甘肃省2023-2024学年高二下学期期末学业水平质量测试数学试卷

高二下学期期末学业水平质量测试卷 数 学 本试卷满分150分，考试时问120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B钻笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用撩皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色 笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式：V=了h(其中为锥体的底面积，h为锥休的高)。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知随机变量X服从正态分布N(1,g2),P(X>0)=0.7,则P(X>2)= A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 2.图中的直线1，l2,l3的斜率分别为1，k2:k3,则有 A.k1<k2<k3 () B.k3<k2<k C.k1<k3<k2 D.k3<k1<k2 3.在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B,CD1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则AC 的长为 A.2√3 (·) B.25 C.2√6 4(匠一)°展开式中的帝数项是 D.6 A.-60 B.60 C.-15 5.等差数列{an}的公差是2，若a1,a4,a13成等比数列，则{an}的前n项和Sm= D.15 A,n(n+2) B.n(n+1) C.2 D.n(n-1) 6.已知圆的方程为x2+y2一6x一2y+1=0,设该圆过点(2,2)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则 四边形ABCD的面积为 A.32 () B.12√2 C.16 D.67 7.随机变量X的概率分布列为P(X=令)=ak(k=1,2,3),北中a是常数，则D(9X-1)的值为（) A.5 B.6 C.7 D.35 &过双面线C号-苦=1o>0,6>0)的左焦点行作斜米为2的直线1安C于M.N两点.若MF 3FN,则双曲线的离心率为 A.3 B.2 C.2 n 【高二下学期期末学业水平质量测试卷·数学第1页（共4页）】 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的田个选项中，有多项符合要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 A.由样本数据得到的回归直线y=x十a必过点（工，y) B.已知随机变量~B(n,p),若E()=30,D()=20,则n=45 C基于小概率值α的检验规则是：当≥x。时，我们就推断H)不成立，即认为X和Y不独立.该推 断犯错误的概率不超过α；当<x。时，我们没有充分证据推断H,不成立，可以认为X和Y独立 D.若散点图中所有点都在直线y=0.92x一4.21上，则样本相关系数r=0.92 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列说法正确的是 A.直线D1C和BC,所成的角为开 D R四面体BDC,A的体积是号 C.点A到平面BDC的距离为4y D.平面BDA,与平面BDC所成二面角的正弦值为2,2 3 11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5.…，其中从第三 项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”， 记斐波那契数列为{an},其前n项和为S:,则 () A.a9=34 B.S=32 C.a1+a2+a4+a6+…十a2024=a2025 D.af十a2+a5+…+ai023=a2023a2o2s 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.丝绸之路是文明之路、经济之路，也是东西之间的友谊之路、合作共赢之路.甘肃，作为丝绸之路沿 线的重要省份，已成功举办11届教煌行·丝绸之路国际旅游节，在旅游节期间.需从4位志愿者中 选3位安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者A不能安排在甲岗位，则 不同的安排方法种数为 13.已知直线y=x一2与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 14,圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面.以旋转椭球面做反 射镜时：从它的一个焦点F1发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点F2: 如图甲，椭圆C为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线（表示与椭圆C的切线垂直且过相应 切点的直线.如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(一c,0),F2(c,0)(c>0).由F发出的光 经椭圆两次反射后回到F!经过的路程为4√2(.利用椭圆的光学性质解决以下问题： 法线V 切线1 甲 (1)椭圆C的离心率为 (2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为L,F2在1上的射影H在圆+)y=4 上，则椭圆C的方程为 【高二下学期期末学业水平质量测试卷·数学第2页（共4页）】 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=空，AB=BC=2AD=2,E,P,G分别为边AB, CD,BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF, (1)证明：BD⊥EG: (2)求BD与平面ABF所成角的正弦值. 16.(15分)某学校有A,B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.4；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8. (1)求王同学第二天去A餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，2种中式点心，王同学从这些点心中随机 选择3种点心，记选择西式点心的种数为X,求X的分布列和数学期望. 17.(15分)设函数f(x)=e一ax2-x-1(a∈R),函数g(x)=f(x). (1)求g(x)的单调区间： (2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 【高二下学期期末学业水平质量测试卷·数学第3页（共4页）】 18.(17分)已抛物线：y2=2px(p>0)的焦点为F,P上任意一点P到F的距离与到点E(2,0)的距 离之和的最小位为3. (1)求抛物线P的标准方程： (2)已知过点E的直线I1,l2与P分别交于点A,C与点B,D,延长AB,DC交于点Q,线段AC与 BD的中点分别为M,N. ①证明：点Q在定直线上： ②若直线11⊥l:,直线(OM,ON的斜率分别为k1,2,求k,k2的取值范围. 19.(17分)等差数列的特点是每一项与前一项之差相等.如果数列{an}不是等差数列，但每一项与前一 项之差构成等差数列，即{an一an-1}是等差数列，则{an}叫作二阶等差数列.类似地，若{an一an-1} 是二阶等差数列，则{an}叫作三阶等差数列.如此可以对更大的整数m归纳地定义m阶等差数列. 高阶等差数列的研究，始于北宋科学家沈括《梦溪笔谈》中的隙积术，南宋数学家杨辉在《详解九章 算法》中明确地推得一些对高阶等差数列求和公式，元代数学家朱世杰将此类问题进一步推广， (1)已知数列{am}为二阶等差数列，其前5项分别为2,3,5,8,12. ①求数列{an}的通项公式； ②求数列{an}的前n项和Sm; (2)若数列{b}的通项公式为bn=n,数列{bn}的前n项和记为Tm,若将数列(Tn}的前n项和记为 T2),数列{T2)的前n项和记为T3),…依次类推。 ①求T3》； ②求T)(只写出结果)， 参考数据：13+23+33+…+n=2(n十1)足 4 【高二下学期期末学业水平质量测试卷·数学第4页（共4页）】高二下学期期末学业水平质量测试卷·数学参考答案 1.选B因为P(X>0)=0.7,则P(X>2)=P(X<0)=0.3.:9.选AC对于A,回归直线y=b.x十a必过点(x,y),故A 2.选C由图象可得，k1<0<kg<k2: 正确：对于B,对于二项分布B(n,p),E(E)=np=30, 3.选C因为AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA, D()=np1-D)=20,解得P=号n=90,故B错误：对 所以AC2=(AB+AD+AA)2 于C,由独立性检验的基本思想可知其正确：对于D,散 =A形+A)+AA2+2AB·AD 点图中所有点都在直线y=0.92x一4.21上，则样本相关 +2AB·AA+2AD·AM=4+ 系数r=1,D错误. 4+4十4+4十4=24，从而|AC 10.选BCD建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则 =26,即AC1的长为2w6. D(0.0,0).B(2,2,0),C(0,2,0) 4.选B (G-)”展开式的适 D1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2.2,2), C1(0,2,2),对于A,D1C=(0,2, 项为T1=Cg·(m)=·(-是）厂=Cg·(-2y· -2),BC=(-2,0,2),故 中，令5≥r=0,解得=2，可得（匠-）展开式中 cos(D C.BC1)= 一4 2 22×2√2 的常数项是C号·(-2)2=60. 1 5.选A由已知得a听=a1·a13,又因为{am}是公差d为2： 故DC,BC=,即直线D,C和BC,所成的 的等差数列，故(a1十3d)2=a1·(a1+12d),即(a1+6)2: =a1·(a1+24),解得a1=3,所以an=a1十(n一1)d=: 角为受，故A错误：对于B,易得四面体BDCA为正 2m+1,故S,=ma+a2=n十2. 四面体，则VmC,A=VABCD-A,BCD,一4VBA,BG=8 2 6.选D由题意，得圆心坐标是(3,1)，半径是3.因为圆心 4X合×号×2X2×2=号，故B正确：对于CDm,= 到点(2,2)的距离为√2，所以点(2,2)在圆内，最长弦为圆 (2,0,2),DB=(2,2,0),BC=(-2,0,2),设平面 的直径，由垂径定理，得最短弦BD和最长弦（即圆的直： 径)AC垂直，故最短弦的长为2√32-（②）2=2√7，最长 mG的安向要为=(，，期有。令 x=1,则n=(1,一1,1)，故点A!到平面BDC1的距离 孩即直径AC=6,所以四边形ABCD的面积为号1AC· BD1-号X6×27=67. dD-2者=，故C正病：对于D,设 n 3 7.选A因为P(X=专)=ak(k=1.2,3),所以a+2a+ 平面BDA的法向量为m=(a,bc,则有士（二0·令 la+b=0. 3a=1,解得=言所以BCX)=×+号×+ 3 a=-1,则m=(一1,1,1)，cos(m,n〉= -1-1+1 3X√3 x3号所以D)=(合-号)×g+(号-) 3,所以平面BDA,与平面BDC,所成二面角的正弦 ×3+(1-名)‘×3=故D9x-1)=9DX)= 值为(-2，故DE瑞 81D(X)=5. 11.选ACD依题意可得a1=1,ag=1,a3=2,a4=3,a5= 8.选D设M(x1,y1),N(x2,y2),由MF=3F1V,得y1: 5,a6=8,a7=13,a#=21,ag=34,…,所以A正确：经计 =一 32,设直线1的方程为x=2y一c,由 算可得S,=33,所以B错误：a1十ag十a:十a6十…十 a2o24=a3+a4+a6+…+a2o2t=as+a6+a8+…十 消去，得（答-)y-by+2-2 a2024=a7十a8十…十ag024=…=a2023十a2024=ag025 所以C正确：a2021a2023=a吃023十a2023a202g,a2023a2022 =a经022十a2o22a2o21,…,a3a2=a1+a2a1=a号十a1,累 =0,由根与系数的关系，得y1十y2= ·y1y2= 加得ag024a2023=a3023十a号o22十…十a号十a,所以D T-a2 正确. 22-a2.所以-22= ,-3y--a2,解 12.解析：法一运用分步乘法计数原理，先安排甲岗位，再 62 安排乙、丙岗位，则不同的安排方法共有CA号=18 4a (种). 得4c2=5a2,所以e2=5 ,可得= 法二运用分类加法计数原理，若A不入选，有A=6 2 (种)安排方法： 若A入选，则有CA=12(种)安排方法，所以共有6十： 设BD与平面ABF所成的角为0，则sinB=|cos(BD,n) 12=18(种)不同的安排方法. 答案：18 BD. √G6 13.解析：设切点P(xa,ya),则yo=xo一2，o=ln(xe十a), BDn 33 …12分 5×2+9 又因为y-5.1 所以x0十a=1,所以%=0，x0=2,所以a=一1. 故BD与平面ABF所成角的正孩位为。…18分 答案：一1 :16.解：(1)设A1=“第一天去A餐厅用餐”，B1=“第一天去 14.解析：(1)设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出： B餐厅用餐”，A2=“第二天去A餐厅用餐”，…1分 的光经椭圆两次反射后回到F1,经过的路程为2a+2a: 根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4, P(A2B1)=0.8, 4分 =a=4v区，从而6一号 由全概率公式，得P(A)=P(A)P(AA)十P(B)P(AB) (2)如图，延长F2H,F1P,交 =0.5×0.4+0.5×0.8=0.6, 于点F0 所以王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.6. 在△PF2Fo中，PH⊥FF2: 7分 (2)由题意，得X可以取1,2,3. 8分 由反射角等于入射角，得 ∠F2PH=∠FaPH, P(X-1)= CC_4=1 C20-5 则PF2|=|PFoI,且H为F2F。中点. 在△FEE,中，OH=1EE,=PE+ P(X=2)= C==2 Cg205 IPFD)-(IPF:l+IPF:D-2. P(X=3)= C8_4-1 C2051 则IPF1|+1PF2|=4=2a, 所以X的分布列为 所以a=2,c=√2，b2=a2-c2=4-2=2, X 2 3 所以黄圆方程为号+苦-1 3 5 5 5 答案，1号(2片+苦- 13分 15.解：(1)证明：沿EF将梯形ABCD翻折后，因为平面 所以E(X0)=1X+2×3 +3× =2. …15分 AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,:17.解：(1)g(x)=f(x)=e-2ax-1,g'(x)=e-2a. AEC平面AEFD,AE⊥EF,所以AE⊥平面EBCF,2分 1分 又BE⊥EF,以E为原点，EB所在直线为x轴，EF所： ①当a≤0时，g'(x)=e-2a>0,g(x)单调递增： 在直线为y轴，EA所在直线为。轴，建立空间直角： 3分 坐标系. ②当a>0时，若g(x)=e-2a=0,则x=ln2a. 则E(0.0,0),A(0,0.1).B(1,0,0), (-co,ln2a） In 2a (n2a,+o∞) D(0,1,1),G(1,1,0)-4分 g'(x) 0 + 所以BD=(-1,1,1),EG= g(.x) 单调递减 单调递增 (1,1,0). 5分 5分 因为BD·EG=一1十1=0，所以 综上，当a≤0时，g(.x)单调递增： BD⊥EG 当a>0时，g(x)在（一co,ln2a)上单调递减，在(ln2a, ,7分 十o)上单调递增。 6分 (2)易得F(0,号0）BD=(-1,1.D,BM=(-1.0,1 (2)f(0)=0,f(0)=0, 7分 B那=(-12,0）片 由(1)知，①当a≤0时，(x)单调递增，(x)≥「(0) 8分· =0, 设平面ABF的法向量为n=(x,y,), 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0,所 n·BA=0,-x+=0. 以a≤0符合题意； .9分 则 n球=0.中-x+2y=0, 即 @当0<a<号时，ln2a<0,f(x)在[0，+e∞)上单调通 2 增，广(x)≥f(0)=0, 令x=1解得y=31, 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0,所 故n=(1,号1以 10分 以0<a≤号符合题意： …12分 2 ③当a>号时，lh2a>0,f()在[0，ln2a)上单调适减， 2 在(n2a,十oo)上单调递增，所以3x>0,使得了(x0)=0, 所以1妇=W.y=2m IM IN 2m2+22 所以f(x)在[0，x)上单调递减，在(x0,十o∞)上单调递： 92 增，则f(xo)<f(0)=0,不满足题意. 14分 1 游上所连“的取值范因为（一©，专】 -.15分 ++2 m2. m2十2 18,解：(1)抛物线厂的准线方程为x=一 2 当且收当m2=,即m=士1时取等号，…16分 设点P到准线的距离为. 又易知k1k2<0, 由抛物线的定义，得PF+PE=d+PE≥2+号 所以的取值范国为[一子0) …17分 =3,解得p=2,- 2分：19.解：(1)①因为{an}为二阶等差数列，则a2一a1=1,a3- 当且仅当P,E,F三点共线时，等号成立， a2=2,…,am一ag-1=n-1. 所以抛物线T的标准方程为y2=4x.4分 累加可得am一a1=1+2十…十n一1 (2)①证明：设A(11),B(2边)，C(3).D(y). 1+n-1)X(n-1D_(n-1D …-2分 直线l的方程为x=my十2，直线l2的方程为x=y十2， 2 2 联立 =my十2消去x整现得y2-4my8=0 a-artun D=2+n 1)--n+4 3分 2 2 2 y2=4x, ②由组合数性质C十Cm+1=Cm可知， 所以y1十y3=4m,y1y3=一8，同理可得y2y4=一8， 6分 C吃+C号+C+…+C+1-C%+, 所以直线AB的方程为y一1=二当(r一工1）= 即1X+业+2X(2+D+3×3+D+…+ 2 2 x2-x1 n×(n+1)_n(n十1)(n十2) 24一x-)=4(x-), 2 6 y2+y1 所以 11+2+2+33十…+ 2 2 2 4 一十y1y2十y1CT. 4 即y= n(n+1)(n+2) y2+y1y2+y1 6 7分 12+22+32+…十2=n(n十1)(n十2) 同理可得直线CD的方程为y= 4 r+y3y 所以 6 y3+y4y3+y4 1+2+…十”_n(n+1)(n十2)_(n+1) y=4x十当 2 6 4 yg十y1 联立〈 y2+y11 即12+22+32+…+m2=n(n+1)(2m+1) 6 6分 所以5=1+2+量_1+2士++2m 得4 4 2 ++g+十y -n(n+1)(2n+D-nnt1)+2m=m(n+1)(n-D+ 12 4 6 4 即（++江=y 2+yya十y41 2n=n(n2+11) 6 .9分 即4(y2+y-y-y4)x=y1y2(y3+y4)一y3y4(y2+ y1) 8分1 (2)①T,=1+2-n2+n 2 21 …10分 即4(2十当一为一4)x=-82一8y-(-8%-8y4), -8y2-8y+8y十8y=-2 T2)=2+2+3+…+)+1+2+3+…+m 所以工=y十一为一) 2 1「u(n+1)(2m+1)+n1+m2 n(n+1)(n十2) 即点Q在直线x=一2上.10分 2 6 6 ②由题意可知，，2的斜率存在且均不为0， 因为4112，所以设直线的方程为r=my十2，则直线 n3+3n2+21 …12分 l2的方程为x=一 y十2,11分 T=[43+2+3+…+)+312+2+32+… 4 由①知，y1十yg=4m,y2十y4=一 +m2)+2(1+2+3+…+n)] 1「n2(n+1)2+3m(n+1)(2n+1)+2n(n+1) 所以yM=当专当=2m,y=十y= 2 64 6 2 2 2 ，-12分 n(n十1)(n十2)(n十3) 14分 所以.C=myM十2=22+2，xv= myN+2=- 2 24 +2, ②Tm=nm+1)(n+2)·.…(n+m) --17分 13分 (m+1)！ 3