专题拓展：与圆锥曲线有关的动点轨迹问题（技巧解密+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题拓展：与圆锥曲线有关的动点轨迹问题 一、轨迹与轨迹方程 1、轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了. （1）求轨迹方程的实质是将形"转化为数”，将曲线“转化为方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质； （2）求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想. 2、解轨迹问题注意： （1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 二、求动点的轨迹方程的方法 1、定义法 （1）定义：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解这种方法称为定义法. （2）常用的相关结论： ①到两个定点的距离之比为常数λ（λ≠1)的点的轨迹是圆，以这种方式定义的圆叫做“阿波罗尼斯圆”； ②定圆上一动点和圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆； ③定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是双曲线； ④如果动圆与两个相互内含的定圆的位置关系为与一个外切，与另一个内切，那么动圆的圆心轨迹为椭圆； ⑤如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为与其中一个定圆外切，与另一个定圆内切，那么动圆圆心的轨迹为双曲线； ⑥如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心的轨迹为双曲线的一支； ⑦如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（且直线与该定圆不相切)，那么动圆的圆心轨迹为抛物线. 2、直译法 （1）定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程. （2）方法步骤： ①建系，建立适当的坐标系； ②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)； ③列式，列出动点P所满足的关系式； ④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简； ⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3、相关点法（代入法） （1）定义：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.这种方法称为相关点法. （2）方法步骤：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； 4、参数法 （1）定义：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程.这种方法称为参数法. （2）方法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； 5、交轨法 （1）定义：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹.这种方法称为交轨法. （2）方法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 考点一：定义法求动点轨迹 例1．（23-24高二上·河南郑州·期中）若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【变式1-2】（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式1-3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 考点二：直接法求动点轨迹 例2. （23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2-1】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【变式2-2】（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期中）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ； 【变式2-3】（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知点M到定点的距离与到定直线l：的距离之比为，求点M的轨迹方程． 考点三：相关点法求动点轨迹 例3. （22-23高二上·湖南怀化·期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【变式3-2】如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？    【变式3-3】设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 考点四：参数法求动点轨迹 例4. （2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·吉林长春·模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【变式4-2】（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【变式4-3】（22-23高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 考点五：交轨法求动点轨迹 例5. 设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程. 【变式5-2】（23-24高三下·安徽·月考改编）已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程. 【变式5-3】（2022高三上·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过上的点作切线，分别与直线，交于点，圆与轴交于点．    (1)若点坐标是，求直线的方程； (2)若是圆上的动点，证明：两条动直线的交点总在同一个椭圆上，并求出椭圆的方程． 考点六：空间中的动点轨迹 例6. （22-23高二下·上海宝山·期末）已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式6-1】如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支 【变式6-2】（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱中点，点Q在侧面内运动，若，则动点Q的轨迹所在曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式6-3】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，若点P到平面的距离，则点P的轨迹是（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）已知的周长为12，且，则的顶点A的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2．（23-24高二上·江西南昌·月考）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 3．（23-24高二上·重庆·月考）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 4．（22-23高二下·上海普陀·月考）半径不等的两定圆、无公共点，动圆O与、都内切，则圆心O的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．双曲线的一支或椭圆 D．抛物线或椭圆 5．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（    ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 二、多选题 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆 C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 8．（23-24高二上·湖北恩施·月考）若A是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 三、填空题 9．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．则的方程为 ； 10．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 11．（23-24高二上·广东广州·月考）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 四、解答题 12．（22-23高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 13．（23-24高二上·江西·月考）（1）已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程； （2）已知点A是圆上的动点，过点A作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么图形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：与圆锥曲线有关的动点轨迹问题 一、轨迹与轨迹方程 1、轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了. （1）求轨迹方程的实质是将形"转化为数”，将曲线“转化为方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质； （2）求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想. 2、解轨迹问题注意： （1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 二、求动点的轨迹方程的方法 1、定义法 （1）定义：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解这种方法称为定义法. （2）常用的相关结论： ①到两个定点的距离之比为常数λ（λ≠1)的点的轨迹是圆，以这种方式定义的圆叫做“阿波罗尼斯圆”； ②定圆上一动点和圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆； ③定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是双曲线； ④如果动圆与两个相互内含的定圆的位置关系为与一个外切，与另一个内切，那么动圆的圆心轨迹为椭圆； ⑤如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为与其中一个定圆外切，与另一个定圆内切，那么动圆圆心的轨迹为双曲线； ⑥如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心的轨迹为双曲线的一支； ⑦如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（且直线与该定圆不相切)，那么动圆的圆心轨迹为抛物线. 2、直译法 （1）定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程. （2）方法步骤： ①建系，建立适当的坐标系； ②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)； ③列式，列出动点P所满足的关系式； ④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简； ⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3、相关点法（代入法） （1）定义：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.这种方法称为相关点法. （2）方法步骤：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； 4、参数法 （1）定义：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程.这种方法称为参数法. （2）方法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； 5、交轨法 （1）定义：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹.这种方法称为交轨法. （2）方法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 考点一：定义法求动点轨迹 例1．（23-24高二上·河南郑州·期中）若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】等式左侧表示点与点间的距离， 等式右侧表示到直线的距离， 整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上， 所以点轨迹为抛物线.故选：D. 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【答案】C 【解析】连接， 因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆.故选：C 【变式1-2】（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为； 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求动圆圆心为，圆的半径为， 由于动圆与圆、圆均外切，则， 所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 【答案】B 【解析】因为，所以点在圆内，所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，， 从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆.故选：B. 考点二：直接法求动点轨迹 例2. （23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线.故选：D 【变式2-1】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【解析】建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系， 设，，， 设M的坐标为，由题意可得， 则，，， 所以，， 由，可得， 整理可得：，所以，， 故动点M的轨迹是双曲线.故选：D. 【变式2-2】（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期中）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ； 【答案】 【解析】设点，则的重心， ∵是不等边三角形，∴， 再设的外心， ∵已知，∴MN∥AB，∴， ∵点N是的外心，∴，即， 化简整理得轨迹E的方程是. ∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）． 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知点M到定点的距离与到定直线l：的距离之比为，求点M的轨迹方程． 【答案】． 【解析】设点P的坐标为， 由题意，得， 左、右平方，得，整理，得， 所以点M的轨迹方程为． 考点三：相关点法求动点轨迹 例3. （22-23高二上·湖南怀化·期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线和互相垂直，所以， 又，所以点在一，四象限或者二，三象限， 设， 因为为的中点，所以，所以 因为，所以， 所以，所以， 所以，即，故选：B 【变式3-1】（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设动点， 因为动点满足，其中， 所以， 所以解得，， 因为， 所以，整理得. 故答案为:. 【变式3-2】如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？    【答案】点M的轨迹是椭圆，理由见解析 【解析】设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为， 由点M是线段的中点，得，． 因为点在圆上，所以 ① 把，代入方程①，得，即． 所以点的轨迹是椭圆． 【变式3-3】设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【解析】设． 因为为线段的中点，所以， 因为，所以点的轨迹方程为． 考点四：参数法求动点轨迹 例4. （2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切，联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入，得， 得，因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得，令，得， 则，， 由，得，， 代入，得，即，故选：D 【变式4-1】（2023·吉林长春·模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【解析】设斜率为直线方程为：， 代入椭圆中，消元整理得：， 线段的中点为，设， 则， 所以，， 所以，消去得：， 所以线段的中点为的轨迹方程为：， 如图所示：的轨迹即为线段， 由或， 所以， 所以的轨迹长度为：， 故答案为：. 【变式4-2】（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 【变式4-3】（22-23高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）双曲线的一条渐近线为， 又抛物线的焦点的坐标为， 由题可得：，解得，故抛物线方程为：. （2）设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立抛物线方程可得，则， 又，则，所以，， 设点的坐标为，则，即， 代入，可得， 又，故； 则点的轨迹方程为：. 考点五：交轨法求动点轨迹 例5. 设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①， 又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得： 将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为.故选：C. 【变式5-1】如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程. 【答案】 【解析】设，，又，， 则直线的方程为…①；直线的方程为…②； 由①②得：…③； 由点在椭圆上可得：， ，代入③得：. 【变式5-2】（23-24高三下·安徽·月考改编）已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程. 【答案】不含点 【解析】依题意，， 设点，由，得，即， 由，得，即， 当时，直线，直线， 联立消去参数得，即， 当时，得交点，满足上述方程， 所以直线与直线交点的轨迹方程:不含点. 【变式5-3】（2022高三上·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过上的点作切线，分别与直线，交于点，圆与轴交于点．    (1)若点坐标是，求直线的方程； (2)若是圆上的动点，证明：两条动直线的交点总在同一个椭圆上，并求出椭圆的方程． 【答案】(1)直线的方程为，直线的方程为；(2)证明见解析， 【解析】（1）连接，若点坐标是，得直线的斜率， 且，则直线的斜率， 又因为直线经过点， 则直线的方程为，即． 当时，，得；当时，，得． 由点，可得直线的方程为，即， 由点，可得直线的方程为，即． （2）因为是圆上的一动点，则， 设是圆以为切点的切线上任意一点，得，， 由，则，可得， 所以切线的方程为． 将，代入中，解得，得； 将，代入中，解得，得． 由，得，得直线方程为； 由，得，得直线方程为． 设直线的交点，联立方程组， 两式相乘得． 且，代入上式化简得方程，即， 是一个焦点在轴上的椭圆的方程， 所以两条动直线的交点总在同一个椭圆上，且椭圆的方程为． 考点六：空间中的动点轨迹 例6. （22-23高二下·上海宝山·期末）已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】如图： 不妨设在平面内射影为，则与相交，与垂直， 设直线与平面的距离为，则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则到的距离为，到的距离为，从而到直线的距离为， 所以，即，故轨迹为双曲线，故选：C. 【变式6-1】如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】B 【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆； 当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线． 故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．故选：B． 【变式6-2】（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱中点，点Q在侧面内运动，若，则动点Q的轨迹所在曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】是固定的，，则直线是以为轴，轴截面圆心角是的圆锥的母线， 由于平面与轴线平行（面面平行得线面平行）， 因此平面截圆锥的侧面得双曲线，实际上轨迹是双曲线在侧面的一部分．故选：C 【变式6-3】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，若点P到平面的距离，则点P的轨迹是（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【解析】如图，作，做，连接. 因几何体为直三棱柱，则平面， 又平面，则， 又平面，平面，，则平面. 又由题可得平面，则. 因，，则. 又平面EPD，平面EPD，， 平面，平面，，则平面EPD平面. 因平面平面EPD，平面平面，则. 故，结合平面，平面，可得 ，则.又，则. 由题又有，结合，则， 即为点P到直线距离.故点P到定点距离等于点P到直线距离， 则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）已知的周长为12，且，则的顶点A的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】A 【解析】由题意可得, 故A的轨迹满足椭圆的定义， A在以为焦点，以，去掉与共线的两个点的椭圆上，故选：A 2．（23-24高二上·江西南昌·月考）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 【答案】A 【解析】因为，表示点到两点的距离之和为2， 又，则点的轨迹就是线段.故选：A 3．（23-24高二上·重庆·月考）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】B 【解析】方程即为方程表示： 动点到定点的即可与到定直线的距离的比为5且大于1， 所以其轨迹为双曲线，故选：B 4．（22-23高二下·上海普陀·月考）半径不等的两定圆、无公共点，动圆O与、都内切，则圆心O的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．双曲线的一支或椭圆 D．抛物线或椭圆 【答案】C 【解析】因为两定圆、无公共点，所以两圆外离或内含， 设两定圆、的半径分别为，圆O的半径为， 当两定圆外离时，由圆O与、都内切，则两定圆、在动圆O里面， 得，所以， 所以圆心O的轨迹是双曲线的一支； 当两定圆内含时，则动圆O在圆里面，圆动圆O里面，得， 所以，所以圆心O的轨迹是椭圆， 综上所述，圆心O的轨迹是双曲线的一支或椭圆.故选：C. 5．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由于动圆经过定点，且与轴相切， 所以到定点的距离，等于到轴的距离， 根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线.故选：D 6．（2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（    ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【解析】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，设， 可得，， 因为直线与的所成角为， 则，化简可得， 所以点Q的轨迹为抛物线.故选：C. 二、多选题 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆 C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 【答案】ABC 【解析】根据题意知：，，设， 对选项，，化简可得， 点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确； 对B选项,，，化简可得，， 点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确； 对C选项，，, 化简可得，, 点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确； 对D选项，, 化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误．故选：ABC 8．（23-24高二上·湖北恩施·月考）若A是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】ABC 【解析】设圆C的半径为， ①若点A在圆C内不同于点C处，如图所示， 则有， 故点的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确； ②若点A与C重合，则有， 故点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，所以A正确； ③若点A在圆C上，如图所示， 则由垂径定理，可知线段的垂直平分线必过点， 故点与点重合，故点的轨迹是一个点； ④若点A在圆C外，如图所示， 当线段的垂直平分线交的延长线于点时， 则，所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，所以C正确； 综上所述，点的轨迹可能是圆，椭圆，双曲线的一支，不可能是抛物线.故选：ABC. 三、填空题 9．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．则的方程为 ； 【答案】 【解析】点，根据已知列方程得，两边平方并整理得：. 故答案为： 10．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【答案】 【解析】设动圆的半径为，由已知得： 圆可化为标准方程：，即圆心，半径， 圆可化为标准方程：，即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知：，两式相加得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设方程为， 则，，，，， 所以轨迹的方程为. 故答案为： 11．（23-24高二上·广东广州·月考）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 四、解答题 12．（22-23高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知 当时，可化为，整理得，（舍去） 当x< 3时，可化为整理得， 故点M的轨迹方程为 解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线， 点M的轨迹方程为； （2）设Q（x，y）， 则，  ∴ 又，故，即为所求. 13．（23-24高二上·江西·月考）（1）已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程； （2）已知点A是圆上的动点，过点A作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么图形. 【答案】（1）（2）点的轨迹方程是，点的轨迹是椭圆 【解析】（1）设点的坐标为， 由题意可得，两边平方得， 整理得，所以点的轨迹方程为. （2）依题意，设，则， 因为，则， 则，可得，解得，即. 因为点A在圆上，则，即， 所以点的轨迹方程是，点的轨迹是椭圆. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$