第15章 轴对称与等腰三角形 总结提升 课件 2024—2025学年沪科版数学八年级上册

第15章　轴对称图形与等腰三角形 第15章总结提升 考点一　识别轴对称图形 1. (2023·衡阳)下列四种化学仪器的示意图中,属于轴对称图形的是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 考点二　平面直角坐标系中的轴对称 2. 若点A(3,2)关于x轴的对称点为B,则点B的坐标为 (　　) A. (3,2)　 B. (-3,-2) C. (-3,2)　 D. (3,-2) 3. 若点A(a-1,2021)与点B(2022,b-1)关于y轴对称,则(a+b)2023的值为 (　　) A. 1　 B. -1 C. -2021　 D. 2022 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 考点三　线段的垂直平分线 4. 如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3,△ABD的周长为13, △ABC的周长为 (　　) A. 16　 B. 13　 C. 19　 D. 10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 考点四　利用等腰三角形的性质求角的度数 5. 如图,在△ABC中,CA=CB,D是AB的中点,∠B=42°.求∠ACD的度数. ∵ CA=CB,∴ ∠A=∠B=42°.∴ ∠ACB=180°-∠A- ∠B=96°.∵ CA=CB,D是AB的中点,∴ CD平分∠ACB. ∴ ∠ACD=∠ACB=48° 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 考点五　含30°角的直角三角形的性质定理的应用 6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高,∠A=30°,BD=1.5.求AD的长. 在Rt△ABC中,∠A=30°,∴ AB=2BC,∠B=90°-∠A =60°.∵ CD⊥AB,∴ ∠BDC=90°.∴ ∠BCD=90°- ∠B=30°.∴ BC=2BD=3.∴ AB=2BC=6.∴ AD=AB- BD=6-1.5=4.5 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB, AC于点D,E. (1) 求证:AE=2CE; (1) 连接BE.∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,∴ ∠ABC=60°. ∵ DE垂直平分AB,∴ BE=AE.∴ ∠ABE=∠A=30°.∴ ∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.∴ 在Rt△BCE中,BE=2CE. ∴ AE=2CE　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) 连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由. (2) △BCD是等边三角形　 理由:∵ DE垂直平分AB,∴ ∠ADE=90°.∵ ∠A=30°, ∴ 在Rt△ADE中,AE=2DE.由(1),知AE=2CE,∴ DE=CE. ∴ ∠EDC=∠ECD.∵ ∠DEC=∠A+∠ADE=120°,∴ ∠EDC=∠ECD=(180°-∠DEC)=30°.∴ ∠DCB=∠ACB-∠ECD=60°. ∵ ∠ABC=60°,∴ ∠BDC=60°.∴ ∠DCB=∠DBC=∠BDC.∴ △BCD是等边三角形. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 考点六　等腰三角形的判定定理的应用 8. 如图,∠1+∠2=180°,GP平分∠BGH. (1) 求证:△PGH是等腰三角形; (2) 若∠1=116°,求∠GPD的度数. (1) ∵ ∠1+∠2=180°,∠1+∠BGH=180°,∴ ∠2= ∠BGH.∴ AB∥CD.∴ ∠GPH=∠PGB.∵ GP平分 ∠BGH,∴ ∠PGH=∠PGB.∴ ∠GPH=∠PGH.∴ GH =PH.∴ △PGH是等腰三角形　 (2) ∵ ∠1=116°,∴ ∠BGH=180°-∠1=64°.∵ GP平分∠BGH,∴ ∠PGB=∠BGH=32°.∵ AB∥CD,∴ ∠GPD=180°-∠PGB=148° 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 考点七　角平分线的性质定理的应用 9. 如图,某中学校园内有一块直角三角形空地(Rt△ABC),园艺师傅以角平分线AD为边界,在其两侧分别种上了不同的花,在△ABD区域内种植了月季花,在△ACD区域内种植了牡丹花.已知∠BAC=90°,AB=10m,AC=6m,分别求月季花与牡丹花两种花的种植面积. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.∵ AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE=DF.设DE=DF=xm.∵ S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴ AB·AC=AB·DE+AC·DF.∴ ×10×6=×10x+×6x,解得x=.∴ DE=DF=m.∴ S△ABD=×10×=(m2),S△ACD=×6×=(m2).∴ 月季花的种植面积是m2,牡丹花的种植面积是m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,BC=18,边AC的垂直平分线DE交AC于点E,交BC于点D,则AD的长为 (　　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. 如图,在△ABC中,∠ABC和外角∠EAC的平分线BP,AP交于点P,PM⊥ BE,PN⊥BF.有下列结论:① CP平分∠ACF;② ∠ABC+2∠APC=180°; ③ ∠ACB=2∠APB;④ S△PAC=S△PAM+S△PNC.其中,正确的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. 如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,OA长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则∠AOB的度数为　　 . 13. (2023·亳州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,D是△ABC内一点,连接BD,CD.若∠1=∠2,则∠D的度数为　　　　. 60° 115° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,E是边AC上一点,连接BE并延 长到点D,连接CD.若∠BCD=120°,AB=2CD,AE=7,则线段CE的长为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,BC=DC. (1) 求证:△BCE≌△DCF; (1) ∵ AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点 F,∴ CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°.在Rt△BCE和 Rt△DCF中,∵ ∴ Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)　 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) 写出AB+AD与AE之间的数量关系,并给出证明. (2) AB+AD=2AE　∵ CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F, ∴ ∠CFA=∠CEA=90°.在Rt△FAC和Rt△EAC中, ∵ ∴ Rt△FAC≌Rt△EAC(HL).∴ AF=AE. ∵ △BCE≌△DCF,∴ BE=DF.∴ AB+AD=(AE+BE)+ (AF-DF)=AE+BE+AE-BE=2AE 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. (2023·亳州蒙城县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,F. (1) 求证:△CEF是等腰三角形; (1) ∵ ∠ACB=90°,∴ ∠B+∠BAC=90°.∵ CD⊥ AB,∴ ∠ADC=90°.∴ ∠CAD+∠ACD=90°.∴ ∠ACD=∠B.∵ AE是∠BAC的平分线,∴ ∠CAE= ∠EAB.∵ ∠EAB+∠B=∠CEF,∠CAE+∠ACD= ∠CFE,∴ ∠CFE=∠CEF.∴ CF=CE,即△CEF是 等腰三角形　 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) 若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,试说明AC与AB之间的数量关系. (2) ∵ 点E恰好在线段AB的垂直平分线上,∴ AE= BE.∴ ∠EAB=∠B.∵ ∠CAE=∠EAB,∴ ∠BAC= 2∠B.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠BAC+∠B=90°.∴ 2∠B+∠B=90°.∴ ∠B=30°.∴ 在Rt△ABC中, AC=AB 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 如图,在等边三角形ABC中,P为边AB上一点,线段CB与DC关于直线CP对称,连接DA并延长交直线CP于点E. (1) 若∠ACE=20°,求∠E的度数; (1) ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠ACB=60°,CB=CA. ∵ ∠ACE=20°,∴ ∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-20° =40°.∵ 线段CB与DC关于直线CP对称,∴ CB=CD, ∠ECB=∠ECD=40°.∴ ∠ACD=∠ECD-∠ACE=40°-20°=20°.∵ CA=CB=CD,∴ ∠CAD=(180°-∠ACD)=×(180°-20°)=80°.∵ ∠DAC=∠E+∠ACE,∴ ∠E=∠DAC-∠ACE=80°-20°=60° 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) 若AE=1,CE=4,求AD的长. (2) 过点C作CH⊥DE于点H.设∠ACE=α,则由(1),得∠ECB =∠ECD=60°-α.∴ ∠ACD=∠ECD-∠ACE=60°-2α.∵ CA=CD,∴ ∠CAD=(180°-∠ACD)=(180°-60°+2α)= 60°+α.∵ ∠CAD=∠E+∠ACE,∴ ∠E=∠CAD-∠ACE=60°+α-α=60°. ∵ CH⊥AD,CA=CD,∴ AH=DH,∠CHE=90°.∴ ∠ECH=90°-∠E= 30°.又∵ CE=4,∴ EH=CE=2.∴ AH=EH-AE=2-1=1.∴ AD=2AH=2 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. (2023·六安金寨县期末)如图,D是等边三角形ABC外一点,DB=DC, ∠BDC=120°,且点E,F分别在AB和AC上. (1) 求证:AD垂直平分BC. (1) ∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=AC.∴ 点A在BC的 垂直平分线上.∵ DB=DC,∴ 点D在BC的垂直平分线 上.∴ AD垂直平分BC 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) 若ED平分∠BEF,求证: ① FD平分∠EFC; ① 过点D作DM⊥EF于点M.∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=∠ACB=60°.∵ DB=DC,∠BDC=120°, ∴ ∠DBC=∠DCB=30°.∴ ∠ABD=∠ACD=90°. ∴ DB⊥AB,DC⊥AC.∵ DM⊥EF,ED平分∠BEF,∴ DB=DM.∵ DB=DC,∴ DM=DC.∵ DM⊥EF,DC⊥AC, ∴ FD平分∠EFC　 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ② △AEF的周长是AB长的2倍. ② ∵ ED平分∠BEF,∴ ∠BED=∠MED.在△EBD和 △EMD中,∵ ∴ △EBD≌ △EMD(AAS).∴ BE=ME.同理,可得CF=MF.∴ EF= ME+MF=BE+CF.∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=AC. ∴ △AEF的周长为AE+EF+AF=AE+ME+MF+AF=AE +BE+CF+AF=AB+AC=2AB 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$