1.1探索勾股定理（第一课时） 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理（第一课时） 数学 八年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前导入 典例讲练 目录 CONTENTS 课前预习 数学 八年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 勾股定理. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ,b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ⁠. 注意：（1）运用勾股定理的前提是直角三角形；（2）要分清 直角边和斜边. a2＋ b2＝ c2　 2.若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别 记为 Sa ，Sb以斜边为边长的正方形的面积记为Sc ，则Sa ， Sb ， Sc 三者之间的关系是 ⁠. Sa ＋ Sb ＝ Sc 　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 课前导入 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？ 导入新课 （图中每一格 代表 1 cm2） （1）正方形 P 的面积是 cm2； （2）正方形 Q 的面积是 cm2； （3）正方形 R 的面积是 cm2. 1 2 1 SP + SQ = SR R Q P A C B AC2 + BC2 = AB2 等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面. 勾股定理的初步认识 新课讲授 填一填：观察右边两幅图：完成下表 (每个小正方形的面积为单位 1). A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方形 C 的面积呢？ 9 16 9 ？ 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 13 5 12 A B C 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 做一做 几何语言： 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 (勾股定理). a A B C b c ∟ 总结归纳 定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2． 勾股定理 求下列直角三角形中未知边的长： 练一练 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得 82 + x2 = 172， x = 15. 解：由勾股定理可得 52 + 122 = x2， x = 13. 我们一起穿越到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如图所示）： A B C 穿越毕达哥拉斯做客现场 正方形 A 的面积 正方形 B 的面积 正方形 C 的面积 + = 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 知识链接 数学 八年级上册 BS版 0 3 典例讲练 在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c . （1）若 a ＝8， b ＝15，则 c ＝ ⁠； （2）若 a ＝9， c ＝15，则 b ＝ ⁠； 17　 12　 （3）若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝10，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 6　 8　 【解析】（1）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得 c2＝ a2＋ b2＝82＋152＝289.所以 c ＝17（负值舍去）.故答案为17. （2）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得b2＝ c2－ a2＝152－92＝144.所以 b ＝12（负值舍去）. 故答案为12. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （3）由已知 a ∶ b ＝3∶4，可设 a ＝3 k ， b ＝4 k （ k ＞0）.在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得 （3 k ）2＋（4 k ）2＝102，即9 k2＋16 k2＝25 k2＝100.解得 k ＝2（负值舍去）. 所以 a ＝3 k ＝6， b ＝4 k ＝8. 故答案为6，8. 【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长的基本方法：（1）首先要分清楚哪条边是斜边，哪两条边直角边；（2）正确代入 a2＋ b2＝ c2（其中 a ， b 为直角边长， c 为斜边长）；（3）“知二求一”，计算出第三边的长.像本例第（3）题中给出比例式 a ∶ b ＝3∶4，解本题的基本方法是设出参数 k （即设出新的未知数），并用含 k 的式子把 a ， b 表示出来，再利用勾股定理建立方程，求出参数 k 的值，进而求出 a ， b 的值. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 1. 求下列直角三角形中未知边 AB 的长度. （1） （1）解：在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，根据勾股定理，得AB2＋ BC2＝ AC2. 所以 AB2＝ AC2－ BC2＝202－122＝256. 因为 AB ＞0，所以 AB ＝16. （2） （2）解：在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，根据勾股定理，得AB2＝ AC2＋ BC2＝72＋242＝625. 因为 AB ＞0，所以 AB ＝25. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 2. （2021·成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则 A 所代 表的正方形的面积为 ⁠. 100　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （1）如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝15 cm， AC ＝13 cm， BC ＝14 cm，求△ ABC 的面积. 解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ， 则∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. 设 BD ＝ x cm，则 CD ＝（14－ x ）cm. 在Rt△ ABD 中，∠ ADB ＝90°，由勾股定理，得 AD2＝ AB2－ BD2＝152－ x2. 在Rt△ ACD 中，∠ ADC ＝90°，由勾股定理，得 AD2＝ AC2－ CD2＝132－（14－ x ）2. 所以152－ x2＝132－（14－ x ）2，解得 x ＝9. 所以 AD2＝152－92＝144.所以 AD ＝12 cm（负值舍去）. 所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×14×12＝84（cm2）. 【点拨】勾股定理只能在直角三角形中应用，对于一般的三角形，常常作垂线（或作高）来构造直角三角形，然后利用勾股定理求得未知线段的长.在构造直角三角形时，尽量不要破坏已知条件中的特殊角和已知的边. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （2）已知直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长的 平方. 解：①当3和4都是直角边的长时，根据勾股定理，得32＋42＝ 25.所以第三边长的平方为25. ②当4为斜边的长时，根据勾股定理，得42－32＝7.所以第三边长的平方为7. 综上所述，第三边长的平方为25或7. 【点拨】若题目中明确给出斜边的长和一条直角边的长（或给出两条直角边长），则直接运用勾股定理求解；若题目中没有明确指出给出的边长是直角边的长还是斜边的长时，就要分为两边都是直角边或较长的一边是斜边，另一边为直角边两种情况讨论. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，在△ ABD 中，∠ D ＝90°，点 C 是 BD 上一点.若 BC ＝9， AB ＝17， AC ＝10，则 AD 的长为 ⁠. 8　 【解析】设 CD ＝ x ，则 BD ＝ BC ＋ CD ＝9＋ x . 在△ ACD 中，∠ D ＝90°，由勾股定理，得AD2＝ AC2－ CD2. 在△ ABD 中，∠ D ＝90°，由勾股定理，得AD2＝ AB2－ BD2. 所以 AC2－ CD2＝ AB2－ BD2， 即102－ x2＝172－（9＋ x ）2，解得 x ＝6. 所以 AD2＝102－62＝64. 所以 AD ＝8（负值舍去）. 故答案为8. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°， AD 平分∠ CAB ， DC ＝1.5， BD ＝2.5，求 AC 的长. 解：如答图，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E . 因为 AD 平分∠ CAB ，所以∠ DAE ＝∠ DAC . 在△ AED 和△ ACD 中， 所以△ AED ≌△ ACD （AAS）.所以 DE ＝ DC ＝1.5， AE ＝ AC . 在Rt△ DEB 中，由勾股定理，得 BE2＝ BD2－ DE2＝2.52－1.52＝4.所以 BE ＝2（负值舍去）. 设 AC ＝ AE ＝ x ，则 AB ＝ x ＋2. 因为 CD ＝1.5， BD ＝2.5，所以 BC ＝1.5＋2.5＝4. 在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得AB2＝ AC2＋ BC2， 即（ x ＋2）2＝ x2＋42，解得 x ＝3.所以 AC ＝3. 答图 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，在长方形ABCD 中，已知AB＝8cm， BC ＝10cm.在CD 上取一点E ，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在边BC的 点 F 处，求 CE 的长. 解：因为四边形 ABCD 是长方形， 所以 CD ＝ AB ＝8 cm， AD ＝ BC ＝10 cm，∠ D ＝90°. 由折叠的性质，得△ AFE ≌△ ADE . 所以∠ AFE ＝∠ D ＝90°， AF ＝ AD ＝10 cm， EF ＝ DE . 设 CE ＝ x cm（ x ＞0）， 则 EF ＝ DE ＝ CD － CE ＝（8－ x ）cm. 在Rt△ ABF 中，∠ B ＝90°，由勾股定理，得 数学 八年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题是轴对称（折叠、翻折等）的性质与勾股定理的综合应用，解决这类问题的基本方法是先分清折叠前后哪些线段相等，哪些角相等，再根据勾股定理建立方程求出所需线段的长.利用勾股定理建立方程求线段长是解决折叠问题的常用方法. AB2＋ BF2＝ AF2，即82＋ BF2＝102. 所以 BF ＝6 cm（负值舍去）.所以 CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）. 在Rt△ ECF 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得EF2＝ CE2＋ CF2， 即（8－ x ）2＝ x2＋42，解得 x ＝3. 故 CE 的长为3 cm. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝6，点 P 为 AD 上 一点，将△ ABP 沿 BP 翻折至△ EBP ， PE ， BE 分别与 CD 相交 于点 O ， G ，且 OE ＝ OD . （1）试说明： DG ＝ EP ； 解：（1）在△ ODP 和△ OEG 中， 所以△ ODP ≌△ OEG （ASA）. 所以 OP ＝ OG . 又因为 EP ＝ OE ＋ OP ， DG ＝ OD ＋ OG ，且 OE ＝ OD ， 所以 DG ＝ EP . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （2）因为四边形 ABCD 是长方形， 所以∠ D ＝∠ A ＝∠ C ＝90°， AD ＝ BC ＝6， CD ＝ AB ＝8. 由折叠的性质，得△ EBP ≌△ ABP . 所以 EP ＝ AP ，∠ E ＝∠ A ＝90°， BE ＝ BA ＝8. 由（1）知，△ ODP ≌△ OEG ， DG ＝ EP ，所以 PD ＝ GE . 设 AP ＝ EP ＝ DG ＝ x ，则 PD ＝ GE ＝6－ x . 所以 CG ＝ CD － DG ＝8－ x ， BG ＝ BE － GE ＝8－（6－ x ）＝ x ＋2. （2）求 AP 的长. 在Rt△ BCG 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得 BC2＋ CG2＝ BG2，即62＋（8－ x ）2＝（ x ＋2）2， 解得 x ＝ .故 AP 的长为 . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 八年级上册 BS版 $$