第16讲 直线的点斜式方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第16讲 直线的点斜式方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 求直线的点斜式方程 2 题型02 直线的斜截式方程 4 题型03 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 一、求直线的点斜式方程 我们把方程________________称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的__________________，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 二、直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 题型01求直线的点斜式方程 【解题策略】 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外 【典例分析】 课本例1　直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 【例1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【变式2】（22-23高二·江苏·假期作业）已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 【变式3】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 题型02 直线的斜截式方程 【解题策略】 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可 【典例分析】 【例2】　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 题型03 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 【解题策略】 若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 【典例分析】 【例3】已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 【变式演练】 【变式1】(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 【变式2】求满足下列条件的m的值． (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直． 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线．若这两条直线垂直，求实数的值； 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·山东·阶段练习）经过点，斜率为3的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B．. C． D． 3．（20-21高一上·陕西延安·期末）设点、，若直线与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 5．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，或； B．当时，； C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D．当时，直线关于对称的直线方程为： 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在下列四个命题中，不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和互相垂直，则 . 8．（21-22高二·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 9．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 11．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高二下·全国·课后作业）一次函数，则下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图像经过一、二、三象限 B．当时，函数图像经过一、三、四象限 C．时，函数图像必经过一、三象限 D．时，函数在实数上恒为增函数 6．（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（    ） A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程与方程表示同一条直线 D．直线过点，倾斜角为，则其方程为 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程与方程可表示同一条直线； ③直线过点，倾斜角为，则其方程为. 其中正确结论的序号为 . 8．（23-24高二上·全国·课后作业）思维辨析（对的写正确，错的写错误） （1）过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成．( ) （2）y轴所在直线方程为．( ) （3）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．( ) （4）过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．( ) 9．（23-24高二上·新疆和田·期中）过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 四、解答题 10．（23-24高二·上海·假期作业）已知中，，求边所在直线的方程. 11．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知的三个顶点，D为BC的中点.求： (1)中线AD所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线的方程. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 2．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 3．（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．图像经过第一、二、三象限 C．过与直线平行的直线方程是 D．若直线，则 三、解答题 4．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知的顶点，，． (1)求AB边上的中线所在直线的方程； (2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 直线的点斜式方程 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 求直线的点斜式方程 2 题型02 直线的斜截式方程 4 题型03 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 一、求直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 二、直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 题型01求直线的点斜式方程 【解题策略】 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外 【典例分析】 课本例1　直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解　直线l经过点P0(－2,3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y－3＝x＋2. 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，则y1＝4，得点P1的坐标为(－1,4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示． 【例1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°. 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4)． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线的斜率，即可得出所求直线的点斜式方程. 【详解】因为所求直线得倾斜角为，所以，该直线的斜率为， 又因为该直线过点，所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【变式2】（22-23高二·江苏·假期作业）已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 【答案】 【分析】根据条件求出，再写出直线的点斜式方程即可. 【详解】因为直线为水平直线， 所以， 故边所在直线的点斜式方程为 【变式3】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 题型02 直线的斜截式方程 【解题策略】 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可 【典例分析】 【例2】　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【分析】根据平行直线的斜率关系，找到斜率，经过点求出直线方程，改写成斜截式方程即可，根据垂直直线的斜率关系，求出斜率，写出对应的方程，改写成点斜式方程即可. 【详解】设直线的斜率为， 与直线平行的直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为. 由得， 由两直线平行知. 所以所求直线方程为，即； 由两直线垂直知， 所以与直线垂直的直线的点斜式方程为. 故答案为：; 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为： 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】直线l的斜截式方程为，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形面积，解出的值得方程. 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或 题型03 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 【解题策略】 若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 【典例分析】 【例3】已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解　当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±； 由≠，得m≠且m≠，所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·＝－1无解． 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直． 【变式演练】 【变式1】(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， ∵l1∥l2， ∴ 解得a＝－1， 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 【变式2】求满足下列条件的m的值． (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直． 解　(1)∵l1∥l2， ∴两直线的斜率相等． ∴m2－2＝－1且2m≠1， ∴m＝±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝， ∴m＝. 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线．若这两条直线垂直，求实数的值； 【答案】2； 【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. 【详解】直线，即与直线垂直， 则，解得， 所以实数的值为2. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·山东·阶段练习）经过点，斜率为3的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程：过点且斜率为的直线方程是，代入即可得出答案. 【详解】根据直线的点斜式方程：过点且斜率为的直线方程是， 所以经过点，斜率为3的点斜式方程为： 故选：A. 2．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为倾斜角为，则斜率，且过点， 则，即. 故选：A 3．（20-21高一上·陕西延安·期末）设点、，若直线与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为直线在轴上的截距，数形结合求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围. 【详解】如下图所示：    化直线方程为，则为直线在轴上的截距， 观察图象可知，当直线过点时，取最小值，此时，可得； 当直线过点时，取最大值，此时，可得. 综上所述，的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可． 【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错； 对于选项B中，直线的直线的，∴B错； 对于选项C中，直线的直线的∴C对； 对于选项D中，直线的直线的∴D错． 故选：C． 二、多选题 5．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，或； B．当时，； C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D．当时，直线关于对称的直线方程为： 【答案】BD 【分析】对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线关于的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可. 【详解】对于A：当时，有，此方程无解，故A错误； 对于B：令，解得，此时，，，故B正确； 对于C：当时，，，联立，得直线与的交点为，平行于的直线斜率为1， 故过直线与的交点且平行于的直线方程为：，故C错误； 对于D：当时，直线与的交点为,易知点在直线上， 设该点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，因为，所以， 所以所求直线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在下列四个命题中，不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及点斜式、两点式、截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可做出判断. 【详解】对于选项A，当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，斜率不存在；当时，倾斜角越大，斜率越大且斜率小于零；故选项A不正确； 对于选项B，当直线斜率不存在时，不可以用表示，故选项B不正确； 对于选项C，经过两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；故选项C正确； 对于选项D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，故选项D不正确； 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和互相垂直，则 . 【答案】 【分析】依题意可得两直线斜率之积为，即可求出参数的值. 【详解】因为直线和互相垂直， 所以，解得. 故答案为： 8．（21-22高二·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，在y轴上的截距为，即可求出直线的方程. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为， 所以直线方程为：. 故答案为：. 9．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 四、解答题 10．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可. （2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可. 【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 11．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，进而分析可得答案； （2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，直线的斜率为，倾斜角为， 由两点，得斜率， 则，即． （2）由（1）知，直线的斜率，则其方程为， 即，令，则直线在轴上的截距为1 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】直线斜率，故直线方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 4．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及所过的点，再利用直线的点斜式方程求出方程. 【详解】依题意，直线的斜率，则直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程是，即. 故选：B 二、多选题 5．（21-22高二下·全国·课后作业）一次函数，则下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图像经过一、二、三象限 B．当时，函数图像经过一、三、四象限 C．时，函数图像必经过一、三象限 D．时，函数在实数上恒为增函数 【答案】ABCD 【分析】根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可； 【详解】在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限； 若，则图像经过一、三、四象限； 若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数； 故选:ABCD. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（    ） A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程与方程表示同一条直线 D．直线过点，倾斜角为，则其方程为 【答案】BD 【分析】根据直线方程的形式，倾斜角和斜率的关系，逐一判断每个选项. 【详解】对于A，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故A选项错误； 对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B选项正确； 对于C，方程表示直线去掉点，与方程不表示同一直线，故C选项错误； 对于D，直线过点，倾斜角为，则其方程为，正确． 故选：BD 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程与方程可表示同一条直线； ③直线过点，倾斜角为，则其方程为. 其中正确结论的序号为 . 【答案】③ 【分析】根据直线的点斜式方程的意义可判断. 【详解】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误； 点不在方程所表示的直线上，所以②错误； ③显然正确； 故答案为：③. 8．（23-24高二上·全国·课后作业）思维辨析（对的写正确，错的写错误） （1）过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成．( ) （2）y轴所在直线方程为．( ) （3）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．( ) （4）过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．( ) 【答案】 错误 错误 错误 错误 【分析】对于（1），由点不满足即可判断；对于（2），由y轴所在直线方程为即可判断；对于（3）根据直线在y轴上的截距的定义即可判断；对于（4），由点斜式的限制条件即可判断. 【详解】（1）错误．点不满足，所以不能表示过点斜率为k的直线． （2）错误．y轴所在直线方程为． （3）错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标． （4）错误．过点且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来． 故答案为：错误；错误；错误；错误 9．（23-24高二上·新疆和田·期中）过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】因为， 所以过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为: . 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二·上海·假期作业）已知中，，求边所在直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，利用斜率公式求得的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为中，，可得的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. 11．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知的三个顶点，D为BC的中点.求： (1)中线AD所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解. （2）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）BC的中点，中线AD所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即. （2）、，BC边斜率k，则BC边上的高线的斜率k＝， 所以BC边上的高线所在直线的方程为，即.    【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数. 【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点与点可得折痕所在直线的方程为，由点与点可得折痕所在直线的方程为，故舍去； 由点与点可得折痕所在直线的斜率不为0， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即， 则有，解得. 所以 故选：D 2．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点为，，再由截距的绝对值相等列式，求解得的值有3个，从而得结论. 【详解】由题意，该直线斜率存在且不为，设所求直线的方程为， 令，则；令，则， 因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等， ，化简得或， 解得或或， 所以过并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条. 故选：C 二、多选题 3．（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．图像经过第一、二、三象限 C．过与直线平行的直线方程是 D．若直线，则 【答案】BC 【分析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角，判断A，结合直线的纵截距可判断B，确定直线是否平行且是否过已知点判断C，由垂直的条件判断D． 【详解】由直线方程知直线斜率为，因此倾斜角为，又纵截距是1，因此直线过一、二、三象限，A错B正确； 直线与直线平行，且，即过点，C正确； ，与不垂直，D错． 故选：BC． 三、解答题 4．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出点的坐标，再利用点斜式即可得解； （2）先求出点的坐标及直线的斜率，进而可求得所求直线的斜率，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 由题意，，又， 故，解得，，， 所以点的坐标为， 则， 所以直线的方程为， 即； （2）设所求直线为， 点是线段的中点，则， 直线的斜率为， 由于直线与垂直，故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即． 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知的顶点，，． (1)求AB边上的中线所在直线的方程； (2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求； （2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求． 【详解】（1）线段的中点为， 则中线所在直线方程为：，即. （2）设两坐标轴上的截距为， 若，则直线经过原点，斜率， 直线方程为，即； 若，则设直线方程为，即， 把点代入得，即，直线方程为； 综上，所求直线方程为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$