第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 课件 2024—2025学年沪科版数学八年级上册

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 小专题(六)　三角形中与角平分线、高有关的计算问题 类型一　求角度 1. 小明在学习过程中,对一道习题做了如下探究: (1) 习题回顾:如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高, AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF. 1 2 3 4 5 (1) ∵ ∠ACB=90°,∴ ∠B+∠CAB=90°.∵ CD是高, ∴ CD⊥AB.∴ ∠ADC=90°.∴ ∠ACD+∠CAB=90°. ∴ ∠B=∠ACD.∵ AE是角平分线,∴ ∠CAF=∠DAF. ∵ ∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B,∴ ∠CFE=∠CEF 第1题 (2) 变式思考:如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高,△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,AF的反向延长线与BC的延长线交于点E.若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数. (2) ∵ ∠B=40°,∠ACB=90°,∴ ∠BAG=∠B+∠ACB= 40°+90°=130°.∵ AF为∠BAG的平分线,∴ ∠GAF= ∠DAF=×130°=65°.∵ CD为边AB上的高,∴ ∠ADF =∠ADC=90°.∴ ∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°.∵ ∠CAE= ∠GAF=65°,∠ACB=90°,∴ ∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25° 第1题 1 2 3 4 5 (3) 探究延伸:如图③,在△ABC中,AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F,△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.若∠M=35°,求∠CFE的度数. (3) ∵ AE,AN分别为∠BAC,∠BAG的平分线, ∴ ∠EAB=∠EAC=∠BAC,∠NAB=∠BAG. ∴ ∠EAN=∠EAB+∠NAB=(∠BAC+∠BAG) =×180°=90°.∴ ∠EAM=180°-∠EAN=90°. ∴ ∠M+∠CEF=90°.∵ ∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD, ∠ACD=∠B,∴ ∠CEF=∠CFE.∴ ∠M+∠CFE=90°.∴ ∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55° 第1题 1 2 3 4 5 类型二　求证角相等 2. 如图,在△ABC中,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.求证:∠EDF=∠BDF. ∵ CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,∴ ∠AEC=∠AFD= 90°.∴ DF∥CE.∴ ∠BDF=∠BCE,∠EDF=∠DEC. 又∵ AC∥ED,∴ ∠DEC=∠ACE.∴ ∠EDF=∠ACE. ∵ CE是∠ACB的平分线,∴ ∠ACE=∠BCE.∴ ∠EDF =∠BDF 第2题 1 2 3 4 5 类型三　求证两线平行 3. 如图,AD是△ABC的高,BE平分∠ABC交AC于点E,F为射线CB上的动点,连接EF. (1) 若∠EBC=30°,∠1∶∠2=1∶2,∠FEC=60°,求证:EF∥AD; (1) ∵ BE平分∠ABC,∠EBC=30°,∴ ∠ABC= 2∠EBC=2×30°=60°.∵ AD是△ABC的高,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.∴ ∠1=90°-∠ABC=30°. ∵ ∠1∶∠2=1∶2,∴ ∠2=60°.∴ ∠2=∠FEC= 60°.∴ EF∥AD　 第3题 1 2 3 4 5 (2) 设∠FEC=x°,∠2=60°,当△EFC为钝角三角形时,求x的取值范围. (2) ∵ ∠ADC=90°,∠2=60°,∴ ∠C=90°-∠2=30°. 要使△EFC是钝角三角形,有两种情况:① 当∠FEC是 钝角时,∵ ∠C=30°,∴ 90°<∠FEC<150°,即90<x< 150.② 当∠EFC是钝角时,∵ ∠C=30°,∴ ∠EFC=180° -x°-30°=150°-x°.∴ 90°<150°-x°<150°,解得0 <x<60.综上所述,x的取值范围为0<x<60或90<x<150 第3题 1 2 3 4 5 类型四　探索角之间的关系 4. 如图,BP,CP分别是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线,BQ,CQ分别是∠PBC,∠PCB的平分线,BM,CN分别是∠PBD,∠PCE的平分线,∠BAC =α. (1) 如图①,当α=40°时,∠BPC=　　　　,∠BQC=　　　　;  (2) 当α=　　　　时,BM∥CN;  第4题 70° 125° 60° 1 2 3 4 5 (3) 如图②,当α=120°时,BM,CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数; (3) ∵ BP,CP分别平分∠CBD和∠BCE,∴ ∠DBP=∠CBP= ∠DBC,∠BCP=∠ECP=∠BCE.同理,可得∠DBM=∠PBM =∠DBP,∠CBQ=∠PBQ=∠CBP,∠BCQ=∠PCQ=∠BCP, ∠PCN=∠ECN=∠ECP.∴ ∠MBC+∠NCB=(∠DBC+ ∠BCE).∵ ∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∴ ∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+120°=300°.∴ ∠MBC+∠NCB=×300°=225°.∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)= 180°-[360°-(∠MBC+∠NCB)]=∠MBC+∠NCB-180°=225°-180°= 45°　 第4题 1 2 3 4 5 (4) 在α>60°的条件下,直接写出∠BPC,∠BQC,∠BOC之间的数量关系. (4) ∠BPC+∠BQC+∠BOC=180° 1 2 3 4 5 5. 如图①,在△ABC中,CD是边AB上的高,CE是∠ACB的平分线. (1) 若∠A=40°,∠B=76°,求∠DCE的度数. (1) ∵ ∠A=40°,∠B=76°,∴ ∠ACB=180°-∠A-∠B= 64°.∵ CE是∠ACB的平分线,∴ ∠ECB=∠ACB=32°. ∵ CD是边AB上的高,∴ ∠BDC=90°.∴ ∠BCD=90°- ∠B=14°.∴ ∠DCE=∠ECB-∠BCD=32°-14°=18°　 第5题 1 2 3 4 5 (2) 若∠A=α,∠B=β(β>α),求∠DCE的度数(用含α,β的式子表示). (2) ∵ ∠A=α,∠B=β,∴ ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°- α-β.∵ CE是∠ACB的平分线,∴ ∠ECB=∠ACB=(180° -α-β)=90°-α-β.∵ CD是边AB上的高,∴ ∠BDC=90°. ∴ ∠BCD=90°-∠B=90°-β.∴ ∠DCE=∠ECB-∠BCD =β-α 第5题 1 2 3 4 5 (3) 在线段CE上任取一点G(不与点C,E重合),作GH∥CD,交BE于点H(如图②).在(2)的条件下,∠EGH与α,β有何数量关系?并证明. (3) ∠EGH=β-α　∵ ∠A=α,∠B=β,∴ ∠ACB=180°- ∠A-∠B=180°-α-β.∵ CE是∠ACB的平分线,∴ ∠ECB =∠ACB=(180°-α-β)=90°-α-β.∵ CD是边AB上的 高,∴ ∠BDC=90°.∴ ∠BCD=90°-∠B=90°-β.∴ ∠DCE=∠ECB-∠BCD=β-α.∵ GH∥CD,∴ ∠EGH=∠DCE=β-α 第5题 1 2 3 4 5 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第4课时　三角形的外角 1. 由三角形的一边与另一边的　　　　组成的角,叫做三角形的外角.  2. 推论3:三角形的外角等于与它　　　　的两个内角的和.  3. 推论4:三角形的外角大于与它　　　　的任何一个内角. 延长线 不相邻 不相邻 1. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中∠A=∠ACB=45°,∠EBD= 30°,∠D=60°,则∠ACD-∠ABE等于 (　　) A. 30° B. 40° C. 75° D. 80° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图,∠BCD是△ABC的一个外角,E是边AB上一点,连接CE,下列结论不一定正确的是 (　　) A. ∠BCD>∠A　 B. ∠BCD>∠1 C. ∠2>∠3　 D. ∠BCD=∠A+∠B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图,巡逻艇C在军舰A北偏东62°的方向上,巡逻艇C在军舰B北偏东13°的方向上,军舰B位于军舰A的正东方向上,则∠ACB的度数为 (　　) A. 13° B. 26° C. 49° D. 62° 　 　 4. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.如果∠B=80°,∠C=40°,那么∠ADC的度数为　　　　.  C 110° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 我们通常称形如燕尾的几何图形为“燕尾形”.如图所示为一个燕尾形, ∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠BAD=22°,则∠BCD的度数为　　　　.  　　 6. (2024·合肥蜀山区开学)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,使点A,F分别在DF,BC上,DE∥AB.若∠D=30°,∠B=45°,则∠AFC的度数为　　. 20° 75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图,DF分别交△ABC的边AB,AC于点D,E,交BC的延长线于点F,∠B= 67°,∠ACB=74°,∠AED=48°.求∠BDF的度数. ∵ ∠CEF=∠AED=48°,∠ACB=∠CEF+∠F,∴ ∠F= ∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°.∴ ∠BDF=180°-∠B -∠F=180°-67°-26°=87° 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的外角度数之比为2∶3∶4,则这个三角形是 (　　) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 9. (2023·淮北期末)如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,AD, CE相交于点P,∠BAC=66°,∠BCE=40°,则∠ADC的度数为 (　　) A. 83° B. 86° C. 73° D. 77° C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. (2022·呼伦贝尔)如图,直线a∥b,截线c,d相交成30°的角,∠1= 146°33',则∠2的度数为 (　　) A. 63°27' B. 64°27' C. 64°33' D. 63°33' A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图,在△ABC中,延长AB至点D,延长BC至点E.如果∠A=54°,那么∠1+∠2=　　　　°.  12. 如图,将分别含有30°角,45°角的一副三角尺叠在一起,使直角顶点重合.若两直角重叠形成的角为65°,则图中∠α的度数为　　　　. 234 140° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. (1) 若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度数; (2) 求证:∠BAC=∠B+2∠E. (1) ∵ ∠B=35°,∠E=25°,∴ ∠ECD=∠B+∠E=60°. ∵ CE平分∠ACD,∴ ∠ACE=∠ECD=60°.∴ ∠BAC =∠ACE+∠E=60°+25°=85°　 (2) ∵ CE平分∠ACD,∴ ∠ECD=∠ACE.∵ ∠BAC=∠E+∠ACE,∴ ∠BAC=∠E+∠ECD.∵ ∠ECD=∠B+∠E,∴ ∠BAC=∠E+∠B+∠E.∴ ∠BAC=∠B+2∠E 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,在△ABC中,E是边AC上的一点,∠AEB=∠ABC. (1) 如图①,作∠BAC的平分线分别交BC,BE于点D,F.求证:∠EFD=∠ADC. (1) ∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ ∠EFD =∠AEB+∠CAD,∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AEB= ∠ABC,∴ ∠EFD=∠ADC 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 如图②,作△ABC的外角∠BAG的平分线,交CB的延长线于点D,延长BE,DA交于点F,(1)中的结论是否仍成立?并说明理由. (2) (1)中的结论仍成立　理由:∵ AD平分∠BAG, ∴ ∠BAD=∠GAD.∵ ∠FAE=∠GAD,∴ ∠FAE= ∠BAD.∵ ∠EFD=∠AEB-∠FAE,∠ADC=∠ABC -∠BAD,∠AEB=∠ABC,∴ ∠EFD=∠ADC. 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 小专题(七)　三角形中的易错问题 易错点一　未按顺序寻找导致重复或遗漏 1. 如图,图中三角形的个数是 (　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 D 1 2 3 4 5 6 7 第1题 易错点二　运用三边关系时,考虑不全面导致错误 2. 若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n(n为正整数),则满足条件的n的值有 (　　) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是10cm,5cm,则它的周长为　　cm. D 25 1 2 3 4 5 6 7 易错点三　忽视点的位置而导致错误 4. 如图,P是射线ON上一动点,∠AON=30°,当∠A=　　 　 时,△AOP为直角三角形. 60°或90° 1 2 3 4 5 6 7 5. 在△ABC中,∠A=47°,高BE,CF所在的直线交于点O,且点E,F不与点B, C重合.求∠BOC的度数. 当点O在△ABC内部时,如图①.∵ BE,CF是△ABC的高,∴ ∠AEB= ∠AFC=90°.∴ ∠EOF=360°-∠AFO-∠AEO-∠A=360°-90°-90°-47°=133°.∴ ∠BOC=∠EOF=133°.当点O在△ABC外部时,如图②.在△AFC中,∠A=47°,∠AFC=90°,∴ ∠ACF=90°-47°=43°.∴ ∠ECO =∠ACF=43°.又∵ ∠CEO=90°,∴ ∠EOF=90° -43°=47°,即∠BOC=47°.综上所述,∠BOC的度 数为47°或133° 1 2 3 4 5 6 7 易错点四　漏画满足题意的图形而导致答案不全 6. 在△ABC中,∠ABC=∠C,BD是边AC上的高,∠ABD=30°.求∠C的度数. 当BD在△ABC的内部时,如图①.∵ BD是边AC上的高,∴ ∠BDC=90°. ∵ ∠ABD=30°,∴ ∠A=∠BDC-∠ABD=60°.∴ ∠C=∠ABC=× (180°-60°)=60°.当BD在△ABC的外部时,如图②.∵ BD是边AC上的高,∴ ∠BDC=90°.∵ ∠ABD=30°,∴ ∠BAD=90°-∠ABD=60°.∵ ∠ABC+∠C=∠BAD,∠ABC=∠C,∴ ∠C= ∠ABC=∠BAD=30°.∴ ∠C的度数为60° 或30° 1 2 3 4 5 6 7 7. 已知△ABC的面积为20,AD为边BC上的高,且AD=8,CD=2.求BD的长. 如图①.∵ AD为边BC上的高,∴ S△ABC=BC·AD=(BD+CD)·AD.∴ 20= (BD+2)×8.∴ BD=3.如图②.∵ AD为边BC上的高,∴ S△ABC=BC·AD= (BD-CD)·AD.∴ 20=(BD-2)×8.∴ BD=7.综上所述,BD的长为3或7 1 2 3 4 5 6 7 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第2课时　命题的证明 1. 基本事实:几何推理中,把那些人们从长期实践中总结出来,不需要再作证明的　　　　叫做基本事实.  2. 定理:有些命题是从　　 　　或其他　　　　出发,用__________判断为正确的,并被选作判断　　　　　　的依据.这样的真命题叫做定理.  3. 从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为　　　　　　　　　　.　　　　　的过程,就是演绎证明,简称证明. 真命题 真命题 基本事实 推理方法 命题真假 演绎推理(或演绎法) 演绎推理 1. 佳伊在做下面的数学作业时,因钢笔漏墨水,不小心将部分字迹弄污损了,作业过程如下(涂色部分即为污损部分): 如图,OP平分∠AOB,MN∥OB. 求证: ∠1=∠3. 证明:∵ OP平分∠AOB, ∴ . 又∵ MN∥OB, ∴ . ∴ ∠1=∠3. 嘉和想,污损部分应分别是下列四项中的两项:① ∠1=∠2;② ∠2=∠3; ③ ∠3=∠4;④ ∠1=∠4.他依次补出来的结果应是 (　　) A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 C 2. 如图,给出下列推理:① ∵ ∠1=∠2,∴ AB∥DC;② ∵ ∠4=∠5,∴ AD ∥BC;③ ∵ ∠ABC+∠ACB+∠2=180°,∴ AB∥CD;④ ∵ ∠3=∠ABD, ∴ AD∥BC.其中,正确的是　　　　(填序号). ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图,有下列四个论断:① AC∥DE;② DC∥EF;③ CD平分∠BCA; ④ EF平分∠BED.请你从中选择三个作为条件,余下的一个论断作为结论,构成一个正确的数学命题并证明它(写出已知、求证). 答案不唯一,如已知:AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA. 求证:EF平分∠BED.证明:如图.∵ AC∥DE,∴ ∠BCA= ∠BED,即∠1+∠2=∠4+∠5.∵ DC∥EF,∴ ∠2=∠5. ∴ ∠1=∠4.∵ CD平分∠BCA,∴ ∠1=∠2.∴ ∠4=∠5. ∴ EF平分∠BED 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 命题:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条不同的直线互相平行. (1) 请将此命题改写成“如果……,那么……”的形式:　.  (2) 如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出证明过程. 已知:如图,a⊥l,　　　　.  求证:　　　　　　　. (1) 在同一平面内,如果两条不同的直线都垂直于同一 条直线,那么这两条直线互相平行　 (2) 如图.∵ a⊥l,b⊥l,∴ ∠1=∠2=90°.∴ a∥b 第4题 b⊥l a∥b 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图,下列推理正确的是 (　　) A. ∵ ∠3+∠2=180°,∴ AB∥CD B. ∵ ∠1=∠5,∴ AB∥CD C. ∵ ∠2=∠4,∴ AB∥CD D. ∵ ∠1+∠3=180°,∴ AB∥CD B 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 在一次跨学科主题学习活动中,郭老师请同学们以“糖水加糖变甜了”(糖水一直未饱和),这一生活常识为背景提炼出一个数学命题,然后给 出严格的数学证明.小华设加糖前糖水的浓度为,加糖的量为m,则变甜后糖水的浓度为,这就得到数学命题: 如果b>a>0,m>0,那么>. 请你证明这个命题是真命题. -=-=.∵ b>a>0,m>0,∴ m(b-a)>0,b(b+m)>0.∴ >0.∴ >.∴ “如果b>a>0,m>0,那么>”是真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图,直线AB,CD被直线AE所截,直线AM,EN被MN所截.有下列条件: ① AB∥CD;② AM∥EN;③ ∠BAM=∠CEN.请你从中选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个正确的命题. (1) 请按照“如果……,那么……”的形式,写出所有正确的命题; (1) 命题1:如果AB∥CD,AM∥EN,那么∠BAM=∠CEN; 命题2:如果AB∥CD,∠BAM=∠CEN,那么AM∥EN;命 题3:如果AM∥EN,∠BAM=∠CEN,那么AB∥CD　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 在所写的命题中选择一个加以证明. (2) 选择不唯一,如选命题1:∵ AB∥CD,∴ ∠BAE= ∠CEA.∵ AM∥EN,∴ ∠3=∠4.∴ ∠BAE-∠3= ∠CEA-∠4,即∠BAM=∠CEN 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 如图,AB∥CD. (1) 如图①,若∠AEP=50°,∠CFP=40°,求∠P的度数. (1) 如图①,过点P作PQ∥AB.∵ AB∥CD,PQ∥AB, ∴ PQ∥AB∥CD.∴ ∠QPE=∠AEP=50°,∠QPF= ∠CFP=40°.∴ ∠EPF=∠QPE+∠QPF=90° 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 在图①中探究∠EPF,∠AEP与∠CFP之间有怎样的等量关系,并证明. (2) ∠EPF=∠AEP+∠CFP　 ∵ AB∥CD,PQ∥AB,∴ PQ∥AB∥CD.∴ ∠QPE=∠AEP, ∠QPF=∠CFP.∴ ∠EPF=∠QPE+∠QPF=∠AEP+∠CFP 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 (3) 若将图①变为图②,题设的条件不变,此时∠EPF,∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系?并证明. (3) ∠EPF+∠AEP+∠PFD=180°　 如图②,过点P作PQ∥AB.∵ AB∥CD,PQ∥AB, ∴ PQ∥AB∥CD.∴ ∠QPE=∠AEP,∠QPF+ ∠PFD=180°.∵ ∠QPF=∠EPF+∠QPE,∴ ∠QPF=∠EPF+∠AEP.∴ ∠EPF+∠AEP+ ∠PFD=180° 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 13.1.3　三角形中几条重要线段 1. 角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,　　　　点与　　　　点之间的线段叫做三角形的角平分线.  2. 中线:三角形中,连接一个　　　　点与它对边　　　　点的线段叫做三角形的中线.三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的 　　　　.  3. 高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的　　　　　叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.  4. 定义:能明确界定某个对象　　　　的语句叫做定义. 顶 交 顶 中 重心 垂线段 含义 1. 下列语句中,属于定义的是 (　　) A. 对顶角相等 B. 同角或等角的补角相等 C. 两直线平行,同位角相等 D. 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. (2023·合肥长丰县期末)下列各组图形中,BD是△ABC的高的是 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,下列结论不一定成立的是 (　　) A. BC=2CE B. ∠BAD=∠BAC C. ∠AFB=90° D. AE=CE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. (教材P74习题13.1第4题变式)如图,CM是△ABC的中线,BC=8cm.若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm,则AC的长为 (　　) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 　 　 5. (2022·马鞍山和县期末)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=60°,BE是∠ABC的平分线,则∠BEC=　　　　. D 85° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,AD是边BC上的高. (1) 在图中将图形按题意补充完整; (1) 如图所示　 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当∠B=28°,∠C=72°时,求∠DAE的度数. (2) 因为∠B=28°,∠C=72°,所以∠BAC=180°-∠B- ∠C=180°-28°-72°=80°.因为AE平分∠BAC,所以∠EAC=∠BAC=40°.因为AD是边BC上的高,所以AD ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-72°=18°.所以∠DAE=∠EAC-∠CAD=40°-18°=22° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (2023·合肥肥西县期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC.下列结论中,不正确的是 (　　) A. BE是△ABD的中线 B. BD是△BCE的角平分线 C. ∠1=∠2=∠3 D. BC是△BDE的高 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. (2022·滁州凤阳县期中)如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,△ABC的面积为4cm2,则△BEF的面积为 (　　) A. 2cm2 B. 1cm2 C. cm2 D. cm2 B 解析:因为D是BC的中点,所以CD=BD.所以S△ADC=S△ABD=S△ABC=2cm2.因为E是AD的中点,所以DE=AE.所以S△BDE=S△ABD=1cm2,S△DCE= S△ADC=1cm2.所以S△BEC=S△BDE+S△DCE=2cm2.因为F是CE的中点,所以EF=CF.所以S△BEF=S△BEC=1cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD交BD的延长线于点E, ∠ABC=72°,∠C∶∠ADB=2∶3,则∠BAC=　　　　,∠DAE= 　　　　. 36° 18° 解析:设∠C=2x,则∠ADB=3x.因为BD平分∠ABC,所以∠ABD= ∠CBD=∠ABC=36°.因为∠BDC=180°-∠ADB=180°-3x,所以∠BDC+∠CBD+∠C=180°-3x+36°+2x=180°,解得x=36°.所以∠C= 72°,∠ADB=108°.所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=36°.因为AE⊥BE,所以∠E=90°.因为∠ADE=180°-∠ADB=180°-108°=72°,所以∠DAE=180°-∠E-∠ADE=180°-90°-72°=18°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (2023·滁州天长市期中)如图,在△ABC中,BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O. (1) 若∠ABC=64°,CD是高,求∠BOC的度数; (1) 因为CD是△ABC的高,所以∠CDB=90°.因为 ∠ABC=64°,BE是△ABC的角平分线,所以∠ABE =∠ABC=×64°=32°.所以∠BOD=180°-∠CDB -∠ABE=58°.所以∠BOC=180°-∠BOD=122°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若∠A=80°,CD是角平分线,求∠BOC的度数. (2) 因为∠A=80°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 180°-80°=100°.因为BE,CD是△ABC的角平分线, 所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.所以∠OBC+ ∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°.所以∠BOC=180°-(∠OBC +∠OCB)=180°-50°=130° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm, ∠CAB=90°.求: (1) AD的长; (1) 因为∠CAB=90°,所以S△ABC=AB·AC=×6×8= 24(cm2).又因为AD是△ABC边BC上的高,所以S△ABC= BC·AD=24cm2.因为BC=10cm,所以AD=4.8cm　 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) △ABE的面积; (3) △ACE和△ABE的周长差. (2) 因为AE是△ABC的中线,所以BE=CE=BC=×10 =5(cm).所以S△ABE=BE·AD=×5×4.8=12(cm2)　 (3) 由(2),得BE=CE.将△ACE和△ABE的周长分别记为C△ACE和C△ABE,则C△ACE-C△ABE=AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm) 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 阶段训练(13.1) 一、 选择题 1. 不一定在三角形内部的线段是 (　　) A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线 C. 三角形的高 D. 三角形的高和中线 2. (2023·金华)在下列长度的四条线段中,能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的是 (　　) A. 1cm B. 2cm C. 13cm D. 14cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 15 16 17 18 3. 已知一个等腰三角形的周长为16,且一边长为3,则这个等腰三角形的腰长为 (　　) A. 3 B. 10 C. 6.5 D. 3或6.5 4. (2023·安庆宿松县期末)一个三角形的两边长分别为3和8,且第三边长为整数,这样的三角形的周长的最小值是 (　　) A. 17 B. 16 C. 15 D. 6 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. 如图,AD,CE都是△ABC的中线,连接ED,△ABC的面积是10,则△BDE的面积是 (　　) A. 1.25 B. 2 C. 2.5 D. 5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. 若三边长都不相等的三角形的最长边的长是5,且各边的长都是整数,则这样的三角形一共有 (　　) A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 7. 有下列条件:① ∠A=90°-∠B;② ∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5;③ ∠B-∠C=∠A.其中,能判定△ABC是直角三角形的有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. 如图,在△ABC中,E是边AC上一点,AE=4EC,D是BC的中点,且S△ABC=15,则S1-S2的值为 (　　) A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 7 B 解析:因为AE=4EC,所以CE=AC.所以S△BCE=S△ABC=×15=3,即S2+ S△BDF=3①.因为D是BC的中点,所以BD=CD.所以S△ABD=S△ABC=×15= 7.5,即S1+S△BDF=7.5②.由②-①,得S1-S2=7.5-3=4.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 二、 填空题 9. 已知一个等腰三角形的周长为14,最长边的长为整数,则最长边的长为 　　　　.  10. 若一个三角形的两边长分别为3和5,且周长为偶数,则这个三角形的周长为　　　　.  11. 定义:如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.若在一个“倍角三角形”ABC中,∠A=90°,则其最小的内角的度数为　　 　　.  6或5 12或14 45°或30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. 如图,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分 ∠ACB.若∠A=72°,则∠D-∠E=　　　　°. 36 解析:因为∠A=72°,所以∠ABC+∠ACB=180°-72°=108°.因为BD, BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,所以∠EBC+∠ECB=(∠ABC+ ∠ACB)=×108°=72°,∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=×108°=36°.所以∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-36°=144°,∠E=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-72°=108°.所以∠D-∠E=144°-108°=36°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三、 解答题 13. 如图,在△ABC中,AC=8,BC=6,AD⊥BC于点D,AD=6.5,BE⊥AC于点E, BF是边AC上的中线.求BE的长及△ABF的面积. 因为S△ABC=AC·BE=BC·AD,所以AC·BE=BC·AD. 所以BE==.因为BF是边AC上的中线,所以AF =AC.所以S△ABF=S△ABC=×6×6.5= 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边AC的延长线上.试说明:BD-BC<AD -AB. 因为AB=AC,所以AD-AB=AC+CD-AC=CD.因为在 △BCD中,BD-BC<CD,所以BD-BC<AD-AB 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 在△ABC中,AB=8,且BC=2a+2,AC=22. (1) 求a的取值范围; (2) 若△ABC为等腰三角形,求△ABC的周长. (1) 由题意,得22-8<2a+2<22+8,解得6<a<14　 (2) 因为△ABC为等腰三角形,所以2a+2=8或2a+2=22,解得a=3或a=10.由(1),知6<a<14,所以a=10.所以BC=22.所以△ABC的周长为22+22+8=52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 如图,在△ABC中,D是边BC上一点,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且∠ADE=∠ADF.AD是△ABC的角平分线吗?请说明理由. AD是△ABC的角平分线　 理由:因为DE∥AC,DF∥AB,所以∠ADE=∠DAF, ∠ADF=∠EAD.因为∠ADE=∠ADF,所以∠DAF= ∠EAD.所以AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平 分线. 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 小张准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形场地,已知第一条边长为m米,第二条边长比第一条边长的3倍少2米. (1) 请用含m的式子表示第三条边长. (2) 第一条边长能否为10米? (1) 由题意,得第二条边长为(3m-2)米,所以第三条边长为50-m-(3m-2)=(52 -4m)米　 (2) 当m=10时,三条边长分别为10米,28米,12米.因为10+12<28,所以不能围成三角形,即第一条边长不能为10米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (3) 求m的取值范围. (3) 由题意,得解得<m<9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 如图,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,∠B=40°,∠ACB=80°,点F在BC的延长线上,FG⊥AE,垂足为H,FG与AB相交于点G.求: (1) ∠AGF的度数; (1) 因为∠B=40°,∠ACB=80°,所以∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=180°-(40°+80°)=60°.因为AE是 △ABC的角平分线,所以∠BAE=∠BAC=30°.因为 FG⊥AE,所以∠AHG=90°.所以∠AGF=180°-(∠AHG+∠BAE)=180°-(90°+30°)=60°　 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2) ∠EAD的度数. (2) 因为AD是△ABC的高,所以∠ADC=90°.因为 ∠ACB=80°,所以∠CAD=180°-(∠ADC+∠ACB) =180°-(90°+80°)=10°.由(1),得∠BAC=60°.因 为AE是△ABC的角平分线,所以∠CAE=∠BAC= 30°.所以∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20° 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 13.1.1　三角形中边的关系 1. 由　　　 　　　　 上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的　　　;相邻两边的 　　　　　叫做三角形的顶点;　　　　　所组成的角叫做三角形的内角.  2. 三角形中,三条边　　　　　的三角形叫做不等边三角形,有　　条边相等的三角形叫做等腰三角形、　　　条边都相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形中,相等的两边叫做　 　,第三边叫做　　 　. 　　　　的夹角叫做顶角,　　　　与　　　　的夹角叫做底角.  不在同一条直线 边 公共端点 相邻两边 互不相等 两 三 腰 底边 两腰 腰 底边 3. 三角形按边长关系,可分为　　 　　三角形和　　　　三角形.  4. 三角形的三边关系:三角形中任何两边的和　　　　第三边;三角形中任何两边的差　　　　第三边. 不等边 等腰 大于 小于 1. 在课堂上,张老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形,让同学们根据它们的边长进行分类.其中,分类错误的是 (　　) A. ①是不等边三角形 B. ②③是等腰三角形 C. ③是等边三角形 D. ②③是等边三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. (2023·宿迁)以下列每组数为长度(单位:cm)的三根小木棒,其中,能搭成三角形的是 (　　) A. 2,2,4 B. 1,2,3 C. 3,4,5 D. 3,4,8 3. (2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 (　　) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 使用如图所示的a,b两根直的铁丝制作一个三角形框架,需要将其中一根铁丝折成两段,则可以进行此操作的铁丝 (　　) A. 只有a B. 只有b C. 有a和b D. a,b都不可以 5. (2023·徐州)若一个三角形的边长均为整数,且其中两边长分别为3和5,则第三边的长可以为　　 　　(写出一个即可). B 答案不唯一,如3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (2023·安庆期中改编)已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a+b=3c-2,a-b= 2c-6,a>b. (1) 求c的取值范围; (2) 若△ABC的周长为18,求c的值. (1) 因为a,b,c为△ABC的三边,a+b=3c-2,a-b=2c-6,a>b,所以解得3<c<6　 (2) 因为△ABC的周长为18,a+b=3c-2,所以a+b+c=4c-2=18,解得c=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若a,b,c是△ABC的三边,则化简|a-b-c|-|b+a-c|的结果是 (　　) A. 2b-2a B. 2c-2a C. 2b D. 0 8. 若2和8是一个三角形的两边长,且第三边长为偶数,则该三角形的周长为 (　　) A. 20 B. 18 C. 17或19 D. 18或20 9. 三个数3,1-a,1-2a所对应的点在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围是　 .  B B -3<a<-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. (教材P68例1变式)(1) 已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则它的周长为　　　　　;  (2) 已知等腰三角形的一边长为5,周长为19,则它的腰长为　　　　;  (3) 已知等腰三角形的周长为18,一边长为8,则另两边长分别为　　　　 . 11. 已知△ABC的两条边长分别为3和5,且第三边的长为2c-1,则c的最大偶数值为　　　　. 16或17 5或7 8,2或5,5 4 解析:因为△ABC的两条边长分别为3和5,第三边的长为2c-1,所以5-3<2c-1<5+3,解得1.5<c<4.5.所以c的最大偶数值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 李叔叔准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形场地,用于饲养家兔.已知该三角形场地的第一条边长为am,受地势限制,第二条边长只能比第一条边长的2倍多2m. (1) 请用含a的式子表示第三条边长. (2) 第一条边长可以为7m吗?请说明理由. (1) 第三条边长为30-a-(2a+2)=(28-3a)m　 (2) 第一条边长不可以为7m　理由:当a=7时,三条边长分别为7m,16m,7m,因为7+7<16,所以不能围成三角形.所以第一条边长不可以为7m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 观察并探究,解答下列各题: (1) 如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,则BP+PC　　　　AB+AC(填“>” “<”或“=”);  < 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 如图②,将(1)中的点P移到△ABC内,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由; (2) △BPC的周长<△ABC的周长　理由:如图①,延长BP, 交AC于点M.在△ABM中,BP+PM<AB+AM;在△PMC中, PC<PM+MC,所以BP+PM+PC<AB+AM+PM+MC,即BP+ PC<AB+AM+MC.又因为AM+MC=AC,所以BP+PC<AB+ AC.所以BP+PC+BC<AB+AC+BC.所以△BPC的周长< △ABC的周长. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 如图③,将(2)中的点P变为两个点P1,P2,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由. (3) 四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长　理由:如图②, 分别延长BP1,CP2,交于点M.由(2),知BM+CM<AB+AC.因 为P1P2<P1M+P2M,所以BP1+P1P2+P2C<BP1+P1M+P2M+ P2C.所以BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC.所以BP1+P1P2 +P2C+BC<AB+AC+BC.所以四边形BP1P2C的周长<△ABC 的周长. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第3课时　三角形的内角和 1. 在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件　　　　　,并在　　　　上标出有关字母与符号;再结合图形,写出　　　　、　　　　;然后,分析因果关系,找出证明途径;最后有条理地写出　　　　过程.  2. 在证明过程中,为了证明的需要,在原来图形上　　　　的线叫做辅助线.  3. 推论1:直角三角形的两锐角　　　　.  4. 推论2:有两个角互余的三角形是　　　　　　.  5. 由　　　　　　、　　　　直接得出的真命题叫做推论. 画出图形 已知 图形 求证 证明 添画 互余 基本事实 定理 直角三角形 1. 如图,a∥b,直角三角形ABC的直角顶点C在直线b上.若∠A=43°,∠2= 25°,则∠1的度数为 (　　) A. 18° B. 22° C. 25° D. 32°　　 2. 如图,在△ABC中,D为边BC延长线上的一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E.若∠A=40°,∠D=50°,则∠ACB的度数为 (　　) A. 80° B. 90° C. 100° D. 105° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3. 在△ABC中,∠A=36°,∠C是直角,则∠B=　　　　°.  4. 如图,在△ABC中,E是边AC上一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1= ∠2,则△ABC是　　　　三角形.  　　 5. 将两个直角三角形按如图所示的方式摆放,∠D=∠ABC=90°,∠C= 60°,∠ABD=45°,则∠CAD的度数是　　　　. 54 直角 75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (2022·合肥庐江县期中)如图,AD是△ABC边BC上的高,∠1=∠2,∠C= 65°.求∠BAC的度数. ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.∴ ∠1+∠2= 90°.∵ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠2=45°.∵ ∠C=65°, ∴ ∠DAC=90°-∠C=25°.∴ ∠BAC=∠1+∠DAC =45°+25°=70° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,AD是△ABC边BC上的高,BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=65°, ∠BED=68°,求∠ABC和∠BAC的度数. ∵ AD是边BC上的高,∴ ∠ADB=90°.∴ ∠BED+ ∠EBD=90°.∵ ∠BED=68°,∴ ∠EBD=22°.∵ BE平分∠ABC,∴ ∠ABC=2∠EBD=44°.∵ ∠C= 65°,∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=71° 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠B=65°,则∠1的度数为 (　　) A. 125° B. 135°　 C. 145° D. 155° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AB于点E.若∠B= 50°,∠ACE=20°,则∠ADC的度数是　　　　.  10. (2022·哈尔滨)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠B=30°,∠CAD=20°,则∠BAC=　　　 　. 85° 80°或40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠A=40°,∠1=∠2,∠3=∠4.求∠EDF的度数. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∴ ∠B+∠C=180°- ∠A=180°-40°=140°.∵ 在△BED和△CFD中,∠1=∠2, ∠3=∠4,∴ ∠B+2∠2+∠C+2∠3=180°+180°=360°.∴ (∠B+∠C)+2(∠2+∠3)=360°.∴ 2(∠2+∠3)=360°-140° =220°.∴ ∠2+∠3=110°.∵ ∠EDF+∠2+∠3=180°,∴ ∠EDF=180°-(∠2+∠3)=180°-110°=70° 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (1) 在△ABC中,∠A的度数是它的补角的度数的,这个补角的度数是∠B的度数的2倍,则∠C的度数为　　　　;  (2) 在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,求它们对应的补角的度数之比. (2) 设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x.∵ ∠A+∠B+∠C=180°,∴ x+2x+3x= 180°,解得x=30°.此时180°-x=150°,180°-2x=120°,180°-3x=90°. ∴ 它们对应的补角的度数之比为150°∶120°∶90°=5∶4∶3 72° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. “8字”的性质及应用. (1) 如图①,AD,BC相交于点O,得到一个“8字”ABCD.求证:∠A+∠B=∠C+ ∠D. (2) 图②中共有多少个“8字”? (1) 在△OAB中,∠A+∠B=180°-∠AOB;在 △OCD中,∠C+∠D=180°-∠COD.∵ ∠AOB =∠COD,∴ ∠A+∠B=∠C+∠D　 (2) 共有6个“8字”　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 如图②,∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论,求证: ∠E=(∠A+∠C). (3) 在“8字”ABED中,∠E+∠ADE=∠A+∠ABE①;在 “8字”EBCD中,∠E+∠EBC=∠C+∠EDC②.由①+②, 得2∠E+∠ADE+∠EBC=∠A+∠C+∠ABE+∠EDC. ∵ DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,∴ ∠ADE=∠EDC, ∠EBC=∠ABE.∴ 2∠E=∠A+∠C,即∠E=(∠A+∠C) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 13.1.2　三角形中角的关系 1. 三角形中,　　　　个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形、有一个角是　　　　角的三角形叫做直角三角形、有一个角是　　 　角的三角形叫做钝角三角形.  2. 直角三角形中夹直角的两边叫做　 　　　边,直角相对的边叫做 　　　　边.  3. 三角形按角的大小,可分类如下: 三角形 三 直 钝 直角 斜 4. 三角形的内角和等于　　　　. 180° 1. 一个三角形中直角的个数最多为 (　　) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. (2022·合肥包河区期中)如图,点E,D分别在边AB,AC上.若∠B=30°, ∠C=55°,则∠1+∠2的度数为 (　　) A. 85° B. 80° C. 75° D. 70° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 3. (教材P71练习第1(2)题变式)若一个三角形三个内角的度数比为4∶5∶ 9,则这个三角形是　　　　三角形(按角分).  4. 如图,根据三角形的有关知识可知图中的x的值是　　　　.  5. 如图,在三角形纸片ABC中,∠A=58°,∠B=83°.将纸片的一角折叠,使点C落在点C'处.若∠1=38°,则∠2=　　　　°. 直角 70 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. (2023·合肥期末)如图,在△ABC中,∠B=3∠A,∠C=∠B+40°.求△ABC的各内角度数. 因为∠B=3∠A,∠C=∠B+40°,所以∠C=3∠A+40°. 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+3∠A+3∠A+40° =180°.所以∠A=20°.所以∠B=3∠A=60°.所以∠C =∠B+40°=100° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P74习题13.1第3题变式)(2023·淮北期末)在△ABC中,∠B+∠C= 2∠A,∠A∶∠B=4∶5.求三角形中各角的度数. 设∠A=4x,∠B=5x,则∠C=180°-4x-5x=180°-9x.因为∠B+∠C=2∠A,所以5x+180°-9x=2×4x,解得x=15°.所以∠A=4×15°=60°,∠B=5× 15°=75°,∠C=180°-60°-75°=45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 若一个三角形的一个内角的度数等于其他两个内角度数的差,则这个三角形一定是 (　　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 9. (教材P74习题13.1第2题变式)下列条件能判断△ABC为直角三角形的是 (　　) A. ∠A+∠B+∠C=180° B. ∠A=∠B=∠C C. ∠A-∠B=90° D. ∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图,AB∥CD,CE⊥CD于点C,∠BAE为钝角,∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F,则∠F的度数为 (　　) A. 30° B. 45° C. 50° D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:如图,过点E作EG∥AB,则∠BAE+∠AEG=180°.因为AB∥CD,所以EG∥CD.所以∠GEC+∠C=180°.所以∠BAE+∠AEG+∠GEC+∠C= 360°,即∠BAE+∠AEC+∠C=360°.因为CE⊥CD于点 C,所以∠C= 90°.所以∠BAE+∠AEC=270°.因为∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F,所以∠EAF=∠BAE,∠AEF=∠AEC.所以∠EAF+∠AEF= (∠BAE+∠AEC)=135°.因为∠AEF+∠EAF+∠F= 180°,所以∠F=180°-135°=45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图,将一把三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角尺的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.若∠ABC+∠ACB=120°,则∠ABD +∠ACD=　　　　°.  12. 当三角形中一个内角β的度数是另外一个内角α的度数的时,我们称此三角形为“友好三角形”,α为“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角的度数为54°,那么这个“友好三角形”中的“友好角”α的度数为 　　　 　　　　　. 30 54°或84°或108° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,在某海面上,客轮C突然发生事故,马上向救护船B发出求救信号.由于救护船A离客轮C比救护船B离客轮C更近,所以救护船B立即向救护船A发出信号,让其救助客轮C.已知救护船A在救护船B的北偏东45°方向上,客轮C在救护船B的北偏东75°方向上,测得∠C=75°,则救护船A沿南偏东多少度方向驶向客轮C所用的时间最短? 由题意,得∠DBA=45°,∠DBC=75°,所以∠ABC=∠DBC- ∠DBA=30°.由题意,得BD∥AE,所以∠BAE=∠DBA=45°. 因为∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∠C=75°,∠ABC=30°, 所以∠BAC=75°.所以∠EAC=∠BAC-∠BAE=75°-45°= 30°.所以救护船A沿南偏东30°方向驶向客轮C所用的时间最短 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 将一副三角尺的直角顶点重合,并按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°). (1) ① 若∠DCE=35°,求∠ACB的度数; ② 若∠ACB=110°,求∠DCE的度数. ① 因为∠DCE=35°,∠ACD=90°,所以∠ACE=∠ACD -∠DCE=55°.因为∠BCE=90°,所以∠ACB=∠ACE+ ∠BCE=145°　 ② 因为∠ACB=110°,∠ACD=90°,所以∠DCB=∠ACB-∠ACD=20°.因为∠BCE=90°,所以∠DCE=∠BCE-∠DCB=70° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由. (3) 当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时,这一副三角尺是否存在一组边互相平行的情况?若存在,请直接写出∠ACE所有可能的度数;若不存在,请说明理由. (2) ∠ACB+∠DCE=180°　 理由:因为∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,所以∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+∠BCE= 90°+90°=180°.　 (3) 存在　∠ACE的度数可能为30°或45°或120°或135°或165° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第1课时　命　题 1. 学习几何需要观察和实验,同时也需要学会　　　　.推理是一种思维活动.人们在思维活动中,常要对事物的情况作出种种判断.  2. 对某一事件作出　　　　或　　　　判断的语句(或式子)叫做命题.正确的命题叫做真命题,　　　　的命题叫做假命题.  3. 数学命题通常由　　 　 　　 和　　　 　　两部分组成, 　　　　是已知事项,　　　　是由已知事项推出的事项.命题常写成“　　　　 　　　”的形式,“如果”引出的是　 ,“那么”引出的是　　　　.对于有些条件、结论不太分明的命题,可先改写成“如果……那么……”的形式,再找条件和结论.  推理 不正确 正确 错误 条件(或题设) 结论(或题断) 条件 结论 条件 结论 如果……那么…… 4. 将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为　　　　命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的　　　　命题.  5. 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之符合命题的条件,但不满足命题的结论,我们把这种例子称为　　　　. 互逆 逆 反例 1. 下列语句中,不属于命题的是 (　　) A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 作∠A的平分线 D. 内错角相等 2. (2023·阜阳临泉县期末)下列命题中,假命题是 (　　) A. 三角形的内角和是180° B. 如果直线a∥c,b∥c,那么直线a∥b C. 如果a2>b2,那么a>b D. 三角形任意两边之和大于第三边 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 3. 可以说明“两个负数a,b之差是负数”是假命题的一个反例是 (　　) A. a=2,b=-1 B. a=-2,b=-1 C. a=-1,b=-2 D. a=-1,b=2 4. (2023·六安舒城县段考)“两个整数相除,如果永远都除不尽,那么结果一定是一个无理数”是一个　　　　命题(填“真”或“假”).  5. (2022·六安叶集区期中)命题“如果两个实数相等,那么它们的平方相等”的逆命题是　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　.  6. 要通过举反例说明“如果a>b,那么<”是假命题,请写出一组a,b的值:a =　　 　　,b=　　　　. C 假 如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等 答案不唯一,如1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P77练习第1题变式)下列各语句中,哪些是命题?哪些不是命题?是命题的,请先将它改写成“如果……那么……”的形式,再指出命题的条件和结论. (1) 同号两数的和一定不是负数; (2) 若x=2,则1-5x=0; (1) 是命题　改写:如果两个数同号,那么这两个数的和一定不是负数　条件:两个数同号　结论:这两个数的和一定不是负数　 (2) 是命题　改写:如果x=2,那么1-5x=0　条件:x=2　结论:1-5x=0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 延长线段AB至点C,使B是AC的中点; (4) 互为倒数的两个数的积为1. (3) 不是命题　 (4) 是命题　改写:如果两个数互为倒数,那么这两个数的积为1　条件:两个数互为倒数　结论:这两个数的积为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 有下列命题:① 若a>0,b<0,则a+b<0;② 若a+b=0,则a2=b2;③ 如果两个数的和是偶数,那么它们都是偶数.其中,原命题与逆命题均为真命题的有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 有下列命题:① 若函数y=(m-2)x|m|-1+4是关于x的一次函数,则m的值是±2;② 三角形的三条高相交于同一点;③ 在同一平面内有三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中,真命题的个数是 (　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是 (　　) A. ∠1=∠2=45°　 B. ∠1=50°,∠2=50° C. ∠1=50°,∠2=40°　 D. ∠1=40°,∠2=40° 11. 亚男认为命题“|2a-1|=1-2a”是假命题.若你想用一个实数a的值来举反例,则这个a的值可以是　　 　　. A 答案不唯一,如1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 找出下列命题中的真命题与假命题: (1) 同角的余角相等; (2) 如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1; (3) 异号两数相加得0; (4) 一个角的补角一定大于这个角; (5) 若关于x的不等式组无解,则a≥-1; (6) 三角形的三个内角中至少有两个锐角. 真命题是(1)(5)(6),假命题是(2)(3)(4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. (教材P77练习第2题变式)判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举出一个反例. (1) 两个锐角的和是锐角; (2) 若a>b,则a2>b2; (3) 如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数. (1) 是假命题　反例不唯一,如40°的角与60°的角的和为100°的角, 100°的角是钝角　 (2) 是假命题　反例不唯一,如a=1,b=-3,此时a2=1,b2=9,而a2<b2　 (3) 是假命题　反例不唯一,如a=,b=-,此时a+b=+(-)=0,而0是有理数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 命题“若n是自然数,则代数式(3n+1)(3n+2)的值是3的倍数”. (1) 写出命题的条件和结论. (2) 该命题是真命题还是假命题?如果你认为是假命题,请说明理由. (1) 命题的条件是n是自然数,结论是代数式(3n+1)(3n+2)的值是3的倍数　 (2) 是假命题　理由:因为(3n+1)(3n+2)=9n2+6n+3n+2=9n2+9n+3-1=3(3n2 +3n+1)-1,又因为n为自然数,所以易得3(3n2+3n+1)-1不是3的倍数.所以该命题是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$