1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

班级 学生姓名 制作人： 高中数学组 编号 GZSXXZY课题 8:用空间向量研究距离、夹角问题 一、学习目标 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 2. 理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角与空间向量之间的关系，并会用向量方法求简单 夹角问题. 二、自学指导与检测 自学指导 自学检测及课堂展示 阅读课本 33 页-34 页 的 内容，完成右边的问题。 1. 点到直线的距离：如图，已知直线l 的单位方向向量为 u ，向量 AP 在直线 l 上的投影向量为 AQ ，设 AP a .则点 p 到直线l 的距离 PQ 该怎么表示？ 2. 点到平面的距离：如图，已知平面 的法向量为 n，A 是平面 内的定点，P 是平面 外一点.过点 P 作平面 的垂线 l，交平面 于点 Q，则 n 是直线 l 的方向向量，且点 P 到平面 的距离 就是 AP 在直线 l 上的投影向量QP 的长度. 因此 PQ 该怎样表示？ . 【即时训练 1】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 A1D1 的中点，则点C1 到直线CE 的距离为( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 3 3 3 3 【即时训练 2】.已知平面 的一个法向量n 2, 2,1 ，点 A(1,3, 0) 在平面 内，则点 P(2,1, 4) 到 的距离为( ) A.10 B.3 C. 8 D. 10 3 3 1 学科网（北京）股份有限公司 类比上述推 导 过程，阅读课本第 37页内容，完成右边的问题。 3. 异面直线所成的角：若异面直线l1 ， l2 所成的角为 ，其方向向量分别是 u，v， cos = . 4. 直线与平面所成的角：直线 AB 与平面 相交于点 B，设直线 AB 与平面 所成的角为 ，直线 AB 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n， sin = . 5. 二面角：若平面 ， 的法向量分别是n1 和n2 ，则平面 与平面 的夹角即为向量n1 和n2 的夹角或其补角.设平面 与平面 的夹角为 ，则cos = . 三、巩固诊断： A 层 1. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 BB1 , B1C1 的中点，若CMN 90 ，则异面直线 AD1 与 DM 所成的角为( ) (第1 题) (第2 题) (第3 题) A.30° B.45° C.60° D.90° B 层 2. .如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，则直线 A1 B 与平面 BDE 的夹角为( ) A. π 6 B. π 3 C. π 2 D. 5 π 6 C 层 3. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1 和 DD1 的中点，则平面 ECF 与平面 ABCD 所成的角 的余弦值为( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 1 3 D. 2 3 四、堂清、日清记录 堂清 日清 今日之事今日毕 日积月累成大器 $$