第11讲 比例线段（一）（2个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第11讲 比例线段（一）（2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 【例1】（2023秋•贵池区期末）已知，那么下列比例式中成立的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•包河区期末）如果，那么　　． 【变式2】（2023秋•肥西县期末）已知，则　　． 【变式3】（2024•天长市一模）已知非负数，，满足，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式4】（2023秋•蚌埠期末）如果，且，求的值． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【例2】．（2023•庐阳区校级一模）已知线段，，则线段和的比例中项为 　　． 【变式1】（2022秋•庐阳区校级期中）下列各组线段中，不能成比例线段的是　　 A．1，，， B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D．2，，， 【变式2】（2020秋•定远县期中）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地间的实际距离是 　　． 【变式3】（2023秋•淮北期中）已知四条线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长度为　　 A． B． C． D． 【变式4】（2022秋•天长市期中）线段、、，且． （1）求的值； （2）如果线段、、满足，求的值． 经典题型汇编 题型一、比例的性质 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知，，求的值． 题型二、比例线段 4．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 5．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如果线段，，那么的值为 ． 6．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值． 题型三、成比例线段 7．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 8．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 ． 9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（    ） A． B．8 C．9 D．10 6．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（    ）米． A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝ ． 12．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知线段是线段的比例中项，如果，那么 ． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为 m． 14．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知，求的值． 16．（19-20九年级上·安徽淮南·期中）若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值． 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若（x、y、z均不为零），求的值． 18．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值． 20．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a、b、c满足且． (1)求线段a、b、c的长； (2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长． 21．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 22．（22-23九年级上·安徽·期末）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 23．（九年级上·全国·课后作业）阅读理解： 如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点． 某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． 问题解决： 如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点． (1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 比例线段（一）（2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 【例1】（2023秋•贵池区期末）已知，那么下列比例式中成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用比例的性质变形得出答案． 【解答】解：， ， 则， 故选：． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 【变式1】（2023秋•包河区期末）如果，那么　　． 【分析】依据比例的性质，即可得到． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 【变式2】（2023秋•肥西县期末）已知，则　　． 【分析】根据题意，设，，代入即可求得的值． 【解答】解：由题意，设，， ． 故答案为： 【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 【变式3】（2024•天长市一模）已知非负数，，满足，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值． 【解答】解：设，则，，， ， ， 随的增大而减小， ，，为非负数， ， 解得：． 当时，取最大值为， 当时，取最小值， 的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查了解不等式组，一次函数的性质，设是解题的关键． 【变式4】（2023秋•蚌埠期末）如果，且，求的值． 【分析】令，从而表示出，，．再代入，即可求出的值，于是可以解决问题． 【解答】解：令， ，，， ， ， ， ，，， ． 【点评】本题考查比例的有关知识，设，是解题的关键． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【例2】．（2023•庐阳区校级一模）已知线段，，则线段和的比例中项为 　6　． 【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出结果． 【解答】解：设线段和的比例中项为， ，， ， ， 解得：， 又线段不能是负数， 舍去， ， 故答案为：6． 【点评】考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解决问题的关键． 【变式1】（2022秋•庐阳区校级期中）下列各组线段中，不能成比例线段的是　　 A．1，，， B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D．2，，， 【分析】只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【解答】解：．，成比例线段，故本选项不符合题意； ．，成比例线段，故本选项不符合题意； ．，不是成比例线段，故本选项符合题意； 、，成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 【变式2】（2020秋•定远县期中）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地间的实际距离是 　1.25　． 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【解答】解：设甲、乙两地间的实际距离为，则： ， 解得：． 故答案为：1.25． 【点评】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题． 【变式3】（2023秋•淮北期中）已知四条线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求的值． 【解答】解：四条线段、、、是成比例线段， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可． 【变式4】（2022秋•天长市期中）线段、、，且． （1）求的值； （2）如果线段、、满足，求的值． 【分析】（1）设，则，，然后把它们代入中进行分式的运算即可； （2）设，则，，，则利用可求出，然后利用求解． 【解答】解：（1）设， ，， ； （2）设， ，，， ， ，解得， ． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 经典题型汇编 题型一、比例的性质 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，设 ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质和求分式的值，根据比例设出，，是解决此类问题的关键．根据题意可设，，，代入分式求值即可． 【详解】解：∵ ∴设，，， ∴． 题型二、比例线段 4．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如果线段，，那么的值为 ． 【答案】8 【分析】单位统一后根据比的定义进行求解即可． 【详解】解：∵线段，， ∴， 答案为：8 【点睛】此题考查了比，熟练掌握比的前项和后项是解题的关键． 6．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值． 【答案】． 【分析】先根据一次函数的解析式求出点的坐标，从而可得的长，设点的坐标为，再根据已知的比例式可求出的值，从而可得点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，即， 由题意，可设点的坐标为，则， ， ， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ， 则点的坐标为， 将点代入得：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、比例的性质，根据比例式求出点的坐标是解题关键． 题型三、成比例线段 7．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质．找出四个数字中的最大数与最小数，求出乘积，剩下两数也求出乘积，比较判断即可． 【详解】解：A、，能组成比例，不符合题意； B、，能组成比例，不符合题意； C、，不能组成比例，符合题意； D、，能组成比例，不符合题意． 故选：C． 8．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了成比例线段，根据，列式计算即可． 【详解】∵，，，是比例线段，其中，，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：32． 9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键． 【详解】A、∵，∴四条线段不成比例； B、∵，∴四条线段不成比例； C、∵，∴四条线段成比例； D、∵，∴四条线段不成比例． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．根据已知条件即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，掌握运用表示和的长是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴, 故选D． 5．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据线段的比例中项的定义得到，再代值求解即可． 【详解】解：∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键． 6．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据比例的概念，要组成一个比例式，最大的数与最小数的积等于另外两个数的积，据此解答即可． 【详解】解：添加6时，，故选项A不符合题意； 添加8时，，故选项B不符合题意； 添加10时，，故选项C不符合题意； 添加12时，，故选项D不符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，，不合题意； B．由可得，，符合题意； C．由可得，，不合题意； D．由可得，，不合题意； 故选：B． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例式的性质得出的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出；此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想． 【详解】解： 设 A、，该选项成立； B、，该选项成立； C、，该选项成立； D、，该选项不成立； 故选：D． 9．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 由题意得：， 解得：， 两地间的实际距离为， 故选：C． 10．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，且，米， 米， 故选：D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及代数式求值，由得，，，代入化简求值即可得到结论 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知线段是线段的比例中项，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义可得，从而即可得到的值． 【详解】解：线段是线段的比例中项，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为 m． 【答案】1800 【分析】此题考查了比例线段的应用， 将实际问题转化为数学模型是解题的关键 ．即可解答 ． 【详解】解： 设两地间的实际距离为，根据题意列方程得， ， 解得， ， 两地间的实际距离为． 故答案为： 1800 ． 14．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论． 【详解】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项， ∴， ∴根据黄金分割的定义可得出：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，，则，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 16．（19-20九年级上·安徽淮南·期中）若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值． 【答案】0. 【分析】根据比例的性质，可用y表示x，用y表示z，根据分式的性质，可得答案． 【详解】∵x：y＝3：5，y：z＝2：3， ∴x＝y，z＝y， ∴5x﹣2z＝5×y﹣2×y＝3y﹣3y＝0． 【点睛】此题主要考查比例线段的求解，解题的关键是熟知比例的性质. 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若（x、y、z均不为零），求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，掌握等比的性质是解题关键． 根据等比性质，求解即可． 【详解】解：设， 则，，． ∴． 18．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，比例中项的定义．根据题意可得，，可求出，，再由比例中项的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段a，b的长度满足， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴， 即． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例线段及比例的性质，代数式求值．设，则，，，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ，，， ， ，解得， ． 20．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a、b、c满足且． (1)求线段a、b、c的长； (2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）设，则，，，再代入解方程求出的值，由此即可得； （2）根据比例中项的定义可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设，则，，， ， ， 解得， 则，，． （2）解：线段是线段、的比例中项，且，， ， 解得或（舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即线段的长为． 【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键． 21．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长； （2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可． 【详解】（1）由题意可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：， 解得：（舍去负值）． 【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键． 22．（22-23九年级上·安徽·期末）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵，所以，解得， ∴，，． （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 23．（九年级上·全国·课后作业）阅读理解： 如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点． 某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． 问题解决： 如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点． (1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． 【答案】(1)对．理由见解析；（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）直线EF也是△ABC的黄金分割线． 【分析】（1）根据黄金分割的定义得，再根据三角形面积公式得到，，所以，然后根据黄金直线的定义得直线CD是△ABC的黄金分割线； （2）根据三角形中线的性质和三角形面积公式得到，而＜1，由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线； （3）根据两平行线之间的距离定值，得到S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，则S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，然后由得到，则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线． 【详解】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下： ∵点D是AB的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴直线CD是△ABC的黄金分割线； （2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD， ∴，， ∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线； （3）∵DF∥CE， ∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC， ∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC， ∵， ∴， ∴直线EF是△ABC的黄金分割线． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$