第四章 图形的相似 总结提升 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 第四章总结提升 考点一　平行线分线段成比例 1. 如图,DE∥FG∥BC.若DF=2FB,则EC与GC之间的数量关系是 (　　) A. EC=4GC B. EC=3GC C. EC=GC D. EC=2GC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2. 如图,点A,B都在格点上.若BC=,则AC的长为 (　　) A. B. C. 2 D. 3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3. 如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,则CF∶BF=　　　　.  　 　 4. 如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.若DE=2AD,AE=2,则AC的长为　　　　. 5∶3 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 如图,在▱ABCD中,E是BA延长线上一点,CE与AD,BD交于点G,F.求证: CF2=GF·EF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD. ∴ 易得=,=.∴ =,即CF2=GF·EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点二　三角形相似的判定与性质的应用 6. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),(7, 1).若以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是(　　) A. (7,-2) B. (5,-1) C. (6,0) D. (7,3) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. 如图,E是线段BC的中点,∠B=∠C=∠AED.有下列结论:① △ABE与△ECD相似;② △ABE与△AED相似;③ =;④ ∠BAE=∠EAD.其中,正确的是 (　　) A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8. 如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,连接BE,交对角线AC于点F.如果 =,AD=15,那么AE=　　　　.  　 　 9. 如图,点D,E,F分别在等边三角形ABC的三边AB,AC,BC上,且DE⊥EF, ∠DFE=60°.若EC=1,则BF的长为　　　　. 5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10. 如图,四边形ABCD为矩形,E为BC上的一点,F为CD上的一点,连接AE, AF,EF,满足AB·CF=BE·EC,连接DE,延长EF交AD的延长线于点M.若AE2+ FD2=AF2,∠DEF=15°,则∠M的度数为　　　　.  60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11. 如图,△ABC∽△AEF,B,E,F三点在同一条直线上,线段EF与AC交于点O,连接CF. (1) 求证:△ABE∽△ACF; (1) ∵ △ABC∽△AEF,∴ ∠BAC=∠EAF,=. ∴ =,∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE =∠CAF.∴ △ABE∽△ACF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若AF=5,BC=10,△AOF的面积为8,求△BOC的面积. (2) 由(1),知△ABE∽△ACF,∴ ∠ABE=∠ACF. ∵ ∠AOB=∠FOC,∴ △AOB∽△FOC.∴ =. ∴ =.∵ ∠AOF=∠BOC,∴ △AOF∽△BOC. ∴ S△BOC∶S△AOF===4.∵ S△AOF=8, ∴ S△BOC=32,即△BOC的面积为32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点三　相似三角形的实际应用 12. 如图,某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度,他们采取了如下办法:① 在凉亭的右边点E处放置了一平面镜,并测得BE=12米;② 沿着直线BE后退到点D处,恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,并测得ED=3米,眼睛到地面的距离CD=1.6米(此时∠AEB=∠CED),那么凉亭AB的高度为 (　　) A. 6.3米 B. 6.4米 C. 6.5米 D. 6.6米 B 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 小明想计算桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B,C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC.经测量,BC=120米,DE=200米,且点E到河岸BC的距离为60米,AF⊥BC于点F.求桥AF的长. 过点E作EG⊥BC于点G.∵ DE∥BC,∴ 易得△ABC∽ △ADE.∴ ===.∴ =.∵ AF⊥BC,EG⊥BC, ∴ AF∥EG.∴ 易得△ACF∽△ECG.∴ ==. ∵ EG=60米,∴ AF=90米.∴ 桥AF的长为90米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点四　位似 14. 如图,在平面直角坐标系中,△A1B1C1与△ABC位似,△ABC的顶点坐标分别是A(2,1),B(3,4),C(2,3),△A1B1C1的顶点坐标分别是A1(-4,4),B1(-6,-2), C1(-4,0). (1) 若位似中心为点M,则点M的坐标为　　　　;  (0,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 以点O为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2∶1,请在图中画出符合要求的△A2B2C2,并写出点B2的坐标. (2) 如图所示　点B2的坐标为(-3,-1)或(3,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15. 如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=5.以点B为圆心、适当长为半径作弧,分别交AB,BC于点M,N;分别以点M,N为圆心、大于MN的长为半径作弧,两弧交于点Q;作射线BQ交AD于点P,交CD的延长线于点E.AB∶DE等于 (　　) A. 2∶1 B. 2∶5 C. 4∶3 D. 3∶2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. 如图,左、右并排的两棵树的高度分别为AB=8m,CD=12m,两树底部的距离BD=5m,小红眼睛距地面1.6m.她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,在前进的过程中,她发现看不到右边较高的树的顶端C,此时,她与左边较低的树AB的水平距离 (　　) A. 小于8m B. 小于9m C. 大于8m D. 大于9m A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17. (2022·东营)如图,菱形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是边BC,CD上的动点,连接AM,AN,MN,OM,∠BAC=∠MAN=60°.有下列结论:① △AMN是等边三角形;② MN长的最小值是;③ 当MN最短时,S△CMN=S菱形ABCD;④ 当OM⊥BC时,OA2=DN·AB.其中,正确的是 (　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ D 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18. 如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F是边AD上的一个动点,连接EF,将△AEF沿EF折叠得到△HEF,延长FH交BC于点M,连接EM.有下列结论:① △EFM一定是直角三角形;② △BEM≌△HEM;③ 当点M与点C重合时,有DF=AF;④ MF平分正方形ABCD的面积;⑤ 4FH·MH=AB2.其中,正确的是　　 　　(填序号).  ①②③⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19. (2023·牡丹江)如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,BE交对角线AC于点F,CM⊥BE于点M,∠CME的平分线所在直线分别交CD,AC于点N,P,连接FN.有下列结论:① S△NPF∶S△NPC=FM∶MC;② CM=PN;③ 若EM=1, MB=4,则PM=.其中,正确的是　　　　(填序号). ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20. 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,内有边长分别为a,b,c的三个正方形. (1) 求证:△DSF∽△MTP; (2) 若a=1,c=2,求b的值. (1) ∵ 四边形DSGE和四边形TPQN是正方形, ∴ 易得DS∥BC∥PT.∴ ∠FDS=∠B,∠MPT= ∠C.又∵ ∠C+∠B=90°,∠FDS+∠DFS=90°, ∠MPT+∠PMT=90°,∴ ∠FDS=∠PMT,∠DFS =∠MPT.∴ △DSF∽△MTP　 (2) 由(1),知△DSF∽△MTP,∴ =.∴ =.∴ ac=(b-c)(b-a).∴ b2= ab+bc=b(a+c).∴ b=a+c=1+2=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21. 小明想用镜子测量一棵树的高度.如图,他第一次把镜子放在点C处,人在点F处时正好在镜子中看到树顶A;第二次把镜子放在点D处,人在点H处正好在镜子中看到树顶A.已知小明的眼睛距离地面1.7m,量得CD=12m, FC=1.8m,DH=3.8m,求这棵树的高度. 由题意,得∠ECF=∠ACB,∠GDH=∠ADB.∵ AB⊥BC, EF⊥BC,GH⊥BC,∴ ∠ABC=∠EFC=∠GHD=90°.∴ △FEC∽△BAC,△GDH∽△ADB.∴ =,=.设 AB=xm,BC=ym,则解得∴ 这棵树的高度为10.2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. 如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上一点,=3,连接CH并延长,交AB于点G,连接GE并延长,交AD的延长线于点F. (1) 求证:=; (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ CD∥AB.∴ ∠CEH= ∠GBH.又∵ ∠EHC=∠BHG,∴ △CEH∽△GBH. ∴ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若∠CGF=90°,求的值. (2) 过点E作EM⊥AB于点M,则易知EM=BC=AD,AM=DE. ∵ E为CD的中点,∴ DE=EC.设 DE=EC=3a(a>0),则由四 边形ABCD是矩形,可知AB=CD=6a.由(1),得==3,∴ BG=EC=a.∴ AG=5a.∵ 易得∠EDF=∠EGC=90°,∠DEF=∠GEC,∴ △DEF∽△GEC.∴ =.∴ GE·EF=DE·EC.∵ CD∥AB,∴ 易得△FDE∽△FAG.∴ ===.∴ =.∴ EF=GE.∴ GE·GE=3a·3a. ∴ GE=a.∵ 在Rt△EMG中,易得GM=2a,∴ EM==a.∴ BC=a.∴ ==3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$