第12章　一次函数 课件 2024—2025学年沪科版数学八年级上册

第12章　一次函数 12.2　一次函数 第7课时　一次函数与一次方程、一次不等式 1. 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解就是一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象与　　　　轴交点的　　　　坐标.  2. 一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)(k≠0)的解集可以看成一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)取正值(或负值)时　　　　的取值范围. x 横 x 1. (2023·合肥包河区段考)如图,直线y=kx+b分别与x轴负半轴和y轴正半轴交于点A,B.若OA=4,OB=3,则关于x的方程kx+b=0的解为 (　　) A. x=-3 B. x=-4 C. x=3 D. x=4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第1题 2. (2023·丹东)如图,直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,3),B(4,0),则不等式ax+b>0的解集是 (　　) A. x>4 B. x<4 C. x>3 D. x<3 　　 3. (2023·合肥蜀山区期中)如图,直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1,则关于x的方程ax=2a-b的解为 (　　) A. x=-1 B. x=1 C. x=2 D. x=3 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 若方程x-3=0的解是直线y=(4k+1)x-15与x轴交点的横坐标,则k的值为 (　　) A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1 5. 如图,点A(-1,2)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上,则不等式kx+b>2的解集是　　　　　.  　　 6. 如图,直线y=2x与直线y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程2x=kx+b的解是　　　　. C x<-1 x=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (教材P46例7变式)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,求: (1) 关于x的方程kx+b=0的解; (2) 关于x的不等式kx+b<-3的解集. (1) 由题图可知,当x=2时,y=0,所以方程kx+b=0的解 为x=2　 (2) 由题图可知,当x=-1时,y=-3,所以方程kx+b=-3的 解为x=-1.因为y随x的增大而增大,所以关于x的不等 式kx+b<-3的解集为x<-1 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 函数y=kx+b的部分对应值如下表: 则关于x的方程kx+b+3=0的解是 (　　) A. x=2 B. x=3 C. x=-2 D. x=-3 A x … -2 -1 0 1 … y … 5 3 1 -1 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 一次函数y=kx+b的图象如图所示,当0<kx+b<3时,x的取值范围是 　　　　.  10. (2022·徐州)若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+ b>0的解集为　　　　. -4<x<0 x>3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 某学习小组在综合与实践活动中,研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系的课题时,对函数y=|x+1|-3的图象和性质做了探究.该学习小组的探究过程如下,请补充完整: (1) y与x的几组对应值如下表: 则m的值为　　　　,n的值为　　　　.  -1 1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … m -2 -3 -2 -1 0 n 2 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出该函数的图象. (2) 描点、连线,如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 请观察函数的图象,解决下列问题: ① 当y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围是　　　　;  ② 求方程|x+1|-3=2的解; ③ 求不等式|x+1|<4的解集. x>-1 ② 由图象,得方程|x+1|-3=2的解是x=4或x=-6　 ③ 因为|x+1|<4,所以|x+1|-3<1.由图象,得|x+1|<4的解集为-5<x<3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b经过点A(0,1),B(2,5). (1) 求关于x 的方程kx+b=0的解; (1) 把A(0,1),B(2,5)代入y=kx+b,得解得 所以直线AB对应的函数表达式为y=2x+1.当 y=0时,x=-,所以方程kx+b=0的解是x=-　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若直线y=-x-5与直线AB相交于点C,求点C的坐标,并根据图象,直接写出关于x的不等式-x-5<kx+b的解集; (3) 若直线y=-x-5与y轴交于点D,求三角形ACD的面积. (2) 联立解得所以点C的坐标为(-2, -3).由题图,得关于x的不等式-x-5<kx+b的解集为x>-2　 (3) 在y=-x-5中,令x=0,则y=-5,所以点D的坐标为(0,-5).所 以AD=6.所以S三角形ACD=AD·|xC|=×6×2=6 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第12章　一次函数 12.1　函　数 第3课时　函数的表示方法——图象法 1. 一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的　　　　坐标与　　　　坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象.用　　　　 来表示两个变量间的函数关系的方法,叫做图象法. 2. 由函数表达式画图象,一般按下列步骤进行:(1) 　 　　;(2) 　　　 ; (3) 　　　　. 横 纵 图象 列表 描点 连线 1. 下列各图中,能表示y是x的函数的为 (　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 2. (2023·安庆宿松县期末)甲、乙两人同时从A地出发到B地,甲先步行到两地中点处改骑自行车,乙先骑自行车到两地中点处改为步行.已知甲、乙两人骑车的速度相同,步行的速度也相同,则甲、乙两人所行的路程与所用时间之间的关系图正确的是(实线表示甲,虚线表示乙) (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 光合作用是指绿色植物利用光能把二氧化碳和水转化成储存能量的有机物,并释放出氧气的过程.如图所示为夏季某天7时~18时一般的绿色植物光合作用强度与时间之间的函数图象,观察图象可知　　　　时的光合作用最弱. 7,18 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 在平面直角坐标系中,画出下面函数的图象. (1) y=x-1; (1) 列表如下: 描点、连线,如图①所示 x … -1 0 1 2 … y … -2 -1 0 1 … 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) y=3x+3. (2) 列表如下: 描点、连线,如图②所示 x … -2 -1 0 … y … -3 0 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 5. (2023·安庆期末)如图,在平面直角坐标系中,在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周,则点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数关系用图象表示为 (　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 小琴和小林一起去上学.小琴觉得要迟到了,一开始就跑步上学,一会儿跑累了,便步行到学校;小林一开始步行,后来也跑了起来,直到在快到校门口时赶上了小琴.如图,图①~④中表示小琴的行为的是　　　　,表示小林的行为的是　　　　(填序号,两人跑步与步行均为匀速运动). ② ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 已知一个长方形的面积为6,长为x,宽为y. (1) y与x之间的函数表达式为　　　　;  (2) 画出该函数的图象. y= (2) 列表如下: 描点、连线,如图所示 x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 2 1.5 1 … 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 某地组织甲、乙两队参加划龙舟比赛,两队在比赛时的路程y(单位:m)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.请你根据图象,回答下列问题: (1) 自变量是　　　　,因变量是　　　　;  (2) 这次比赛全程是　　　　m,　　　　队先到达终点;  (3) 求甲队和乙队相遇时乙队的速度; (3) 由图象可知,甲队和乙队相遇时乙队的速度 是(1000-330)÷(3.8-2.2)=418.75(m/min) 时间 路程 1000 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 (4) 甲队和乙队相遇时,甲队划了多少米(结果保留一位小数)? (4) 由图象可知,甲队的速度为1000÷4= 250(m/min).设甲队和乙队相遇时用了tmin .由题意,得250t=330+418.75(t-2.2),解得t=, 所以甲队和乙队相遇时,甲队划了250×≈ 875.9(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第12章　一次函数 12.1　函　数 第1课时　函数及其相关概念 1. 在一个变化的过程中,我们称可以取　　　　　的量为变量;保持不变的量,我们称它们为常量.  2. 一般地,设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有　　　　　　的值与它对应,那么就说x是 　　　　,y是x的　　　　.如果当x=a时,y=b,那么　　　　叫做当自变量的值为a时的函数值. 不同数值 唯一确定 自变量 函数 b 1. 张开大拇指和中指,两端的距离为“一拃”,据统计,通常情况下,人的一拃长z(单位:厘米)与本人的身高s(单位:厘米)之间的关系为z=0.3s-31.3,则下列关于变量和常量的说法正确的是 (　　) A. z是变量,s是常量 B. s是变量,z是常量 C. 0.3与31.3是变量,s与z是常量 D. s与z是变量,0.3与31.3是常量 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. (教材P23练习第1(1)题变式)若球的体积是Mcm3,球的半径为Rcm,M= πR3,则该关系中变量和常量分别是 (　　) A. 变量是M,R;常量是π B. 变量是R,π;常量是 C. 变量是M,π;常量是3,4 D. 变量是R;常量是M A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 小亮的爸爸到加油站加油,如图所示为加油机上的数据显示牌,金额随着数量的变化而变化.下列判断正确的是 (　　) A. 金额是自变量 B. 单价是自变量 C. 8.6和35是常量 D. 金额是数量的函数 4. 一般地,高空中的温度随距地面高度的变化而变化.若高空中某处的温度为t℃,该处距地面的高度为hm,则　　　　是自变量.  D h 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 在一块空地上,一个物体从高处自由下落,物体下落的距离s(单位:m)与下落的时间t(单位:s)之间的关系为s=×9.8t2,根据上述关系填写下表: 由上表可知,　　　　是自变量,　　　　是　　　　的函数. 下落的时间t/s 1 2 3 4 … 下落的距离s/m         … 4.9 19.6 44.1 78.4 t s t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 小阳帮妈妈预估家庭4月的电费支出情况,小阳家4月初连续8天每天早上电表显示的读数如下表: (1) 表格中反映的变量是　 　　　　　　,自变量是　　 　　,因变量是　　　 　.  (2) 根据日平均用电量估计小阳家4月的总用电量是　　 　　kW·h.若1kW·h的电费是0.55元,则他家4月应缴电费约多少元?  日　期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表读数/kW·h 21 24 28 33 39 42 46 49 日期和电表读数 日期 电表读数 120 (2) 因为120×0.55=66(元),所以他家4月应缴电费约66元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (2023·合肥五十中东区段考)有下列关于变量x和y的关系式:x-y=0;y2=x; |y|=2x;y2=x2;y=3-x;y=2x2-1;y=.其中,y是x的函数的个数为 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,长方形ABCD的长AB=10cm,宽AD=6cm.正方形PQRH的四个顶点分别在边AB,CD上,将正方形PQRH向右平移.在这个平移过程中,下列结论正确的是 (　　) A. 正方形的边长是变量 B. BQ的长是常量 C. 长方形QBCR的面积随AP的长的变化而变化 D. 长方形QBCR与长方形APHD的面积之和随AP的长的变化而变化 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,长方形ABCD的四个顶点在两条互相平行的直线 上,AD=10cm.当顶点B,C在平行线上同时以相同的速度向 右运动时,长方形ABCD的面积随着AB长度的变化而变化. (1) 在这个变化过程中,自变量是　　　　,因变量是　　　 　　　　 ; (2) 设AB的长为xcm,长方形ABCD的面积为ycm2,则y与x之间的关系可以表示为y=　　　　　;  (3) 当AB的长从15cm变到30cm时,长方形的面积由　 　cm2变到　 　cm2. AB的长 长方形ABCD的面积 10x 150 300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 旋转中的摩天轮可抽象地看成一个圆,圆上一点距离地面的高度y(单位:m)与旋转时间x(单位:min)之间的关系如图所示. (1) 根据图象将下表补充完整. (2) y是x的函数吗?为什么? (2) y是x的函数　因为在这个变化过程中,对于每一个x 的值,y都有唯一确定的值与其对应,所以y是x的函数 x/min 0 3 6 8 12 … y/m           … 5 70 5 54 5 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 弹簧挂上物体后会伸长,在弹性限度内,测得一根弹簧的长度y(单位: cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)之间的关系如下表: 根据上述关系,回答下列问题: (1) 弹簧不挂物体时的长度是　　　　cm.  (2) 当所挂物体的质量为1kg时,弹簧伸长　　　　cm.  12 x/kg 0 1 2 3 4 y/cm 12 12.5 13 13.5 14 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3) 有下列各式:① y+x=12;② x=y-12;③ y=12+0.5x;④ x=12+0.5y.其中,可以表示上表中y与x之间的关系的是　　　　(填序号).  (4) 在(3)中的关系式中,有　　　　个变量,　　　　是自变量.  (5) 当挂6kg的物体时,弹簧的长度(在弹性限度内)是多少厘米? ③ 2 x (5) 由(3),得y=12+0.5x.当x=6时,y=12+0.5×6=15,所以挂6kg的物体时,弹簧的长度是15cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第12章　一次函数 12.2　一次函数 第4课时　用待定系数法求一次函数的表达式 　　先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k,b是待确定的系数),再根据已知条件列出关于k,b的方程组,求得k,b的值.这种确定表达式中系数的方法,叫做　　　　　　　法. 待定系数 1. 若一次函数y=kx+b的图象经过点(1,1),(2,-4),则k和b的值分别为 (　　) A. 3,-2　 B. -3,4 C. -5,6　 D. 6,-5 2. 已知一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表: 则该一次函数的表达式为 (　　) A. y=x+1 B. y=2x+1 C. y=3x+1 D. y=4x+1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C x … 0 1 2 … y … 1 2a 2a+3 … 3. (教材P40练习第1题变式)在一次函数y=kx+b中,当x=1时,y=-1;当x=2时, y=3,则当x=-2时,y的值是 (　　) A. -3 B. -2 C. 13 D. -13 4. (教材P40练习第3题变式)如图,一次函数y=kx+b的图象 与正比例函数y=2x的图象互相平行,且经过点A,则一次函 数y=kx+b的表达式为　　 　 . 5. 已知y-3与x-1成正比例,且当x=3时,y=7,则y关于x的函数 表达式为　 .  D y=2x-4 y=2x+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)是所挂物体质量x(单位:kg)的一次函数.该弹簧不挂物体时长14.2cm,当所挂物体的质量为3kg时,弹簧的长度是16.3cm.求: (1) y与x之间的函数表达式; (2) 当所挂物体的质量为5kg时弹簧的长度. (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.由题意,得解得所以y与x之间的函数表达式为y=0.7x+14.2　 (2) 当x=5时,y=0.7×5+14.2=17.7,所以当所挂物体的质量为5kg时,弹簧的长度为17.7cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,直线AB与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B(0,-2). (1) 求直线AB对应的函数表达式; (2) 当x=2时,求y的值. (1) 设直线AB对应的函数表达式为y=kx+b.将A(1,0), B(0,-2)代入,得解得所以直线AB 对应的函数表达式为y=2x-2　 (2) 当x=2时,y=2×2-2=2 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,3),每当x增加1时,y增加3,则该一次函数的表达式为 (　　) A. y=x+3 B. y=2x-3 C. y=3x-3 D. y=4x-4 9. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4交y轴于点A,交x轴 于点B,直线y=kx+b交x轴于点D,交y轴于点C(点C在点A的上 方),AC=2,OB=OD,则直线CD对应的函数表达式为　　　　.  10. 已知某直线经过点A(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则该直线对应的函数表达式为　　　　　　　　　. C y=-x+6 第9题 y=x+2或y=-x+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (2023·六安裕安区段考)已知一次函数y=-x+1. (1) 画出这个函数的图象; (1) 列表如下: 描点、连线,如图所示 x … 0 2 … y … 1 0 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若点Q(a+2,2)在该函数的图象上,求a的值,并写出点Q的坐标; (3) 若直线l与直线y=-x+1相交于y轴上一点,且直线l过点(2,-4),求直线l对应的函数表达式. (2) 把Q(a+2,2)代入y=-x+1,得2=-(a+2)+1,解得a=-4,所以a+2=-2.所以点Q的坐标为(-2,2)　 (3) 由(1),得直线y=-x+1与y轴交于点(0,1).所以可设直线l对应的函数表达式为y=kx+1.把(2,-4)代入,得-4=2k+1,解得k=-,所以直线l对应的函数表达式为y=-x+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b经过点(-3,-4),(6,2),且分别交x轴、y轴于A,B两点. (1) 求直线对应的函数表达式; (1) 因为直线y=kx+b经过点(-3,-4),(6,2),所以 解得所以直线对应 的函数表达式为y=x-2　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求A,B两点的坐标; (3) 求三角形AOB的面积; (2) 在y=x-2中,令x=0,则y=-2;令y=0,则x-2=0,解得x=3, 所以点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,-2)　 (3) 因为A(3,0),B(0,-2),所以OA=3,OB=2.所以S三角形AOB= ×3×2=3　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4) 过三角形AOB的顶点B的一条直线把三角形AOB分成面积相等的两部分,求这条直线对应的函数表达式. (4) 设过三角形AOB的顶点B的一条直线对应的函数表 达式为y=mx-2.由题意,得这条直线经过OA的中点.因为 A(3,0),所以OA的中点坐标为(,0).将(,0)代入y=mx-2,得 0=m-2,解得m=,所以这条直线对应的函数表达式为y= x-2 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第12章　一次函数 12.1　函　数 第2课时　函数的表示方法——列表法和解析法 1. 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做　　　　法.  2. 用数学式子表示函数关系的方法叫做　　　　法.其中的等式叫做函数　　　　式(或函数　　　　式).  3. 在用表达式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使_____________有意义. 列表 解析 表达 解析 函数表达式 1. (2023·黄石)函数y=的自变量x的取值范围是 (　　) A. x≥0　 B. x≠1 C. x≥0且x≠1　 D. x>1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 某树苗的原始高度为60cm,如图所示为该树苗的高度与生长时间的有关数据示意图,假设以后一段时间内,该树苗的高度与生长时间保持此关系,则它的高度h(单位:cm)与生长时间n(单位:月)之间的函数表达式为 (　　) A. h=60+5(n-1) B. h=60+5n C. h=60+10(n-1) D. h=60+10n D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 一辆汽车加满油后,油箱中有汽油55L,汽车行驶时的耗油量为0.1L/km,加满油后,油箱中剩余的汽油量y(L)与行驶里程x(km)之间的函数表达式为　　　　　　.  4. 函数y=的自变量x的取值范围是　　　　.  5. 小静的爸爸购进一批苹果,到市场零售,已知卖出的苹果数量x(单位:千克)与利润y(单位:元)之间的关系如下表: y与x之间的函数表达式为　　　　　　.  y=55-0.1x x>-1 y=2.1x x/千克 1 2 3 4 5 y/元 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知一个梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8,设梯形的面积为y. (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 请将下面的表格补充完整,并说明当x每增加1时,y如何变化; (1) 由题意,得y=(x+15)×8=4x+60,所以y与x之间的函数表达式为y=4x+ 60　 (2) 当x每增加1,y就增加4　 x … 2 3 4 5 6 … y … 68   76 80   … 72 84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 当x=0时,y的值表示的含义是什么? (3) 当x=0时,该图形就变成了一个三角形,所以此时y的值表示的含义是一个底是15、高是8的三角形的面积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 王伯伯要围一个如图所示的长方形菜园ABCD,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m.设边BC的长为xm,边AB的长为ym(x>y),则y与x之间的函数表达式及x的取值范围是 (　　) A. y=-2x+12(0<x<12) B. y=-x+6(4<x<12) C. y=2x-12(0<x<12) D. y=x-6(4<x<12) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. (2023·齐齐哈尔)在函数y=+中,自变量x的取值范围是________ 　　 . x>1且 x≠2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 将棱长为a的小正方体按如图所示的方式继续摆放,自上而下分别为第一层、第二层、…、第n层.将第n层的小正方体的个数记为S. (1) 将下表补充完整. n 1 2 3 4 … S 1 3     … 6 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 研究上表可以发现S随n的变化而变化,请你写出S与n之间的函数表达式. (2) 第一层有1个,第二层有(1+2)个,第三层有(1+2+3)个,以此类推,第n层有1+2+3+…+n=n(n+1)个,所以S与n之间的函数表达式为S=n(n+1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 一根合金棒在不同的温度下,其长度也不同,这根合金棒的长度(单位:cm)和温度(单位:℃)之间的关系如下表: (1) 指出上表的两个变量中的自变量和因变量; 温度/℃ … -5 0 5 长度/cm … 9.995 10 10.005 温度/℃ 10 15 …   长度/cm 10.01 10.015 …   (1) 温度是自变量,合金棒的长度是因变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若合金棒的长度大于10.05cm且小于10.15cm,根据表中的数据推测此时的温度在什么范围内; (3) 设温度为x℃,合金棒的长度为ycm,根据表中的数据推测y与x之间的函数表达式; (4) 根据(3)中得出的函数表达式,求出当温度分别为-20℃和100℃时,合金棒的长度. (2) 温度高于50℃且低于150℃　 (3) y与x之间的函数表达式为y=0.001x+10　 (4) 当 x=-20时,y=9.98,故当温度为-20℃时,合金棒的长度为9.98cm;当 x= 100时,y=10.1,故当温度为100℃时,合金棒的长度为10.1cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第12章　一次函数 小专题(三)　确定一次函数表达式的常见题型 类型一　根据表格信息确定函数表达式 1. (2022·益阳)一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如下表: 则这个函数的表达式可以是 (　　) A. y=2x B. y=x-1 C. y= D. y=x2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x … -1 0 1 2 … y … -2 0 2 4 … 2. 已知y是x的一次函数,x与y的部分对应值如下表: (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 当-2<x<3时,求函数y的取值范围. (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.将(1,1),(-1,5)代入,得解得所以y与x之间的函数表达式为y=-2x+3　 (2) 因为-2<0,即y随x的增大而减小,当x=-2时,y=7;当x=3时,y=-3,所以当-2 <x<3时,函数y的取值范围是-3<y<7 x … -1 1 2 … y … 5 1 -1 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型二　根据两组变量的对应值确定函数表达式 3. 已知y是x的一次函数,当x=2时,y=-1;当x=0时,y=3,则当x=2023时,y的值为 (　　) A. -6067 B. -4043 C. 6067 D. 4016 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图,B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数. (1) 若用y表示B中的实数,用x表示A中的实数,求y与x之间的函数表达式; (2) 求m+n的值. (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.将(-3,9),(0,-3) 代入,得解得所以y与x之间的 函数表达式为y=-4x-3　 (2) 在y=-4x-3中,当x=-1时,y=1,即n=1;当y=5时,-4x-3=5,解得x=-2,即m=-2.所以m+n=-2+1=-1 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　根据两函数图象的位置关系确定函数表达式 5. 若一次函数y=kx+b的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2).求该一次函数的表达式. 由题意,得k=-1.因为一次函数y=kx+b的图象过点(8,2),所以-8+b=2,解得b= 10.所以该一次函数的表达式为y=-x+10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,直线l1,l2分别与x轴相交于点A,C,与y轴相交于点B,D,∠ABO+ ∠OCD=90°,OB=OD.已知直线l1,l2对应的函数表达式分别为y1=-x+b, y2=kx+m. (1) k的值是　　　　;  - 解析:因为∠ABO+∠BAO+∠BOA=180°,∠BOA=90°, 所以∠ABO+∠BAO=90°.因为∠ABO+∠OCD=90°,所 以∠BAO=∠OCD.所以l1∥l2.所以k=-. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若BD=6,求直线l1,l2对应的函数表达式. (2) 因为BD=6,所以OB=OD=BD=3.所以点B,D的坐标 分别为(0,3),(0,-3).将B(0,3)代入y1=-x+b,得b=3.由(1), 得y2=-x+m.将D(0,-3)代入,得m=-3.所以直线l1,l2对应 的函数表达式分别为y1=-x+3,y2=-x-3 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型四　根据两点坐标确定函数表达式 7. 已知一次函数的图象经过点A(3,5),B(-4,-9). (1) 求这个一次函数的表达式; (2) 若点P(a,m)和点Q(a+1,n)在此一次函数的图象上,比较m,n的大小. (1) 设一次函数的表达式为y=kx+b.把A(3,5),B(-4,-9)代入,得解得所以一次函数的表达式为y=2x-1　 (2) 因为2>0,所以y随x的增大而增大.因为a<a+1,所以m<n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. (2023·温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在直线y=2x-上,过点A的直线交y轴于点B(0,3). (1) 求m的值和直线AB对应的函数表达式; (1) 把A(2,m)代入y=2x-,得m=,所以点A的坐标为(2,).设 直线AB对应的函数表达式为y=kx+b.把A(2,),B(0,3)代入, 得解得所以直线AB对应的函数表达式为y=-x+3　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若点P(t,y1)在线段AB上,点Q(t-1,y2)在直线y=2x-上,求y1-y2的最大值. (2) 因为点P(t,y1)在线段AB上,所以y1=-t+3(0≤t≤2).因为 点Q(t-1,y2)在直线y=2x-上,所以y2=2(t-1)-=2t-.所以y1- y2=-t+3-(2t-)=-t+.因为-<0,所以y1-y2随t的增大而 减小.所以当t=0时,y1-y2的最大值为 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型五　根据两个变量之间的关系确定一次函数的表达式 9. 已知y-2与x成正比例,且当x=1时,y=1. (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 若点P(3,m)在这个函数的图象上,求m的值. (1) 因为y-2与x成正比例,所以设y-2=kx.把x=1,y=1代入,得1-2=k,解得k=-1,所以y与x之间的函数表达式为y=-x+2　 (2) 因为点P(3,m)在这个函数的图象上,所以m=-3+2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (2023·合肥庐阳区期末)已知y+1与x-2成正比例,当x=1 时,y=0.求: (1) y与x之间的函数表达式; (2) (1)中的函数图象与坐标轴围成的三角形的面积. (1) 因为y+1与x-2成正比例,所以设y+1=k(x-2).把x=1,y=0代入,得1=k×(1-2),解得k=-1,所以y+1=-(x-2),即y=-x+1.所以y与x之间的函数表达式为y=-x +1　 (2) 在y=-x+1中,当x=0时,y=1.所以函数y=-x+1的图象与x轴的交点坐标为(1,0),与y轴的交点坐标为(0,1).所以函数y=-x+1的图象与坐标轴围成的三 角形的面积=×1×1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第12章　一次函数 12.2　一次函数 第6课时　一次函数的简单应用——双一次函数图象问题 1. 教材第43页例6,我们可以这样来思考:分别作出y与x之间的函数图象,则它们交点的　　　　坐标就是甲、乙旅行社费用相同时的人数.然后根据图象,利用数形结合的数学思想直观地得出结论.  2. 同1,我们还可以这样思考:对于甲旅行社来说,单位职工到H地旅游的费用y1元是关于人数x的正比例函数,由题意,可得y1与x之间的函数表达式为　　 　　;对于乙旅行社来说,单位职工到H地旅游的费用y2元是关于人数x的一次函数,由题意,可得y2与x之间的函数表达式为 　　　　　　　.所需费用之差为y=y1-y2=　　　　　.然后根据y的符号,并结合图象得出结论. 横 y1=80x y2=60x+1000 20x-1000 1. 甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升时间x(单位:s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是 (　　) A. 5s时,两架无人机都上升了40m B. 10s时,两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时,甲无人机距离地面的高度是60m 1 2 3 4 5 6 7 8 B 2. (2023·武汉)我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之?”如图所示为善行者与不善行者的行走路程s步与善行者的行走时间t之间的函数图象,则点P的纵坐标是　　　　.  250 1 2 3 4 5 6 7 8 3. (2023·济南)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路线匀速直线前进.如图,直线l1,l2分别表示两人到小亮家的距离s(单位:km)和时间t(单位:h)之间的关系,则出发　　　　h后两人相遇. 0.35 1 2 3 4 5 6 7 8 4. (2023·大连)某学校体育队开展跑步训练,体育老师将队员分成男、女两组.两组队员从同一地点同向先后出发,当女子组跑了80m时,男子组恰好跑了50m.此后两组队员开始匀速跑,直到终点,已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s.男、女两组队员跑步的路程y(单位:m)与匀速跑的时间x(单位:s)之间的关系如图所示. (1) 此次跑步训练的全程是　　　　m;  第4题 500 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 求当男子组追上女子组时,两组队员离终点的路程. (2) 女子组的速度为(500-80)÷120=3.5(m/s),则男子组 队员跑步的路程为y=4.5x+50,女子组队员跑步的路程 为y=3.5x+80.联立解得所以 500-185=315(m).所以当男子组追上女子组时,两组队 员离终点的路程为315m 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 甲、乙两车从A地出发匀速驶向B地,在整个行驶过程中,两车离A地的距离y(单位:km)与甲车行驶的时间t(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论错误的是 (　　) A. A,B两地相距300km B. 乙车比甲车晚出发1h,却早到1h C. 乙车出发2.5h后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距50km时,t的值为或或或 C 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 为增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800m跑测试中,小晗和小运在校园内200m的环形跑道上同时起跑,同时到达终点.她们所跑的路程s(单位:m)与所用时间t(单位:s)之间的函数图象如图所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　　　　s. 120 1 2 3 4 5 6 7 8 7. (2023·绍兴)一条笔直的路上依次有M,P,N三地,其中M,N两地相距1000m.甲、乙机器人分别从M,N两地同时出发,匀速前往N地和M地.如图,OA,BC分别表示甲、乙机器人到M地的距离y(单位:m)与行走时间x(单位:min)之间的函数关系. (1) 求OA所在直线对应的函数表达式. (1) 设OA所在直线对应的函数表达式为y=kx.将 A(5,1000)代入,得1000=5k,解得k=200,所以OA所 在直线对应的函数表达式为y=200x 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 出发后甲机器人行走多长时间与乙机器人相遇? (2) 由题图可知,甲机器人的速度为1000÷5 =200(m/min),乙机器人的速度为1000÷10= 100(m/min),1000÷(100+200)=(min),所以 出发后甲机器人行走min与乙机器人相遇　 1 2 3 4 5 6 7 8 (3) 甲机器人到达P地后,再经过1min乙机器人也到达P地,求P,M两地间的距离. (3) 设甲机器人行走tmin到达P地,则乙机器人行 走(t+1)min到达P地.由题意,得200t=1000-100(t+ 1),解得t=3.所以200×3=600(m).所以P,M两地间 的距离为600m 1 2 3 4 5 6 7 8 8. (2022·南通)某店购进甲、乙两种苹果的价格分别为8元/千克、12元/千克.甲、乙两种苹果的销售额y甲(单位:元)、y乙(单位:元)与销售量x(单位:千克)之间的函数关系如图所示. (1) 写出图中点B表示的实际意义; 第8题 (1) 图中点B表示的实际意义为当销售量为60千 克时,甲、乙两种苹果的销售额均为1200元 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 分别求y甲,y乙与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围; (2) 设y甲=kx.把(60,1200)代入,得1200=60k,解得k= 20,所以y甲=20x(0≤x≤120).当0≤x≤30时,设y乙=k'x. 把(30,750)代入,得750=30k',解得k'=25,所以y乙= 25x.当30<x≤120时,设y乙=mx+n.把(30,750),(60, 1200)代入,得解得 所以y乙=15x+300.综上所述,y乙= 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 (3) 不计损耗,当甲、乙两种苹果的销售量均为a千克时,它们的利润和为1500元,则a的值为　　　　. 解析:分两种情况讨论:① 当0≤a≤30时,由题意,得 20a+25a-8a-12a=1500,解得a=60.因为60>30,所以 不合题意,舍去;② 当30<a≤120时,由题意,得20a+ 15a+300-8a-12a=1500,解得a=80,符合题意.综上 所述,a的值为80. 80 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第12章　一次函数 12.1　函　数 第4课时　函数图象在实际中的简单应用 　　函数关系用图象表示,　　　　、　　　　,容易从中了解函数的一些变化情况,进一步认识函数图象的实际意义,从图象中获得自己需要的信息. 直观 形象 1. (2023·广元)向高为10的容器(如图)中注水,注满为止,则容器中的水深h与注水量V之间的函数关系的大致图象是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图所示为某地一天的气温变化情况,根据图象判断,下列说法不正确的是 (　　) A. 9~15时气温逐渐升高 B. 当天气温为30℃的时间点有两个 C. 当天最低气温是5℃ D. 当天气温在10℃以上的时长为12小时 D 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 匀速地向一个容器中注水,最后把容器注满.在注水的过程中,容器中的水面高度h随时间t的变化规律如图所示,则这个容器的形状可能是_____ (填序号). ② 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 小明骑自行车上学,当他骑了一段时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的书店,买到书后继续骑行到达学校.他本次上学离家的距离与所用时间之间的关系如图所示.根据图中提供的信息,解答下列问题: (1) 小明家到学校的路程是　　　　m.  (2) 小明在书店停留了　　　　min.  (3) 本次上学途中,小明一共骑了多少米?一共用了多长时间? (3) 一共骑了1200+(1200-600)+(1500-600)= 2700(m)　一共用了14min 1500 4 1 2 3 4 5 6 7 8 5. (2023·朝阳)甲、乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行,甲匀速骑行到B地,乙匀速骑行到A地,甲的速度大于乙的速度,两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距离y(单位:米)和骑行时间x(单位:秒)之间的函数关系图象如图所示.有下列结论:① a=450;② b=150;③ 甲的速度为10米/秒;④ 当甲、乙相距50米时,甲骑行了55秒或65秒.其中,正确的有 (　　) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ C 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 火车匀速通过隧道时,火车在隧道内的长度y(单位:米)与火车行驶时间x(单位:秒)之间的关系如图所示.有下列结论:① 火车的长度为120米; ② 火车的速度为30米/秒;③ 火车整体都在隧道内的时间为25秒;④ 隧道的长度为800米.其中,正确的是　　　　(填序号). ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 小红帮弟弟荡秋千,秋千距离地面的高度h(单位:m)与摆动时间t(单位:s)之间的关系如图所示. (1) h　　　　关于t的函数(填“是”或“不是”).  (2) ① 当t=0.7时,h的值是多少?请说明图象上这个点表示的实际意义. ② 秋千摆动第一个来回需要多长时间? 是 (2) ① h的值是0.5 　图象上这个点表示的实 际意义是当秋千的摆动时间为0.7s时,秋千距 离地面的高度为0.5m　 ② 秋千摆动第一个来回需要2.8s 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 如图①,A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道(可以看成两条互相平行的线段).甲在赛道A1B1上从点A1处出发,到达点B1处后,以同样的速度返回点A1处,然后重复上述过程;乙在赛道A2B2上以1.5m/s的速度从点B2处出发,到达点A2处后以同样的速度返回点B2处,然后重复上述过程(不考虑每次折返时的减速和转向时间).若甲、乙两人同时出发,甲到池边B1B2的距离y(单位:m)与运动时间t(单位:s)之间的函数关系图象如图②所示. (1) 赛道的长度是　　　 　m,甲的速度是 　　　　m/s;当t=　　　　时,甲、乙两人 第一次相遇.  50 2 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 甲、乙两人经过多长时间第二次相遇?并求出此时甲到池边B1B2的距离. (2) 设甲、乙两人经过as第二次相遇.由题意, 得2a+1.5a=50×3,解得a=.此时甲到池边 B1B2的距离为2×-50=(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第12章　一次函数 小专题(五)　最值及方案优化决策问题 类型一　获利最大问题 1. 某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋,其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表: 已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. 1 2 3 4 　 甲 乙 进价/(元/双) m m-20 售价/(元/双) 240 160 (1) 求m的值. (2) 若购进甲、乙两种运动鞋共200双,要使全部售出的总利润不低于21700元,且不超过22300元,则该专卖店有多少种进货方案? (1) 由题意,得=,解得m=100.经检验,m=100是原分式方程的解,且符合题意,所以m的值为100　 (2) 设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种运动鞋(200-x)双.由题意,得 解得95≤x≤105.因为x是正 整数,所以x可取95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105.所以该专卖店有11种进货方案 1 2 3 4 (3) 在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a元(50<a<70)出售,乙种运动鞋的售价不变.若该专卖店要获得最大总利润,则应如何进货? (3) 设总利润为W元.由题意,得W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+ 16000(95≤x≤105).因为50<a<70,所以分情况讨论:① 当50<a<60时,60-a>0, W随x的增大而增大,所以当x=105时,W有最大值,即此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋200-105=95(双);② 当a=60时,60-a=0,W=16000, (2)中所有方案获利都一样;③ 当60<a<70时,60-a<0,W随x的增大而减小,所以当x=95时,W有最大值,即此时应购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋200-95=105(双) 1 2 3 4 类型二　方案选取问题 2. (2023·丽水)由于市场需求激增,某公司产品的销售量得到大幅提升.为促进生产,公司提供了两种付给员工每月报酬的方案,设付给员工每月的报酬为y元,员工每月生产产品的数量为x件.两种方案如图所示,员工可以任选一种方案与公司签订合同. (1) 当员工每月生产　　　　件产品时,两种方案 付给的报酬一样多;  第2题 30 1 2 3 4 (2) 求方案二y关于x的函数表达式; (3) 如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案? (2) 设方案二y关于x的函数表达式为y=kx+b.将 (0,600),(30,1200)代入,得解得 所以方案二y关于x的函数表达式为y= 20x+600　 (3) 由两种方案的图象交点的坐标为(30,1200)可知,若x的取值范围是0≤ x<30,则选择方案二;若x=30,则选择哪种方案都一样;若x>30,则选择方案一 第2题 1 2 3 4 类型三　旅游费用较少问题 3. 某中学计划安排两位老师带领部分学生参加红色旅游.甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人1000元.经协商,甲旅行社的优惠方案是老师、学生都按八折收费;乙旅行社的优惠方案是两位老师全额收费,学生都按七五折收费. (1) 设参加这次红色旅游的老师、学生共有x人,选择甲、乙两家旅行社所需的费用分别为y甲元、y乙元.求y甲,y乙关于x的函数表达式. (1) 由题意,得y甲=0.8×1000x=800x,y乙=2×1000+0.75×1000×(x-2)=750x +500 1 2 3 4 (2) 该中学选择哪家旅行社支付的旅游费用较少? (2) ① 当y甲<y乙时,800x<750x+500,解得x<10;② 当y甲=y乙时,800x=750x+ 500,解得x=10;③ 当y甲>y乙时,800x>750x+500,解得x>10.综上所述,当老师和学生的总人数少于10时,选择甲旅行社支付的旅游费用较少;当老师和学生的总人数为10时,选择甲、乙两家旅行社支付的旅游费用相同;当老师和学生的总人数超过10时,选择乙旅行社支付的旅游费用较少 1 2 3 4 类型四　购物费用最少问题 4. (2023·扬州)近年来,市民交通安全意识逐步增强,头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔,已知购买甲种头盔20只,乙种头盔30只,共花费2920元,甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元. (1) 甲、乙两种头盔的单价各是多少元? (1) 设甲种头盔的单价是x元,乙种头盔的单价是y元.由题意,得解得所以甲种头盔的单价是65元,乙种头盔的单价是54元 1 2 3 4 (2) 商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只,正好赶上厂家推出促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不少于乙种头盔数量的一半,那么应购买多少只甲种头盔,使此次购买头盔的总费用最少?最少是多少元? (2) 设购买甲种头盔m只,购买头盔的总费用为w元,则购买乙种头盔(40-m)只.由题意,得m≥(40-m),解得m≥.由题意,得w=65×0.8m+(54-6)(40-m)= 4m+1920.因为4>0,所以w随m的增大而增大.因为m≥且m为整数,所以当m=14时,w取最小值.所以购买14只甲种头盔时,此次购买头盔的总费用最少,最少为14×4+1920=1976(元) 1 2 3 4 $$第12章　一次函数 小专题(四)　一次函数与图形面积 类型一　直接利用面积公式求面积——三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行 1. 如图,一次函数y=kx-3的图象经过点M(-2,1),且与x轴交于点A,与y轴交于点B.求: (1) k的值; 1 2 3 4 5 (1) 因为一次函数y=kx-3的图象经过点M(-2,1),所以 1=-2k-3,解得k=-2　 第1题 (2) A,B两点的坐标; (3) 三角形AOB的面积. (2) 由(1),知 y=-2x-3.当y=0时,-2x-3=0,解得x=-,所以点A 的坐标为.当x=0时,y=-2×0-3=-3,所以点B的坐标 为(0,-3)　 (3) 因为点A,B的坐标分别为,(0,-3),所以OA=,OB =3.所以S三角形AOB=OB·OA=×3×= 第1题 1 2 3 4 5 2. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+3与y轴交于点A,直线y=kx-1与y轴交于点B,与直线y=2x+3交于点C(-1,n).求: (1) n,k的值; (2) 三角形ABC的面积. (1) 因为直线y=2x+3过点C(-1,n),所以n=2×(-1)+3=1.所以 点C的坐标为(-1,1).因为点C(-1,1)在直线y=kx-1上,所以1= -k-1,解得k=-2　 (2) 在y=2x+3中,当x=0时,y=3,所以点A的坐标为(0,3).在y=-2x-1中,当x=0时,y=-1,所以点B的坐标为(0,-1).所以AB=3-(-1)=4.所以三角形ABC的面积为AB·|xC|=×4×1=2 第2题 1 2 3 4 5 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-x+与x轴交于点A,直线l2:y=2x+ b与x轴交于点B,且与直线l1交于点C(-1,m). (1) 求m和b的值; (1) 把C(-1,m)代入y=-x+,得m=-×(-1)+=2,所以 点C的坐标为(-1,2).把C(-1,2)代入y=2x+b,得2=-2+b, 解得b=4　 第3题 1 2 3 4 5 (2) 求三角形ABC的面积; (2) 由(1),得直线l2:y=2x+4.在y=-x+中,当y=0时,-x+ =0,解得x=2;在y=2x+4中,当y=0时,2x+4=0,解得x=-2,所 以点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(-2,0).所以AB=4.所 以S三角形ABC=×4×2=4 第3题 1 2 3 4 5 (3) 若将直线l2向下平移t(t>0)个单位后,所得到的直线与直线l1的交点在第一象限,求t的取值范围. (3) 将直线l2向下平移t(t>0)个单位后,所得到的直线对 应的函数表达式为y=2x+4-t.易得直线l1:y=-x+与y轴 交点的坐标为(0,),把(0,)代入y=2x+4-t,得4-t=,解得 t=.把(2,0)代入y=2x+4-t,得4+4-t=0,解得t=8.因为平移后所得到的直线与直线l1的交点在第一象限,所以t的取值范围是<t<8 第3题 1 2 3 4 5 类型二　利用和差法求面积 4. 如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+3与x轴、y轴的交点分别为A,B,直线l2经过点B,且与x轴交于点C,将直线l1向下平移4个单位得到直线l3,直线l3刚好经过点C,且与y轴交于点D,连接AD.求: (1) 直线l2对应的函数表达式; 第4题 1 2 3 4 5 (1) 在y=x+3中,当y=0时,x+3=0,解得x=-6;当x=0时,y=3.所以A(-6,0),B(0, 3).因为将直线l1向下平移4个单位得到直线l3,所以直线l3对应的函数表达式为y=x+3-4,即y=x-1.在y=x-1中,当y=0时,x-1=0,解得x=2;当x=0时,y= -1.所以C(2,0),D(0,-1).设直线l2对应的函数表达式为y=kx+b.将B(0,3),C(2, 0)代入,得解得所以直线l2对应的函数表达式为y= -x+3 1 2 3 4 5 (2) 四边形ABCD的面积. (2) 因为A(-6,0),B(0,3),C(2,0),D(0,-1),所以AC=2-(-6)= 8,OB=3,OD=1.所以S四边形ABCD=S三角形ABC+S三角形ADC= AC·OB+AC·OD=×8×3+×8×1=12+4=16 第4题 1 2 3 4 5 类型三　由图形的面积或面积的数量关系求点的坐标 5. (2023·合肥包河区期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b经过 A(-6,0),B(0,3)两点,点C在直线AB上,点C的纵坐标为4. (1) 求k,b的值及点C的坐标; (1) 将A(-6,0),B(0,3)代入,得解得 所以直线对应的函数表达式为y=x+3.当y=4时,x+3=4, 解得x=2,所以点C的坐标为(2,4) 第5题 1 2 3 4 5 (2) 若D为直线AB上一动点,且三角形OBC的面积是三角形OAD面积的一半,求点D的坐标. (2) 设点D的坐标为(t,t+3).因为三角形OBC的面积是三 角形OAD面积的一半,S三角形OBC=·yB·xC=×3×2=3,所 以S三角形OAD=|xA|·|yD|=×6×|t+3|=3×2.当t+3>0时, ×6×(t+3)=6,解得t=-2,此时t+3=2;当t+3<0时,×6×(t+3)=-6,解得t= -10,此时t+3=-2.所以点D的坐标为(-2,2)或(-10,-2) 第5题 1 2 3 4 5 $$第12章　一次函数 12.3　一次函数与二元一次方程 1. 一般地,以一个二元一次方程的解集为　　　　的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是　　　　　　.  2. 一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的　　　　;解一个二元一次方程组相当于确定相应的两条直线　　　　 　　. 坐标 一条直线 解 交点的坐标 1. 把方程2x+3=5y-1化为y=kx+b的形式正确的是 (　　) A. y=x+ B. y=x+ C. y=x+ D. y=-x- B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. (2023·池州贵池区期末)如图,下列方程组的解可以看作直线l1,l2的交点坐标的是 (　　) A. 　 B. C. 　 D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. (教材P54习题12.3第4题变式)如图,直线y=x+1与直线y=-2x-b相交于点P(1,a). (1) 方程组的解为　　 　　;  (2) 不等式x+1>-2x-b的解集为　　　　. x>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 若点A(2,a),B(b,3)在直线y=2x-3上,试求a,b的值,并判断A,B两点的坐标是否为方程2x-y=3的解. 将x=2代入y=2x-3,得y=1,即a=1;将y=3代入y=2x-3,得3=2x-3,解得x=3,即b=3.A,B两点的坐标都是方程2x-y=3的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (教材P53习题12.3第2题变式)在如图所示的平面直角坐标系中分别画 出函数y=-x-4和y=2x+2的图象,并利用图象直接写出方程组的解. 列表如下: 描点、连线,如图所示　 方程组的解为 x … -1 0 … y=-x-4 … -3 -4 … y=2x+2 … 0 2 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的自变量x与因变量y1,y2的部分对应数值如下表: 则关于x,y的二元一次方程组的解为 (　　) A. 　 B. C. D. C x … -2 -1 0 1 2 … y1 … -1 0 1 2 3 … y2 … -5 -3 -1 1 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. (2023·亳州利辛县期末)如图,一次函数y=kx+b与y=-x+4的图象相交于点P(m,1),则关于x,y的二元一次方程组的解是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 某学校八年级学生到距学校2km的劳动基地植树,一部分人步行,另一部分人骑自行车,他们沿相同的路线前往目的地.如图,l1,l2分别表示步行和骑车的人所行的路程y(单位:km)随时间x(单位:min)变化的函数图象,则骑车的人用　　　　min追上步行的人. 7.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x-1与直线y=-2x+2相交于点P,并分别与x轴相交于点A,B. (1) 求点P的坐标; (1) 联立解得所以点P的坐标 为(2,-2)　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 求三角形PAB的面积; (3) 当直线y=-2x+2在直线y=-x-1的上方时,直接写出自变量x的取值范围. (2) 在y=-x-1中,令y=0,则x=-2,所以点A的坐标为(-2,0). 在y=-2x+2中,令y=0,则x=1,所以点B的坐标为(1,0).所以 AB=3.所以S三角形PAB=AB·|yP|=×3×2=3　 (3) x<2 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图,直线l1对应的函数表达式为y=-3x+3,且直线l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2相交于点C. (1) 求点D的坐标; (1) 在y=-3x+3中,令y=0,则-3x+3=0,解得x=1, 所以点D的坐标为(1,0) 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 求直线l2对应的函数表达式; (2) 设直线l2对应的函数表达式为y=kx+b.把B(3,-), A(4,0)代入,得解得所以直 线l2对应的函数表达式为y=x-6　 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 求三角形ADC的面积; (4) 在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得三角形ADP与三角形ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标. (3) 联立解得所以点C的坐标 为(2,-3).因为点A的坐标为(4,0),点D的坐标为(1,0),所 以AD=3.所以三角形ADC的面积为×3×|-3|=　 (4) 点P的坐标为(6,3) 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第12章　一次函数 12.2　一次函数 第1课时　正比例函数的图象与性质 1. 一般地,形如y=　　　　(k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数.  2. 形如y=　　　　(k为常数,且k≠0)的函数叫做正比例函数.正比例函数的图象是一条经过　　　　的直线,通常我们把正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象叫做直线　　　　.  3. 一般地,正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)有以下性质:当k>0时,y随x的增大而　　　　(图象是自左向右　　　　的);当k<0时,y随x的增大而　　　　(图象是自左向右　　　　的). kx+b kx 原点 y=kx 增大 上升 减小 下降 1. (2023·合肥瑶海区期末)有下列函数:① y=3x;② y=2x-1;③ y=;④ y=x2-1;⑤ y=.其中,属于一次函数的有 (　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 正比例函数y=x的图象大致是 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 3. (2023·金昌)若直线y=kx(k为常数,且k≠0)经过第一、三象限,则k的值可以为 (　　) A. -2 B. -1 C. - D. 2 4. 若函数y=(m+1)x|m|-6是一次函数,则m的值为 (　　) A. ±1 B. -1 C. 1 D. 2 5. 若y=(m-1)x|m|是正比例函数,则m的值是　　　,y随x的增大而　　　　. 6. (2023·合肥肥东县期末)对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值为 　　　　. D C -1 减小 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 已知函数y=(m-1)是正比例函数,求m的值并画出这个函数的图象. 因为函数y=(m-1)是正比例函数,所以2-m2=1且m-1≠0,解得m=-1.所以y=-2x　函数y=-2x的图象过点(0,0)和(1,-2),y=-2x的图象如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 在同一平面直角坐标系中,画出函数y1=4x和y2=-4x的图象,并比较当x= 2时,y1与y2的大小关系. 列表如下: 描点、连线,如图所示　当x=2时,y1>y2 x … 0 1 … y1 … 0 4 … y2 … 0 -4 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 在函数y=k1x中,y随x的增大而减小,且k1k2<0,则在同一平面直角坐标系中,函数y=k1x和y=k2x的图象大致为 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 已知正比例函数y=kx(k≠0),当x每增加3时,y就减小4,则k的值为 (　　) A. B. - C. D. - 11. 已知直线y=(2-3m)x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<x2时,y1>y2,则m的取 值范围是　　　　.  12. 已知正比例函数y=kx(k≠0),当-3≤x≤1时,-1≤y≤,且y随x的增大而增大, 则k的值是　　　　. D m> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 已知正比例函数y=(2m+4)x. (1) 当m为何值时,该函数的图象经过第一、三象限? (2) 当m为何值时,y随x的增大而减小? (3) 当m为何值时,点(1,3)在该函数的图象上? (1) 因为该函数的图象经过第一、三象限,所以2m+4>0,解得m>-2　 (2) 因为y随x的增大而减小,所以2m+4<0,解得m<-2　 (3) 因为点(1,3)在该函数的图象上,所以2m+4=3,解得m=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 在平面直角坐标系中,直线y=-3x上有一点P,过点P作PA⊥x轴,垂足为A.若点P的横坐标为-2,求三角形POA的面积. 由题意,得OA=2.把x=-2代入y=-3x,得y=6,所以PA=6.所以S三角形POA= OA·PA=×2×6=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,点A的横坐标为3,且三角形AOH的面积为3. (1) 求正比例函数的表达式. (1) 因为点A的横坐标为3,AH⊥x轴,所以OH=3.因为三角形AOH的面积为3,所以OH·AH=3,即×3AH=3.所以AH=2.因为点A在第四象限,所以点A的坐标为(3,-2).因为正比例函数y=kx的图象经过点A,所以3k=-2,解得k=-.所以正比例函数的表达式为y=-x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 在x轴上是否存在一点P,使三角形AOP的面积为5?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2) 存在　设点P的坐标为(m,0),则OP=|m|.由(1),得AH=2.因为三角形AOP的面积为5,所以OP·AH=5,即×|m|×2=5,解得m=±5.所以点P的坐标为(5,0)或(-5,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第12章　一次函数 12.2　一次函数 第3课时　一次函数的性质 　　一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)有以下性质:当k>0时,y随x的增大而　　　　(图象是自左向右　　　　的);当k<0时,y随x的增大而　　　　(图象是自左向右　　　　的). 增大 上升 减小 下降 1. (2023·长沙)下列一次函数中,y随x的增大而减小的是 (　　) A. y=2x+1 B. y=x-4 C. y=2x D. y=-x+1 2. (2022·兰州)若一次函数y=2x+1的图象经过点(-3,y1),(4,y2),则y1与y2的大小关系是 (　　) A. y1<y2 B. y1>y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 15 3. (2022·包头)在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中,若y随x的增大而增大,且ab>0,则点A(a,b)在 (　　) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 4. 已知一次函数y=(1-k)x+k,若y随x的增大而增大,且它的图象与y轴相交于负半轴,则一次函数y=kx+k的图象大致是 (　　) B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. (2023·盘锦)已知关于x的一次函数y=(2a+1)x+a-2,若y随x的增大而增大, 且图象与y轴的交点在原点下方,则a的取值范围是　　　　.  6. 有下列函数:① y=-x+5;② y=3x-6;③ y=2x+4;④ y=-2x-3;⑤ y=-3x;⑥ y =7x;⑦ y=3x-1.其中,y随x的增大而增大的有　　　　　;y随x的增大而减小的有　　　　;图象与y轴相交于正半轴的有　　　　(填序号). 7. 已知一次函数y=(2a+4)x-(3-b),当a,b满足什么条件时,y随x的增大而增大且函数图象经过第一、三、四象限? -<a<2 ②③⑥⑦ ①④⑤ ①③ 由题意,得解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 已知一次函数y=(3-m)x+2m-9的图象与y轴负半轴相交,y随x的增大而减小,且m为整数. (1) 求m的值; (2) 当-1≤x≤2时,求y的取值范围. (1) 因为一次函数y=(3-m)x+2m-9的图象与y轴负半轴相交,y随x的增大而减小,所以解得3<m<4.5.因为m为整数,所以m=4　 (2) 由(1),得m=4,则该一次函数的表达式为y=-x-1.因为-1≤x≤2,所以-2≤-x≤ 1.所以-3≤-x-1≤0,即y的取值范围是-3≤y≤0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (2023·合肥期末)若一次函数y=kx+1在-2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8,则下列说法正确的是 (　　) A. k的值为2或-2 B. y的值随x的增大而减小 C. k的值为1或-1 D. 在-2≤x≤2的范围内,y的最大值为3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 已知定点M(x1,y1),N(x2,y2)(x1>x2)在直线y=-x+2上.若t=(x1-x2)·(y1-y2),则有下列结论:① y=tx是正比例函数;② y=(t-1)x+t是一次函数;③ y=(t+ 1)x+t是一次函数;④ 在函数y=tx-2x中,y随x的增大而减小.其中,一定正确的是 (　　) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 11. 学习小组的几名同学观察某个一次函数的图象,小伊说:“函数图象经过点(0,1).”小嘉说:“y随x的增大而增大.”小轩说:“函数图象不经过第四象限.”请你根据他们的叙述,写出一个满足上述特点的一次函数:_________ 　　　　　　.  D 答案不唯 一,如y=x+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=(3-2m)x+1上的两点,且(x1-x2)(y1-y2)<0, 则m的取值范围是　　　　.  13. (2023·南通)已知一次函数y=x-k,若对于x<3的范围内任意x的值,其对应的函数值y都小于2k,则k的取值范围是　　　　. m> k≥1 解析:因为在y=x-k中,1>0,所以y随x的增大而增大,当x=3时,y=3-k.因为对于x<3的范围内任意x的值,其对应的函数值y都小于2k,所以3-k≤2k,解得k≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 已知一次函数y=(2m+3)x+m-1. (1) 若函数图象经过原点,求m的值; (2) 若函数图象在y轴上的截距为-3,求m的值; (3) 若函数图象平行于直线y=x+1,求m的值; (1) 由题意,得解得m=1　 (2) 由题意,得解得m=-2　 (3) 由题意,得解得m=-1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4) 若y随x的增大而减小,求m的取值范围; (5) 若函数图象不经过第二象限,求m的取值范围. (4) 由题意,得2m+3<0,解得m<-　 (5) 由题意,得解得-<m≤1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知一次函数y=mx+4-2m. (1) 若该函数的图象经过点(-1,-5),求m的值; (2) 若当-2≤x≤3时,函数y有最小值-6,求m的值. (1) 因为一次函数y=mx+4-2m的图象经过点(-1,-5),所以-5=-m+4-2m,解得m=3　 (2) 分两种情况考虑:① 当m>0时,y随x的增大而增大.又因为当-2≤x≤3时,函数y有最小值-6,所以当x=-2时,y=-6,即-6=-2m+4-2m,解得m=2.5.② 当m<0时,y随x的增大而减小.又因为当-2≤x≤3时,函数y有最小值-6,所以当x=3时,y=-6,即-6=3m+4-2m,解得m=-10.综上所述,m的值为2.5或-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第12章　一次函数 12.2　一次函数 第5课时　一次函数的简单应用——分段函数问题 　　在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式,这样的函数称为　　　　　. 分段函数 1. 为节能减排,鼓励居民节约用电,某市出台的新的居民用电收费标准如下:① 若每户每月的用电量未超过100千瓦·时,则按0.50元/(千瓦·时)计费;② 若每户每月的用电量超过100千瓦·时,则超过部分按0.80元/(千瓦·时)计费[未超过部分仍按0.50元/(千瓦·时)计费].将某户居民某月的用电量x(单位:千瓦·时)与电费y(单位:元)之间的函数关系用图象表示正确的是 (　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 C 2. 如图,折线OABC反映了小杰从家到学校所走路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系.其中,OA所在直线对应的函数表达式为y=k1x(k1 ≠0),BC所在直线对应的函数表达式为y=k2x+b(k2≠0),则k2-k1=　　　　.  　 3. (2023·威海)一辆汽车在行驶过程中行驶路程y(单位:千米)与行驶时间x(单位:时)之间的函数关系如图所示.当0≤x<0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为　　 　　. 50 y=80x-10 1 2 3 4 5 6 7 8 4. (教材P41例5变式)某城市居民用水实行阶梯收费:若每户每月的用水量未超过20t,则按每吨1.9元收费;若每户每月的用水量超过20t,则超过部分按每吨2.8元收费(未超过部分仍按每吨1.9元收费).设某户每月的用水量为xt,应收水费为y元. (1) 分别写出当每月用水量未超过20t和超过20t时,y与x之间的函数表达式; (1) 当0≤x≤20时,y=1.9x;当x>20时,y=1.9×20+(x-20)×2.8=2.8x-18　 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 若该城市某户居民5月的水费为平均每吨2.2元,求该户居民5月用水多少吨. (2) 因为5月的水费为平均每吨2.2元,2.2>1.9,所以用水量超过了20t.设该户居民5月用水a吨.由题意,得2.8a-18=2.2a,解得a=30.所以该户居民5月用水30t 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 某种藤类植物四个阶段的平均长度y(单位:cm)与生长时间x(单位:天)之间的函数关系如图所示.当平均长度为115cm时,植物进入浆果生长期,此时植物的生长天数是 (　　) A. 90 B. 95 C. 140 D. 143 B 解析:由题图,可知当y=115时,20<x<120.当20<x<120时,设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.由题意,得解得所以y= 1.4x-18.当y=115时,1.4x-18=115,解得x=95,即此时植物的生长天数是95. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. (教材P42练习第1题变式)李伯伯驾车从乡村进城,各时间段的行驶速度v(单位:km/h)如图所示.当0<t<1时,其行驶路程s(单位:km)与时间t(单位:h)之间的函数表达式为　　　　　　　;当1≤t<2时,s与t之间的函数表达式为　　　　　　　;当2≤t<3时,s与t之间的函数表达式为　　　　　　　. s=40t s=80t-40 s=30t+60 1 2 3 4 5 6 7 8 7. (2022·成都)随着“公园城市”建设的不断推进,成都绕城绿道化身为这座城市的一个超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是18km/h,乙骑行的路程s(单位:km)与骑行的时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示. (1) 当0≤t≤0.2和t>0.2时,分别求s与t之间的函数表达式; 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 当0≤t≤0.2时,设s=at.把(0.2,3)代入,得0.2a=3,解得a=15,所以s=15t.当t>0.2时,设s=kt+b.把(0.2,3)和(0.5,9)代入,得解得所以s=20t-1.所以s与t之间的函数表达式为s= 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 何时乙骑行在甲前面? (2) 当0≤t≤0.2时,乙骑行的速度为3÷0.2=15(km/h),而甲 骑行的速度为18km/h,则甲骑行在乙前面;当t>0.2时,乙 骑行的速度为(9-3)÷(0.5-0.2)=20(km/h),甲骑行的速度 为18km/h.设xh后,乙骑行在甲前面,则18x<20x-1,解得 x>0.5.所以0.5h后乙骑行在甲前面 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 8. (2023·湘西)如图①,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,食堂离小明家0.6km,图书馆离小明家0.8km.小明从家出发,匀速步行了8min去食堂吃早餐;吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报;读完报以后接着匀速步行了10min回到家.图②反映了这个过程中小明离家的距离y(单位:km)与时间x(单位:min)之间的对应关系. (1) ① 食堂离图书馆的距离为　　　　km;  ② 小明从图书馆回家的速度是　　　　km/min;  ③ 小明读报所用的时间为　　　　min;  0.2 0.08 30 1 2 3 4 5 6 7 8 ④ 当小明离家的距离为km时,求小明离家的时间. ④ 设当小明离家的距离为km时,小明离家的时间为amin.(i) 从家到图书馆,当小明离家的距离为km时,因为>0.6,所以小明到食堂时,小明离家的距离不足km.由题意,得-0.6=(a-25),解得a=26.(ii) 从图书馆回家,当小明离家的距离为km时,由题意,得=0.08(68-a),解得a=.所以当小明离家的距离为km时,小明离家的时间为26min或min 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 当0≤x≤28时,求y与x之间的函数表达式. (2) 当0≤x≤8时,设y=kx.将(8,0.6)代入,得0.6=8k,解得k=,所以当0≤x≤8时, y=x.当8<x<25时,y=0.6.当25≤x≤28时,设y=mx+n.将(25,0.6),(28,0.8)代入, 得解得所以当25≤x≤28时,y=x-.综上所述,当0≤x≤28时,y与x之间的函数表达式为y= 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第12章　一次函数 12.4　综合与实践　一次函数模型的应用 1. 现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题,并通过建立合适的数学模型来表示　　　　　和　　　　　,再求出结果并讨论结果的意义.  2. 建立两个变量之间的函数模型的步骤:(1) 将实验得到的数据在 　　　　　　　中描出;(2) 观察这些点的特征,确定选用的　　 　形式,并根据已知数据求出具体的　 　　 　　;(3) 进行　　　　;(4) 应用这个　　　　　　解决问题. 数量关系 变化规律 直角坐标系 函数 函数表达式 检验 函数模型 1. 如图,有一个圆柱形容器,注水之前容器内有少量水,现向容器内注水,并同时开始计时.在注水过程中,水面高度匀速增加,容器注满水之前,容器内的水面高度y(单位:cm)随时间x(单位:s)的变化情况如下表: 则★的值是 (　　) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 1 2 3 4 5 6 y/cm 11 12 15 ★ x/s 5 10 25 30 A 第1题 2. 风寒效应是一种因刮风引起的使体感温度比实际气温低的现象,科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度,并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系.当气温为5℃时,风寒温度和风速的几组对应值如下表: 则T与v之间的函数表达式为　 . T=-0.2v+5 风速v/(km/h) 0 10 20 30 40 风寒温度T/℃ 5 3 1 -1 -3 1 2 3 4 5 6 3. 缂丝是中国传统丝绸艺术品中的精华.缂丝织造技艺主要是使用古老的木机(如图①)及若干竹制的梭子和拨子,经过“通经断纬”的织造方法,将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物.缂丝工匠现要完成一件织品,工作一段时间后,记录的织品长度y(单位:cm)随工作时间x(单位:h)的变化情况如下表: 工作时间x/h 0 2 4 6 8 织品长度y/cm 3 3.6 4.2 4.8 5.4 1 2 3 4 5 6 (1) 如图②,在图中描出以表格中数据为坐标的各点. (1) 如图所示 1 2 3 4 5 6 (2) 观察上述各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上.如果在同一条直线上,求出这条直线对应的函数表达式,如果不在同一条直线上,请说明理由. (3) 当工作时间为5h时,求织品的长度. (2) 在同一条直线上　设这条直线对应的函数表达式为y=kx+b.把(0,3), (2,3.6)代入,得解得所以这条直线对应的函数表达式为y=0.3x+3　 (3) 在y=0.3x+3中,当x=5时,y=0.3×5+3=4.5,所以织品的长度是4.5cm　 1 2 3 4 5 6 (4) 若每天工作10h,则要完成长为240cm的织品,共需要多少天? (4) 在y=0.3x+3中,当y=240时,0.3x+3=240,解得x=790.所以要完成长为240cm的织品,共需要790÷10=79(天) 1 2 3 4 5 6 4. 小明在探究“水沸腾时温度的变化特点”的实验中,发现在水沸腾前,水温y(单位:℃)与加热时间x(单位:min)之间满足一次函数关系,实验中y与x的部分对应值如下表: 则加热18min时的水温是 (　　) A. 62℃ B. 64℃ C. 66℃ D. 68℃ B 时间x/min 5 10 15 20 25 水温y/℃ 25 40 55 70 85 1 2 3 4 5 6 5. 我国传统的计重工具——秤的应用,方便了人们的生活.如图,可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,设秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为xcm,秤钩上所挂物体的质量为ykg,已知y是x的一次函数.若干次称重时所记录的数据如下表: (1) 观察表格,发现有一组数据记录错误,则哪一组是错误的? x/cm 1 2 4 7 11 12 y/kg 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 第5题 (1) x=7,y=2.75这组数据是错误的 1 2 3 4 5 6 (2) 当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16cm时,秤钩上所挂物体的质量是多少? (2) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.把x=1,y=0.75; x=2,y=1代入,得解得所以y与 x之间的函数表达式为y=0.25x+0.5.当x=16时,y=4.5.所 以秤钩上所挂物体的质量是4.5kg 第5题 1 2 3 4 5 6 6. 某景区上午7:30开门迎接游客进入,下午4:30禁止游客进入.据工作人员统计,某天上午8:30该景区已累计进入游客920人,从此时开始陆续有游玩结束的游客离开.累计进入景区的游客人数y与累计离开景区的游客人数z随统计时间x(单位:h)变化的情况如下表: 经探究发现,y与x,z与x之间的数量关系可以用我们已经学过的函数来描述. 统计时间x/h 1 2 3 4 … 累计进入景区的游客人数y 920 1720 2520 3320 … 累计离开景区的游客人数z 0 200 400 600 … 1 2 3 4 5 6 (1) 直接写出y与x之间的函数表达式和z与x之间的函数表达式. (2) 当景区内游客人数最多时,是什么时刻? (1) y与x之间的函数表达式为y=800x+120,z与x之间的函数表达式为z= 200x-200　 (2) 上午7:30到下午4:30一共9h.设景区内剩余的游客人数为w.由题意,得w=y-z=800x+120-200x+200=600x+320(1≤x≤9).因为600>0,所以w随x的增大而增大.所以当x=9时,人数最多,此时为下午4:30.所以下午4:30景区内游客人数最多 1 2 3 4 5 6 (3) 已知当景区内游客人数达到5120时,将触发人流高峰黄色预警.什么时刻将触发人流高峰黄色预警? (3) 因为w=y-z=600x+320,所以当w=5120时,得600x+320=5120,解得x=8.因为统计时间从上午7:30开始,所以触发人流高峰黄色预警时刻为15:30,即下午3:30.所以下午3:30将触发人流高峰黄色预警 1 2 3 4 5 6 $$第12章　一次函数 阶段训练(12.1) 一、 选择题 1. 如图,有一个球形容器,小海在往容器里注水的过程中发现水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.有下列说法:① S是V的函数;② V是S的函数;③ h是S的函数;④ S是h的函数.其中,正确的是 (　　) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第1题 2. (2023·亳州蒙城县期末)甲、乙、丙、丁四人步行的路程s(单位:km)和所用时间t(单位:min)之间的关系如图所示.按平均速度计算,四人中步行得最慢的人是 (　　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图所示为底部放有一个实心铁球的长方体水槽的轴截面示意图,现向水槽中匀速注水.下列能大致反映水槽中水面高度y与注水时间x之间的关系的图象是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知火车站托运行李的费用C元和托运行李的质量Pkg(P为整数)之间的关系如下表: 则C与P之间的函数表达式为 (　　) A. C=0.5(P-1) B. C=2P-0.5 C. C=2P+0.5 D. C=2+0.5(P-1) P/kg 1 2 3 4 5 … C/元 2 2.5 3 3.5 4 … D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 某剧院第x排的座位个数y如下表: 根据上表中两个变量之间的关系,当x=8时,y的值为 (　　) A. 49 B. 51 C. 53 D. 55 B 第x排 1 2 3 4 … 座位个数y 30 33 36 39 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. 在函数y=中,自变量x的取值范围是　　　　.  7. 如图,围一个长方形菜园ABCD,菜园的一边利用足够长的墙,用35米长的篱笆围成另外三边.为了方便进出,在边BC上留了一个2米宽的小门(小门用另外的材料).设AB的长为x米,BC的长为y米,则y与x之间的函数表达式为　　　　　　　.  x≥-3 y=-2x+37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图所示为关于x,y的计算程序,若输入的x的值是4或7时,输出的y的值相等,则b的值为　　　　. -9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图所示为一名游客在早晨8时从城市出发到郊外全程所走的路程s(单位:千米)与时间t(单位:时)之间的关系图象.根据图象回答问题: (1) 在这个变化过程中,自变量是　　　　,因变量是　　　　;  (2) 这名游客一共走了　　　　千米,在途中休息了　　　　小时;  (3) 这名游客休息前的平均速度是　　　　千米/时. t s 15 0.5 4.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图①,在长方形ABCD中,动点P从点A处出发,匀速沿A→B→C→D→ A的路线运动,到点A处停止.设点P的运动路程为x,三角形PAB的面积为y.如果y与x之间的函数关系如图②所示,那么长方形ABCD的面积为　　　. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 用同样长的小棒拼成如图所示的图案,其中图①由4个小等边三角形围成1个小菱形,图②由6个小等边三角形围成2个小菱形,…,按此规律,若图 中小棒的根数为m,则m与n之间的关系为　　　　　. m=6n+6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 12. 在三角形ABC中,BC的长和边BC上的高AD分别是x和y,它的面积是5.求y与x之间的函数表达式,并画出这个函数的图象. 由题意,得xy=5,所以y= 列表如下: 描点、连线,如图所示 x … 2 3 4 5 … y … 5 2.5 2 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上,这摞碗的高度随着碗的数量的变化情况如下表: (1) 在上述变化过程中,哪个是自变量?哪个是因变量? (2) 设这摞碗的高度为hcm,这摞碗的数量为x只,则用含x的式子表示h; (1) 碗的数量是自变量,高度是因变量 (2) 由题意,得h=4+(5.2-4)×(x-1)=1.2x+2.8　 第13题 碗的数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若这摞碗的高度为11.2cm,求这摞碗的数量. (3) 当h=11.2时,即1.2x+2.8=11.2,解得x=7.所以当这摞碗 的高度为11.2cm时,碗的数量为7只 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第12章　一次函数 阶段训练(12.2) 一、 选择题 1. (2023·乐山)下列各点在函数y=2x-1的图象上的是 (　　) A. (-1,3) B. (0,1) C. (1,-1) D. (2,3) 2. (2023·兰州)已知一次函数y=kx-1的函数值y随x的增大而减小,则当x=2时,y的值可以是 (　　) A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 3. (2022·广安)在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位,所得的图象对应的函数表达式为 (　　) A. y=3x+5 B. y=3x-5 C. y=3x+1 D. y=3x-1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D D 4. 如图,一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点(2,0),(0,3).有下列结论:① 关于x的方程kx+b=0的解为x=2;② 关于x的方程kx+b=3的解为x=0;③ 当x>2时,y<0;④ 当x<0时,y<3.其中,正确的是 (　　) A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ A 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 在同一平面直角坐标系中,正比例函数y=kx和一次函数y=-kx-的大致图象是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. (2023·天津)若直线y=x向上平移3个单位后经过点(2,m),则m的值为　 . 7. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3),(-1,2),则k2-b2=　　　　.  8. (2023·合肥包河区期末)已知一次函数y=2x+6-3a(a为常数),当-1≤x≤2时,函数y有最大值-2,则a的值为　　　　.  9. 下表记录了一次实验中时间和温度的数据. 若温度的变化是均匀的,则14min时的温度是　　　　℃.  5 -6 4 时间/min 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知和都是方程y=ax+b的解,则一次函数y=ax+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 11. 如图,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4). (1) 求直线AB对应的函数表达式; (2) 若直线y=2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标; (1) 把A(5,0),B(1,4)代入y=kx+b,得解得 所以直线AB对应的函数表达式为y=-x+5　 (2) 联立解得所以点C的坐标为 (3,2)　 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 根据图象,直接写出关于x的不等式2x-4≥ kx+b的解集. (3) 关于x的不等式2x-4≥kx+b的解集为x≥3 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,M(1,m)是直线AB上一点,直线MC交x轴于点C(,0). (1) 求直线MC对应的函数表达式. (1) 因为M(1,m)是直线AB上一点,所以1+2=m,解得m= 3.所以点M的坐标为(1,3).设直线MC对应的函数表达 式为y=kx+b.把C(,0),M(1,3)代入,得解 得所以直线MC对应的函数表达式为y=-2x+5 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若P是线段AC上一动点,连接BP,MP.若三角形ABP的面积是三角形MPC面积的2倍,求点P的坐标. (2) 设点P的坐标为(a,0).在y=x+2中,当x=0时,y=2;当y=0 时,x=-2.所以点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2).所以 OB=2.因为P是线段AC上一动点,所以AP=a+2,PC=-a. 所以S三角形ABP=AP·OB=×(a+2)×2=a+2,S三角形MPC= PC×yM=×(-a)×3=-a.因为三角形ABP的面积是三角形MPC面积的2倍,所以a+2=2×(-a),解得a=.所以点P的坐标为(,0) 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. (2023·云南)为促进旅游业发展,某景区需要购买A,B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5200元;若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需2800元. (1) 求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格. (1) 设每顶A种型号帐篷的价格为m元,每顶B种型号帐篷的价格为n元.由题意,得解得所以每顶A种型号帐篷的价格为600元,每顶B种型号帐篷的价格为1000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷数量的.为使购买帐篷的总费用最低,应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶?购买帐篷的总费用最低为多少元? (2) 设购买A种型号帐篷x顶,购买帐篷的总费用为w元,则购买B种型号帐篷(20-x)顶.因为购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷数量的,所以x≤(20-x),解得x≤5.所以0<x≤5.由题意,得w=600x+1000(20-x)= -400x+20000.因为-400<0,所以w随x的增大而减小.所以当x=5时,w取最小值,最小值为-400×5+20000=18000.所以20-x=20-5=15.所以购买A种型号帐篷5顶,购买B种型号帐篷15顶,购买帐篷的总费用最低,最低为18000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第12章　一次函数 12.2　一次函数 第2课时　一次函数的图象 1. 一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象是平行于直线 　　　　的一条直线,因此,我们以后把一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象叫做直线　　　　　.  2. 直线y=kx+b与y轴相交于点　　　　,　　　　叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称截距.  3. 直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移　　　　个单位而得到(当b>0时,向　　　　平移;当b<0时,向　　　　平移). y=kx y=kx+b (0,b) b |b| 上 下 1. (2023·通辽)在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是 (　　) 2. (2023·无锡)将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位,所得图象对应的函数表达式为 (　　) A. y=2x-1 B. y=2x+3 C. y=4x-3 D. y=4x+5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 3. 若ab>0,bd<0,则一次函数y=-x-的图象大致是 (　　) 4. (2023·广西)已知函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k=　　　　.  5. (教材P38例3变式)直线y=-x+在y轴上的截距为　　　　. C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 在同一平面直角坐标系中,分别画出一次函数y=-3x,y=-3x+2,y=-3x-2的图象,并回答下面的问题: (1) 观察图象,可知函数y=-3x+2的图象与函数y=-3x-2的图象都是直线,并且都与直线y=-3x　　　　;  列表如下: 描点、连线,如图所示 x … -1 0 1 … y=-3x … 3 0 -3 … y=-3x+2 … 5 2 -1 … y=-3x-2 … 1 -2 -5 … 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 直线y=-3x+2是由直线y=-3x-2如何平移得到的? (2) 答案不唯一,如直线y=-3x+2是由直线y=-3x-2向上平移4个单位得到的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (2023·娄底)将直线y=2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为 (　　) A. y=2x+5 B. y=2x+3 C. y=2x-2 D. y=2x-3 8. (2023·陕西)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)的图象可能是 (　　) D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如果实数k,b满足kb<0且不等式kx<b的解集是x>,那么函数y=kx+b的图象不经过第　　　　象限.  10. 如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边在x轴正半轴上,顶点A,E在直线y=x上.如果正方形ABCD的边长是1,那么点F的坐标为　　　　. 三 (,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数y=-2x+1的图象. (1) 试判断点P(2,-5)是否在此函数的图象上,并说明理由; 列表如下: 描点、连线,如图所示　 (1) 点P(2,-5)不在此函数的图象上　 理由:当x=2时,y=-2x+1=-3≠-5,所以点P(2,-5)不在此函数的图象上. x … 0 1 … y … 1 -1 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求出此函数图象与坐标轴的交点坐标以及此函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积. (2) 令x=0,则y=1,此函数图象与y轴的交点坐标为(0,1);令y=0,则x=,此函数图象与x轴的交点坐标为(,0).所以此函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积为×1×= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,在平面直角坐标系中,点P(m,n)在第一象限,且在直线y=-x+6上,点A的坐标为(5,0),O为坐标原点.设三角形PAO的面积为S. (1) 求S与m之间的函数表达式,并画出函数S的图象. (1) 因为点P(m,n)在第一象限,且在直线y=-x+6上,所 以n=-m+6,且m>0,n>0,即点P到x轴的距离为-m+6.因 为点A的坐标为(5,0),所以OA=5.所以 S=×5×(-m+6)=-m+15　如图所示　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 三角形PAO的面积可能为15吗?请说明理由. (2) 三角形PAO的面积不可能为15　 理由:若S=15,即-m+15=15,解得m=0,则此时点P的 坐标为(0,6),与点P在第一象限不符,所以三角形PAO 的面积不可能为15. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$