精品解析：北京市大兴区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题

大兴区2023~2024学年度第二学期期末检测试题 高一数学 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可由共轭复数的定义求解. 【详解】由题意可得，故， 故选：A 2. 已知一组数据3，4，4，6，6，7，8，8，则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的求法可得. 【详解】由题意，故这组数据的分位数为第7个数为8， 故选：D 3. 正方体中，直线和直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于，可得，所以异面直线和所成的角为直线和直线所成的角(或其补角)，即可求解. 【详解】连接，交于， 因为在正方体中，，且，所以四边形为平行四边形，可得， 因此异面直线和所成的角为直线和直线所成的角(或其补角)，因为在正方形中， ， 所以直线和直线所成的角为，即异面直线和直线所成的角为； 故选：D 4. 一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（ ） A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 只有一次中靶 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据对立事件的定义，可得事件“至少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论． 【详解】解：根据对立事件的定义可得， 事件“两次都没中靶”的对立事件是：至少有一次中靶， 故选：． 5. 某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为（ ） 样本量 平均数 第1层 20 30 第2层 30 20 A. 20 B. 24 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算即可求解. 【详解】样本的平均数为， 故选：B 6. 已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系结合充分必要条件判断即可. 【详解】若，，则与位置关系有：平行，相交，异面，则不一定垂直； 若，，则与不一定垂直，也可以平行，故“”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D 7. 如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以. 故选：C. 8. 甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类即可求解. 【详解】至少有2人破译出密码的概率为， 故选：B 9. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与非零向量共线，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据夹角公式即可求解A，根据投影向量的计算公式即可求解B，根据向量垂直以及模长的坐标公式，即可求解C,根据向量共线定理即可求解D. 【详解】由题意可得， 对于A, ，A正确， 对于B，在方向上的投影向量为，B错误； 对于C，设与垂直的单位向量的坐标为，所以，解得或，故或，C正确， 对于D，若向量与非零向量共线，则存在,使得，由于，不共线，所以且，故，D正确， 故选：B 10. 有下列说法： ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是； ②数据的方差为0，则所有的都相同； ③ 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为； ④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件与互斥但不对立． 则上述说法中，所有正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的特征可判断①，根据方差公式可判断②，对于③，不知道运动员每次飞碟射击命中的概率，从而无法得到“两次射击都命中”的概率，由基本事件与互斥事件和对立事件的概念，即可判断④ 【详解】对于①，根据简单随机抽样的特征每个个体有相同机会被抽中，得到个体被抽到的概率是，故①正确 对于②，根据方差公式，可知若一组数据的方差为0，则，故②正确； 对于③，不知道运动员每次飞碟射击命中的概率，则无法计算“两次射击都命中”的概率，故③不正确； 对于④，从3个红球和2个白球中任取两个球，基本事件有“取出的两球为红球”，“取出的两球为白球”，“取出的球一个红球和一个白球”，因此事件与互斥但不对立，则④正确； 故选：C 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数______． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】， 故答案为： 12. 从鱼塘捕得同时放养的草鱼100尾，从中任选5尾，称得每尾的质量（单位：）分别是1.5，1.8，1.2，1.4，1.6，估计捕得的100尾鱼的总质量为______． 【答案】150 【解析】 【分析】求出样本的平均数，然后乘以100即可. 【详解】从中任选5尾的平均质量为，则估计捕得的100尾鱼的总质量为 故答案为：150 13. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有个，从而确定其中满足阳数大于阴数的个数，即可利用古典概型概率计算公式求出所求概率. 【详解】由题可得阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有个， 满足阳数大于阴数的有，，，，，，，，，共10个， 所以所求概率为 故答案为： 14. 已知菱形的边长为2，，沿将折起得到二面角.当二面角为直二面角时，的长为______；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为______. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】利用二面角的定义找到为二面角的平面角，当二面角为直二面角时，易计算得到；当三棱锥的体积为时，求出到平面的距离为，利用三角函数的定义计算即可. 【详解】如图将菱形沿将折起得到二面角 取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，，所以， 所以，且， 所以为二面角的平面角， 如图：当二面角为直二面角时，此时， 所以. 当三棱锥的体积为时，记到平面的距离为, 即，解得. 如图：过点作, 由，且面, 所以面, 因为面，所以， 又因为面, 所以面，故到平面的距离为, 由，所以为直角三角形， 因为，所以 由为二面角的平面角，所以， 所以或. 故答案为：；或. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），有下列命题： ①平面截正方体的截面为等腰梯形 ； ②若平面，则直线不可能垂直于直线； ③若，则点的轨迹长度为； ④三棱锥的外接球的表面积为 ． 则上述命题中，所有真命题的序号为______．_______ 【答案】 ①. ① ②. ③ 【解析】 【分析】作出平面截正方体的截面可判断①；连接交为，则，进而说明存在点，平面时，直线可能垂直于直线，判断②；确定点的轨迹，从而可求得其长度，判断③；确定三棱锥的外接球的外接球球心位置，求得外接球半径，即可求得外接球表面积，判断④． 【详解】对于①，取的中点为，连接，，， 则， 又，所以，且， 则四边形为平面截正方体的截面，为梯形， 又，即四边形为等腰梯形，①正确； 对于②，连接交为， 则，即， 而，平面，平面，故平面， 即当平面时，直线可能垂直于直线，②错误； 对于③，因为平面，平面，故， 由得，， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆， 其轨迹长度为，③正确； 对于④，三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ， 故， 则，故，所以， 因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，④错误． 故答案为：①，③． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，其中． （1）求，； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，即可由数量积的坐标运算以及模长根式求解， （2）根据夹角根式即可求解. 【小问1详解】 由，可得 ， 所以， 【小问2详解】 ，， 故 17. 某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图： 已知样本甲中数据在的有20个． （1）求和样本甲的频率分布直方图中的值； （2）试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数； （3）设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为，方差分别为，，试估计与，与的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）； （2）82 （3）， 【解析】 【分析】（1）样本甲中数据在的有20个可求出，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出的值；（2）根据中位数的定义求解；（3）根据平均数和方差的实际意义即可判断. 【小问1详解】 由直方图可知，样本甲中数据在的频率为， 又因为样本甲中数据在的有20个，所以，解得：， 由样本甲数据的直方图可知，，解得 【小问2详解】 因为， ， 所以样本甲数据的中位数在第4组，设中位数为， 则，解得： 【小问3详解】 结论是：，， 方法一：因为样本甲数据主要集中在70分到90分之间，样本乙数据主要集中在80到100分之间，所以； 因为样本甲数据更加集中，样本数据乙的数据更加分散，所以 方法二：由直方图可得：， 所以； ， ， 所以 18. 6件产品中有4件一等品，2件二等品，从中随机取出两件产品．事件“两件产品中有一等品”，事件“两件产品中有二等品” ． （1）用适当的符号写出该随机试验的样本空间； （2）分别求事件的概率； （3）判断事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）， （3）事件不是相互独立的，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）分别写出事件的样本空间，根据古典概型的概率公式求出，； （3）求出，根据独立事件的定义判断即可． 【小问1详解】 4件一等品分别用表示，2件二等品分别用表示， 依题意试验的样本空间 ； 【小问2详解】 事件， 事件， 所以，； 【小问3详解】 事件不是相互独立的，理由如下， ， 所以， 因为， 所以事件不是相互独立的. 19. 如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证： （1）平面BCE； （2）平面平面CDE. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论， （2）由等边三角形的性质可得，由平面ACD，可得，则由线面垂直的判定可得平面，而∥，所以可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为F为CD的中点， 所以∥，， 因为平面ACD，平面ACD， 所以∥， 所以∥， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 【小问2详解】 因为为等边三角形，F为CD的中点， 所以， 因为平面ACD，平面ACD， 所以， 因为， 所以平面， 因为∥， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面 20. 如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． （1）求证：E，F，B，D四点共面； （2）设平面与平面交于直线，求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； （3）设正方体的棱长为2，由等体积法求出点到平面的距离，从而利用得到答案. 【小问1详解】 连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 故， 所以， 故E，F，B，D四点共面； 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 【小问3详解】 设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为，正方体的棱长为2， 则， 由勾股定理得， 故， 其中， 因为， 所以， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为 21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简得，计算即得． （2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 由可得, 因为在中，所以， 即，因为，所以. 【小问2详解】 （i）若选条件①，结合（1）及， 由正弦定理,可得， 则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①， 若选条件②：，结合（1）及， 由余弦定理，可得，解得， 易知，故此时满足条件的三角形唯一. 所以. 若选条件③：，结合（1）及， 因为,所以为锐角, 由,可得， 因为在中 所以. 易知满足条件的三角形唯一. 由正弦定理,可得, 所以. （ii）由余弦定理， 可得， 结合基本不等式，可得， 解得：,当且仅当，原式取等. 又在中易得. 所以周长. 周长的取值范围为. 【点睛】方法点睛：在求解对边对角模型问题中的周长或面积范围时常见有2种方法： （1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性质，进行适当放缩； （2）利用正弦定理边化角，转化为三角函数求值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2023~2024学年度第二学期期末检测试题 高一数学 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据3，4，4，6，6，7，8，8，则这组数据的分位数是（ ） A. B. C. D. 3. 正方体中，直线和直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（ ） A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 只有一次中靶 5. 某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为（ ） 样本量 平均数 第1层 20 30 第2层 30 20 A. 20 B. 24 C. 25 D. 30 6. 已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（ ） A. B. C. D. 8. 甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与非零向量共线，则 10. 有下列说法： ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是； ②数据的方差为0，则所有的都相同； ③ 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为； ④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件与互斥但不对立． 则上述说法中，所有正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数______． 12. 从鱼塘捕得同时放养的草鱼100尾，从中任选5尾，称得每尾的质量（单位：）分别是1.5，1.8，1.2，1.4，1.6，估计捕得的100尾鱼的总质量为______． 13. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为______． 14. 已知菱形的边长为2，，沿将折起得到二面角.当二面角为直二面角时，的长为______；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为______. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），有下列命题： ①平面截正方体的截面为等腰梯形 ； ②若平面，则直线不可能垂直于直线； ③若，则点的轨迹长度为； ④三棱锥的外接球的表面积为 ． 则上述命题中，所有真命题的序号为______．_______ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，其中． （1）求，； （2）求与夹角的余弦值． 17. 某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图： 已知样本甲中数据在的有20个． （1）求和样本甲的频率分布直方图中的值； （2）试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数； （3）设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为，方差分别为，，试估计与，与的大小（只需写出结论）． 18. 6件产品中有4件一等品，2件二等品，从中随机取出两件产品．事件“两件产品中有一等品”，事件“两件产品中有二等品” ． （1）用适当的符号写出该随机试验的样本空间； （2）分别求事件的概率； （3）判断事件是否相互独立，并说明理由． 19. 如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证： （1）平面BCE； （2）平面平面CDE. 20. 如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． （1）求证：E，F，B，D四点共面； （2）设平面与平面交于直线，求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $