第15章 轴对称图形与等腰三角形 素能测评 课件 2024—2025学年沪科版数学八年级上册

第15章素能测评 一、 选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分) 1. 服饰文化是我国传统文化的重要组成部分.下列传统服饰图纹中,属于轴对称图形的是 (　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. 如图,点C在直线l1上,点A,D在直线l2上,∠CAD的平分线AB交直线l1 于点B,且CA=CB.若∠1=20°,则∠2的度数为 (　　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° 3. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且∠ADB=60°.若AD=6,CD=4,则BC的长为 (　　) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. 如图,△ABC的周长是38cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥ BC于点D.若OD=3cm,则△ABC的面积是 (　　) A. 48cm2 B. 57cm2 C. 60cm2 D. 66cm2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. 如图,∠MAN=60°,点B,D在边AN上,且点D在点B的右侧,AB=2,C是边AM上一动点,在点C运动的过程中,始终保持CB=CD.若AC=m,则AD的长为 (　　) A. m+1 B. m+2 C. m-1 D. m-2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB且交BC于点D,E为AB上一点,连接DE.下列判断中,不一定正确的是 (　　) A. ∠CAD=30° B. AD=BD C. BD=2CD D. CD=ED 7. 如图,直线l,m相交于点O,P为这两条直线外的一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m对称的点分别是P1,P2,则点P1,P2之间的距离可能是 (　　) A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. 如图,∠MON=120°,OA平分∠MON,且OA=5.若点B,C分别在OM,ON上,且△ABC为等边三角形,则满足上述条件的△ABC有 (　　) A. 2个以上 B. 2个 C. 1个 D. 0个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. 如图,在钝角三角形ABC中,∠ABC为钝角,以点B为圆心,AB长为半径画弧;再以点C为圆心,AC长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD,CD,AD,CB的延长线交AD于点E.下列结论错误的是 (　　) A. CE垂直平分AD B. CE平分∠ACD C. △ABD是等腰三角形 D. △ACD是等边三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 如图,点A,B,C在同一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接EA和CD,EA分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM.有下列结论:① △ABE≌△DBC;② ∠DMA=60°;③ △BPQ为等边三角形.其中,正确的有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、 填空题(本大题共4小题,每小题3分,满分12分) 11. 在平面直角坐标系中,若点M(a,b)与点N(3,-1)关于x轴对称,则a+b的值是　　　　.  12. 如图,在△ABC中,AE=CE=1,DE⊥AC,△BCD的周长为5,则△ABC的周长是　　　　.  4 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为6,面积是24,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F.若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为　　　　.  11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,P是BA延长线上一点,O是线段AD上一点,OP=OC. (1) ∠APO+∠DCO=　　　　　°;  30 解析:连接OB.∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ BD=CD, ∠BAD=∠BAC=60°.∴ ∠ABC=90°-∠BAD =30°.∵ AD垂直平分BC,∴ OB=OC.∵ OP=OC, ∴ OB=OC=OP.∴ ∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO. ∴ ∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2) △OPC的形状是　　　　　　. 等边三角形 解析:∵ ∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,∴ ∠APC +∠DCP=180°-∠ABC=150°.由(1),得 ∠APO+ ∠DCO=30°,∴ ∠OPC+∠OCP=∠APC+∠DCP-(∠APO+∠DCO)=120°.∴ ∠POC=180°-(∠OPC +∠OCP)=60°.∵ OP=OC,∴ △OPC是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、 解答题(本大题共6小题,满分58分) 15. (8分)如图①②,△ABC与△DEF关于直线l对称,请仅用无刻度的直尺在下面两幅图中分别作出直线l. 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. (8分)如图,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作OD∥AB,OE∥AC,分别交BC于点D,E.求证:BD=DE=CE. ∵ 在等边三角形ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB, ∴ ∠ABO=∠OBC=∠ABC=30°,∠OCB=∠ACO= ∠ACB=30°.∵ OD∥AB,OE∥AC,∴ ∠ABO=∠BOD =30°,∠COE=∠ACO=30°.∴ ∠OBD=∠BOD=30°, ∠OCE=∠COE=30°.∴ BD=OD,CE=OE,∠ODE=∠OED=30°+30°= 60°.∴ ∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=60°.∴ ∠ODE=∠OED= ∠DOE.∴ △DOE是等边三角形.∴ OD=OE=DE.∴ BD=DE=CE 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. (10分)如图,在△ABC中,D是AB的中点,OD⊥AB于点D,点O在AC的垂直平分线上. (1) 求证:△BOC是等腰三角形; (1) ∵ D是AB的中点,OD⊥AB,∴ OD垂直平分AB. ∴ OA=OB.∵ 点O在AC的垂直平分线上,∴ OA= OC.∴ OB=OC,即△BOC是等腰三角形　 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2) 若∠BAC=80°,求∠BCO的度数. (2) ∵ OA=OB,OA=OC,∴ ∠ABO=∠BAO,∠OAC= ∠OCA.∴ ∠ABO+∠ACO=∠BAO+∠OAC=∠BAC =80°.∴ ∠OBC+∠BCO=180°-80°-80°=20°. ∵ OB=OC,∴ ∠OBC=∠BCO.∴ ∠BCO=10° 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. (10分)如图,点D在等边三角形ABC的外部,连接AD,CD,AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E. (1) 判断△CEF的形状,并说明理由. (1) △CEF是等边三角形　理由:∵ △ABC是等边三 角形,∴ ∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.∵ AB∥DE, ∴ ∠CFE=∠CAB=60°,∠CEF=∠ABC=60°.∴ ∠CEF=∠CFE=∠ECF.∴ △CEF是等边三角形.　 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2) 连接BD,与AC交于点G.若BC=10,CF=3.5,求DE的长. (2) ∵ △ABC是等边三角形,△CEF是等边三角形,∴ AB =BC,CF=CE.∵ AD=CD,∴ BD是线段AC的垂直平分线. ∴ AG=CG.又∵ AB=BC,∴ BD平分∠ABC.∴ ∠ABD= ∠CBD.∵ AB∥DE,∴ ∠ABD=∠BDE.∴ ∠BDE= ∠CBD.∴ BE=DE.∵ BC=BE+CE=DE+CF,∴ DE=BC -CF=10-3.5=6.5 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. (10分)如图,在△ABC中,DE是边BC的垂直平分线,分别交边AC,BC于点D,E,BF⊥AC,且F为线段AD的中点,延长BF与BC的垂直平分线交于点G,连接CG. (1) 若D是AC的中点,求证:AC=2AB; (1) 连接DB.∵ DE是边BC的垂直平分线,∴ DB=DC. ∵ D是AC的中点,∴ DA=DC=AC.∴ DB=DA=DC. ∵ BF⊥AC,F为AD的中点,∴ BF垂直平分AD.∴ AB =DB.∴ AB=DA=DC.∴ AC=2AB　 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2) 若∠ACB=30°,求证:△BCG为等边三角形. (2) ∵ DB=DC,∠ACB=30°,∴ ∠DBC=∠DCB=30°. ∴ ∠ADB=∠DBC+∠DCB=60°.∵ BF⊥AD,F为线段 AD的中点,∴ BF垂直平分AD.∴ AB=DB.∴ △ABD为 等边三角形.∴ ∠ABD=60°.∵ BF⊥AD,∴ ∠DBF= ∠ABD=30°.∴ ∠CBF=∠DBF+∠DBC=60°.∵ DE 是边BC的垂直平分线,∴ BG=CG.∴ △BCG为等边三角形 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. (12分)在△ABC中,过点A,B分别作直线AM,BN,且AM∥BN.过点C作直线DE,交直线AM于点D,交直线BN于点E.设AD=a,BE=b. (1) 如图①,若AC,BC分别平分∠DAB和∠EBA,求∠ACB的度数; (1) ∵ AC平分∠DAB,∴ ∠CAB=∠DAC=∠DAB.同理, 可得∠CBA=∠EBC=∠EBA.∵ AM∥BN,∴ ∠DAB+ ∠EBA=180°.∴ ∠CAB+∠CBA=(∠DAB+∠EBA)= 90°.∴ ∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-90°=90° 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2) 在(1)的条件下,若a=1,b=,求AB的长; (2) 如图①,在AB上取一点F,使AF=AD=1,连接CF.在 △AFC和△ADC中,∵ ∴ △AFC≌ △ADC(SAS).∴ ∠AFC=∠ADC.∵ AM∥BN,∴ ∠ADC +∠BEC=180°.∵ ∠AFC+∠BFC=180°,∴ ∠BFC= ∠BEC.在△BFC和△BEC中,∵ ∴ △BFC≌△BEC(AAS).∴ BF=BE=.∴ AB=AF+BF=1+= 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (3) 如图②,若AC=AB,且∠DEB=∠BAC=60°,求CD的长(用含a,b的式子表示). 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (3) 如图②,在EB上截取EH=EC,连接CH.∵ AC=AB,∠BAC=60°,∴ △ABC为等边三角形.∴ AC=BC,∠ACB=60°.∵ EC=EH,∠DEB=60°, ∴ △ECH为等边三角形.∴ CH=EH,∠ECH=∠EHC=60°.∴ ∠CHB= 180°-∠EHC=120°.∵ AM∥BN,∴ ∠ADC=180°-∠DEB=120°.∴ ∠ADC=∠CHB,∠DAC+∠DCA=60°.∵ ∠DCA+∠ACB+∠HCB+ ∠ECH=180°,∴ ∠DCA+∠HCB=180°-∠ACB-∠ECH=60°.∴ ∠DAC=∠HCB.在△DAC和△HCB中,∵ ∴ △DAC≌ △HCB(AAS).∴ AD=CH=EH,CD=BH.∴ AD+CD=EH+ BH=BE.∴ CD=BE-AD=b-a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$