函数模型的应用专项训练——2025届高三数学一轮复习

函数模型的应用 一、单项选择题 1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y=2x-2 B.y=(x2-1) C.y=log2x D.y=x 2.视力检测结果有两种记录方式,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如表所示. 小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg ,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(附:100.3≈2,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)( ) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 3.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线,称为“皮尔曲线”,常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f (x)=(P>0,a>1,k<0)的形式.已知f (x)=(x∈N)描述的是一种果树的高度f (x)(单位:m)随着栽种时间x(单位:年)变化的规律,若刚栽种(x=0)时该果树的高为1.5 m,经过2年,该果树的高为4.5 m,则该果树的高度不低于5.4 m,至少需要( ) A.2年 B.3年 C.4年 D.5年 4.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金40万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与各自的投入资金a1,a2(单位:万元)满足P=80+4,Q=a2+120.设甲大棚的投入资金为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为f (x)(单位:万元),则总收入f (x)的最大值为( ) A.282万元 B.228万元 C.283万元 D.229万元 二、多项选择题 5.预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1),其中Pn为预测期人口数,P0为初期人口数,k为预测期内人口年增长率,n为预测期间隔年数,则( ) A.当k∈(-1,0),则这期间人口数呈下降趋势 B.当k∈(-1,0),则这期间人口数呈摆动变化 C.当k=,Pn≥2P0时,n的最小值为3 D.当k=-,Pn≤P0时,n的最小值为3 6.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20 lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 三、填空题 7.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民实行“阶梯水价”,计费方法如表所示. 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民本月缴纳的水费为54元,则此户居民的用水量为_m3. 8.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它至少要经过_个“半衰期”. 9.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 cm及其以上的是高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式_. 四、解答题 10.某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料,该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位:克)的函数.研究过程中的部分数据如表所示. x(单位:克) 0 2 6 10 … y -4 8 8 … 已知当x≥7时,y=,其中m为常数.当0≤x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:①y=ax2+bx+c;②y=k ax(a>0且a≠1);③y=klogax(a>0且a≠1),其中k,a,b,c均为常数. (1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式; (2)求该新材料的含量x为多少克时,产品的性能达到最大 参考答案 1.B [由题表可知函数单调递增,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合.故选B.] 2.B [由表格中的数据可知,函数单调递增,合适的函数模型为y=5+lg x, 令y=5+lg x=4.7,解得x=10-0.3=0.5.] 3.B [由题意可得f (0)==1.5且f (2)==4.5, 解得b=1,k=-1,故f (x)=, 函数f (x)=在(0,+∞)上单调递增,且f (3)==5.4, 故该果树的高度不低于5.4 m,至少需要3年.故选B.] 4.A [由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位:万元),乙大棚的投入资金为200-x(单位:万元), 所以f (x)=80+4(200-x)+120=-x+4+250, 由 可得40≤x≤160, 令t=,则t∈[2,4], g(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282, 所以当t=8,即x=128时总收入最大,最大收入为282万元.故选A.] 5.AC [当k∈(-1,0)时,P0>0,0<1+k<1,由指数函数的性质可知,Pn=P0(1+k)n(k>-1)是关于n的单调递减函数, 即人口数呈下降趋势,故A正确,B不正确; 当k=时,Pn=P0≥2P0,所以≥2,所以n≥2(n∈N), ∈(2,3),所以n的最小值为3,故C正确; 当k=-时,Pn=P0P0,所以,所以, =2∈(1,2),所以n的最小值为2,故D不正确.故选AC.] 6.ACD [因为Lp=20 lg 随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20 lg ,得p=p01=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以>20,不可能成立,故B不正确;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.综上,故选ACD.] 7.15 [设此户居民本月用水量为x m3,缴纳的水费为y元,则当x∈[0,12]时,y=3x≤36元,不符合题意; 当x∈(12,18]时,y=12 3+(x-12) 6=6x-36,令6x-36=54,解得x=15,符合题意; 当x∈(18,+∞)时,y=12 3+6 6+(x-18) 9=9x-90>72,不符合题意. 综上所述,此户居民本月用水量为15 m3.] 8.10 [设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为,由<,得n≥10. 所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.] 9.k=(只要写出的函数满足在区间上单调递增,且过点(160,0)和(190,1)即可,答案不唯一) [由题意知,函数k(x)在(160,190)上单调递增,设k(x)=ax+b(a>0),x∈(160,190), 由解得 所以k(x)=x-=(x-160), 所以k=] 10.解:(1)由表格知当x=0时,y=-4, 若选①y=ax2+bx+c,则c=-4; 若选②y=k ax(a>0且a≠1),则k=-4, 此时y=-4ax(a>0且a≠1)不满足x=2时,y=8,故不选; 若选③y=klogax(a>0且a≠1),x=0时无意义,故不选. 所以选①的函数模型来描述x,y之间的关系, 由题意有当0≤x<7时,由y=ax2+bx+c, 且x=0,y=-4时,得c=-4; 当x=2,y=8时,得4a+2b=12; 当x=6,y=8时,得36a+6b=12; 联立解得a=-1,b=8, 所以当0≤x<7时,y=-x2+8x-4. (2)由(1)知,当0≤x<7时,y=-x2+8x-4, 又当x≥7时,y=, 将x=10,y=代入上式,得= 3-2=3m-10, 解得m=8,即当x≥7时,y=. 综上有y= 当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12, 所以当x=4时,取到最大值ymax=12. 当x≥7时,y=单调递减, 所以当x=7时,ymax==3, 故当新材料的含量x=4克时,产品的性能达到最 学科网(北京)股份有限公司 $$