推出x∈A, 4.D由A={x|1<x<2},B={x|x<a},ASB,则 所以B二A,故AUB=A.故选A. {aa≥2）. 5.D因为M={-4,-1),N={4,1}, 5.CB={yly=x2,x∈R={yly>01,所以AB. 所以M∩N=0. 6.C由题意可得，集合B={1,2,3),所以A=B. 6.C由MUN={-1,0,1},得到集合M=MUN,且集 7.解析：因为A=(2,5],A≤B,所以5<a, 合NEMUN. 又a∈(c,+oo),所以c-5. 答案：5 又M={-1,0},所以元素1∈N,则集合N可以为1} 或{0,1}或{-1,1}或0，-1,1}，共4个. 8.解析：因为B=《3}二A,所以3∈A, 7.解析：由题意1∈B,显然a2十4≥4，所以a=1,此时a2 即9一15十m=0,所以m=6. 十4一5，满足题意。 答案：6 答案：1 9.AA≤B.∴a≤-3. 8.解析：A={x-1≤x<21,B={xx≤a},由A∩B≠ 10.ACD一3是无理数，所以一5任Q,故A正确：方程 0,得a≥-1. x2十9=6x解得1=2=3，所以解集为{3}，故B错误： 答案：a≥-1 106