第6章　一次函数 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第6章　一次函数 6.1　函　数 第1课时　函数的有关概念 1. (2022·珠海)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是 (　　) A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量 2. 下列曲线不能表示y是x的函数的为 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 3. 一列火车从A地开往B地,火车每小时行驶90km.在这一过程中,变量有 　 　　　和　　 　　,我们可以把　　 　　看成是　　 　　的函数, 　　　 　叫做自变量.  4. 如图,每一个确定的时间都有一个确定的　　　　,可以把变量_______看成是变量　　　　的函数,　　　　叫做自变量. 时间 路程 路程 时间 时间 温度 温度 时间 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 从悬崖上掉下一枚石子,石子下落的距离s(m)与下落的时间t(s)满足s= ×9.8t2,根据这个式子填写下表: 从上表可知,　　　是自变量,　　　是　　　的函数. 下落的时间t/s 1 2 3 4 … 下落的距离s/m         … 4.9 19.6 44.1 78.4 t s t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 一个直角三角形的面积为60cm2,两条直角边的长分别为xcm、ycm. (1) 当x=10时,y的值是多少? (2) 当y=8时,x的值是多少? (3) y是x的函数吗?如果是,请写出表示它们之间关系的式子. (1) y==12　 (2) x==15　 (3) 是　y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,长方形ABCD的长AB=10cm,宽AD=6cm.正方形PQRH的四个顶点分别在边AB、CD上,将正方形PQRH向右平移.在这个平移过程中,下列结论正确的是 (　　) A. 正方形的边长是变量 B. BQ的长是常量 C. 长方形QBCR的面积随AP长度的变化而变化 D. 长方形QBCR与长方形APHD的面积之和随 AP长度的变化而变化 C 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 给出下列关于变量x、y的式子:① 3x-2y=5;② y=|x|;③ 2x-y2=10.其中,表示y是x的函数的为 (　　) A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 弹簧挂上物体后会伸长,测得一根弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系: 根据上述关系,回答下列问题: (1) 弹簧不挂物体时的长度是　　　　cm.  (2) 当所挂物体的质量为1kg时,弹簧伸长　　　　cm.　  12 x/kg 0 1 2 3 4 y/cm 12 12.5 13 13.5 14 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 给出下列各式:① y+x=12;② x=y-12;③ y=12+0.5x;④ x=12+0.5y.其中,表示弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间关系的式子为　　　 (填序号).  (4) 上式中,有　　　　个变量,　　　　是自变量. ③ 2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (2023·山西改编)如图所示的图案由边长相等的灰、白两色的正方形按一定规律拼接而成,设第n个图案中白色正方形的个数为S. (1) S是n的函数吗?如果是,请写出S与n之间的关系. (2) 是否存在这样的图案,使白色正方形的个数为2025?如果存在,请指出是第几个图案;如果不存在,请说明理由. 第10题 (1) 是　S=5n+3　 (2) 不存在　理由:由题意,得5n+3= 2025,解得n=404.4.∵ 404.4不是正整 数,∴ 不存在这样的图案,使白色正方形的个数为2025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第6章　一次函数 6.2　一次函数 第2课时　求一次函数表达式 1. 已知一个正比例函数,当自变量x的值为2时,对应的函数值y为-1,则这个正比例函数的表达式为 (　　) A. y=-2x B. y=2x C. y=-x D. y=x 2. 如图所示为一个运算程序示意图,若第一次输入x的值为1,则输出y的值为　　　　.　  C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. (1) 已知一次函数y=kx+2,当x=-1时,y=1,则该函数的表达式为　　　　. (2) 已知y是x的正比例函数,当x=-1时,y=3,则当y=2时,x的值为　　　　.  (3) 已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4,则该一次函数的表达式为　　　　　　. y=x+2 - y=x-2 解析:设该一次函数的表达式为y=kx+b.将x=3,y=1;x=-2,y=-4代入,得解得∴ 该一次函数的表达式为y=x-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 已知y=y1+y2,其中y1与x成正比例,y2与x-2成正比例,且当x=-1时,y=2;当x=2时,y=5.求y与x之间的函数表达式. 设y1=k1x,y2=k2(x-2),则y=y1+y2=k1x+k2(x-2).由题意,得 解得 ∴ y=x+3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (2023·陕西)经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大,树就越高.通过对某种树进行测量研究,发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知当这种树的胸径为0.2m时,树高为20m;当这种树的胸径为0.28m时,树高为22m. (1) 求y与x之间的函数表达式; (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).根据题意,得解得∴ y与x之间的函数表达式为y=25x+15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当这种树的胸径为0.3m时,其树高是多少? (2) 当x=0.3时,y=25×0.3+15=22.5.∴ 当这种树的胸径为0.3m时,其树高为22.5m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知一次函数y=kx+b,当x的值减少1时,y的值减少2,则当x的值增加2时, y的值 (　　) A. 增加4 B. 减少4 C. 增加2 D. 减少2 7. (2023·鄂州)我国象棋文化历史悠久.如图所示为某 次对弈的残图.如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅” 位于点(-2,-1)的位置,那么在同一坐标系下,经过棋子 “帅”和“马”所在的点的一次函数的表达式为　　　　.  A y=x+1 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 已知y+3与x+2成正比例,且当x=-3时,y=7. (1) y与x之间的函数表达式为　　　　　　;  (2) 当x=-1时,y的值为　　　　;  (3) 若y的取值范围是-1≤y≤,则x的取值范围是　 　　　.  y=-10x-23 解析:由题意,设y+3=k(x+2).将x=-3,y=7代入,得7+3=k·(-3+2),解得k=-10.∴ y+3=-10(x+2),即y=-10x-23. -13 解析:当x=-1时,y=(-10)×(-1)-23=-13. -≤x≤- 解析:由题意,得-1≤-10x-23≤,解得-≤x≤-.∴ x的取值范围是-≤x≤-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2022·陕西)如图所示为一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值如下表: 根据以上信息,解答下列问题: (1) 当输入的x值为1时,输出的y值为　　　　;  (2) 求k、b的值; 8 (2) 将(-2,2)、(0,6)代入y=kx+b,得 解得 输入x … -6 -4 -2 0 2 … 输出y … -6 -2 2 6 16 … 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 当输出的y值为0时,求输入的x值. (3) 在y=8x中,令y=0,得0=8x,∴ x=0<1(不合题意,舍去). 在y=2x+6中,令y=0,得0=2x+6,∴ x=-3<1,∴ 当输出的y 值为0时,输入的x值为-3 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中所给的数据信息,解答下面的问题: (1) 求整齐叠放在桌面上的饭碗的高度y(厘米)与饭碗数量x(个)之间的一次函数表达式; (2) 把这两摞饭碗整齐地叠成一摞时,这摞饭碗的高度是多少厘米? (1) 由题意,设y=kx+b,则解得 ∴ y=1.5x+4.5　 (2) 当x=11时,y=1.5×11+4.5=21.∴ 这摞饭碗的高度是21厘米 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第6章　一次函数 6.4　用一次函数解决问题 第1课时　建立一次函数模型解决实际问题 1. 公式L=L0+KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度, L0(cm)代表弹簧的初始长度,K(cm)表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度.下列给出的四个公式中,表明这是一个短而硬的弹簧的是 (　　) A. L=10+0.5P B. L=10+5P C. L=80+0.5P D. L=80+5P A 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数 x(℃) 之间的函数表达式为y=x +32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等,则此温度的摄氏度数为　　　　℃. 3. 下表记录了一次试验中时间和温度的数据. 若温度的变化是均匀的,则14min时的温度是　　　　℃.  -40 时间/min 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 52 1 2 3 4 5 6 7 8 4. (2023·广安)某超市销售A、B两种盐皮蛋,已知购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元;购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元. (1) A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱的价格分别是多少元? (1) 设A种盐皮蛋每箱的价格为a元,B种盐皮蛋每箱的价格为b元.根据题意,得解得答:A种盐皮蛋每箱的价格为30元,B种盐皮蛋每箱的价格为20元　 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱,且A种的数量至少比B种的数量多5箱,又不超过B种数量的2倍,怎样购买才能使总费用最少?请求出最少总费用. (2) 设购买A种盐皮蛋x箱,购买B种盐皮蛋(30-x)箱,总费用为w元.根据题意,得w=30x+20(30-x)=10x+600.∵ 10>0,∴ w随x的增大而增大.∵ A种的数量至少比B种的数量多5箱,又不超过B种数量的2倍,∴ 解得17.5≤x≤20.∵ x为整数,∴ 当x=18时,w取得最小值,此时w=780,30-x=12.答:购买18箱A种盐皮蛋,12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少,最少总费用为780元 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 在一定范围内,某产品每吨的价格y(元)与该产品的购买量x(吨)之间满足一次函数关系.若购买1000吨,则每吨为800元;若购买2000吨,则每吨为700元.若某客户购买400吨,则每吨的价格为 (　　) A. 820元 B. 840元 C. 860元 D. 880元 C 解析:∵ 某产品每吨的价格y(元)与该产品的购买量x(吨)之间满足一次函数关系,∴ 设y=kx+b.∵ 当x=1000时,y=800;当x=2000时,y=700,∴ 解得∴ y=-0.1x+900.令x=400,得y=-0.1× 400+900=860.∴ 若某客户购买400吨,则每吨的价格为860元. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. (2023·绥化改编)某校计划租用甲、乙两种型号的客车共8辆送180名师生去研学基地开展综合实践活动.已知租用甲、乙两种型号的客车的费用分别为200元/辆、300元/辆.甲型客车每辆可坐15名师生,乙型客车每辆可坐25名师生.当租用甲型客车　　　　辆时,可使租车总费用最少. 2 解析:设租用甲型客车m辆,租车总费用为w元,则租用乙型客车(8-m)辆.根据题意,得w=200m+300(8-m)=-100m+2400.∵ 15m+25(8-m)≥180,且m>0, ∴ 0<m≤2.∵ -100<0,∴ w随m的增大而减小,∴ 当m=2时,w取得最小值, ∴ 当租用甲型客车2辆时,租车总费用最少. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. (2023·新疆)随着端午节的临近,A、B两家超市开展促销活动,各自推出不同的购物优惠方案,如下表: (1) 当购物金额为80元时,选择　　　　超市更省钱;当购物金额为130元时,选择　　　　超市更省钱(填“A”或“B”);    A超市 B超市 优惠方案 所有商品按8折出售 购物金额每满100元返30元 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 当购物金额为x(0≤x<200)元时,请分别写出两家超市的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数表达式,并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱? (2) A超市:y=0.8x;B超市:y=当x=0时,选择A超市 或B超市花费一样多;当0<x<100时,A超市8折优惠,B超市不优惠,∴ 选择A超市更省钱.当100≤x<200时,A超市:y=0.8x,B超市:y=x-30.① 当0.8x<x-30,即150<x<200时,选择A超市更省钱;② 当0.8x=x-30,即x=150时,选择A超市或B超市花费一样多;③ 当0.8x>x-30,即100≤x<150时,选择B超市更省钱 1 2 3 4 5 6 7 8 8. (2022·鸡西)为了迎接“十一”小长假的购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.已知甲、乙两种运动鞋的进价分别为100元/双、80元/双,售价分别为240元/双、160元/双. (1) 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案? (1) 设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种运动鞋(200-x)双.根据题意,得解不等式①,得x≥95;解不等式②,得x≤105.∴ 不等式组的解集是95≤x≤105.∵ x是正整数,105-95 +1=11,∴ 该专卖店有11种进货方案 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 在(1)的进货方案下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变,那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案? 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 设总利润为W元.由题意,得W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+ 16000(95≤x≤105).① 当50<a<60时,60-a>0,此时W随x的增大而增大,∴ 当x=105时,W有最大值,200-x=95,∴ 此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双.② 当a=60时,60-a=0,W=16000.∴ (1)中所有方案获得的最大利润都为16000元,分别为购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋105双;购进甲种运动鞋96双,购进乙种运动鞋104双;购进甲种运动鞋97双,购进乙种运动鞋103双;购进甲种运动鞋98双,购进乙种运动鞋102双;购进甲种运动鞋99双,购进乙种运动鞋101双;购进甲种运动鞋100双,购进乙种运动鞋100双;购进甲种运动鞋101双,购进乙种运动鞋99双;购进甲种运动鞋102双,购进乙种运动鞋98双;购进甲种运动鞋103双,购进乙种运动鞋97双;购进甲种运动鞋104双,购进乙种运动鞋96双;购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双.③ 当60<a<70时,60-a<0,此时W随x的增大而减小,∴ 当x=95时,W取得最大值,200-x=105,∴ 此时应购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋105双 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第6章　一次函数 小专题(六)　利用分段函数解决实际问题 类型一　行程问题 1. 甲、乙两人在一条400m长的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3s,在跑步过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与乙出发的时间x(s)之间的函数关系如图所示.有下列结论:① 乙的速度为5m/s;② 离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时,距离起点12m;③ 甲、乙两人之间的距离超过32m时,有44<x<89;④ 乙到达终点时,甲距离终点还有68m.其中,正确的个数是 (　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1 2 3 4 第1题 B 2. (2023·齐齐哈尔)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地,h后,一辆货车从A地出发,沿同一路线每小时行驶80km匀速驶向B地,货车到达B地填装货物耗时15min,然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y(km)与货车出发时间x(h)之间的函数关系如图所示,请结合图像解答下列问题: (1) A、B两地之间的距离是　　　　km,a=　　　　;  第2题 60 1 解析:A、B两地之间的距离是80×0.75=60(km).∵ 货车 到达B地填装货物耗时15min,∴ a=0.75+=1. 1 2 3 4 (2) 求线段FG所在直线对应的函数表达式; (2) 设线段FG所在直线对应的函数表达式为y=kx+ b(k≠0).将F(1,60)、G(2,0)代入,得 解得 ∴ 线段FG所在直线对应的函数表达式为 y=-60x+120 第2题 1 2 3 4 (3) 问货车出发多少小时,两车相距15km? (3) 巡逻车的速度为60÷=25(km/h),∴ 线段CD 对应的函数表达式为y=25x+25×=25x+10(0≤x≤2),∴ 点C的坐标为(0,10),10<15.当货车第一次追上巡逻车后, 80x-(25x+10)=15,解得x=;当货车返回与巡逻车相遇前,(-60x+120)-(25x +10)=15,解得x=;当货车返回与巡逻车相遇后,(25x+10)-(-60x+120)=15,解得x=.综上所述,货车出发h或h或h,两车相距15km 第2题 1 2 3 4 类型二　工程问题 3. 某市制米厂接到加工大米的任务,要求5天内加工完220吨大米,制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务,乙车间加工中途停工一段时间维修设备,然后改变加工效率继续加工,直到与甲车间同时完成加工任务.甲、乙两车间各自加工大米的质量y(吨)与甲车间的加工时间x(天)之间的函数关系如图①所示;未加工大米的质量w(吨)与甲车间的加工时间x(天)之间的函数关系如图②所示.请结合图像 回答下列问题: 1 2 3 4 (1) 甲车间每天加工大米　　　　吨,a的值为　　　　.  (2) 求乙车间维修设备后,乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式. 20 15 解析:由题图②,可知第一天甲、乙两车间共加工220-185=35(吨),第二天,乙车间停止工作,甲车间单独加工185-165=20(吨),则乙车间一天加工35-20=15(吨),即a=15. (2) 设乙车间维修设备后,乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数 表达式为y=kx+b.把(2,15)、(5,120)代入,得解得 ∴ 所求函数表达式为y=35x-55 1 2 3 4 (3) 如果55吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间恰好装满第一节车厢?再加工多长时间恰好装满第二节车厢? (3) 由题图②,可知当w=220-55=165时,恰好是第二天加工结束.∴ 加工2天恰好装满第一节车厢.当2≤x≤5时,甲、乙两车间每天加工的总质量为=55(吨),∴ 再加工1天恰好装满第二节车厢 1 2 3 4 类型三　方案选择问题 4. (2023·广元改编)某公司推出A、B、C三种通话套餐,收费方式如下表: 设月通话时间为x分钟,A套餐、B套餐的收费金额分别为y1元、y2元.其中y2与x之间的函数关系如图所示. 套　餐 月保底费/元 套餐内通话时间/分钟 超时费/(元/分) A 38 120 0.1 B       C 118 不限时   1 2 3 4 (1) 结合表格信息,求y1关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2) 结合图像信息补全表格中B套餐的数据; (1) ∵ 当0≤x≤120 时,y1=38;当x>120时,y1=38+0.1(x-120) =0.1x+26,∴ y1=　 (2) 由题图,可知B套餐的月保底费为58元,套餐内通话时 间为360分钟,超时费为(70-58)÷(480-360)=0.1(元/分钟). ∴ 表格中B套餐的数据依次为58、360、0.1 第4题 1 2 3 4 (3) 选择哪种套餐所需费用最少? 第4题 1 2 3 4 (3) 当x>360时,设y2=kx+b.∵ 图像过(360,58)、(480,70)两点,∴ 解得∴ y2=0.1x+22,∴ y2=∵ 当y1=58时,由0.1x+26=58,解得x=320,∴ 当x=320时,选择A、B套餐所需费用一样多,且都比选择C套餐花费少.∵ 当0≤x<320时,y1<y2<118,∴ 选择A套餐所需费用最少.∵ 当y2=118时,由0.1x+22=118,解得x=960,当x=960时,y1=960×0.1+26=122,122>118,∴ 当x=960 时,选择B、C套餐所需费用一样多,且都比选择A套餐花费少.∵ 当320<x<960时,y2<y1,且y2<118,∴ 选择B套餐所需费用最少.∵ 当x>960 时,y1>y2>118,∴ 选择C套餐所需费用最少.综上所述,当0≤x<320 时,选择A套餐所需费用最少;当x=320时,选择A、B套餐所需费用相同且均为最少;当320<x<960时,选择B套餐所需费用最少;当x=960时,选择B、C套餐所需费用相同且均为最少;当x>960时,选择C套餐所需费用最少 1 2 3 4 $$第6章　一次函数 6.6　一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 1. 如图,直线y=ax+b(a≠0)经过点A(0,4)、B(-3,0),则关于x的方程ax+b=0的解是 (　　) A. x=-3 B. x=4 C. x=- D. x=- 2. (2023·德州)已知直线y=3x+a与直线y=-2x+b交于点P.若点P的横坐标为-5,则关于x的不等式3x+a<-2x+b的解集为 (　　) A. x<-5 B. x<3 C. x>-2 D. x>-5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 11 第1题 3. 若直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是 　　　　.  4. (1) 如果关于x的方程mx+n=0的解是x=,那么直线y=mx+n与x轴的交点坐标为　　　　;  (2) 如果关于x的不等式ax+b>0的解集是x<-2,那么直线y=ax+b与x轴的交点坐标为　　　　.  x=2 (-2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 已知一次函数y=ax+b(a、b为常数,且a≠0),x与y的部分对应值如下表: 则方程ax+b=0的解是　　　　,不等式ax+b>0的解集是　　　　. x=1 x<1 x -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 画出函数y=-2x+2的图像,观察图像并回答下列问题: (1) 方程-2x+2=0的解是多少? (2) 当0<y<2时,对应的自变量x的取值范围是什么? (3) 当-2<x≤3时,y的取值范围是什么? 如图所示　 (1) x=1　 (2) 0<x<1　 (3) -4≤y<6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (2023·宁夏)在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx +n(m≠0)的图像如图所示,则下列结论错误的是 (　　) A. y1随x的增大而增大 B. b<n C. 当x<2时,y1>y2 D. 关于x、y的方程组的解为 C 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. (2022·徐州)若一次函数y=kx+b的图像如图所示,则关于x的不等式kx+ b>0的解集为　　　　　　. x>3 解析:∵ 一次函数y=kx+b的图像过点(2,0),∴ 2k+b=0,∴ b=-2k.∵ kx+b> 0,∴ kx+×(-2k)>0,即kx>3k.根据题图,得k>0,∴ x>3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,直线y=kx+b(k≠0)交x轴于点A,交y轴于点B,则关于x的不等式x(kx+ b)<0的解集为　　　　. -3<x<0 解析:由不等式x(kx+b)<0,得或由题图,得当时,无解;当时,解集为-3<x<0.∴ 不等式x(kx+b)< 0的解集为-3<x<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 画出函数y=2x-4的图像,并根据图像回答下列问题: (1) 当-2≤x≤4时,y的取值范围是什么? (2) 当x取何值时,分别有y<0,y=0,y>0? (3) 当x取何值时,-4<y<2? 如图所示　 (1) -8≤y≤4　 (2) 当x<2时,y<0;当x=2时,y=0;当x>2时,y>0　 (3) 0<x<3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 在平面直角坐标系中,直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A. (1) 如图,直线y=-2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B,与y轴交于点C,点B的横坐标为-1.求: ① 点B的坐标及k的值; 第11题 (1) ① ∵ 直线y=-2x+1经过点B,点B的横坐标为-1,∴ yB =3,∴ 点B的坐标为(-1,3).∵ 直线y=kx+4(k≠0)经过点B, ∴ 3=-k+4,解得k=1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ② 直线y=-2x+1、直线y=kx+4(k≠0)与y轴围成的△ABC的面积. 第11题 ② ∵ 直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A,∴ 易得点A的坐 标为(0,4).∵ 直线y=-2x+1与y轴交于点C,∴ 易得点C的 坐标为(0,1),∴ AC=yA-yC=4-1=3,∴ S△ABC=AC·|xB|=× 3×1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 如图,直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点E(x0,0),若-2<x0<-1,求k的取值范围. 第11题 (2) 当x0=-2时,将(-2,0)代入y=kx+4(k≠0),得-2k+4=0,解得 k=2;当x0=-1时,将(-1,0)代入y=kx+4(k≠0),得-k+4=0,解得 k=4.∴ k的取值范围是2<k<4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第6章　一次函数 6.3　一次函数的图像 第1课时　一次函数的图像及其画法 1. (2022·沈阳)在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+1的图像是 (　　) 2. (1) 已知点P(a,2a-2)在直线y=x上,则a的值为　　　　;  (2) (2023·广西)若一次函数y=kx+3的图像经过点(2,5),则k的值为　　　 . 3. 直线y=-2x-6与x轴的交点坐标是　　 　,与y轴的交点坐标是　　 　. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 12 1 (-3,0) (0,-6) 4. 有下面两个条件:① 图像不经过第二象限;② 图像经过点(2,-5).写出一个同时满足这两个条件的函数表达式:　　　　　 　. 答案不唯一,如y=4x-13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 分别在平面直角坐标系中画出下面一次函数的图像: (1) y=-2x-1;　 (1) 如图①所示　 解析:不妨取点(0,-1)、(1,-3)画图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) y=x-2. (2) 如图②所示　 解析:不妨取点(0,-2)、(2,-1)画图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (2022·铜仁)在平面直角坐标系内有三点A(-1,4)、B(-3,2)、C(0,6). (1) 求过其中两点的直线对应的函数表达式(选一种情形作答); (2) 判断A、B、C三点是否在同一条直线上,并说明理由. (1) 答案不唯一,如设过A(-1,4)、B(-3,2)两点的直线对应的函数表达式为 y=kx+b(k≠0).∴ 解得∴ 过A、B两点的直线对应的 函数表达式为y=x+5　 (2) A、B、C三点不在同一条直线上　理由:在y=x+5中,令x=0,得y=0+5= 5≠6,∴ 点C(0,6)不在直线AB上,即A、B、C三点不在同一条直线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 若点P(a,b)在函数y=4x+3的图像上,则代数式8a-2b+1的值为 (　　) A. 5 B. -5 C. 7 D. -6 8. (2023·陕西)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)的图像可能是 (　　) B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. (2023·苏州)已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2的值为　　　　.  10. 一次函数y=-x+8的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点,设P是线段AB的中点,连接OP,则OP的长为　　　　. -6 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知第一象限内的点P在直线y=-x+5上,点A的坐标为(4,0),设△AOP的面积为S. (1) 当点P的横坐标为2时,求△AOP的面积; (2) 当S=4时,求点P的坐标; (1) 把x=2代入y=-x+5,得y=-2+5=3,∴ 点P的坐标为(2,3).∵ 点A的坐标为(4,0),∴ OA=4,∴ S△AOP=OA·yP=×4×3=6　 (2) 当S=4时,OA·|yP|=4.∵ 点P在第一象限内,A(4,0),∴ OA=4,yP>0,∴ yP= 2.在y=-x+5中,令y=2,得x=3,∴ 点P的坐标为(3,2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 求S关于x的函数表达式,写出x的取值范围,并画出函数图像. (3) 设P(x,-x+5).根据题意,得S=OA·|yP|=×4·yP=2(-x+5)=-2x+10.∵ 点P在第一象限,∴ 解得0<x<5,∴ S关于x的函数表达式为S=-2x +10(0<x<5),函数图像如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图①,点A的坐标是(0,1),B是x轴正半轴上的一个动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使点C在第一象限内,∠BAC=90°.设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y. (1) 求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围; 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 如图①,过点C作CH⊥y轴,垂足为H,则∠AHC=90°.∵ 点C的纵坐标为y,∴ OH=y.∵ 点A的坐标是(0,1),∴ OA=1.∵ △ABC是以AB为边的等腰直角三角形,∴ AC=BA.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠HAC+∠OAB=90°.∵ ∠BOA=90°,∴ ∠OBA+∠OAB=90°,∴ ∠HAC=∠OBA.在△HAC和 △OBA中,∴ △HAC≌△OBA(AAS),∴ AH=BO.∵ 点B 的横坐标为x,∴ AH=BO=x,∴ OH=OA+AH=1+x,∴ y=x+1. ∵ B是x轴正半轴上的一个动点,∴ 自变量x的取值范围是 x>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 在图②中画出(1)中函数的图像. (2) 如图②所示　 解析:不妨取点(0,1)、(1,2)画图.画图时,注意自变量的取值范围. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第6章　一次函数 6.1　函　数 第2课时　函数的表示方法 1. (2022·重庆)如图,曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况,则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 (　　) A. 5m B. 7m C. 10m D. 13m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1题 2. (2022·益阳)已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如下表: 则这个函数的表达式可以为 (　　) A. y=2x B. y=x-1 C. y= D. y=x2 x … -1 0 1 2 … y … -2 0 2 4 … A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. (2022·雅安)一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶.过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.如图,可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是　　　　(填序号).  　　　 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. (2023·镇江)小明从家出发到商场购物后返回,如图所示为小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系,已知小明购物用时30min,返回速度是去商场的速度的1.2倍,则a的值为　　　　. 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 分别写出下列函数的表达式,并求出式中自变量的取值范围: (1) 长方形的周长为12,求它的面积S与一边的长x之间的函数表达式; (2) 行走的路程为100km,求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式; (1) S=x(6-x)　0<x<6　 (2) v=　t>0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 某种储蓄的年利率为1.5%,存入10000元本金,求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数表达式; (4) 设等腰三角形顶角的度数为α,底角的度数为β,求α与β之间的函数表达式. (3) y=10000(1+1.5%x)　x为正整数　 (4) α=180°-2β　0°<β<90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. (2022·玉林)龟兔赛跑之后,输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.如图所示的函数图像表示了龟兔再次赛跑的过程,其中x(分钟)表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间,y1(米)、y2(米)分别表示兔子与乌龟所走的路程.下列说法错误的是 (　　) A. 兔子和乌龟比赛路程是500米 B. 中途,兔子比乌龟多休息了35分钟 C. 兔子比乌龟多走了50米 D. 兔子比乌龟早5分钟到达终点 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 若两个变量x、y之间的函数关系如图所示,则函数值y的取值范围是 (　　) A. -3≤y≤3 B. 0≤y≤2 C. 1≤y≤3 D. 0≤y≤3 8. (2022·大连)汽车油箱中有汽油30L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶路程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.当0≤x≤300时, y关于x的函数表达式为　　　　　　. D y=30-0.1x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2023·深圳)如图①,在Rt△ABC中,动点P从点A运动到点B再到点C后停止,速度为2单位长度/秒,其中BP的长与运动时间t(秒)之间的关系如图②所示,则AC的长为　　　　. 17 解析:由图像可知,当t=0时,点P与点A重合,∴ AB=15,∴ 点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5(秒),∴ 点P从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4(秒),∴ BC=2×4=8.在Rt△ABC中,由勾股定理,可得AC=17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (2023·株洲)某花店每天购进16支某种花,然后出售,如果当天售不完,那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数,单位:支),统计如下表: (1) 该花店在这10天中出现该种花作废处理情形有　　　　天.  日需求量n 13 14 15 16 17 18 天　数 1 1 2 4 1 1 4 解析:1+1+2=4(天). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当n<16时,日利润y(元)关于n的函数表达式为y=10n-80;当n≥16时,日利润为80元. ① 当n=14时,求该花店这天的利润为多少元; ② 求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的天数. ① 当n=14时,y=10n-80=10×14-80=60.∴ 当n=14时,该花店这天的利润为60元　 ② 当n<16时,令70=10n-80,解得n=15.当n=15时,对照表格,发现满足题意的天数是2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第6章　一次函数 6.2　一次函数 第1课时　一次函数的概念 1. 下列说法中的两个变量,成正比例关系的是 (　　) A. 路程确定时,速度与时间 B. 圆柱体的体积确定时,底面积与高 C. 购买单价相同的水笔,总费用与水笔支数 D. 小孩的年龄与小孩的身高 2. 下列函数中,y是x的一次函数的为 (　　) A. y=-3x+5 B. y=-3x2 C. y= D. y=2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 11 12 13 3. 下列说法正确的是 (　　) A. 一次函数是正比例函数 B. 一个函数不是一次函数就是正比例函数 C. 正比例函数是一次函数 D. 一个函数不是正比例函数就不是一次函数 4. 如果y=(m-1)+3是关于x的一次函数,那么m的值为　　　　.  5. (2023·山西)一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12cm,每挂重1kg物体,弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式为　　　　　　. C -1 y=0.5x+12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 写出下列各题中两个变量之间的函数表达式,并判断该函数是一次函数还是正比例函数. (1) 长为8cm的长方形的周长C(cm)与宽b(cm); (2) 食堂原有煤120吨,每天用去5吨,x天后还剩下y吨煤; (3) 如图,BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD,∠E的度数y与∠A的度数x. (1) C=2b+16　是一次函数　 (2) y=120-5x　是一次函数　 (3) y=x　是一次函数,也是正比例函数 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 有下列函数:① y=-x+1;② y=;③ y=+1;④ y=x(x-3).其中,一次函数的个数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 有下列函数关系:① 面积一定的长方形的长s与宽a;② 圆的周长s与半径a;③ 正方体的体积s与棱长a;④ 匀速行驶时,路程s与行驶时间a.其中,s是a的正比例函数的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知函数y=(m+3)x+|m|-3,当m　　　时,y是x的一次函数;当m　 　时, y是x的正比例函数.  10. 已知函数y=2x2a+b+a+2b是关于x的正比例函数,则a-b的值为　　　 . ≠-3 =3 1 解析:∵ 函数y=2x2a+b+a+2b是关于x的正比例函数,∴ 两式相减,得a-b=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,EF是线段BC的垂直平分线,交BC于点D,A是直线EF上 一动点,它从点D出发沿射线DE方向运动,当∠BAC减少x°时, ∠ABC增加y°,则y与x之间的函数表达式为　　　　　　. y=x 解析:∵ EF是线段BC的垂直平分线,∴ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,当∠BAC减少x°时,∠ABC增加y°,∴ ∠BAC-x°+∠ABC+y°+∠ACB+y°=180°,∴ 2y°-x°=0,即y=x. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (2023·青岛)某服装店经销A、B两种T恤衫,进价和售价如下表: (1) 第一次进货时,服装店用6000元购进A、B两种T恤衫共120件,全部售完获利多少元? (1) 设购进A种T恤衫x件,购进B种T恤衫y件.根据题意,得解得∴ 全部售完可获利(66-45)×80+(90-60)×40=1680+1200=2880(元) 种　类 进价/(元/件) 售价/(元/件) A 45 66 B 60 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 受市场因素影响,第二次进货时,A种T恤衫进价每件上涨了5元,B种T恤衫进价每件上涨了10元,但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进A、B两种T恤衫共150件,且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进A种T恤衫m件,两种T恤衫全部售完可获利W元.试求出W与m之间的函数表达式,并确定m的取值范围. (2) 根据题意,得W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-m)=-4m+3000.根据题意,得m≥0,150-m≥0,150-m≤2m,解得50≤m≤150,且m为整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商,水果店根据该酒店以往每月的需求情况,本月专门为其准备了2600千克这种水果.已知水果店每售出1千克该水果可获利润10元,未售出的部分每千克将亏损6元,用x(单位:千克,2000≤x≤3000)表示A酒店本月对这种水果的需求量,y(元)表示水果店销售这批水果所获得的利润. (1) 求y关于x的函数表达式; (1) 当2000≤x≤2600时,y=10x-6(2600-x)=16x-15600;当2600<x≤3000时, y=2600×10=26000.∴ y关于x的函数表达式为 y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当A酒店本月对这种水果的需求量x为多少时,该水果店销售这批水果所获得的利润不少于22000元? (2) 当2000≤x≤2600时,16x-15600≥22000,解得x≥2350,此时2350≤x≤2600;当2600<x≤3000时,y=26000>22000恒成立.综上所述,当2350≤x≤3000时,该水果店销售这批水果所获得的利润不少于22000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第6章　一次函数 6.4　用一次函数解决问题 第2课时　根据一次函数图像解决问题 1. (2023·随州)甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示.有下列结论:① A、B两城相距300km;② 甲车的平均速度是60km/h,乙车的平均速度是100km/h;③ 乙车先出发,先到达B城;④ 甲车在9:30追上乙车.其中,正确的是 (　　) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ D 1 2 3 4 5 6 7 2. (2023·威海)一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为　　　　　　　. y=80x-10 1 2 3 4 5 6 7 3. 甲、乙两台机器共同加工一批零件,在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率.从工作开始到加工完这批零件,两台机器恰好同时工作了6小时.甲、乙两台机器各自加工的零件数量y(个)与加工时间x(小时)之间的函数图像分别为折线OAB与折线OCD(如图).请回答下列问题: (1) 甲机器改变工作效率前每小时加工　　　 个零件;  (2) 乙机器改变工作效率后y与x之间的函数表达式为 　　　　　　　　;  (3) 这批零件总共有　　　　个. 20 y=10x+60 260 1 2 3 4 5 6 7 4. (2023·吉林)甲、乙两个工程组同时挖掘某高铁某段隧道,两个工程组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙工程组因维修设备而停工,甲工程组单独完成了剩下的任务,甲、乙两个工程组挖掘的长度之和y(米)与甲工程组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示. (1) 甲工程组比乙工程组多挖掘了　　　　天;  (2) 求乙工程组停工后y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2) 设乙工程组停工后y关于x的函数表达式为y=kx+b,则 解得∴ 函数表达式为y=3x+ 120(30<x≤60) 第4题 30 1 2 3 4 5 6 7 (3) 当甲工程组挖掘的总长度与乙工程组挖掘的总长度相等时,乙工程组已经停工多少天? (3) 由题意可知,甲工程组单独干了30天,挖掘的长度为 300-210=90(米),∴ 甲工程组每天挖掘90÷30=3(米). ∵ 前30天甲、乙两个工程组合作挖掘了210米,∴ 乙工 程组单独挖掘的长度为210-90=120(米),∴ 当甲工程组 挖掘的长度是120米时,工作天数是120÷3=40,此时乙工 程组已经停工40-30=10(天) 第4题 1 2 3 4 5 6 7 5. 一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村,甲、乙两人之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示.有下列结论:① A、B两村相距10km; ② 出发1.25h后两人相遇;③ 甲每小时比乙多骑行8km;④ 相遇后,乙又骑行了15min或65min时两人相距2km.其中,正确的个数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 第5题 1 2 3 4 5 6 7 6. (2023·淮安)快车和慢车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快车到达乙地卸装货物用时30min,结束后,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与慢车相遇,已知慢车的速度为70km/h.两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)之间的函数图像如图所示. (1) 请解释图中点A的实际意义; (1) 点A的实际意义:出发3h,快车到达乙地,此时快车 与慢车相距120km 第6题 1 2 3 4 5 6 7 (2) 求出图中线段AB对应的函数表达式; (2) ∵ 点B的横坐标为3+=3.5,点B的纵坐标为120- ×70=85,∴ 点B的坐标为(3.5,85).设线段AB所在直线 对应的函数表达式为y=kx+b.将A(3,120),B(3.5,85)代入, 得解得∴ 线段AB对应的函 数表达式为y=-70x+330(3≤x≤3.5) 第6题 1 2 3 4 5 6 7 (3) 两车相遇后,如果快车以返回的速度继续向甲地行驶,那么到达甲地还需　　　　h. 2.8 解析:快车从返回到遇见慢车所用的时间为4-3.5= 0.5(h),∴ 快车从乙地返回甲地时的速度为85÷0.5 -70=100(km/h),∴ 两车相遇后,如果快车以返回的 速度继续向甲地行驶,那么到达甲地还需4×70÷ 100=2.8(h). 第6题 1 2 3 4 5 6 7 7. 端午节期间,甲、乙两人沿同一路线行驶,各自开车同时去离家560km的景区游玩,甲先以60km/h的速度匀速行驶1h,再以mkm/h的速度匀速行驶,途中休息了一段时间后,仍按照mkm/h的速度匀速行驶,两人同时到达目的地.如图,折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程y甲(km)、y乙(km)与时间x(h)之间的函数关系图像.请根据图像提供的信息,解决下列问题: (1) 点E的坐标为　　 　　,m的值为　　　　,甲在 途中休息了　　　　h;  第7题 (2,160) 100 1 1 2 3 4 5 6 7 (2) 求线段CD对应的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2) 由题意,得A(1,60)、E(2,160),∴ 易得直线AE对 应的函数表达式为y=100x-40.当x=4时,y=400-40= 360,∴ 点B的坐标为(4,360),∴ 点C的坐标为(5,360). 设线段CD所在直线对应的函数表达式为y=kx+b.把 C(5,360)、D(7,560)代入,得解得∴ 线段CD对应的函数表达式为y=100x-140(5≤x≤7)　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 (3) 两人第二次相遇后,又经过多长时间两人相距20km? (3) 根据D(7,560),可得线段OD对应的函数表达式 为y=80x(0≤x≤7).当x=5时,y=5×80=400,400-360= 40(km),∴ 出发5h时,两人相距40km.把y=360代入 y=80x,得x=4.5,∴ 出发4.5h时,两人第二次相遇. ① 当4.5≤x≤5时,由80x-360=20,得x=4.75,此时4.75-4.5=0.25(h);② 当5<x≤ 7时,由80x-(100x-140)=20,得x=6,此时6-4.5=1.5(h).∴ 两人第二次相遇后,又经过0.25h或1.5h两人相距20km 第7题 1 2 3 4 5 6 7 $$第6章　一次函数 6.3　一次函数的图像 第2课时　一次函数的性质 1. (2023·长沙)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是 (　　) A. y=2x+1 B. y=x-4 C. y=2x D. y=-x+1 2. (2023·临沂)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),下列根据两名同学的对话(如图)得出的结论中,错误的是 (　　) A. k>0 B. kb<0 C. k+b>0 D. k=-b D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 11 12 3. (2023·郴州)在一次函数y=(k-2)x+3中,y随x的增大而增大,则k的值可以是　　 　　(任写一个符合条件的数即可).  4. (1) (2022·日照)将一次函数y=-2x+5的图像向上平移2个单 位长度,则平移后图像对应的函数表达式为　　　　　;  (2) 如图,一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平 行,且经过点A(1,-2),则kb的值为　　　　.  5. 已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)在直线y=kx+b上,且直线经过第一、二、四象限.当x1>x2>x3时,y1、 y2、 y3之间的大小关系为　　　 　　(用“>”连接). 3(答案不唯一) y=-2x+7 -8 y3>y2>y1 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 直线y=-2x+10与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1) 求△OAB的面积. (2) 直线y=-2x+10经过怎样的平移后可以经过原点?请写出一种平移方法. (1) 在y=-2x+10中,令y=0,得-2x+10=0,解得x=5,∴ 点A的坐标为(5,0),即OA =5.令x=0,得y=-2×0+10=10,∴ 点B的坐标为(0,10),即OB=10,∴ S△OAB= OA·OB=×5×10=25　 (2) 平移方法不唯一,如将直线y=-2x+10沿y轴向下平移10个单位长度可以经过原点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (2022·娄底)将直线y=2x+1向上平移2个单位长度,相当于 (　　) A. 向左平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向右平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 8. 已知一次函数y=kx-m-2x的图像与y轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则下列结论正确的是 (　　) A. k>2,m>0 B. k<2,m<0 C. k>2,m<0 D. k>0,m<0 B C 解析:∵ 一次函数y=kx-m-2x=(k-2)x-m的图像与y轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,∴ k-2>0,-m>0,∴ k>2,m<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. (2022·本溪)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y=k2x +b2的图像分别为直线l1和直线l2,下列结论正确的是 (　　) A. k1k2<0 B. k1+k2<0 C. b1-b2<0 D. b1b2<0 第9题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 将直线y=kx-2先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度后,正好经过点(2,-4),则k的值为　　　　. -2 解析:直线y=kx-2经过两次平移后为直线y=k(x-3)-2-4,将(2,-4)代入y=k(x-3)-2-4,得-4=(2-3)k-2-4,解得k=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知一次函数y=(2-2k)x+k-3,根据下列条件确定k的值或取值范围. (1) 函数图像经过原点; (2) 函数图像与y轴的交点在x轴的下方; (3) 函数图像不经过第三象限. (1) 把(0,0)代入y=(2-2k)x+k-3,得k-3=0,解得k=3　 (2) 根据题意,得k-3<0,2-2k≠0,解得k<3且k≠1　 (3) 根据题意,得2-2k<0,k-3≥0,解得k≥3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,一次函数y=x+6的图像交x轴于点A,交y轴于点B,∠ABO的平分线交x轴于点C,过点C作直线CD⊥AB,垂足为D,交y轴于点E. (1) 求直线CE对应的函数表达式; 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 在y=x+6中,令x=0,得y=6,∴ 点B的坐标是(0,6),∴ OB=6.令y=0,得x= -8,∴ 点A的坐标是(-8,0),∴ OA=8,∴ 在Rt△AOB中,AB== 10.设OC=t(t>0),则AC=8-t.∵ BC平分∠ABO,∴ ∠DBC=∠OBC.又∵ CD ⊥AB,∴ ∠CDB=∠COB=90°.∵ BC=BC,∴ △BCD≌△BCO(AAS),∴ DC=OC=t,DB=OB=6,∴ AD=AB-DB=4,∴ 在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD2+DC2=AC2,即42+t2=(8-t)2,解得t=3,∴ OC=3,即点C的坐标是(-3,0).在 △EBD和△ABO中,∴ △EBD≌△ABO(ASA), ∴ EB=AB=10,∴ OE=EB-OB=4,∴ 点E的坐标是(0,-4).设直线CE对应的函数表达式为y=kx+b,则解得∴ 直线CE对应的 函数表达式为y=-x-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 直线AB与直线y=x-4之间的距离为　　　　.  解析:∵ 易得直线AB与直线y=x-4互相平行,且直线 y=x-4经过点E(0,-4),∴ 它们之间的距离即为线段DE 的长.由△EBD≌△ABO,得DE=OA=8. 第12题 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第6章　一次函数 6.5　一次函数与二元一次方程 1. 在同一平面直角坐标系中,直线y=4x+1与直线y=-x+b的交点不可能在 (　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 方程2x-y=2的解有　　　　组,用x表示y为　　　 　　　,此时y是x的 　　　　函数.  3. 已知直线l1:y=-3x+b与直线l2:y=-kx+2在同一平面直角坐标系中交于点(1,-2),则方程组的解是　　 　　.  D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 无数 11 12 y=2x-2 一次 4. 两条直线y=2x-1和y=2x-3的位置关系为　　　　　.由此可知,方程组的解的情况为　　　　　.  5. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y= -2x交于点A、B,则△AOB的面积为　　　　. 平行 无解 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 用图像法解下面的二元一次方程组: (1) 　 (2) (1) 如图①,二元一次方程组的解为　 (2) 如图②,二元一次方程组的解为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (2022·安徽)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图像可能是 (　　) 8. 把直线y=-x+3向上平移m个单位长度后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是 (　　) A. 1<m<7 B. 3<m<4 C. m>1 D. m<4 9. 已知三条直线y=2x-3、y=kx-2、y=-2x+1相交于同一点,则k的值为　 . D C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,A、B、C、D是平面直角坐标系中坐标轴上的点,且△AOB≌ △COD.设直线AB对应的函数表达式为y1=k1x+b1,直线CD对应的函数表达式为y2=k2x+b2,则k1·k2的值为　　　　. 第10题 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:在y1=k1x+b1中,令x=0,得y1=b1;令y1=0,得x=-,∴ 点A的坐标为(0,b1),点B的坐标为,∴ AO=b1,OB=.在y2=k2x+b2中,令x=0,得y2=b2;令y2=0,得x=-,∴ 点D的坐标为(0,b2),点C的坐标为,∴ OD=-b2,CO =-.∵ △AOB≌△COD,∴ AO=CO,OB=OD,∴ 解得∴ k1·k2=-·=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (2023·长春)甲、乙两人相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行15分钟到缆车站,再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图像如图所示. (1) 当15≤x≤40时,求乙距山脚的垂直高度y与时间x之间的函数表达式; (1) 设乙距山脚的垂直高度y与时间x之间的函数 表达式为y=kx+b(k≠0).把(15,0)和(40,300)代入,得 解得∴ 乙距山脚的 垂直高度y与时间x之间的函数关系式为y=12x-180 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度. (2) 当25≤x≤60时,设甲距山脚的垂直高度y与时间x 之间的函数表达式为y=mx+n(m≠0).将(25,160)和(60, 300)代入,得解得∴ y=4x +60.当乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时, 有解得∴ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=x的图像与一次函数y=-x+ 7的图像交于点A. (1) 求点A的坐标. 第12题 (1) 由解得∴ 点A的坐标为(4,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 设x轴上有一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交正比例函数y=x的图像和一次函数y=-x+7的图像于B、C两点,连接OC.若BC=OA,求△OBC的面积. (2) 如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D.由(1),得A(4,3), ∴ OD=4,AD=3.在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA= =5.∴ BC=OA=×5=7.∵ 点P的坐标 为(a,0),∴ 点B的坐标为,点C的坐标为(a,-a+ 7),∴ BC=a-(-a+7)=a-7,∴ a-7=7,解得a=8,即OP= 8,∴ S△OBC=BC·OP=×7×8=28 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第6章　一次函数 阶段训练(6.1~6.3) 一、 选择题 1. 将一个底面直径为10cm、高为36cm的圆柱体锻压成底面直径为20cm的圆柱体,在这个过程中不改变的是 (　　) A. 圆柱的高 B. 圆柱的侧面积 C. 圆柱的体积 D. 圆柱的底面积 2. 已知一次函数y=(k-2)x+17,当x=-3时,y=2,则k的值为 (　　) A. -4 B. 8 C. -3 D. 7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 3. (2023·金昌)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、三象限,则k的值可以为 (　　) A. -2 B. -1 C. -0.5 D. 2 4. 已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=kx-3x+2的图像上不同的两个点,当(x1-x2)(y1-y2)<0时,k的取值范围是 (　　) A. k>3 B. k<3 C. k>2 D. k<2 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,一条直线经过点A(0,2)和点B (1,0),将此直线向左平移与x轴、y轴分别交于C、D两点.若DB=DC,则直线CD对应的函数表达式为 (　　) A. y=-x-1 B. y=-2x-2 C. y=-x-2 D. y=-2x-1 B 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. (2023·济宁)一个函数的图像过点(1,3),且y随x的增大而增大,请写出一个符合上述条件的函数表达式:　　　 　　　.  7. (2022·盘锦)若点A(x1,y1)、B(x2,y2)在一次函数y=(a-2)x+1的图像上,且当x1>x2时,y1<y2,则a的取值范围是　　　　　　.  8. (2023·内蒙古)在平面直角坐标系中,将正比例函数y=-2x的图像向右平移3个单位长度得到的图像对应的函数表达式为　　 　　. y=x+2(答案不唯一) a<2 y=-2x+6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知一次函数y1=kx-2k(k是常数)和y2=-x+1. (1) 无论k取何值,函数y1=kx-2k(k是常数)的图像都经过同一个点,则这个点的坐标是　　　　;　  (2) 若无论x取何值,y1>y2,则k的值是　　　　.  (2,0) 解析:∵ y1=kx-2k=k(x-2),∴ 当x=2时,y1=0,∴ 这个点的坐标是(2,0). -1 解析:∵ 无论x取何值,y1>y2,∴ 函数y1=kx-2k的图像始终在函数y2=-x+1的图像上方,∴ 两个函数的图像即两条直线平行,且-2k>1,∴ k=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知一次函数y=kx+b,当自变量x满足-3≤x≤1时,对应的函数值y的取值范围是1≤y≤9,则kb的值为　　　　. -6或14 解析:当k>0时,y随x的增大而增大,∴ 当x=-3时,y=1;当x=1时,y=9,∴ 解得∴ kb=14.当k<0时,y随x的增大而减小,∴ 当x=-3时,y=9;当x=1时,y=1,∴ 解得∴ kb=-6.综上所述,kb的值为-6或14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (2022·德阳)如图,点A、B的坐标分别为(-2,3)、(2,1),直线y=kx+k经过点P(-1,0).试探究直线y=kx+k与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取 值范围是　　　 　. k≤-3或k≥ 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 12. (2023·湘西)如图①,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,食堂离小明家0.6km,图书馆离小明家0.8km.小明从家出发,匀速步行了8min去食堂吃早餐;吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报;读完报以后接着匀速步行了10min回到家.图②反映了这个过程中,小明离家的距离y(km)与时间x(min)之间的对应关系.请根据相关信息解答下列问题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 食堂离图书馆的距离为　　　　km;小明从图书馆回家的平均速度是 　　　　km/min;小明读报所用的时间为　　　　min.  (2) 当小明离家的距离为km时,小明离家的时间为　　　 　min.  (3) 当0≤x≤28时,请直接写出y关于x的函数表达式. 0.2 0.08 30 26或 (3) y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=k1x+b(k1≠0)经过点A(4,0)、B(0,2),与直线l2:y=k2x(k2≠0)交于点P(a,1). (1) 求直线l2对应的函数表达式; (1) ∵ 直线l1:y=k1x+b(k1≠0)经过点A(4,0)、B(0,2), ∴ 解得∴ 直线l1对应的函 数表达式为y=-x+2.∵ 直线l1经过点P(a,1),∴ 1=-a +2,解得a=2,∴ P(2,1).∵ 直线l2:y=k2x(k2≠0)也经过点P(2,1),∴ 1=2k2,解得 k2=,∴ 直线l2对应的函数表达式为y=x 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当x=m时,有k1m+b>k2m,则m的取值范围是　　　　;  (3) C为直线l2上一点,且△ABC的面积为3,求点C的坐标. (3) 设点C的坐标为.∵ A(4,0)、B(0,2),∴ OA=4, OB=2.① 如图①,当t>2,即点C在AB上方时,S△ABC= S△OBC+S△OAC-S△OAB=3,∴ ×2t+×4×t-×4×2=3, 解得t=.此时点C的坐标为.② 如图②,当t<2,即点C在AB下方时,∵ S△OAB=×4×2=4>3,∴ S△ABC=S△OAB-S△OBC-S△OAC=3,∴ 4-×2t-×4× t=3,解得t=.此时点C的坐标为.综上所 述,点C的坐标为或 第13题 m<2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$