第11章　平面直角坐标系 课件 2024—2025学年沪科版数学八年级上册

第11章　平面直角坐标系 11.1　平面内点的坐标 第2课时　坐标平面内的图形 平行于x轴的直线上所有点的　　　　坐标相等;平行于y轴的直线上所有点的　　　　坐标相等. 纵 横 1. 在平面直角坐标系中,若直线AB经过点(3,-4)和(3,4),则直线AB (　　) A. 平行于x轴 B. 平行于y轴 C. 经过原点 D. 无法确定 2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形,AB=5,AD=6.已知点A的坐标为(-3,-2),则点C的坐标为 (　　) A. (2,4) B. (3,2) C. (3,4)　 D. (2,3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 3. 在平面直角坐标系中,点P的坐标为(1,2),点Q在x轴下方,PQ∥y轴.若PQ =5,则点Q的坐标为 (　　) A. (-4,2) B. (6,2) C. (1,-3) D. (1,7) 4. 已知AB⊥x轴,点A的坐标为(3,2),且AB=3,则点B的坐标为　　　　　　. 5. 在如图所示的平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为4. (1) 写出下列各顶点的坐标:A　 　　,B　 　,C　　 　,D　　 　 ; (2) 若以线段AB的中点为原点建立新的平面直角坐标系, 则各顶点的坐标分别为A　　　　,B　　 　,C　　 　, D　　　　　.  C (3,5)或(3,-1) (0,0) (4,0) (4,4) (0,4) (-2,0) (2,0) (2,4) (-2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (教材P7练习第1题变式)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,0),D(2,2),则四边形ABCD的面积为 　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A,B,C,D,E的坐标分别为(4,1),(1, 1),(4,5),(6,-3),(-2,5). (1) 在平面直角坐标系中描出各点,并画出三角形AEC和三角形BCD; (2) 求三角形AEC的面积. (1) 如图所示　 (2) 因为EC=6,AC=4,所以 S三角形AEC=×6×4=12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(-5,0),点B的坐标为(3,0),点C在y轴上,且三角形ABC的面积为48,则点C的坐标为 (　　) A. (0,12) B. (0,-12) C. (-12,0) D. (0,12)或(0,-12) 9. 已知点A(a,3),过点A分别向x轴、y轴作垂线,两条垂线与两坐标轴围成的图形的面积是15,则a的值为　　　　. D ±5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 将长方形ABCD放置在如图所示的平面直角坐标系中,点A的坐标为(2, 2.8),AB∥x轴,AD∥y轴,AB=3,AD=1.4. (1) 分别求出点B,C,D的坐标. (1) 由题意,得AB=DC=3,AD=BC=1.4.因为AB∥x轴, AD∥y轴,点A的坐标为(2,2.8),所以点B的坐标为(5, 2.8),点C的坐标为(5,1.4),点D的坐标为(2,1.4)　 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 在x轴上是否存在点P,使三角形PAD的面积为长方形ABCD面积的?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2) 存在　设点P的坐标为(m,0),则三角形PAD的边AD 上的高为|m-2|.由题意,得S三角形PAD=AD·|m-2|=AB·AD =2.8,即|m-2|=4,解得m=-2或m=6.所以点P的坐标为(-2,0) 或(6,0) 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在平面直角坐标系中,三角形OAB的三个顶点的坐标分别为O(0, 0),A(5,0),B(2,4). (1) 求三角形OAB的面积. (1) 由题意,得OA=5,yB=4.所以S三角形OAB=×5×4=10 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若O,A两点的位置不变,P是平面直角坐标系中的一个动点,当点P的坐标满足什么条件时,三角形 OAP的面积是三角形OAB面积的2倍? (2) 由题意,得S三角形OAP=2S三角形OAB=2×10=20.因为OA =5,所以S三角形OAP=×5×|yP|=20,即|yP|=8,解得yP=±8. 所以当点P的横坐标为任意实数,纵坐标为8或-8时,三 角形OAP的面积是三角形OAB面积的2倍　 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3) 若O,B两点的位置不变,点M在x轴上,则当点M在何处时,三角形 OBM的面积是三角形OAB面积的2倍? (3) 由题意,得S三角形OBM=2S三角形OAB=2×10=20.因为点 M在x轴上,所以OM=|xM|.所以S三角形OBM=OM·yB=× |xM|×4=20,即|xM|=10,解得xM=±10.所以当点M在点 (10,0)或点(-10,0)处时,三角形OBM的面积是三角形 OAB面积的2倍 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第11章　平面直角坐标系 小专题(一)　计算平面直角坐标系中图形的面积 类型一　一边在坐标轴上的三角形面积 1. 如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别是(0,4), (0,-1),(4,1),则三角形ABC的面积为 (　　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 类型二　一边与坐标轴平行的三角形面积 2. 如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-1, 0),C(-4,3).求三角形ABC的面积. 由题意,得三角形ABC的面积是×3×5=7.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　三边都不与坐标轴平行的三角形面积 3. 如图,在网格中建立平面直角坐标系,三角形ABC的顶点坐标分别为A(0, 0),B(-3,1),C(3,4),则三角形ABC的面积是 (　　) A. 7.5 B. 8.5 C. 9.5 D. 10.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列三个点:A(-1,0),B(3,-1),C(4, 3),并顺次连接点A,B,C,组成三角形ABC.求三角形ABC的面积. 如图所示　S三角形ABC=×(1+4)×5-×1×4-× 1×4=8.5 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型四　规则四边形的面积 5. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点A的坐标为(-1,1),点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(1,-1),则平行四边形ABCD的面积为 (　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 　 　 6. 如图,在平面直角坐标系中,梯形ABDC四个顶点的坐标分别为A(4,0), B(-2,0),C(4,4),D(-2,6),则梯形ABDC的面积为　　　　. B 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形,AD∥x轴,AB∥y轴.若长方形ABCD的长为3,宽为2,且点A的坐标为(-1.5,2).求长方形的顶点B,C,D的坐标及长方形AEOM的面积. 因为AD∥x轴,AB∥y轴,点A的坐标为(-1.5,2),所以AM =1.5,AE=2.因为长方形ABCD的长为3,宽为2,所以AB= CD=3,AD=BC=2.所以BE=CF=1,MD=CN=0.5.所以点 B的坐标为(-1.5,-1),点C的坐标为(0.5,-1),点D的坐标为 (0.5,2).因为AM=1.5,AE=2,所以长方形AEOM的面积= 1.5×2=3 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型五　不规则四边形的面积 8. 如图所示为一块不规则的四边形地皮ABCO,各顶点的坐标分别为A(-2, 6),B(-5,4),C(-7,0),O(0,0)(图中1个单位表示10m),则这块地皮的面积是 (　　) A. 25m2 B. 250m2 C. 2500m2 D. 25000m2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. (教材P7练习第1题变式)如图,在平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-2, -3),B(5,-2),C(2,4),D(-2,2),连接AB,BC,CD,AD,并求所得到的四边形ABCD的面积. 如图所示　由题意,得S四边形ABCD=×(6+7)×7-× 3×6-×2×4= 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第11章　平面直角坐标系 11.1　平面内点的坐标 第1课时　平面直角坐标系 1. 在平面内,确定一个物体的位置一般需要　　　个数据.  2. 在平面内,画两条　　　　　并且原点　　　　的数轴.　　　　的数轴叫做x轴或横轴,取向　　　为正方向;　　　　的数轴叫做y轴或纵轴,取向　　　为正方向;　　 　　　为原点.这样就建立了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面.  3. 有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一对　　　　来表示了.  两 互相垂直 重合 水平 右 垂直 上 两轴交点O 实数 4. x轴和y轴把坐标平面分成四个部分,分别叫做第　　 　、　 　　、 　　　、　　　象限,各象限内的点的坐标符号分别为(　　,　　)、(　　,　　)、(　　,　　)、(　　,　　).　　　　　上的点,也就是 　　　　、　　　　上的点不属于任何一个象限.x轴上点的坐标特点是　　　坐标为0;y轴上点的坐标特点是　　　坐标为0.  5. 对于坐标平面内任意一点P,都有　　　　　　 有序实数对(x,y)和它对应;反之,对于任意一个有序实数对(x,y),在坐标平面内都有 　　　　　　　　和它对应. 一 二 三 四 + + - + - - + - 坐标轴 x轴 y轴 纵 横 唯一的一个 唯一的一点P 1. (2022·宜昌)如图所示为一个教室的平面示意图,我们把小刚的座位“第1列第3排”记为(1,3).若小丽的座位是(3,2),则以下四个座位中,与小丽相邻的同学的座位是 (　　) A. (1,3) B. (3,4) C. (4,2) D. (2,4) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. (2023·丽水)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于 (　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点A在x轴的负半轴上,且到原点的距离是3,则点A的坐标为　　　 . 4. (2023·巴中)已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限,则a=　　　　.  5. 在平面直角坐标系中,若点M(2m-3,m+3)在y轴上,则点M的坐标为 　　　　. B (-3,0) 1 (0,4.5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图所示为学校的平面示意图,其中旗杆的位置是(-2,3),实验室的位置是(1,4). (1) 画出相应的平面直角坐标系; (2) 写出食堂、图书馆的位置; (3) 已知办公楼的位置是(-2,1),教学楼的位置是(2,2),在图中标出办公楼和教学楼的位置. (1) 如图所示　 (2) 食堂的位置是(-5,5)　 图书馆的位置是(2,5)　 (3) 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P8习题11.1第1题变式)(2023·台州)如图所示为中国象棋棋盘的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系.已知“车”所在位置的坐标为(-2,2),则“炮”所在位置的坐标为 (　　) A. (3,1) B. (1,3) C. (4,1) D. (3,2) 8. (2022·河池)如果点P(m,1+2m)在第三象限内,那么m的取值范围是 (　　) A. -<m<0 B. m>- C. m<0 D. m<- A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (2023·大庆)已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,手盖住的点的坐标可能是 (　　) A. (a,b) B. (-a,b) C. (-a,-b) D. (a,-b) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 若点P的坐标为(2a,6-a),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标为 (　　) A. (12,-12)或(4,-4) B. (-12,12)或(4,4) C. (-12,12) D. (4,4) B 解析:因为点P(2a,6-a)到两坐标轴的距离相等,所以|2a|=|6-a|.所以2a=6-a或2a=-(6-a),解得a=2或a=-6.当a=2时,2a=2×2=4,6-a=6-2=4,此时,点P的坐标为(4,4);当a=-6时,2a=2×(-6)=-12,6-a=6-(-6)=6+6=12,此时,点P的坐标为(-12,12).综上所述,点P的坐标为(-12,12)或(4,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (教材P17A组复习题第3(2)题变式)如果点P(x-4,y+1)在第一象限,那么点Q(3-x,y+2)在第　　　　象限. 12. (2024·合肥四十二中期中)已知平面直角坐标系中有一点M(m-1,2m+ 3). (1) 当m为何值时,点M到x轴的距离为1? (2) 当m为何值时,点M到y轴的距离为2? 二 (1) 由题意,得|2m+3|=1,所以2m+3=1或2m+3=-1.所以m=-1或m=-2　 (2) 由题意,得|m-1|=2,所以m-1=2或m-1=-2.所以m=3或m=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 在平面直角坐标系中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x轴、y轴的距离的较大值等于点Q到x轴、y轴的距离的较大值,则称P,Q两点为“等距点”.例如:点P(-2,5)和点Q(-5,-1)就是“等距点”. (1) 有下列各点:① (3,-7);② (2,9);③ (7,4).其中,是点(-3,7)的“等距点”的有 　　　　(填序号).  ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 已知点B的坐标是(-4,2),点C的坐标是(m-1,m),若点B与点C是“等距点”,求点C的坐标. (2) 由题意,可分两种情况讨论:① |m-1|=|-4|,解得m=-3或m=5.因为当m=5时,|m-1|<|m|,所以m=5不合题意,舍去.当m=-3时,m-1=-4.所以点C的坐标为(-4,-3).② |m|=|-4|,解得m=-4或m=4.因为当m=-4时,|m-1|>|m|,所以m=-4不合题意,舍去.当m=4时,m-1=3.所以点C的坐标为(3,4).综上所述,点C的坐标为(-4,-3)或(3,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第11章　平面直角坐标系 11.2　图形在坐标系中的平移 1. 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a(a>0)个单位,可以得到对应点　　　　　或　　　　　;将点(x,y)向上或向下平移b(b>0)个单位,可以得到对应点　　　　　或　　　　　.  2. 在平面直角坐标系中,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数m,那么相应的新图形就是把原图形向　　　(或向　　　)平移m个单位;如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数n,那么相应的新图形就是把原图形向　 　　(或向　　 　)平移n个单位. (x+a,y) (x-a,y) (x,y+b) (x,y-b) 右 左 上 下 1. 在平面直角坐标系中,将线段AB平移得到线段A'B'.如果点A(1,-2)的对应点A'的坐标为(-2,3),那么线段AB平移的方式可以为 (　　) A. 向左平移3个单位,向上平移5个单位 B. 向左平移5个单位,向上平移3个单位 C. 向右平移3个单位,向下平移5个单位 D. 向右平移5个单位,向下平移3个单位 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. (2023·绍兴)在平面直角坐标系中,将点(m,n)先向右平移2个单位,再向上平移1个单位,最后所得点的坐标是 (　　) A. (m-2,n-1) B. (m-2,n+1) C. (m+2,n-1) D. (m+2,n+1) 3. 在平面直角坐标系中,已知点A(3,2),B(5,4),现将线段AB平移后得到线段A'B'.若点B'与点A重合,则点A'的坐标是　　　　.  4. (教材P12例题变式)(2023·滨州)如图,在平面直角坐 标系中,三角形ABO的三个顶点坐标分别为A(6,3),B(6, 0),O(0,0).若将三角形ABO向左平移3个单位得到三角 形CDE,则点A的对应点C的坐标是　　　　. D (1,0) (3,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (教材P14练习第2题变式)如图,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(-3, 4),B(-4,1),C(-1,2). (1) 描述将三角形ABC平移得到三角形A1B1C1的过程,并写出点A1,B1,C1的坐标. (1) 因为三角形ABC平移得到三角形A1B1C1,A(-3,4) 的对应点为A1(-3,-3),所以对应点的横坐标不变,纵 坐标减7.所以把三角形ABC向下平移7个单位可得 到三角形A1B1C1　点A1,B1,C1的坐标分别为(-3,-3), (-4,-6),(-1,-5)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 由三角形ABC平移得到三角形A2B2C2的过程又是怎样的?请写出点A2, B2,C2的坐标. (2) 因为三角形ABC平移得到三角形A2B2C2,A(-3,4) 的对应点为A2(3,1),所以对应点的横坐标加6,纵坐标 减3.所以把三角形ABC向右平移6个单位,向下平移 3个单位可得到三角形A2B2C2　点A2,B2,C2的坐标分 别为(3,1),(2,-2),(5,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. (2023·杭州)在平面直角坐标系中,把点A(m,2)先向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等,则m的值为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. (2023·合肥肥东县期末)在平面直角坐标系xOy中有一点A(4,-2),将坐标系平移,使原点移至点A处,则在新坐标系中点O所在位置的坐标是 (　　) A. (-4,2) B. (-4,-2) C. (4,2) D. (2,-4) 8. 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,5),将坐标系中的x轴向上平移2个单位,y轴向左平移3个单位,得到新的平面直角坐标系.在新坐标系中,点A的坐标为　　　　. C A (9,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2023·合肥瑶海区期中)三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1) 将三角形ABC先向下平移4个单位,再向右平移3个单位,画出平移后的三角形A1B1C1,并写出顶点A1,B1,C1的坐标; (2) 求三角形A1B1C1的面积. (1) 如图所示　A1(1,-1),B1(0,-2), C1(2,-3) (2) 三角形A1B1C1的面积为2×2 -×1×1-×2×1-×1×2=1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P(x,y),给出如下定义:将点P(x,y)平移到点P'(x+a,y-a)称为将点P进行“a型平移”,P'称为将点P进行“a型平移”的对应点;将图形M上的所有点进行“a型平移”称为将图形M进行“a型平移”.例如:将点P(x,y)平移到点P'(x+1,y-1)称为将点P进行“1型平移”,将点Q(x,y)平移到点Q'(x-1,y+1)称为将点Q进行“-1型平移”.已知点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 如图,画出线段AB进行“2型平移”后的对应线段A'B',连接AA',BB',并直接写出点A',B'的坐标; (1) 如图所示　点A'的坐标为(1,2),点B'的坐标 为(4,1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 求四边形ABB'A'的面积; (3) 将线段AB进行“a型平移”后与x轴有公共点,则a的取值范围是　　　 ; (4) 如果将四边形ABB'A'进行“a型平移”后与坐标轴有公共点,那么a的取值范围是　　　　　　　　. (2) 四边形ABB'A'的面积为5×3-2×2×1-2×× 2×2-2××3×1=4 3≤a≤4 -4≤a≤4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第11章　平面直角坐标系 小专题(二)　平面直角坐标系中的规律探究问题 类型一　点变换中点的坐标规律探究 1. 在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们把P'(1-y,x-1)叫做点P的“友好点”.已知点A1的“友好点”为A2,点A2的“友好点”为A3,点A3的“友好点”为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An.若点A1的坐标为(2,1),则点A2023的坐标为 (　　) A. (0,1) B. (0,-1) C. (2,-1) D. (2,1) 1 2 3 4 5 B 类型二　图形变换中点的坐标规律探究 2. 如图,在平面直角坐标系中,将三角形ABO沿x轴向右滚动到三角形AB1C1的位置,再到三角形A1B1C2的位置……依次进行下去.已知点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),AB=5,则点C100的坐标为　　　　. (600,0) 1 2 3 4 5 类型三　沿坐标轴运动的点的坐标规律探究 3. 如图,一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动,第1分钟它从原点运动到点(1,0)处,第2分钟它从点(1,0)处运动到点(1,1)处,而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动,且每分钟运动1个单位,那么第2024分钟这个粒子运动到的点的坐标是 (　　) A. (44,2) B. (44,1) C. (44,0) D. (45,0) C 1 2 3 4 5 4. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中箭头方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),….根据这个规律,第2023个点的坐标是 (　　) A. (64,6) B. (63,0)　 C. (63,6) D. (64,2) A 1 2 3 4 5 解析:把第1个点(1,0)作为第1列,(2,1)和(2,0)作为第2列……以此类推,则第1列有1个点,第2列有2个点,…,第n列有n个点.所以n列共有个点,并且在奇数列点的顺序是由上到下,在偶数列点的顺序是由下到上.因为1+2+3+…+63=2016(个),所以第2023个点一定在第64列,由下到上是第7个点.所以第2023个点的坐标是(64,6). 1 2 3 4 5 类型四　绕原点呈“回字形”运动的点的坐标规律探究 5. 小聪第1次向东走1米后的坐标记为(1,0),第2次向北走2米后的坐标记为(1,2),第3次向西走3米后的坐标记为(-2,2),第4次向南走4米后的坐标记为(-2,-2),第5次向东走5米后的坐标记为(3,-2),第6次向北走6米后的坐标记为(3,4),第7次向西走7米后的坐标记为(-4,4),第8次向南走8米后的坐标记为(-4,-4),第9次向东走9米后的坐标记为(5,-4)……按照这样的规律,第2023次走后的坐标记为什么? 1 2 3 4 5 因为第4次走后的坐标为(-2,-2),第8次走后的坐标为(-4,-4),2020÷4= 505(组),所以第2020次走后的坐标为(-2×505,-2×505).所以第2021次走后的坐标为(-2×505+2021,-2×505),第2022次走后的坐标为(-2×505+ 2021,-2×505+2022),即(1011,1012),第2023次走后的坐标为(1011-2023, 1012),即(-1012,1012) 1 2 3 4 5 $$