福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

福州市八县（市）协作校2023-2024学年第二学期期末联考 高一 数学试卷 【完卷时间：120分钟 满分：150分】 命题：高新一中 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知，则的虚部为(  ) A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，是的中点，则(  ) A. B. C. D. 3．的内角、、的对边分别为、、，若，，，则(  ) A. B. 4 C . D. 3 4． 某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” (  ) A. 是对立事件 B. 都是不可能事件 C. 是互斥事件但不是对立事件 D. 不是互斥事件 5. 下列说法中正确的个数是(  ) 若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行 如果平面外有两点，到平面的距离相等，则直线AB∥． 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6．已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，，40，50；乙组：24，，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则 (  ) A．60 B．65 C．70 D．75 7. 已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形，如右图所示．若，则该直四棱柱的表面积为(  ) A. B. C. D. 8．一个电路如右图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为(  ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则 (  ) A. B. C. 不能作为一组基底 D. 在方向上的投影向量为 10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列正确的命题是 (  ) A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是锐角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是(  ) A. 圆台的侧面积为 B. 与所成角为 C. 圆台外接球的半径为 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为 第Ⅱ卷 ( 共92分) 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．掷两颗骰子，出现点数之和为6的概率为 . 13．写出一个同时满足①②的复数 . ①；②. 14. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为 克． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知复数满足，． （1）求； （2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，B，C，求. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知． 求的大小； 若面积为，外接圆面积为，求周长. 17. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由． 18．我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：    (1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数（结果为准确值）； (2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）；（结果保留整数） (3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率． 19.罗星塔,位于福州马尾,某校开展数学建模活动,有学生选择测量罗星塔的高度,为此,他们设计了测量方案,如图, 罗星塔垂直于水平面,他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得∠ADB=45°, AB=30米，且在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和 ,其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长; (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积; (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 高一数学 — 第2页 —（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考 高一数学参考答案 一、单选题（每题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C C A D A C C A 二、多选题（每小题6分, 共18分） 题号 9 10 11 选项 AD AD BCD 三、填空题（每小题5分, 共15分） 12． 13. (或) 14. 39. 三、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）： 15．解:因为，， 两式相加得， …………………2分 所以， …………………3分 故． …………………5分 由（1）得，则， …………………6分 ，则， …………………7分 ，则， …………………8分 所以，， …………………10分 故 …………………13分 16解：， ， …………………2分 ， …………………4分 ， …………………5分 ． …………………6分  (2)由 得 …………………7分 ，解得 …………………9分 ， ， …………………11分 又 所以49= …………………13分 故 …………………14分 所以 …………………15分 17解：（1）因为为矩形，所以． …………………1分 又因为， …………………2分 所以平面． …………………3分 因为 所以． …………………5分 （2）因为为矩形，所以， …………………6分 因为 所以平面． …………………8分 又因为平面平面， 所以． …………………9分 （3）平面与平面可以垂直．证明如下： ………………10分 连接．因为，， 所以平面． …………………11分 因为 所以． 因为，所以． …………………12分 因为平面平面， 若使平面平面， 则平面，所以． …………………13分 在梯形中，因为，，，， 所以． 所以若使能成立，则为的中点． 所以． …………………15分 18解:（1）， . …………………2分 抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分； …………………3分 由频率直方图可得前三组的频率和为， 前四组的频率和为，故中位数落在第四组， 设中位数为x，则，解得， 故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分， …………………6分 （2）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为， 由（1）可得，中位数， …………………9分 故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上． …………………10分 （3）由题知得分在和内的频率分别为0.1和0.15， 则抽取的5人中，得分在内的有2人，得分在的有3人 …………………12分 记得分在内的3位学生为a，b，c，得分在内的2位学生为D，E， 则从5人中任选2人，样本空间可记为 ，共包含10个样本， …………………15分 用A表示“这2人中恰有一人得分在内”， 则，A包含6个样本， 故所求概率. …………………17分 19.解:（1）设米， 在中，，则， ……………2分 在中，，且， 则，所以， ……………5分 因为，所以由余弦定理得：， 整理得：，解得x=30（米） ……………7分 （2）由（1）知均为直角三角形， ,，所以， ……………9分 所以在中，满足,所以为直角三角形； 所以, ……………11分 所以平方米； ……………12分 （3）设多面体的内切球的半径为,根据等体积转换： 所以米； ……………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 福州市八县（市）协作校2023-2024学年 第二学期期末  高一数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 19. 请勿在此区域作答或 者做任何标记