第15章　轴对称图形与等腰三角形 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线 第1课时　角的平分线的画法与性质定理 1. 角是　　　　　图形,　　　　　　所在的直线是它的对称轴.  2. (1) 通过　　　　　可以作出一个角的平分线;  (2) 可以用　　　　　来画一个角的平分线; (3) 利用　　　　作角的平分线.  3. 经过一点作已知直线的垂线,要考虑这一点可能在　　　　 或 　　　　. 4. 定理:角平分线上的点到角　　　　　　相等. 轴对称 角平分线 折纸 量角器 尺规 直线上 直线外 两边的距离 1. 如图,∠AOB=30°,OC平分∠AOB,D是OC上一点,过点D作DF∥OB交OA于点F,过点D作DE⊥OB于点E.若DE=1,则OF的长为 (　　) A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 　　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,BC=8cm,BD∶ CD=3∶4,则点D到AC的距离为 (　　) A. 3cm B. 4cm C. cm D. cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=8.5,DE=2,AB=5,则AC的长是 (　　) A. 3.5 B. 4 C. 5 D. 6 A 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D.若CD=1,AB=4,则△ABD的面积是　　　　. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠C=∠DAC. (1) 作∠ADB的平分线,交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法); (2) 在(1)的条件下,求证:DE∥AC. (1) 如图所示　 (2) ∵ ∠ADB=∠C+∠DAC,∠C=∠DAC,∴ ∠ADB=2∠C.∵ DE是∠ADB的平分线,∴ ∠ADB=2∠BDE.∴ ∠BDE=∠C.∴ DE∥AC 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,BC=3,连接AC,AC⊥CD,∠ACB= ∠D,E是边AD上一动点,则CE长的最小值是 (　　) A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 　　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于 点E.若∠ABC=60°,∠C=45°,DE=3,则△ABD的面积为 　　　　.  9 解析:过点D作DF⊥AB于点F.∵ BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,∴ DF=DE=3,∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°.在Rt△BDE中,∠DBC=30°, ∴ BD=2DE=6.在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,∴ ∠A=180°-∠ABC-∠C=75°.∵ ∠BDA=∠DBC+∠C=75°,∴ ∠A=∠BDA.∴ AB= BD=6.∴ S△ABD=AB·DF=×6×3=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,E是AC的中点. (1) 作∠DAC的平分线AM,连接BE并延长,交AM于点F(保留作图痕迹,不写作法); (1) 如图所示 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 在(1)的条件下,试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由. (2) AF∥BC,AF=BC　理由:∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C. ∴ ∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.∵ AM是∠DAC的平分 线,∴ ∠DAC=2∠FAC.∴ ∠C=∠FAC.∴ AF∥BC.∵ E 是AC的中点,∴ AE=CE.在△AEF和△CEB中,∵ ∴ △AEF≌△CEB(ASA).∴ AF=CB. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 在△ABC中,AE,BF是角平分线,并且交于点O. (1) 如图①,若OE=OF,AC≠BC,求∠C的度数; 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1) 连接OC,过点O作OM⊥BC于点M,ON⊥AC于点N,OH⊥AB于点H,则∠OME=∠ONF=∠ONC=90°.∵ AE平分∠BAC,BF平分∠ABC,OM⊥ BC,ON⊥AC,OH⊥AB,∴ OH=ON=OM.在Rt△OEM和Rt△OFN中,∵ ∴ Rt△OEM≌Rt△OFN(HL).∴ ∠EOM=∠FON.∴ ∠EOM+∠EON=∠FON+∠EON,即∠MON=∠EOF.∴ ∠AOB=∠EOF =∠MON=∠MOC+∠NOC=90°-∠OCM+90°-∠NCO=180°-(∠OCM +∠NCO)=180°-∠ACB.∵ AE平分∠BAC,BF平分∠ABC,∴ ∠BAO= ∠BAC,∠ABO=∠ABC.∴ ∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABO)=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(180°-∠ACB)=90°+∠ACB,即90°+ ∠ACB=180°-∠ACB.∴ ∠ACB=60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 如图②,若∠C=90°,BC=8,AC=6,AB=10,求△AOB的面积. (2) 如图,连接OC,过点O作OD⊥AB于点D,OG⊥BC于点 G,OH⊥AC于点H.∵ AE平分∠BAC,BF平分∠ABC,OD ⊥AB,OG⊥BC,OH⊥AC,∴ OD=OG=OH.∵ S△ABC= S△AOB+S△BOC+S△AOC,∴ BC·AC=AB·OD+BC·OG+ AC·OH.∴ ×8×6=×10OD+×8OG+×6OH=12OD. ∴ OD=2.∴ S△AOB=AB·OD=×10×2=10 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.3　等腰三角形 第3课时　含30°角的直角三角形的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的　　　　. 一半 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,∠B=30°,P是边BC上一动点,连接AP.AP的长不可能是 (　　) A. 4.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 9.5　　　 2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°,BD= 2cm,则AB的长是 (　　) A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3. (2023·贵州)2023中国国际大数据产业博览会在贵阳举办,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(如图),它的顶角为120°,腰长为12m,则底边上的高是 (　　) A. 4m B. 6m C. 10m D. 12m 　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BC=5cm,则AB=　　　　cm.  5. 如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,DE⊥BC,CE=6,则线段AB的长为　　　　. 10 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,在△ABC中,AB=AC,CE=6,直线ED是线段AC的垂直平分线, ∠BAC=120°.求线段BE的长. 连接AE.∵ AB=AC,∠BAC=120°,∴ ∠B=∠C= (180°-∠BAC)=30°.∵ 直线ED是线段AC的垂 直平分线,∴ AE=CE=6.∴ ∠EAC=∠C=30°.∴ ∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°.在Rt△BAE中,∠B =30°,∴ BE=2AE=12 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P138练习第3题变式)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,DA⊥ AC.求证:CD=2BD. ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C=30°.∴ ∠BAC=180°- (∠B+∠C)=120°.∵ DA⊥AC,∴ ∠DAC=90°. ∴ ∠BAD=∠BAC-∠DAC=30°.在Rt△ADC中, ∠C=30°,∴ CD=2AD.∵ ∠B=∠BAD=30°, ∴ AD=BD.∴ CD=2BD 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.若AD=2,则BE的长为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,点M,N在边AB上, CM=CN.若MN=2,则AM的长为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 解析:过点C作CD⊥AB于点D.∵ CM=CN,CD⊥AB,∴ DM=MN=1.∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC=90°.∵ ∠A=60°,∴ ∠ACD=90°-∠A=30°.∴ AD=AC=2.∴ AM=AD-DM=2-1=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. (2023·吉林)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC<AC.点D,E分别在边AB, BC上,连接DE,将△BDE沿DE折叠,点B的对应点B'恰好落在边AC上, ∠CB'E=30°,CE=3,则BC的长为　　　　.  　 11. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=9cm,D为BC上一点,DE ⊥AB于点E,DF⊥CA,交CA的延长线于点F,则DE+DF=　　　　cm.  9 4.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,△ABC是等边三角形,P是△ABC的角平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,QF垂直平分线段BP,交BC于点F. (1) 若BQ=2,求PE的长; (1) ∵ QF垂直平分线段BP,∴ BP=2BQ=4.∵ △ABC是 等边三角形,∴ ∠ABC=60°.∵ BD是∠ABC的平分线, ∴ ∠EBP=∠PBC=∠ABC=30°.∵ PE⊥AB,∴ ∠BEP =90°.∴ PE=BP=2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 连接PF,EF,试判断△EFP的形状,并说明理由. (2) △EFP是直角三角形　 理由:由(1),得∠EBP=∠PBC=30°,∠BEP=90°, ∴ ∠EPB=90°-∠EBP=60°.∵ QF垂直平分线段 BP,∴ BF=PF.∴ ∠FPQ=∠FBQ=30°.∴ ∠EPF =∠EPB+∠FPQ=90°.∴ △EFP是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,一艘轮船早上8时从点A处向正北方向出发,此时小岛P在轮船的北偏西15°的方向上,轮船每时航行15海里,11时到达点B处,此时小岛P在轮船的北偏西30°的方向上. (1) 求证:AB=PB. (1) 由题意,得∠A=15°,∠PBC=30°,∴ ∠APB=∠PBC- ∠A=15°.∴ ∠APB=∠A.∴ AB=PB 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,那么是否会有触礁危险?请说明理由. (2) 不会　理由:过点P作PE⊥AC,垂足为E,则∠PEA=90°. ∵ ∠PBC=30°,∴ PE=PB=AB.由题意,得AB=15×(11-8) =45(海里),∴ PE=AB=22.5海里.∵ 22.5>20,∴ 如果轮船不 改变方向继续向前航行,那么不会有触礁危险. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.2　线段的垂直平分线 1. 定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　　　　.  2. 定理:到线段两端距离相等的点在线段的　　　　　　上.  3. 三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形　　　 　　的距离相等. 相等 垂直平分线 三个顶点 1. 在△ABC的边BC上找一点P,使得PA+PC=BC.下列作法正确的是 (　　) A. 如图①.以点B为圆心,BA为半径画弧,交BC于点P,点P即为所求 B. 如图②.以点C为圆心,CA为半径画弧,交BC于点P,点P即为所求 C. 如图③.作AC的垂直平分线交BC于点P,点P即为所求 D. 如图④.作AB的垂直平分线交BC于点P,点P即为所求 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. (2023·淮北期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,连接AD.若AE=4cm,则△ABC的周长与△ABD的周长的差为 (　　) A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 　　 3. (教材P131习题15.2第2题变式)如图,△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若△ADB的周长是10cm,AC=7cm,则AB的长是 (　　) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,PD垂直平分AB,PE垂直平分BC.若PC的长为5,则PA的长是　　 . 　 　 5. 如图,AF垂直平分BD,DE垂直平分BC.若AD=3,DC=4,则△ABD的周长为　　　　. 5 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,CD垂直平分AB,BE垂直平分AC.求证:AB=AC. 连接BC.∵ CD垂直平分AB,∴ AC=BC.∵ BE垂直平 分AC,∴ AB=BC.∴ AB=AC 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (2022·合肥肥西县段练)如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥ AB于点E.求证:AD垂直平分CE. ∵ DE⊥AB,AC⊥BC,∴ ∠AED=∠ACD=90°.∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠DAE=∠DAC.在△AED和△ACD中, ∵ ∴ △AED≌△ACD(AAS).∴ AE= AC,DE=DC.∴ AD垂直平分CE 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,P是∠AOB外一点,M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R恰好落在线段MN的延长线上.若PM=3.5cm,PN=4cm,MN=5cm,则线段QR的长为 (　　) A. 4.5cm B. 5.5cm C. 6.5cm D. 7cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,AD是BC的垂直平分线,点C在线段AE的垂直平分线上.若AB=4, BC=5,则线段DE的长为 (　　) A. 4 B. 5 C. 6.5 D. 7 10. 在△ABC中,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,连接AD,AE.若DE=4,则AD+AE的长为 (　　) A. 6 B. 14 C. 6或14 D. 6或10 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在△ABC中,DE垂直平分边BC,分别与AB,BC交于D,E两点,连接CD,FG垂直平分边AC,分别与CD,AC交于F,G两点,连接AF.若△ADF的周长为13,AD=4,则BD的长为　　　　. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线l1交AB于点M,交BC于点D,边AC的垂直平分线l2交AC于点N,交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为10. (1) 求BC的长; (1) ∵ l1垂直平分边AB,∴ DB=DA. 同理,可得EA=EC. ∵ △ADE的周长为10,∴ DA+EA+DE=10.∵ BC=DB+ DE+EC,∴ BC=DA+DE+EA=10　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由. (2) 点O在边BC的垂直平分线上　 理由:连接OA,OB,OC.∵ l1与l2分别是边AB,AC的垂直 平分线,∴ OA=OB,OC=OA.∴ OB=OC.∴ 点O在边BC 的垂直平分线上. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,连接AD. (1) 若△ADC的周长为16,AB=12,求△ABC的周长; (1) ∵ DE是AB的垂直平分线,∴ AD=BD.∵ △ADC的 周长为16,∴ AD+DC+AC=16.∴ △ABC的周长=AB+BC +AC=AB+BD+DC+AC=AB+(AD+DC+AC)=12+16=28 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若AD将∠CAB分成两个角,且∠CAD∶∠DAB=2∶5,求∠ADC的度数. (2) 设∠CAD=2x,则∠DAB=5x.∵ DE垂直平分AB, ∴ ∠AED=∠BED=90°,AE=BE.在△AED和△BED 中,∵ ∴ △AED≌△BED(SAS). ∴ ∠DAB=∠B=5x.∴ ∠ADC=∠B+∠DAB=10x.在 Rt△ADC中,2x+10x=90°,解得x=7.5°.∴ ∠ADC= 10x=75° 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.3　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 1. 等腰三角形是　 　　　图形,　　　　上的中线所在的直线是它的对称轴.  2. 等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角　　 　　.简称“　　　　　 　　”.  3. 等腰三角形的性质定理2:等腰三角形顶角的平分线　　　　　底边. 4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高“________ 　 ”. 5. 定理1的推论:　　 　三角形三个内角相等,每一个内角都等于　　 . 轴对称 底边 相等 等边对等角 垂直平分 三线合 一 等边 60° 1. (2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是 (　　) A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° 2. (2023·眉山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 (　　) A. 70° B. 100° C. 110° D. 140° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,E是AD上一点.若CE=5,则BE的长为 (　　) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (教材P133例1变式)如图,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,则∠BAC=　　　　.  5. (2023·锦州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B的度数为　　　　. 120° 35° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC上一点,EF垂直平分CD,交AC于点E,交BC于点F,连接DE.若∠A=56°,求∠DEC的度数. ∵ EF垂直平分CD,∴ DE=CE.∴ ∠EDC=∠ECD. ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.∴ ∠EDC=∠ABC. ∴ DE∥AB.∴ ∠DEC=∠A=56° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (2023·益阳)如图,AB∥CD,直线MN与AB,CD分别交于点E,F,G为CD上一点,且GE=GF.若∠1=122°,求∠2的度数. ∵ AB∥CD,∴ ∠MFD=∠1=122°,∠MFD=∠AEF, ∠2=∠AEG.∵ GE=GF,∴ ∠GEF=∠GFE=180°- ∠MFD=180°-122°=58°.∴ ∠2=∠AEG=∠AEF- ∠GEF=∠MFD-∠GEF=122°-58°=64° 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若等腰三角形ABC一个内角的度数为80°,则该三角形顶角的度数为 (　　) A. 80° B. 20° C. 80°或20° D. 以上都不对 9. (2023·安庆怀宁县期末)如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F.若∠BAC=112°,则∠EAF的度数为 (　　) A. 38° B. 42° C. 44° D. 48° C C 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=　　　°. 　 　 11. 如图,△ABC为等边三角形,P为边BC上一点,在AC上取一点D,使AD= AP. (1) 若∠APD=80°,则∠DPC=　　　　;  (2) 若∠APD=α,则∠BAP=　　　　. 52 20° 2α-120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (2023·亳州期末)如图,在△ABC中,E是边BC上一点,连接AE,BD垂直平分AE,交AE于点F,交AC于点D,连接DE. (1) 若AB=6,△DEC的周长为7,则△ABC的周长为　　　　;  19 解析:∵ BD垂直平分AE,∴ AB=EB=6,DA=DE. ∵ △DEC的周长为7,∴ DE+CE+CD=7.∴ DA+ CD+CE=AC+CE=7.∴ △ABC的周长=AB+BC+ AC=AB+EB+CE+AC=6+6+7=19. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若∠ABD=15°,∠C=45°,求∠CED的度数. (2) ∵ BD垂直平分AE,∴ AB=EB,BF是△ABE的中线. ∴ ∠EBD=∠ABD=15°,∠BAE=∠BEA.∵ ∠ABC= ∠EBD+∠ABD=30°,∴ ∠BAE=∠BEA=×(180°- ∠ABC)=75°.∴ ∠CAE=∠BEA-∠C=30°.∵ BD垂 直平分AE,∴ DA=DE.∴ ∠DEA=∠DAE=30°.∴ ∠CED=180°-∠BEA-∠DEA=75° 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. △ABC是等边三角形,D是直线BC上一点,以AD为边在AD的右侧作等边三角形ADE,连接CE. (1) 如图①,若点D在线段BC上,求证:CE+CD=AB. (1) ∵ △ABC与△ADE都是等边三角形,∴ AC=AB= BC,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°.∴ ∠DAE-∠CAD= ∠BAC-∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在△CAE和△BAD中, ∵ ∴ △CAE≌△BAD(SAS).∴ CE=BD. ∴ CE+CD=BD+CD=BC=AB 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 如图②,若点D在线段CB的延长线上,则线段CE,CD,AB之间有怎样的数量关系?并说明理由. (2) CE+AB=CD　理由:∵ △ABC与△ADE都是等边 三角形,∴ AC=AB=BC,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°. ∴ ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,即∠BAD=∠CAE. 在△CAE和△BAD中,∵ ∴ △CAE≌ △BAD(SAS).∴ CE=BD.∴ CE+AB=BD+BC=CD. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.1　轴对称图形 第1课时　轴对称图形与轴对称 1. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够_______ 　　那么这个图形叫做轴对称图形,这条　　　　叫做对称轴.  2. 平面内两个图形在一条直线的两旁,如果沿着这条直线折叠,这两个图形能够　　　　,那么称这两个图形成轴对称,这条　　　　就是对称轴.折叠后重合的　　　　叫做对应点(也叫对称点).  3. 一个轴对称图形,如果把它沿　　　　分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称.  完全重 直线 合 重合 直线 两点 对称轴 4. 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的_____ 　　　　,又叫做线段的　　　　.  5. 一般地,如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的　　　　　　　;反过来,成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴　　　　　. 垂直 中垂线 平分线 垂直平分线 垂直平分 1. (2023·武汉)现实世界中,对称现象无处不在,汉字中有些也具有对称性.下列汉字中,属于轴对称图形的是 (　　) 2. 下列图案中,属于轴对称图形的是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 3. (2022·北京)如图,图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 　　　 4. 我国传统木结构房屋的窗户常用各种图案装饰.如图,这个图案有_____条对称轴.  D 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图,在4×4的正方形网格中,已有3个小正方形被涂色.现在要从其余13个白色小正方形中选出一个也涂色,使涂色部分所形成的图形成为轴对称图形,有　　　　种涂法.  　 　 6. 如图,在△ABC中,∠B=25°,将△ABC沿直线m翻折,使点B落在点D的位置,则∠1-∠2=　　　　°. 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P122练习第4题变式)如图,下列各图都是一个汉字的一半,你能想象出它的另一半并确定它是什么字吗? 题图①中的汉字是“中”,题图②中的汉字是“林”,题图③中的汉字是“来”,题图④中的汉字是“共”,题图⑤中的汉字是“品”,题图⑥中的汉字是“吉” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (2023·安庆期末)下列图形中,是轴对称图形的有 (　　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图,用两把全等的含30°角的三角尺以相等的边为公共边进行拼图,能拼成的轴对称图形有 (　　) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 　 　 10. 如图,在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,将∠A与∠B分别沿MN和EF折叠,使点A,B与点C重合,则∠NCF的度数为 (　　) A. 80° B. 60° C. 20° D. 10° D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点A,B分别落在点A',B'的位置,再沿边AD将∠A'折叠到∠H处.若∠FEH=15°,则∠AEF的度数是　　 . 　 12. 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,D,E为边BC上的两动点,连接AD,AE,将△ABC的边AB和边AC分别沿AD,AE翻折,B,C两点翻折后的对应点为B', C',AB',AC'均在∠BAC内部.若∠B'AC'=30°,则∠DAE的度数为　 　　　. 115° 75°或45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称. (1) 画出直线EF,且直线MN与EF相交于点O,连接BO,B″O; (1) 如图所示 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角α之间的数量关系. (2) 如图,连接BB',B'O,B'B″与EF交于点G,BB'与MN交 于点H.∵ △ABC 和△A'B'C'关于直线MN对称,∴ MN 垂直平分BB'.∴ BH=B'H,MN⊥BB'.∴ ∠BHO=∠B'HO =90°.∵ OH=OH,∴ △OBH≌△OB'H(SAS).∴ ∠BOM =∠B'OM.又 ∵ △A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称, ∴ EF垂直平分B'B″.∴ B'G=B″G,EF⊥B'B″.∴ ∠B'GO =∠B″GO=90°.∵ OG=OG,∴ △OGB'≌△OGB″(SAS). ∴ ∠B'OE=∠B″OE.∴ ∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+ ∠B'OE+∠B″OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2∠MOE=2α,即 ∠BOB″=2α 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. (1) 用灰、白两种颜色的正方形纸片拼成如图①所示的图案,该图案是轴对称图形吗?若是,有几条对称轴? (2) 如图②③所示的图案是否是轴对称图形?若是,各有几条对称轴? (3) 请你推断,按此规律进行下去,第 个图案(n≥2)是否是轴对称图形?若是,有几条对称轴? (1) 是轴对称图形,有4条对称轴　 (2) 都是轴对称图形,都有2条对称轴　 (3) 是轴对称图形,有2条对称轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 小专题(十)　等腰三角形中常见辅助线的作法 类型一　作垂线法 1. 如图,△ABC为等腰三角形,D是底边BC上一点,DM⊥AB于点M,DN⊥ AC于点N.若BC=16,AB=AC=10,点A到BC的距离为6,则DM+DN=　　　. 9.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析:如图,连接AD,过点A作AE⊥BC,垂足为E.∵ 点A到BC的距离为6,∴ AE=6.∵ DM⊥AB,DN⊥AC,S△ABD+S△ADC=S△ABC,∴ AB·DM+AC·DN= BC·AE.∴ AB·DM+AC·DN=BC·AE.∵ BC=16,AB=AC=10,AE=6,∴ 10DM+10DN=16×6.∴ DM+DN=9.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,在△ABC中,AB=AC,D为边AB上一点,过点D作DF⊥AB,交AC于点E,交BC的延长线于点F.求证:∠F=∠BAC. 过点A作AG⊥BC于点G,则∠AGB=90°.∴ ∠B+∠BAG =90°.∵ DF⊥AB,∴ ∠BDF=90°.∴ ∠B+∠F=90°. ∴ ∠F=∠BAG.∵ AB=AC,AG⊥BC,∴ ∠BAG=∠BAC. ∴ ∠F=∠BAC 第2题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE, DE的延长线交BC于点F.求证:DF⊥BC. 过点A作AM⊥BC于点M,则∠AMB=90°.∵ AB=AC, AM⊥BC,∴ ∠BAC=2∠BAM.∵ AD=AE,∴ ∠D= ∠AED.∴ ∠BAC=∠D+∠AED=2∠D.∴ ∠BAM= ∠D.∴ DF∥AM.∴ ∠DFB=∠AMB=90°.∴ DF⊥ BC 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型二　作平行线法 4. 如图,在△ABC中,点E在边AC的延长线上,点D在边AB上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形. 过点D作GD∥AC,交BC于点G,则∠GDF=∠E.在△GDF 和△CEF中,∵ ∴ △GDF≌△CEF(ASA). ∴ GD=CE.∵ BD=CE,∴ BD=GD.∴ ∠B=∠DGB.∵ GD∥ AC,∴ ∠DGB=∠ACB.∴ ∠B=∠ACB.∴ AB=AC.∴ △ABC 是等腰三角形 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,在等边三角形ABC中,D是边AC上一动点(与点A,C不重合),延长AB至点E,使BE=CD,连接DE交BC于点F.求证:DF=EF. 过点D作MD∥AE,交BC于点M,则∠CDM=∠A,∠CMD =∠ABC.∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠A=∠ABC=∠C= 60°.∴ ∠CDM=∠CMD=60°.∴ ∠CDM=∠CMD= ∠C.∴ △CDM是等边三角形.∴ CD=MD.∵ CD=BE, ∴ BE=MD.∵ MD∥AE,∴ ∠MDF=∠E.在△DMF和 △EBF中,∵ ∴ △DMF≌△EBF(AAS).∴ DF=EF 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　补形法 6. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD于点D,∠A=∠ABD.若AC=6,BC=4,则BD的长为 (　　) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 第6题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AE平分∠BAC,∠D= ∠DBC=60°.若BD=5cm,DE=3cm,求BC的长. 延长DE交BC于点M,延长AE交BC于点N.∵ AB=AC,AE 平分∠BAC,∴ AN⊥BC,BN=CN=BC.∴ ∠ENM=90°. ∵ ∠D=∠DBC=60°,∴ ∠DMB=180°-∠D-∠DBC= 60°.∴ ∠D=∠DBC=∠DMB.∴ △BDM为等边三角形. ∴ BD=DM=BM=5cm.又∵ DE=3cm,∴ EM=DM-DE=5-3=2(cm).∵ ∠DMB=60°,∠ENM=90°,∴ ∠NEM=90°-∠DMB=30°.∴ NM= EM=1cm.∴ BN=BM-NM=5-1=4(cm).∴ BC=2BN=8cm 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型四　截长补短法 8. 如图,在△ABC中,∠A=60°,BE,CF分别平分∠ABC,∠ACB,且交于点P. (1) 求∠BPC的度数. (1) ∵ ∠A=60°,∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. ∵ BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴ ∠ABE=∠CBE= ∠ABC,∠BCF=∠ACF=∠ACB.∴ ∠CBE+∠BCF= (∠ABC+∠ACB)=×120°=60°.∴ ∠BPC=180°-(∠CBE+∠BCF)=180°-60°=120° 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 连接EF.求证:△EFP是等腰三角形. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 如图,在BC上截取BQ,使BQ=BF,连接PQ,AP.由(1),得∠FBP=∠QBP, ∠QCP=∠ECP.在△FBP和△QBP中,∵ ∴ △FBP≌ △QBP(SAS).∴ FP=QP,∠BFP=∠BQP.∵ ∠FAE=60°,∠FPE=∠BPC =120°,∴ ∠AFP+∠AEP=360°-∠FAE-∠FPE=360°-60°-120°= 180°.∵ ∠BFP=180°-∠AFP,∠CEP=180°-∠AEP,∴ ∠BFP+∠CEP =(180°-∠AFP)+(180°-∠AEP)=360°-(∠AFP+∠AEP)=180°.∵ ∠CQP+∠BQP=180°,∠BFP=∠BQP,∴ ∠CQP=∠CEP.在△CQP和 △CEP中,∵ ∴ △CQP≌△CEP(AAS). ∴ QP=EP.∵ FP=QP,∴ FP=EP.∴ △EFP是等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型五　加倍法 9. 如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD. 如图,延长DE到点F,使FE=DE,连接BF.∵ E是BC的中 点,∴ BE=CE.在△BEF和△CED中,∵ ∴ △BEF≌△CED(SAS).∴ ∠F=∠CDE, BF=CD.∵ ∠BAE=∠CDE,∴ ∠BAE=∠F. ∴ AB=BF.又∵ BF=CD,∴ AB=CD 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图,在△ABC中,AB=AC,CE是边AB上的中线,延长AB至点D,使BD= AB.求证:CD=2CE. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图,延长CE至点F,使FE=CE,连接BF.∵ CE是边AB上的中线,∴ AE= BE.在△ACE和△BFE中,∵ ∴ △ACE≌△BFE(SAS). ∴ AC=BF,∠A=∠EBF.∵ AB=AC,∴ ∠ACB=∠ABC. ∴ ∠FBC=∠ABF +∠ABC =∠A+∠ACB.∵ ∠DBC是△ABC的一个外角,∴ ∠DBC=∠A+ ∠ACB.∴ ∠DBC=∠FBC.∵ AB=AC,BD=AB,AC=BF,∴ BD=BF.在 △DBC和△FBC中,∵ ∴ △DBC≌ △FBC(SAS).∴ CD=CF=2CE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 1. 定理:有两个角相等的三角形是　　　　　　.简称“等角对　　　 ”. 2. 推论1:　　　　个角都相等的三角形是等边三角形.  3. 推论2:有一个角是　　　　的等腰三角形是等边三角形. 等腰三角形 等边 三 60° 1. 在△ABC中,若∠A=15°,∠B=150°,则△ABC是 (　　) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 2. 如图,AD=BC,AB=AC=BD,∠D=∠DEA=∠C,则图中的等腰三角形一共有 (　　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3. 如图,在△ABC中,∠A=60°,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧交于两点,过两点的直线交AC于点D,连接BD,则△ABD的形状是 　　　　　　.  4. (2023·丽水)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接AD,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是　　　　.  等边三角形 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. (教材P137例4变式)一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的点M处,它以每时40n mile的速度向正北航行,2h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的点N处,则点N处与灯塔P之间的距离为　　　　n mile. 80 6. 如图,在△ABC中,∠A=40°,点E在边AC上,连接BE,∠CEB=∠CBE.若∠ABC=80°,求证:△BCE 是等边三角形. ∵ ∠CEB=∠CBE,∴ CB=CE.又∵ ∠A=40°,∠ABC =80°,∴ ∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-80°= 60°.∴ △BCE是等边三角形 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E. (1) 若∠BAC=120°,AC=5,求CE的长; (1) ∵ ∠BAC=120°,∴ ∠EAC=180°-∠BAC=60°, ∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°.∵ CE∥AD,∴ ∠ACE =∠CAD=60°,∠E=∠BAD=60°.∴ ∠E=∠EAC=∠ACE.∴ △ACE是等边三角形.∴ CE=AC=5 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求证:△ABC为等腰三角形. (2) 如图,过点D作DF⊥AB于点F,作DG⊥AC于点G, 则∠AFD=∠AGD=90°.在△AFD和△AGD中,∵ ∴ △AFD≌△AGD(AAS).∴ DF= DG.∵ AD是△ABC的中线,∴ BD=CD.∴ S△ABD= S△ACD.∴DF·AB=DG·AC.∴ AB=AC.∴ △ABC为 等腰三角形 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在△ABC中,∠ABC=70°,∠BAC=40°,P为直线CB上一动点,并沿直线CB从右向左移动.要使点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构成等腰三角形,则满足条件的点P有 (　　) A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 9个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (2023·江西)将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置,若∠α=60°,点B,C对应的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为　　cm. 10. 如图,在△ABC中,∠BAC>90°,D为边BC的中点,点E在边AC上,将△CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处,连接AD,CF.请写出图中所有的等腰三角形:　 .  2 △DBF,△DFC,△EAF,△EFC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在等边三角形ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°,DE交△ABC的外角平分线于点E,连接AE,则△ADE的形状是　　　　　　. 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:过点D作AC的平行线交AB于点P.∵ △ABC是等边三角形,∴ AB= BC=AC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°.∵ PD∥AC,∴ ∠BPD=∠BAC=60°, ∠PDB=∠ACB=60°.∴ ∠B=∠BPD=∠PDB.∴ △BDP为等边三角形. ∴ BD=BP.∴ AB-BP=BC-BD,即AP=DC.∵ ∠ADP+∠DAP=∠BPD= 60°,∠ADP+∠EDC=180°-∠PDB-∠ADE=60°,∴ ∠ADP+∠DAP= ∠ADP+∠EDC.∴ ∠DAP=∠EDC.∵ CE是△ABC外角的平分线,∴ ∠ACE=×(180°-∠ACB)=60°.∵ ∠APD=180°-∠BPD=120°, ∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°,∴ ∠APD=∠DCE.在△ADP和△DEC中, ∵ ∴ △ADP≌△DEC(ASA).∴ AD=DE.又∵ ∠ADE= 60°,∴ △ADE是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F. (1) 判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由. (1) 直线BE垂直平分线段AD　理由:∵ AM⊥BC, ∴ ∠AMB=90°.∴ ∠ABC+∠5=90°.∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠ABC+∠C=90°.∴ ∠5=∠C.∵ AD平分 ∠MAC,∴ ∠3=∠4.∵ ∠BAD=∠5+∠3,∠ADB= ∠C+∠4,∴ ∠BAD=∠ADB.∴ AB=BD.∵ BE平分 ∠ABC,∴ 直线BE垂直平分线段AD. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若∠C=30°,则图中是否存在等边三角形?若存在,请写出来并证明;若不存在,请说明理由. (2) 存在,△ABD,△GAE是等边三角形　 ∵ ∠C=30°,∠BAC=90°,∴ ∠ABD=60°.由(1),得 AB=BD,∴ △ABD是等边三角形.∵ BE平分∠ABC, ∴ ∠1=∠2=∠ABC=30°.∵ ∠GMB=90°,∴ ∠BGM=90°-∠2=60°. ∴ ∠AGE=60°.∵ AM⊥BC,∴ ∠AMC=90°.∵ ∠C=30°,∴ ∠GAE= 90°-∠C=60°.∴ ∠AEG=180°-∠GAE-∠AGE=60°.∴ ∠AGE= ∠GAE=∠AEG.∴ △AEG是等边三角形 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证: (1) EF⊥AB; (1) ∵ AB=AC,∠BAC=36°,∴ ∠ABC=∠ACB=(180° -∠BAC)=72°.∵ BD是∠ABC的平分线,∴ ∠ABD= ∠ABC=36°.∴ ∠BAD=∠ABD.∴ AD=BD.又∵ E是 AB的中点,∴ DE⊥AB,即EF⊥AB　 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) △ACF为等腰三角形. (2) ∵ EF⊥AB,E是AB的中点,∴ EF垂直平分AB. ∴ AF=BF.∴ ∠BAF=∠ABF=72°.∵ ∠BAD=36°, ∴ ∠FAD=∠BAF-∠BAD=36°.又∵ ∠ACB=72°, ∴ ∠AFC=∠ACB-∠FAD=36°.∴ ∠CAF=∠AFC. ∴ AC=CF,即△ACF为等腰三角形 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 小专题(十一)　等腰三角形中的分类讨论 类型一　与角度有关的分类讨论 1. 已知等腰三角形的一个内角的度数为40°,则它的顶角的度数为 (　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 2. 如图,直线a,b交于点O,∠α=60°,A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动.若以O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB=　 　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 30°或60° 3. 在等边三角形ABC中,E是∠ABC的平分线BD上的一点,∠AEB=105°,点P在△ABC的边上.若AE=EP,求∠AEP的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠ABC=60°.∵ BE平分∠ABC,∴ ∠ABE= ∠CBE=∠ABC=30°.∵ ∠AEB=105°,∴ ∠BAE=180°-∠ABE- ∠AEB=45°.当点P在边AB上时,如图①.∵ AE=EP,∴ ∠BAE=∠APE= 45°.∴ ∠AEP=180°-∠BAE-∠APE=90°.当点P在边BC上时,如图②,连接CE.∵ △ABC是等边三角形,∴ BA=BC.在△ABE和△CBE中,∵ ∴ △ABE≌△CBE(SAS).∴ ∠BAE=∠BCE=45°,AE= CE.∵ AE=EP,∴ EP=CE.∴ ∠EPC=∠PCE=45°.∴ ∠BEP=∠EPC-∠CBE=45°-30°=15°.∴ ∠AEP=∠AEB+∠BEP=105°+15°=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当点P在边AC上时,∵ AE=EP,AE=CE,∴ 点P与点C重合.∴ ∠EAP= ∠EPA.∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠BAC=60°.∴ ∠EAP=∠BAC-∠BAE=60°-45°=15°.∴ ∠EPA=15°.∴ ∠AEP=180°-∠EAP-∠EPA=150°.综上所述,∠AEP的度数为90°或120°或150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型二　与腰、底边有关的分类讨论 4. 已知一个等腰三角形的周长是8cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为 (　　) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 2cm或4cm 5. 已知一个等腰三角形的两边长a,b满足|a-4|+=0,则这个等腰三角形的周长是　　　　.  6. 已知一个等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则它的周长是 　　　　cm. A 14或16 11或13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型三　与中线有关的分类讨论 7. 已知一个等腰三角形的周长为45cm,一条腰上的中线将这个三角形的周长分为3∶2的两部分,求这个等腰三角形的一条腰长. 假设在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是△ABC的中线,则AC=2AD.∴ AB=AC=2AD.∵ △ABC的周长为45cm,BD将这个三角形的周长分为3∶2的两部分,∴ 这两部分分别为45×=27(cm),45×=18(cm).当AB+AD=27cm时,2AD+AD=27cm,∴ AD=9cm.∴ AB=AC=2AD=18cm.当AB+AD=18cm时,2AD+AD=18cm,∴ AD=6cm.∴ AB=AC=2AD=12cm.综上所述,这个等腰三角形的一条腰长为18cm或12cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型四　与高有关的分类讨论 8. 如果等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为45°,那么这个等腰三角形的一个底角的度数为 (　　) A. 22.5° B. 67.5° C. 67° 50' D. 22.5°或67.5° 9. 已知一个等腰三角形的一个内角为80°,则该等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数为　　 　　.  10. 等腰三角形两腰上的高所在直线所夹的较小角是70°,则它的顶角的度数是　　 　　. D 10°或70° 70°或110° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型五　与动点有关的分类讨论 11. 如图,P是射线OD上一动点,∠AOD=40°,当∠A的度数为__________ 　　　　时,△AOP为等腰三角形. 40°或70° 或100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,点P在边BA上从点B出发向点A运动,点P的速度为2cm/s;点Q在边CB上从点C出发向点B运动,点Q的速度为3cm/s.点P,Q同时开始运动,当其中任意一点到达终点时,两点同时停止运动.设运动时间为ts. (1) 经过几秒△PBQ为等边三角形? ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠B=60°,AB=BC=6cm. ∵ 点P的速度为2cm/s,点Q的速度为3cm/s,∴ BP=2tcm, BQ=(6-3t)cm.∵ 6÷2=3(s),6÷3=2(s),∴ 0<t<2. (1) ∵ ∠B=60°,∴ 当BP=BQ时,△PBQ是等边三角形. ∴ 2t=6-3t,解得t=1.2.∴ 经过1.2s△PBQ为等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 当t为何值时,△PBQ为直角三角形? (2) ① 当∠BPQ=90°时,如图①.∵ ∠B=60°,∴ ∠BQP =90°-∠B=30°.∴ BP=BQ.∴ 2t=×(6-3t),解得t=. ② 当∠BQP=90°时,如图②.∵ ∠B=60°,∴ ∠BPQ= 90°-∠B=30°.∴ BQ=BP.∴ 6-3t=×2t, 解得t=.综上所述,当t=或时,△PBQ为直 角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 类型六　与等腰三角形个数有关的分类讨论 13. 如图,在5×5的正方形网格中,点A,B都在格点处.若以线段AB为腰的等腰三角形ABC的另一顶点C也在格点处,则符合条件的点C的个数为 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(0,3),(4,3).在坐标轴上找一点C,使△ABC是等腰三角形,则符合条件的点C的个数是　　　　. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,A为直线MN上一点,B为直线MN外一点,连接AB. (1) 在直线MN上作点P,使得△PAB为等腰三角形(作出所有满足条件的点P,不写作法,保留作图痕迹); (1) 如图①,点P1,P2,P3,P4即为所求　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若(1)中满足条件的点P只有两个,请直接写出∠BAN的度数. (2) ∠BAN的度数为60°或90°或120°　 解析:当(1)中满足条件的点P只有两个时,说明满 足条件的点发生了重合或消失的情况,如图②③ ④所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.1　轴对称图形 第2课时　平面直角坐标系中的轴对称 　　一般地,已知点P(x,y),它关于x轴对称的点的坐标为P1(　 　,　 　),它关于y轴对称的点的坐标为P2(　　　,　　　). x -y -x y 1. 已知点A(a+1,2)关于y轴的对称点为B(3,b-1),则a+b的值为 (　　) A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 2. 已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是 (　　) A. a<-1 B. -1<a< C. -<a<1 D. a> B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 3. 在平面直角坐标系中,点A,B,C,O都在格点上,△ABC的位置如图所示.若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称,则△ABC的顶点A的对应点A'的坐标为 　　　　;若△A'B'C'与△A″B″C″关于x轴对称,则△A'B'C'的顶点B'的对应点B″的坐标为　　　　. (2,6) (4,-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. (教材P124练习第2题变式)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C均在格点上. (1) 在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1; (2) 写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2各顶点的坐标. (1) 如图所示　 (2) ∵ A(-3,2),B(-4,-3), C(-1,-1),∴ A2(-3,-2), B2(-4,3),C2(-1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (2023·合肥庐阳区期末)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点A,B,C均在格点上. (1) 在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'; (2) 求△ABC的面积. (1) 如图所示　 (2) △ABC的面积=3×4-× 2×3-×2×4-×1×2=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(0,1),(3,2),C是x轴上的任意一点,连接CA,CB.当CA+CB有最小值时,点C的坐标为 (　　) A. (0,0) B. (1,0) C. (-1,0) D. (3,0) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1对称的点的坐标是　　　 . 8. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,3),(2,0),P是y轴上的一个动点.当△ABP的周长最小时,△ABP的面积为　　　　. (-2,2) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,△ABC的顶点都在格点上. (1) 画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标; (2) 画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标; (3) 求△ABC的面积; (4) 在y轴上找到一点P,使点P到点B,C的距离之和 最短,画出图形,直接写出点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 如图所示　A1(0,2),B1(2,4),C1(4,1)　 (2) 如图所示　A2(0,-2),B2(-2,-4),C2(-4,-1)　 (3) △ABC的面积为3×4-×2×2-×2×3-× 1×4=5　 (4) 如图所示　点P的坐标为(0,-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 在棋盘中建立平面直角坐标系,三枚棋子A,O,B的位置如图①所示,它们的坐标分别是A(-1,1),O(0,0),B(1,0). (1) 如图②,添加一枚棋子C,使A,O,B,C四枚棋子成为一个轴对称图形,请在图中作出该图形的对称轴; (1) 如图,直线l即为所求 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 在其他格点上添加一枚棋子P,使A,O,B,P四枚棋子成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P所在位置的坐标(写出2个即可). (2) 答案不唯一,如(2,1),(0,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线 第2课时　角平分线性质定理的逆定理 1. 定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的　　　　　上.  2. 三角形三条内角平分线相交于　　　　点,这点到三角形三边的距离　　　　. 平分线 一 相等 1. AB,AC,BC三条路围成了一个小型社区,为让生活设施跟上时代的发展,该社区准备在社区内修建一个电动汽车充电点.现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置,则充电点应该建在 (　　) A. △ABC三条角平分线的交点处 B. △ABC三条中线的交点处 C. △ABC三条高线的交点处 D. △ABC三条边的垂直平分线的交点处 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,P是∠AOB内一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,且PC=PD,点E在OA上,∠AOB=50°,∠OPE=30°,则∠PEC的度数是 (　　) A. 50° B. 55° C. 45° D. 60° 　　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,在△ABC中,∠A=73°,∠C=47°,D是AC上一点,连接BD,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.若DE=DF,则∠DBF的度数是　　　　.  4. 如图,△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为20,24,12,P是△ABC三个内角平分线的交点,则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=　　 　　. 30° 5∶6∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,作射线AD.若BE =CF,求证:AD平分∠BAC. ∵ BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,∴ ∠CFD=∠BED =90°.在△BDE和△CDF中,∵ ∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ DE=DF.又∵ BF⊥AC, CE⊥AB,∴ AD平分∠BAC 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,在△ABC中,E是边BC上的中点,DE⊥BC于点E,DM⊥AB于点M, DN⊥AC,交AC的延长线于点N,BM=CN.求证:AD平分∠BAC. 连接BD,CD.∵ DE⊥BC,E是边BC上的中点,∴ DE 垂直平分BC.∴ BD=CD.∵ DM⊥AB,DN⊥AC,∴ ∠BMD=∠CND=90°.在Rt△BDM和Rt△CDN中, ∵ ∴ Rt△BDM≌Rt△CDN(HL).∴ DM =DN.又∵ DM⊥AB,DN⊥AC,∴ 点D在∠BAC的平 分线上,即AD平分∠BAC 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,点P到BE,BD,AC的距离相等.有下列对点P的描述:① 在∠B的平分线上;② 在∠DAC的平分线上;③ 在∠ECA的平分线上;④ 是∠B, ∠DAC,∠ECA的平分线的交点.其中,正确的个数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图,在△ABC中,∠C=90°,O是∠CAB,∠ABC的平分线的交点,且BC= 4,AB=5,AC=3,则点O到边AB的距离是　　　　　. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 已知点P在∠AOB内部,点D,E分别在边OA,OB上. (1) 如图①,若∠PDO=∠PEO=90°,且PD=PE,求证:点P在∠AOB的平分线上. (1) ∵ ∠PDO=∠PEO=90°,∴ PD⊥OA,PE⊥OB. ∵ PD=PE,∴ 点P在∠AOB的平分线上 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 如图②,若∠PDO+∠PEO=180°,且PD=PE,则点P是否在∠AOB的平分线上?试证明你的结论. (2) 点P在∠AOB的平分线上　 过点P作PF⊥OA于点F,作PG⊥OB于点G,则∠DFP =∠EGP=90°.∵ ∠PDO+∠PEO=180°,∠PEO+ ∠PEG=180°,∴ ∠PDF=∠PEG.在△PDF和△PEG 中,∵ ∴ △PDF≌△PEG(AAS).∴ PF=PG.又∵ PF⊥ OA,PG⊥OB,∴ 点P在∠AOB的平分线上 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图,△ABC是等边三角形,∠BDC=120°,连接AD. (1) 求证:DA平分∠BDC; (1) 过点A作AM⊥BD于点M,AN⊥CD于点N,则∠AMB= ∠AMD=∠AND=90°.∵ ∠BDC=120°,∴ ∠MAN=360° -∠AMD-∠AND-∠BDC=60°.∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠BAC=60°,AB=AC.∴ ∠BAC=∠MAN.∴ ∠BAC- ∠MAC=∠MAN-∠MAC,即∠BAM=∠CAN.在△ABM和 △ACN中,∵ ∴ △ABM≌△ACN(AAS). ∴ AM=AN.又∵ AM⊥BD,AN⊥CD,∴ DA平分∠BDC 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若BD=2,CD=1,求AD的长. (2) ∵ △ABM≌△ACN,∴ BM=CN.∵ DA平分∠BDC, ∴ ∠ADM=∠ADN=∠BDC=60°.∴ ∠DAM=90°-∠ADM=30°,∠DAN=90°-∠ADN=30°.∴ DM=DN =AD.∵ BD=2,CD=1,∴ BM+DM=CN+DM=DN-CD+ DM=2DM-CD=2.∴ DM=.∴ AD=2DM=3 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$