第1课时集合的概念-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（通用版）

第二篇 高中知识预习 第二篇 高中知识预习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念 基础知识整台 1.元素与集合的概念及表示 (2)互异性:一个给定集合中的元素是 统称为元素; (1)元素:一般地,把 的,也就是说,集合中的元素是 表示。 元素常用 的,简记为“互异性” (2)集合:把一些元素组成的 叫做 (3)无序性:给定集合中的元素是不分先 后、 集合(简称为 ),集合通常用 顺序的,简记为“无序性”. 表示. 3.元素与集合的关系 (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 (1)属于:如果a是集合A的元素,就说 集合A,记作 的,就称这两个集合是相等的 (2)不属于:如果a不是集合A的元素,就 2.元素的特性 说a 集合A,记作 (1)确定性:给定的集合,它的元素必须是 4.常用的数集及其记法 的,也就是说,给定一个集 常用的 自然数集 正整数集 有理数集 合,那么任何一个元素在不在这个集合中 数集 就 了,简记为“确定性” 记法 新知自王探究- 探究点一 集合的概念 【解析】 ②中“帅哥”没有统一标准,即 【典例1】下列所给的对象能构成集合的 元素不确定,不能组成集合;中的“漂亮” 是 中的“近似”标准不明确,不能组成集合 ①所有的正三角形 ①③④中的对象都是确定的,可以组成集合, ②本班全体帅哥; 【答案】①③④ ③某校高一年级所有16岁以下的学生; 【方法总结】 ④联合国安理会常任理事国: 判断一些对象能否构成集合的方法 漂亮的花 (1)判断每个对象是否具有确定性是判 2的近似值的全体 断其能否构成集合的关键 3 初高中衔接直通车·数学 A.0 (2)判断一个对象是不是确定的,关键就 B.1 C.2 是要找到一个明确的衡量标准 D.3 【提醒】 注意集合中元素的互异性、无 探究点三 集合中元素的特征及应用 序性. 【典例3】已知集合A中含有两个元素 a和a{,若1A,则实数a的值为 [对点训练] 【解析】若1A,则a=1或a2=1, _ 下列各组对象不能构成集合的是 即a-士1. A.参加杭州亚运会的全体兵兵球选手 当a一1时,集合A中有重复元素, B.小于5的正整数 所以a-1; C.2023年高考数学难题 当a一一1时,集合A含有两个元素1,一1. D.所有无理数 符合元素的互异性,所以a一一1. 探究点二 元素与集合的关系 【答案】-1 【典例2】用符号“”或“”填空 【方法总结】 若A表示第一、三象限的角平分线上的 由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤 点的集合,则点(0,0) A,(1,1)A. 根据集合中元素的确定性,解出参数 A. (-1,1) 的所有取值 【解析】 第一、三象限的角平分线上的 根据集合中元素的互异性,对解出的 值进行检验 点的集合可以用直线v一x表示,显然(0,0) (1.1)都在直线y一x上,(-1,1)不在直线上. 写出所有符合题意的参数的取值(范围) 所以(0,0)A,(1,1)A,(-1,1)A 【答案】 # [对点训练] 【方法总结】 已知集合A为a-1,6,a2}十3a三个元素 判断元素与集合关系的两个步骤 组成的集合,一2EA,则a的值为( ) (1)确定集合中元素的特征及范围, A.-2 B.-1 (2)判断给定元素是否具有已知集合中 C.-2或-1 D.1或-2 元素的特征及是否在限定的范围内, [归纳小结] [对点训练] 1.判断一组对象的全体能否构成集合,关键 。 是看研究对象是否确定,若研究对象不确 (1)下列关系中,正确的有 ①R;②/2Q;③-3N: 定,则不能构成集合 2.集合中的元素是确定的,某一元素a要么 ④-③Q 满足aA,要么满足aA,两者必居其 A.1个 B.2个 一.这也是判断一组对象能否构成集合的 D.4个 C.3个 依据. (2)满足“aEA且4-aEA,aEN且4- 3.集合中元素的三种特性;确定性、互异性、 aEN”,有且只有2个元素的集合A的个 无序性,求集合中参数的取值时,一定要检 数是 ( ) 验是否满足集合中元素的互异性 A 第二篇 高中知识预习 学习效黑临测G A基础巩固练 8.设集合A中的元素有2,3,a{}十2a-3,集 1.考察下列各组对象,哪几组能构成集合? 合B中的元素有 a十3l,2.已知5A. ) 5B,则a的值为 (1)比较小的数 (2)不大于10的偶数 B能力提升练 (3)所有三角形 (4)高个子男生 9.(多选题)集合A中的元素v满足vEN,且 A.(1)(4) B.(2)(3) y--2+1,若tA,则/的值为 ( ) C.(2) D.(3) A.0 B.1 C.2 2.给出下列6个关系:①22ER;②/③EQ D.小于等于1 ③0N;④4N;π0;|-2lZ.其 ( ) 中正确命题的个数为 A.4 B.3 的值所组成的集合是 C.2 D.1 。 M,则下列判断正确的是 ) 3.方程x-5x+6-0和方程x}-x-2-0的$$ A.0M B.2-M 所有实数解组成的集合为M,则M中的元素 C.-4M D.4M 个数为 ( ) 11.已知集合A是由偶数组成的,集合B是 A.4 B.3 由奇数组成的,若aA,bEB,则a十/ C.2 D.1 A,ab A.(填“”或“”) 4.已知集合A中只有一个元素1,若 12.设xER,集合A中含有三个元素3,x A,则b一 ( ) 2-2x. A.1 B.-1 (1)求元素:应满足的条件; C.士1 D.0 (2)若-2A,求实数x. 5.a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a b.c,d为边长构成的四边形可能是 ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 6.(多选题)下面几个命题,其中正确的命 题是 ( ) A.集合N中最小的数是1 B.若一aN,则aN C.若aEN,bEN,且a关,则a十的最小 值是1 D.若aR,则aC 7.已知集合A中的元素x满足2x十a>0,目 1A,则实数a的取值范围是 1初高中衔接直通车·数学 3.D1-1=2.y-r=2xy.3+y-3y (2)根据函数图象的上下位置关系可得 r y x-xy-y 当x<一1或0<x<2时，反比例函数值大于一次函 3(xx)+xy-6xy+xy5 数值 x-y-xy -2xy-xy 3' 专题11 单调性与最大（小）值 所以D选项是正确的. [初中知识回眸]—反馈训练 专题8二次函数与一元二次方程、不等式 1.B由二次函数的图象可知， [初中知识回眸]—反馈训练 -5≤x≤0， 1.BA.原式先考虑m十1与1大小，再考虑提取的公因式， .当x=一2时函数有最大值，y颈大=6： 不符合题意：B.原式=(1十2m)2,符合题意：C.原式不能分 当x=-5时函数值最小，y最小=一3. 解，不符合题意：D.原式=a(2-3b十1)，不符合题意. 2.A 2.A当a>0时，二次函数y=a(x十1)2一b≥-b,所以 一b=1.b=一1：当a<0,二次函数y开口向下，无最小 3.解析：由题意得一p=1一2q=1×(一2)，∴p=1, 值.综上所迷a>0>b=一L.故本题正确答案为A. g=-2,.p-4q=1-4×(-2)=1+8=9. 答案：9 3.解：(1)在正比例函数y=x中，当y=2时，可知x=2,因 此点P的坐标为(2,2)，代入反比例函数的解析式中，可 专题9函数的概念 [初中知识回眸]—反馈训练 得=2解得=5 1.B根据平面直角坐标系中的点关于y轴对称的性质可 (2)因为y随x的增大而增大，所以k一1>0，解得 知，两个点关于y轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相 k>1. 同，故点P(-3,5)关于y轴的对称点的坐标为(3,5). (3)因为图象的一支处于第二象限，所以k一1<0，在每一 2.A3.D 支上y随着x的增大而增大，因为>2，所以x>2: 专题10函数的表示 专题12奇偶性 [初中知识回眸]一反馈训练 [初中知识回眸]—反馈训练 1.解：(1)由y=-3x十3，令y=0,得-3.x+3=0, 1.A2.C3.C x=1,.D1,0): 专题13函数的应用 (2)设直线l2的解析表达式为y=kx十b, [初中知识回眸]一反馈训练 由图象知x=4,y=0x=3y=-多 2· 1.D把y=x向上平移三个单位长度为y=x十3， 代入表达式y=kr十b, 当x=2时，y=2+3=5,.(2,5)在直线上. 14k十b=0, .k=3 综上所述，本题正确答案为D. 2 2.C直线y=一x+2向上平移a个单位后得y=一x+2 b=-6, 十a 3 “直线2的解析表达式为y=2x一6： 联立两直线解析式得y。-x十2+a, v=2r+3, 1y=-3x+3, 3y3z-6.解祥二2，。∴C(2二3) (3)由 x=01 1y=-3, 解得 31 7+2a 即交点坐标为（写，20时） y= :AD=8∴S6x=2×3X1-3=2 3 :交点在第二象限， (4)△ADP与△ADC底边都是AD,面积相等所以高相 等，△ADC的高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐 标的绝对值=|-3|=3，则P到AD距离=3， 2a+1>0 ·解将-号u<1 ,∴，P纵坐标的绝对值=3，点P不是，点C, 3 点P纸坐标是3y=号一6y=3 综上所述，本题正确答案为C. 3.A抛物线y=2(x一1)2十1的顶点坐标为(1,1)，把点 2r-6=3r=6P(6,3. (1,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位 长度所得对应点的坐标为(4,3)，所以所得到的抛物线 2.解：(1)点N(一1，一4)在反比例函数 的解析式为y=2(x-4)2+3.故选A y=冬(k≠0)的困象上， 第二篇高中知识预习 ∴.k=(-1)×(-4)=4, 第一章集合与常用逻辑用语 一反比例函数的关系式为y=4: 1.1集合的概念 第1课时集合的概念 ”点M2,m)在反比例函数)=兰的图象上， [基础知识整合] ∴m=号=2点M2.2. 1.(1)研究对象小写的拉丁字母a,b,,…(2)总体 集大写的拉丁字母A,B,C,”(3)一样 将M2,2),N(-1,-4)代入y=a.x+b中， 2,(1)确定确定(2)互不相同不重复出现 得已中合o解得侣22. (3)没有 3.(1)属于a∈A(2)不属于a任A ∴一次函数的关系式为y=2x-2. 4.整数集实数集NN或N+Q 104 参考答案 [新知自主探究] 典例1对点训练 十方十后十艇的值为0：@当为一正两负 C对于A,参加杭州亚运会的全体乒兵球选手明确可 知，可以构成集合：对于B,小于5的正整数明确可知， 时，代数式后十守十府十艇的维为0：⑩当 xyz 可以构成集合：对于C,2023年高考数学难题模棱两可， 给定一个2023年高考数学题不能判断其是否为难题， 均为负载时，代载式贡十立十后十架的位 tye 不能构成集合：对于D,无理数明确可知，可以构成集 为一4，所以集合M为{4,0，一4}，故选D. 合.故选C 11.G∈ 典例2对点训练 12.解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2一2x≠ 解析：1)号是实数巨是无理教，-3=3是非负整 x,x2一2x≠3，解得x≠-1，x≠0，且x≠3. (2)若-2∈A,则x=一2或x2-2x=一2.由于方程 数，|一√引=√是无理数.因此，①②③正确，①错误. x2-2.x十2=0无解，所以x=一2.经检验，x=一2符 (2)因为a∈A且4一a∈A, 合互异性，故x=一2. a∈N且4-a∈N,若a=0,则4一a=4, 第2课时 集合的表示 此时A满足要求；若a=1,则4一a=3, [基础知识整合] 此时A满足要求：若a=2,则4一a=2, 1.一一列举2.(1)共同特征P(x){x∈AP(x) 此时A含1个元素不满足要求. (2)一般符号取值（或变化）范围共同特征 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C 新知自主探究] 答案：(1)C(2)C 典例1对点训练 典例3对点训练 解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于 A因为-2∈A.所以-2=a-1或-2=a2+3a,解得 或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2， a=-2或-1. 4,6,8,10}. 当a=-1时，a一1=一2，a2+3a=-2,此时不符合集 (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组 合中元素的互异性，故a=一1舍去， 成的集合为〈0,2)， 当a=-2时，a-1=-3,a2+3a=-2,此时A含有 (3)将x-0代入y-2x+1,得y-1,即交点是(0,1)，故 一3，一2,6三个元素，满足条件. 交点组成的集合是{(0,1). 所以a=一2. (4)正整数有1,2,3，…，所求集合为(1,2,3，…. [学习效果检测 典例2对点训练 1.B在(1)中，比较小的数，没有确定性，故(1)不能构成 解：(1)偶数可表示为2m,n∈N,因为大于4，故n≥3，所 集合： 以可表示为{xx=2n,n∈N且n≥3， 在(2)中，不大于10的偶数，具有确定性，故(2)能构成 (2)直线y=2x十3上的点用坐标表示为(x,y),故直线 集合： y=2x十3上的点的集合可表示为{(x,y)y=2x+3). 在(3)中，所有三角形，具有确定性，故(3)能构成集合： 典例3对点训练 在(4)中，高个子男生，没有确定性，故(4)不能构成 集合， 解：当a=0时A-(一引，当a≠0时，关于x的方程 2.CR,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整 ax2-3x一4=0应有两个相等的实数根或无实数根，所 数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理 以4=9+16a<0,即a≤-8 数，所以②③⑤⑥不正确. 3.B这两个方程的实数解分别是2,3和2，一1，根据集 故所求的a的取值范周是a≤-品或a=0 合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成 [学习效果检测] 含有3个元声的集合， 1.A{x∈Nx≤4}={0,1,2,3,4}.故选A. 4.C由题意可知b川=1，所以b=士1. 2.D解方程x2-3x十2=0可得x=1或2，所以集合{xx2 5.D由于集合中的元素具有“互异性”，故a,b,c,d四个元 一3x十2=0}用列举法可表示为{1,2}. 素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等 3.C由题意，B={2,3,4,5,6,8},共有6个元素. 6.CD集合N是自然数集，其中最小的数是0，A错误： 4,ABC由题意，可知集合A表示奇数集，B表示偶数集， 一√②EN且√2EN,故B错误：a∈N,b∈N且a≠b,所以 所以x1,x2是奇数，x3是偶数，所以x1十x2十x3应为 十b的最小值是1，C正确：不是实效，一定不是有理 偶数，即x1十x2十x3任A. 数，故D正确 5.BDA中{(-5,3)表示，点集，{-5,3}表示数集，不相 7.解析：1任A,∴.2十a≤0，即a≤一2. 等；由集合中元素的无序性，B中两集合相等：因为π子 答案：a≤一2 3.1415,故C中两集合不相等：D中两集合均为{1,2}. 8.解析：因为5∈A,5任B, 6.C若x∈B,则一x∈A,所以x的可能取值为2,0，一1， 所以十.5解得a=一-4 -3,当2∈B时，则1-2=-1任A, 所以2∈B:当0∈B时，则1一0∈A,所以0任B: 答案：一4 当-1∈B时，则1一（一1）=2任A,所以-1∈B: 9.AB因为y=-x2+1≤1，且y∈N,所以y的值为0， 当-3∈B时，则1-(-3)=4年A,所以-3∈B. 1,所以A={0,1},又tEA,所以1=0或1=1. 综上，B={一3，一1,2}，所以集合B含有的元素个数 10.D①当y:均为正数时，代数式而十立十奇十 为3. 7.解析：把x=1代入方程x2十2x十a=0可得a=一3，解 的值为4：②当少为两正一负时，代数式司 方程22+2x-3=0可得A=(-3,1}. 答案：-3{-3,1} 105