第17讲 直线的两点式方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第17讲 直线的两点式方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的两点式方程 2 题型02 直线的截距式方程 5 题型03 截距式方程的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 22 一、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 _____________________，我们把它叫做直线的两点式方程，简称________________． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 二、直线的截距式方程 我们把方程________________叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线________________________，此时直线在y轴上的截距是________． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图 题型01直线的两点式方程 【解题策略】 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件； 若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 【典例分析】 课本例3　如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程． 【例1】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l经过点，则直线l的方程为 ． 【变式2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线l经过两点，（如图），其中，，求直线l的方程．    【变式3】已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 题型02 直线的截距式方程 【解题策略】 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用　 【典例分析】 【例2】求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）直线的横截距为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2】（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 题型03 截距式方程的应用 【解题策略】 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|. 【典例分析】 课本例3　如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程． 课本例4　已知△ABC的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程． 【例3】直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B．5 C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 3．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 6．（23-24高二上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线与直线互相平行，则 三、填空题 7．（22-23高三·全国·课后作业）经过点和点的直线方程是 . 8．（23-24高二上·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 9．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是 . 四、解答题 10．（2024高二·全国·专题练习）求经过两点和的直线方程． 11．（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线过点和点，则该直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 4．（23-24高二上·江苏·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 二、多选题 5．（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 三、填空题 7．（23-24高二上·河南·期中）已知三点共线，则 ． 8．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知直线：（），若直线在x轴上的截距为2，则实数 ． 9．（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 四、解答题 10．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）在中，已知点． (1)求线段的垂直平分线所在直线的方程． (2)已知直线过点在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 11．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 二、多选题 2．（23-24高二上·广东揭阳·期中）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2022高二上·全国·专题练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 四、解答题 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 直线的两点式方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的两点式方程 2 题型02 直线的截距式方程 5 题型03 截距式方程的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 22 一、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 二、直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图 题型01直线的两点式方程 【解题策略】 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件； 若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 【典例分析】 课本例3　如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程． 解　将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1. 【例1】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据所给的坐标可判断直线的斜率不存在，从而可求出直线方程. 【详解】由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l的斜率不存在， 所求的直线方程为． 故答案为： 【变式2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线l经过两点，（如图），其中，，求直线l的方程．    【答案】 【分析】根据直线的两点式方程即可得解. 【详解】直线l经过两点，，其中，， 由直线的两点式方程，得，即 【变式3】已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 题型02 直线的截距式方程 【解题策略】 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用　 【典例分析】 【例2】求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）直线的横截距为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】令，求出的值，即可得解. 【详解】由直线， 令，则. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解. 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或） 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距； （2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距. 【详解】（1）解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. （2）解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为 题型03 截距式方程的应用 【解题策略】 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|. 【典例分析】 课本例3　如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程． 解　将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1. 课本例4　已知△ABC的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程． 解　如图，过B(3，－3)，C(0,2)的直线的两点式方程为＝， 整理得5x＋3y－6＝0. 这就是边BC所在直线的方程． 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即. 过A(－5,0)，M两点的直线方程为＝， 整理可得x＋13y＋5＝0. 这就是边BC上中线AM所在直线的方程． 【例3】直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知a＋b＋＝12.① 因为直线l过点P， 所以＋＝1.② 联立①②，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8x－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知ab＝6， 即ab＝12，③ 联立②③，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或 【变式2】（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用横截距的意义直接求解即可. 【详解】当时，， 所以直线在x轴上的截距为5. 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 3．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【详解】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 4．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 6．（23-24高二上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线与直线互相平行，则 【答案】ABC 【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的关系即可判断AD，根据截距式方程的定义即可判断B,根据两点式的适用条件即可判断C. 【详解】对于A, 直线与直线互相垂直,则需要满足：，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 对于B , 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和， 对于C，当或时，不能用表示两点的直线， 对于D，若直线与直线互相平行，则满足，解得，D说法正确， 故选：ABC 三、填空题 7．（22-23高三·全国·课后作业）经过点和点的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据两点式求得直线方程. 【详解】经过点和点的直线方程是：， 整理得. 故答案为： 8．（23-24高二上·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【分析】应用截距式求直线方程. 【详解】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即. 故答案为： 9．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直求出实数的值，可得出直线的方程，进而可求得直线在轴上的截距. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得， 所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，故直线在轴上的截距是. 故答案为：. 四、解答题 10．（2024高二·全国·专题练习）求经过两点和的直线方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据两点式的特征即可求解. 【详解】当时，直线垂直于y轴，方程为， 当时，直线垂直于x轴，方程为. 当且时，由两点式得直线方程为 11．（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点即可求出直线方程； （2）分类讨论直线截距是否为，即可得出直线方程. 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据直线的截距式方程即可求解. 【详解】由可得，所以在轴上的截距为， 故选：B 2．（22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线过点和点，则该直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的两点式方程求解即可. 【详解】由直线的两点式方程可得该直线方程为，即，化简可得. 故选：B 3．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线AB的方程，根据直线垂直得到，求出答案. 【详解】直线AB的方程为，即， 因为直线与直线AB垂直，所以，解得. 故选：D 4．（23-24高二上·江苏·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】D 【分析】利用代入法，结合截距的意义、直线平移的特征、直线两点式的特征逐一判断即可. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，令，得，则横截距为，故B错误. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 6．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解. 【详解】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确． 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·河南·期中）已知三点共线，则 ． 【答案】 【分析】首先根据A与B的坐标，结合截距式方程可求直线AB的方程，再将C点代入可求m的值. 【详解】直线的方程为，代人，解得． 故答案为：-3. 8．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知直线：（），若直线在x轴上的截距为2，则实数 ． 【答案】 【分析】根据截距的定义进行求解即可. 【详解】在中，令，得， 显然，于是有， 因为线在x轴上的截距为2， 所以， 故答案为： 9．（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解. 【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得， 所以，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）在中，已知点． (1)求线段的垂直平分线所在直线的方程． (2)已知直线过点在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出线段中点和垂直平分线所在直线的斜率，即可求出线段的垂直平分线所在直线的方程； （2）利用截距式即可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意， 在中，已知点， ∴线段中点，线段所在直线， ∴线段的垂直平分线所在直线的斜率为，且过点， ∴方程为. （2）由题意得，直线在 轴和 轴上的截距均不为 0 ，可设直线的方程为 , 代人点 , 则 , 解得：, 此时直线的方程为 , . 综上, 该直线的方程为. 11．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解； （2）根据截距式代入即可求解. 【详解】（1）由题意得，则的方程为， 其斜截式方程为． （2）设的截距式方程为， 由题意得得， 所以在轴上的截距为． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 二、多选题 2．（23-24高二上·广东揭阳·期中）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解. 【详解】因为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 则，得， 结合选项可知，满足题意. 故选：AC. 三、填空题 3．（2022高二上·全国·专题练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 【答案】 【分析】设直线的截距式为，即可得到，解得即可. 【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为， ∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为， ∴，解得，或，或， 所以直线的条数为条． 故答案为： 四、解答题 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【答案】，， 【分析】根据直线的两点式，斜截式及截距式方程求解即可. 【详解】直线AB过，两点， 由直线的两点式方程，得，即， 所以直线AB的方程为； 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是， 由直线的斜截式方程，得，即， 所以直线BC的方程； 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是，2， 由直线的截距式方程，得，即， 所以直线AC的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 【答案】 【分析】先求出直线的横纵截距，再构建方程，解之即可. 【详解】因为直线l的方程为， 即， 由题意可知：，即， 即直线l的方程为， 所以，当时，， 当时，， 由直线l在x轴和y轴上的截距相等，可知， 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$