第11讲 直线与圆的位置关系（二）（4个知识点+7种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第11讲 直线与圆的位置关系（二）（4个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 【例1】（2021•江阴市校级三模）如图为和一圆的重迭情形，此圆与直线相切于点，且与交于另一点．若，，则的度数为何　　 A． B． C． D． 【变式1】如图，、是上的两点，是的切线，，则等于　　． 【变式2】（苏州期末）已知，如图，切于点，，则　　度． 【变式3】（靖江市校级月考）已知：如图，是的外接圆，且，，是的切线，为切点，割线过圆心，交于另一点，连接． （1）求证：； （2）求的半径及的长． 知识点2．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【例2】（2022秋•姑苏区期中）如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•崇川区期中）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2023秋•江都区期中）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是　　． 【变式3】（2021•滨海县一模）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： （1）的长； （2）的度数． 知识点3．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 【例3】（2023秋•邗江区校级期中）如图，在中，，，分别与边，相切，切点分别为，，则的半径是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020秋•崇川区月考）如图，是圆外的一点，点、在圆上，、分别交圆于点、，如果，，，那么　　． 【变式2】（沭阳县校级月考）如图，直线过半圆的圆心，交半圆于，两点，切半圆与点，已知，，则该半圆的半径为　　． 【变式3】（海门市校级期中）如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长． 知识点4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【例4】（2024•秦淮区校级模拟）如图，四边形内接于，为的直径，，．若为四边形的内切圆圆心，则的长度为 　　． 【变式1】（2024•泰兴市三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长　　． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•惠山区三模）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点为的内心，求的长． 经典题型汇编 题型一、切线的性质定理 1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，． (1)如图①，点O在斜边上，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，与边相切于点F．求证：； (2)在图②中作，使它满足以下条件： ①圆心在边上；②经过点B；③与边相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 题型二、切线的性质和判定的综合应用 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 5．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）等腰和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5.若两个图形同时向右移动，的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，同时的边长、都以每秒0.5个单位沿、方向增大.的边与圆第一次相切时，点运动的距离是 个单位长度. 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点在直线上，点在直线外，作经过，两点且与相切． 题型三、应用切线长定理求解 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 8．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．    9．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： (1)求的长； (2)求的度数． 题型四、应用切线长定理求证 10．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是(　　) A．点E是△BPA的内心 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 11．（19-20九年级上·江苏泰州·期末）如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为 cm. 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 题型五、直角三角形周长面积与内切圆半径的关系 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径 ． 15．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 题型六、三角形内心有关应用 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④任意三角形是内心总是在三角形的内部；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中真命题的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，也是的外心．若，则 ． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）给出下列命题：①三角形的内心一定在三角形内部；②过圆的半径的外端的直线是圆的切线；③长度相等的两段弧是等弧；④等边三角形的外心一定在三角形的内部；⑤平分弦的直径必垂直于弦，其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七、三角形内切圆与外接圆综合 19．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 21．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是． 【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则　　； 【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围； 【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______． 试题练习 一、单选题 1．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）在下列命题中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．直径所对的圆周角是直角 C．三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 2．（江苏无锡·一模）如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·江苏常州·阶段练习）如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 9．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 10．（20-21九年级上·江苏南京·期末）已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    14．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则长是 ． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 17．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是 ． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②连接，，若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的序号是 ；    三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 20．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交于点D、E．设．求： (1)若，则的度数； (2)的周长． 22．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 23．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，． (1)的外接圆半径为 ； (2)用直尺和圆规作出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法），并求出的内切圆半径． 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知、分别与相切于点、，，为上一点． (1)求的大小； (2)请用不带刻度的直尺画出的角平分线．（保留作图痕迹，不用写作法） 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在中，，，．点是射线上一动点，作的外接圆． (1)若圆心在边上，如图2，则此时的长为______； (2)当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长； (3)随着点的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线与圆的位置关系（二）（4个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 【例1】（2021•江阴市校级三模）如图为和一圆的重迭情形，此圆与直线相切于点，且与交于另一点．若，，则的度数为何　　 A． B． C． D． 【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解． 【解答】解：，， ． 此圆与直线相切于点， 的度数． 故选：． 【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理． 【变式1】如图，、是上的两点，是的切线，，则等于　　． 【分析】可知，得知，由弦切角等于所对应的圆周角知． 【解答】解：根据题意知，， ， 在中，； 为切线， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质以及弦切角定理，是基础题型． 【变式2】（苏州期末）已知，如图，切于点，，则　120　度． 【分析】根据弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行求解． 【解答】解：切于点， ． 【点评】此题综合运用了圆周角定理和弦切角定理． 【变式3】（靖江市校级月考）已知：如图，是的外接圆，且，，是的切线，为切点，割线过圆心，交于另一点，连接． （1）求证：； （2）求的半径及的长． 【分析】（1）如图；由，可以得到，然后利用弦切角定理就可以证得与的内错角相等，由此得证； （2）本题需构建直角三角形求解，连接，交于，由垂径定理知：垂直平分， 在中，已知了、的长，根据勾股定理可求出的长， 在中，用圆的半径表示出的长，然后根据勾股定理，求出圆的半径长，进而可求出的长， 中，易证得是的中位线，由此可求出的长． 【解答】（1）证明：是的切线， ． 又， ， ． ． （2）解：连接交于点，则； 由（1）可知，， ． 为的中点， ， ． 又， ． 设的半径为，则， 在中， ， ， ，； 是的直径， ． 又， ． 点是的中点， ． 【点评】此题综合考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、垂径定理、中位线定理等知识点，综合性较强，难度较大． 知识点2．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【例2】（2022秋•姑苏区期中）如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是　　 A． B． C． D． 【分析】由于、、都是的切线，可根据切线长定理，将的周长转化为切线长求解． 【解答】解：根据切线长定理可得：，，； 所以的周长， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查的是切线长定理，图中提供了许多等量线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 【变式1】（2022秋•崇川区期中）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【变式2】（2023秋•江都区期中）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是　12　． 【分析】根据切线长定理将的周长转化为切线长即可． 【解答】解：根据切线长定理得：，，，则的周长． 【点评】此题主要考查切线长定理的运用能力． 【变式3】（2021•滨海县一模）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： （1）的长； （2）的度数． 【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论，即可求出的长； （2）根据三角形的内角和求出和的度数和，然后根据切线长定理，得出和的度数和，再根据三角形的内角和求出的度数． 【解答】解：（1），都是圆的切线， ， 同理，， 三角形的周长， 即的长为6； （2）， ， ， ，是圆的切线， ； 同理：， ， ． 【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 知识点3．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 【例3】（2023秋•邗江区校级期中）如图，在中，，，分别与边，相切，切点分别为，，则的半径是　　 A． B． C． D． 【分析】根据切线长定理得，根据勾股定理得的长，从而得到的长，再利用切割线定理得，从而可求得的长，也就得到了半径的长． 【解答】解：，，， ， ； ， ， ， 圆的半径是， 故选：． 【点评】此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理． 【变式1】（2020秋•崇川区月考）如图，是圆外的一点，点、在圆上，、分别交圆于点、，如果，，，那么　　． 【分析】根据“从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等”得到：，即． 【解答】解：如图，，，， ，． 又， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了切割线定理． （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 【变式2】（沭阳县校级月考）如图，直线过半圆的圆心，交半圆于，两点，切半圆与点，已知，，则该半圆的半径为　4　． 【分析】根据切割线定理求得的长，进一步求得圆的半径． 【解答】解：切半圆与点， ， 即， 则， 则圆的半径是4． 故答案为4． 【点评】此题考查了切割线定理． 【变式3】（海门市校级期中）如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长． 【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到是直角三角形．再根据勾股定理求出的长． 【解答】解：，，分别与相切于，，； ，， ， ， ． ． 【点评】解答此题的关键是综合运用切线长定理和平行线的性质发现，再根据勾股定理进行计算． 知识点4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【例4】（2024•秦淮区校级模拟）如图，四边形内接于，为的直径，，．若为四边形的内切圆圆心，则的长度为 　　． 【分析】设与、分别相切于，，连接，，根据切线的性质得到，得到四边形是正方形，设，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：设与、分别相切于，， 连接，， ， 为的直径， ， ， 四边形是正方形， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的长度为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键解． 【变式1】（2024•泰兴市三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长　　． 【分析】由矩形的性质得，，，求得，作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、，可求得，则，，再证明四边形是正方形，则，求得，，同理可得，，即可求得四边形的周长，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 同理可得，， 四边形的周长， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系． 【解答】解：点是的外心， ， ， 点是的内心， ，， ， ， ， ， ， ． ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用表示的度数． 【变式3】（2024•惠山区三模）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点为的内心，求的长． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 的平分线交于点， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接，， 点为的内心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 【点评】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 经典题型汇编 题型一、切线的性质定理 1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的切线的性质，同弧所对圆周角和圆心角的关系，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答本题的关键．连接，根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，求出的度数，再根据为的切线，得到，再求出的大小即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，是所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，垂径定理和勾股定理，连接并延长，交于F，连接，设的半径为r，则，，由勾股定理列式可求出． 【详解】解：连接并延长，交于F，连接，如图， 设的半径为r，则， 边与相切， ， 四边形为正方形， ， ， 在中，，即 解得：， 即圆的半径为， 故答案为： 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，． (1)如图①，点O在斜边上，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，与边相切于点F．求证：； (2)在图②中作，使它满足以下条件： ①圆心在边上；②经过点B；③与边相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键． （1）由切线的性质可得，推出，由平行线的性质可得，由等边对等角可得，等量代换可得； （2）先作的角平分线，与交于点F，再作的垂直平分线，与交于点M，以点M为圆心，为半径作圆即可． 【详解】（1）证明：如图①，连接， 与相切于点F， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，即为所求． 证明：∵M在的垂直平分线上， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与边相切． 题型二、切线的性质和判定的综合应用 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，若固定不动，则E随的位置变动而变化，因，所以点E运动的轨迹是以为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当时，即为⊙O的切线时，最大，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得， ， 点在以为直径的上，如下图， ∵当是⊙O的切线时，最大， ∴当最大时，， ∵， ∴， ∴． 故答案为D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）等腰和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5.若两个图形同时向右移动，的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，同时的边长、都以每秒0.5个单位沿、方向增大.的边与圆第一次相切时，点运动的距离是 个单位长度. 【答案】 【分析】设运动的时间为秒，根据三角形与圆第一次相切时三角形所走的路程等于与之间的距离加上所经过的路程解答． 【详解】解：设经过秒的边与圆第一次相切，移至△处，与所在直线的切点移至处， 如图，与切于点，连接并延长，交于， 设与直线切于点，连接，则，直线， 由切线长定理可知， 设，则， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 也是等腰直角三角形， ， ，则， ， ，， ， 由切线长定理得， ， 解得：， 点运动的距离为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合常见的函数进行综合分析是解题的关键，也考查了学生数形结合的分析能力． 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点在直线上，点在直线外，作经过，两点且与相切． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作直线，作线段的垂直平分线，直线交于点，以为圆心，为半径作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 题型三、应用切线长定理求解 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，由题意得出，，求出的长即可得出答案，熟练掌握切线长定理是解此题的关键． 【详解】解：是的切线，切点分别是， ，， ， ， 故选：B． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质，根据切线的性质把图形分割为矩形和直角三角形是解题的关键． 过D作于F，由切线的性质得四边形是矩形，则；由切线长定理可得的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵与， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵分别与相切， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的半径为．    故答案 为： 9．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． （1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论，即可求出的长； （2）根据三角形的内角和求出和的度数和，然后根据切线长定理，得出和的度数和，再根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】（1），都是圆的切线， ， 同理，， 三角形的周长， 即的长为6； （2）， ， ， ，是圆的切线， ； 同理：， ， ． 题型四、应用切线长定理求证 10．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是(　　) A．点E是△BPA的内心 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 【答案】B 【分析】根据切线长定理、切线性质、等腰三角形性质和三角形全等的判定和性质可以得到解答 ． 【详解】解：如图，作EG⊥PA于G，EH⊥PB于H，作PO的中点F，并连结FB、FA、EB、EA、OB、OA， 由切线长定理可知PA=PB，∠BPO=∠APO， ∴△BPA为等腰三角形，且PC为△BPA的边AB上的中线，D不符合题意； 由切线的性质可知△OBP、△OAP为直角三角形， ∵F为PO的中点，∴FB=FA=， ∴点A、B都在以PO为直径的圆上，C不符合题意； 在△PBE和△PAE中，， ∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB， ∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC， ∵PO平分∠BPA，∴EH=EG， ∴EH=EG=EC，∴点E是△BPA的内心，A不符合题意； ∵PC=CD不一定成立，AB与PD不一定相互垂直平分，B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查直线与圆相切的应用，综合运用切线长定理、切线性质、等腰三角形性质和三角形全等的判定和性质是解题关键． 11．（19-20九年级上·江苏泰州·期末）如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为 cm. 【答案】8 【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题. 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线, 如下图,连接各切点,有切线长定理易得, BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH, ∵△ABC周长为20cm, BC=6cm, ∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm, ∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG, 又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm 故答案是8 【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键. 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． 【详解】连接， ∵分别与小圆相切于点D、E， ∴，，， ∵是大圆的弦， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 题型五、直角三角形周长面积与内切圆半径的关系 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ， 或2， 当时，，不能组成三角形，不符合题意； ， 当第三边为10时， ，此三角形是直角三角形， 如图所示，在中，点是的内接圆，分别与相切于D、E、F，    ， ， ， ， ， 圆的半径为2， 故选：B． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径 ． 【答案】2 【分析】本题考查特殊三角形的内切圆的半径．勾股定理求出斜边长，利用直角三角形的内切圆的半径等于直角边的和减去斜边的长再除以2进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8， ∴斜边长为， ∴； 故答案为：2． 15．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 【答案】(1)的周长，证明见解析 (2)6cm (3)1或2 【分析】（1）根据切线长定理由、分别切于、得到，由于过点的切线分别交、于点、，再根据切线长定理得到，，然后根据三角形周长的定义得到的周长，用等线段代换后得到三角形的周长等于； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）根据题意作出图形，设与射线、射线相切于，，与相切于，于是得到，连接，，，推出四边形是正方形，得到，设的半径为，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1． 【详解】（1）解：的周长， 证明：、分别切于、， ， 与为的切线， ， 同理得到， 的周长 ； （2）解：如图1所示，连接，， 是的切线， ， ， 的周长为， ， ， 的半径为； （3）解：如图2所示， 设与射线、射线相切于，，与相切于， 则， 连接，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， ， ，， ， ， ， 即， ． 如图3所示，， ， 解得． 的半径为2或1． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型六、三角形内心有关应用 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④任意三角形是内心总是在三角形的内部；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中真命题的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角，三角形的外接圆及其内心，外心等知识．根据垂径定理，圆周角，三角形的外接圆及其内心，外心性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，①正确，故符合要求； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，②错误，故不符合要求； 三角形有且只有一个外接圆，③正确，故符合要求； 任意三角形是内心总是在三角形的内部，④正确，故符合要求； 三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 17．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，也是的外心．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 点是的内心，， ，是，的平分线， ，， ， 点也是的外心， ， 则的度数为． 故答案为： 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）给出下列命题：①三角形的内心一定在三角形内部；②过圆的半径的外端的直线是圆的切线；③长度相等的两段弧是等弧；④等边三角形的外心一定在三角形的内部；⑤平分弦的直径必垂直于弦，其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形内心、外心的性质、切线的判定定理、垂径定理及等弧的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形的内心一定在三角形内部，故①正确； 过圆的半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故②错误； 长度相等的两段弧不一定是等弧，故③错误； 等边三角形的外心一定在三角形的内部，故④正确， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内心、外心的性质、切线的判定定理、垂径定理及等弧的定义，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型七、三角形内切圆与外接圆综合 19．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 【答案】B 【分析】根据圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义逐一进行判断即可． 【详解】A、不在同一条直线的三个点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意； B、等弧所对的圆周角相等，选项说法正确，符合题意； C、直角三角形的内心和外心不重合，选项说法错误，不符合题意； D、经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，选项说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义，熟练掌握不在同一条直线的三个点确定一个圆；等弧所对的圆周角相等；三角形的内心是三条角平分线的交点，外心是三边的中垂线的交点和切线的判定定理是解题的关键． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是． 【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则　　； 【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围； 【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果； （2）当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时，此时最大，当的外接圆与线段相切时，此时最小，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）根据题意得：当N与D重合时r最大，由重叠得：，则 ，r的最大值为；当M 与B重合时，n最小，则，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，    由折叠的性质得：， ， ， 故答案为：3； （2）解：如图， 当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时， 此时最大，即， 当的外接圆与线段相切时， 设半径为r，则，则， ∴， 解得：， ， ， 则的范围为 ； （3）解：由题意得点在的角平分线上， 当N与D重合时r最大， 由重叠得：，则 ， ∴r的最大值为； 当M 与B重合时n最小，如图所示， ， 中，， =（舍）， ，    故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，矩形的性质和三角形的外接圆，勾股定理，是一道综合题．熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）在下列命题中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．直径所对的圆周角是直角 C．三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【答案】B 【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； B、直径所对的圆周角是直角，故本选项正确； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 2．（江苏无锡·一模）如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线的性质定理，连接，则，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：, ， ∴ ∵， ∴ 故选：C 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，连接，过点P作轴于H，可得，则∠，设交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最小， ∵半径为1， ∴， ∴的面积最小值为， 故选：B． 5．（21-22九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积为，可知最小时，有最大值，连接与交于点'，求出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：点、分别是、的中点，四边形是矩形， ， 在上，，， ， 设内切圆半径是， ， 最小时，有最大值， 如图，是的中点，所以点关于的对称点是点，连接与交于点'，    ， 此时即为最小值， ，， ， 最小值为， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将最小值转化为的长是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意连接，利用内心性质可知，再利用等腰三角形性质得，利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接，   ， ∵在中，，Ⅰ是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查内心定义，角平分线性质，等腰三角形性质，外角和定理等． 7．（22-23九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键． 8．（20-21九年级上·江苏常州·阶段练习）如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 9．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm）， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大． 10．（20-21九年级上·江苏南京·期末）已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①由和四边内角和，可得∠B+∠D=180º，可证四边形ABCD一定存在外接圆，用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，设BC或延长线交圆O于C'，连结DC'，根据圆内接四边形性质可得∠A+∠DC'B=180° 由∠A+∠C=180° 可得∠DC'B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C在圆上即可； ②由四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，可知A、B、C、D四点在同一圆上，由圆内接四边形性的性质∠A+∠C=∠B+∠D=180°即可； ③由四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等， 可证AB、BC、CD、DA是圆的切线，由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，可证AB+CD= =AD+BC． 【详解】①在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360º， ∵， ∴∠B+∠D=180º， 则四边形ABCD一定存在外接圆， 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结DC'， 根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC'B=180°， ∵∠A+∠C=180°， ∴∠DC'B=∠C， 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外， 类似地可证C不可能在圆内， ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆， 若，则四边形ABCD一定存在外接圆是真命题， ②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等， ∴A、B、C、D四点在同一圆上， 由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°， ∴； 若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则是真命题； ③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，设点O到向四边作垂线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，OH⊥CD于H， 由题意知：OE=OF=OG=OH， ∴E、F、G、H四点在同一圆上， 由切线的判定定理知， AB、BC、CD、DA是圆的切线， 由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE， AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=（AE+DE）+（BG+CG）=AD+BC， 则， 若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则是真命题． 故选择：D． 【点睛】本题考查命题真假问题，涉及圆内接四边形与圆外切四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质，并会推导证明，以及圆外切四边形的性质是解题关键． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质得性质与判定，切线长定理，勾股定理，连接，先证明是的切线，进而由切线长定理得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出，则，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵与相切于点A， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为6， 故答案为：6． 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点于点于点，连接、、，由，求得，因为为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点于点于点，连接、、，    ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴四边形是正方形， 设 解得， 故答案为：． 14．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了内切圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识；设圆与的切点分别为E，G，F，分别连接，利用面积关系可求得内切圆的半径，从而利用全等三角形的性质可得的长，进而求得的长，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理得：； ∵点D是斜边AB的中点， ∴； 设圆与的切点分别为E，G，F，分别连接，如图， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，易得四边形为正方形，设的半径为，根据切线长定理，得到，的周长为，求出的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出的长即可． 【详解】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，则：，， ∵， ∴四边形为正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的内切圆O相切， ∴， ∴的周长是， ∴， ∵的面积， ∴； 故答案为：13． 17．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接，，根据切线的性质定理可得，要使最小，只需最小即可，根据垂线段最短，当轴时，取最小值，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 根据切线的性质定理，得． 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值， 此时点的坐标是，， 在中，， ∴， 则最小值是． 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②连接，，若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的序号是 ；    【答案】①②④ 【分析】根据内心的定义和性质可求判定结论①；如图所示，连接，根据内心的定义和性质，三角形的内角和可判定结论②；根据题意，条件不足，可判定结论③；根据同弧或等弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：结论①， ∵点是的内心，即是的角平分线， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； 结论②连接，，若，则， 如图所示，连接，    ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，，故结论②正确； 结论③若点为的中点，则， ∵点是的内心， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，无法证明， ∴不一定等于，即不一定成立，故结论③错误； 结论④， 根据题意，平分， ∴， ∵， ∴，（三角形的外角性质）， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握三角形内心的定义（角平分线的交点）和性质，同弧（或等弧）所对圆周角相等，三角形内角和，外角和，等腰三角形的判和性质等知识的的综合运用是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 【答案】的半径为和边的长为． 【分析】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理和勾股定理，连接，由与相切则，设的半径为，故在中，由勾股定理得：，即可求出半径；由，为半径证明与相切，根据切线长定理可得，然后在中，由勾股定理得，即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】连接， ∵与相切， ∴， ∴， 设的半径为， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵，为半径， ∴与相切， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 20．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大． （1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：为直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 是直径，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交于点D、E．设．求： (1)若，则的度数； (2)的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，四边形内角和等知识，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． （1）连接，由切线的性质得出，求出，由切线长定理得出，由可得出答案． （2）根据切线长定理求出，代入求出的周长为即可． 【详解】（1）连接， ∵与分别相切于点A、点B， ∴，， ∴， ∴， ∵是的切线，切点是A、B、C， ∵，， ∴ （2）∵是的切线，切点分别为A、B， ∴， ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴，， ∴的周长 ． 22．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 23．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，． (1)的外接圆半径为 ； (2)用直尺和圆规作出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法），并求出的内切圆半径． 【答案】(1)2.5 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，即可求出答案． （2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出内切圆半径即可． 【详解】（1）解：在Rt△ACB中，， 由勾股定理得：， 即三角形的外接圆的半径长是， 故答案为：2.5． （2）解：如图所示： 连接， 设内切圆的半径长为r，则， 由 得： 解得：， 即该三角形内切圆的半径长是1． 【点睛】本题考查了勾股定理，作角的平分线，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力． 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知、分别与相切于点、，，为上一点． (1)求的大小； (2)请用不带刻度的直尺画出的角平分线．（保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，切线的性质． （1）连接、，由和是的切线，可得，结合，根据四边形的内角和可求出，最后根据圆周角定理即可求解； （2）连接交弧于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：连接、， 和是的切线， ， ， 由圆周角定理得，； （2）如图，即为所求． 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在中，，，．点是射线上一动点，作的外接圆． (1)若圆心在边上，如图2，则此时的长为______； (2)当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长； (3)随着点的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围． 【答案】(1)3 (2)6或 (3)当时，与有3个交点； 当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 【分析】本题主要考查了圆与平行四边形，三角形综合．熟练掌握圆切线性质与判定，垂径定理及推论，圆周角定理及推论，勾股定理解直角三角形，矩形判定和性质，平行四边形的性质，直线与圆的位置关系，四点共圆，分类讨论，是解题的关键． （1）根据直径对的圆周角是直角得到，根据正弦定义得到，根据勾股定理得到． （2）当与相切时，得到 ，根据，得到，根据垂径定理得到，根据，即得；当与相切于点F，设交于点H，作于点L，推出，根据垂径定理得到，推出四边形是矩形，得到，推出，得到，设的半径为r，根据勾股定理得到，解得，得到，推出，结合，推出，得到，求得，得到；根据、都与有两个交点，得到、与都不相切． （3）分，，，四种情况，与的边的交点分别有3个，4个，3个，2个． 【详解】（1）当圆心在边上时，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）如图，当与相切时，与只有一个交点，此时A切点， 则，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， 由①结论可得，， ∴， ∴； 当与相切时，设切点为F，延长线交于点H，过点A作于点L， ，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与相切，与相切时， ∵与有A、B两个交点，与有B、P两个交点， ∴、与相切都不存在． 故当与的某一边所在的直线相切时，的长为6或． （3）如图，由（2）知，当时，与有3个交点； 如图，在射线上取点M，N，使，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，, ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形，， ∴A、B、N、D四点共圆， ∴当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 综上所述，当时，与有3个交点； 当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：        ∴最大为：． 当P在上时最小，如图：     ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图：      ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：    ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边，      ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：    ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$