第一章 特殊平行四边形 素能测评 课件 2024—2025学年北师大版九年级数学上册

第一章素能测评 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 有下列命题:① 对角线相等且互相平分的四边形是矩形;② 对角线互相垂直的四边形是菱形;③ 四边相等的四边形是正方形;④ 四边相等的四边形是菱形.其中,是真命题的为 (　　) ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2. 将两个完全相同的菱形按如图所示的方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,则β等于 (　　) A. 45°+α B. 45°+α C. 90°-α D. 90°-α D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. 如图,在矩形ABCD中,BD=2,边AB在x轴上,且点A的横坐标为-1.若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧,交x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为 (　　) A. (2+,0) B. (2+1,0) C. (2-1,0) D. (2,0) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. 如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点,且AB=AE,连接BE,则∠EBC的度数为 (　　) A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 20° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 如图,在▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角,将△ABC沿对角线AC平移,得到△A'B'C',连接AB'和C'D,若要使四边形AB'C'D是菱形,需添加一个条件.现有三种添加方案,甲方案:AB'=DC';乙方案:连接B'D,B'D⊥AC';丙方案: ∠A'C'B'=∠A'C'D.其中,正确的方案是 (　　) A. 甲、乙、丙 B. 只有乙、丙 C. 只有甲、乙 D. 只有甲 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 如图,在矩形ABCD中,O为对角线BD的中点,∠ABD=60°,动点E在线段OB上,动点F在线段OD上,点E,F同时从点O出发,分别向终点B,D运动,且始终保持OE=OF.点E关于AD,AB的对称点为E1,E2,点F关于BC,CD的对称点为F1,F2.在整个过程中,四边形E1E2F1F2形状的变化依次是 (　　) A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. 如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE, AD.设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道 (　　) A. △ABE的面积 B. △ACD的面积 C. △ABC的面积 D. 矩形BCDE的面积 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD的延长线上的一点,且CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点F,G,连接OG.给出下列结论:① OG=AB;② 与△EGD(不包括△EGD)全等的三角形共有5个;③ 以A,B,D,E为顶点的四边形是菱形.其中,正确的有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. 如图,菱形ABCD的边长为6,M是对角线AC上一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是 (　　) A. 3 B. 3+3 C. 6+ D. 6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在边AD上的点H处,点D落在点G处,连接CH,CE.有下列结论:① 四边形CFHE是菱形;② CE平分∠DCH;③ 线段BF长的取值范围是3≤BF≤4;④ 当点H与点A重合时,EF=2.其中,一定正确的是 (　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,连接AC,BD.若AB=6,AC=4,则BD的长为　　　　.  　 　 　　 　　 　　 12. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为　　　　.  8 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在边AD上,且ED=3,M,N分别是边AB,BC上的动点,且BM=BN,P是线段CE上的动点,连接PM,PN.若PM+ PN=4,则线段PC的长为　　　　.  14. 如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,连接AE,BE,F为BE的中点,连接CF.若 CF=,=,则AE的长为　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. 如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC, BD交于点E,连接OE交AD于点F.有下列结论:① OE⊥BD;② ∠ADB=30°;③ DF=AF;④ 若G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.其中,正确的是　　　　(填序号). ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 三、 解答题(共55分) 16. (8分)如图,在正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P. (1) 求证:△ABN≌△DAM; (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=AD=BC,∠DAM= ∠B=90°.∵ BM=CN,∴ BC-CN=AB-BM,即BN=AM.在 △ABN和△DAM中,∴ △ABN≌△DAM　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 求∠APM的度数. (2) 由(1),知△ABN≌△DAM,∴ ∠BAN=∠ADM. ∴ ∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°.∴ ∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. (8分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,过点A作AE∥BC,且AE=BD,连接CE,AD. (1) 求证:四边形ADCE是菱形; (1) ∵ ∠BAC=90°,且D是BC的中点,∴ AD=BC, BD=DC=BC.∵ AE=BD,∴ AE=DC.∵ AE∥DC, ∴ 四边形ADCE是平行四边形.∵ AD=DC=BC, ∴ 四边形ADCE是菱形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 若AC=6,AB=8,求菱形ADCE的面积. (2) ∵ 四边形ADCE是菱形,∴ 易得S△ADC=S△AEC. ∵ 在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,∴ S△ADC=S△ABD.∴ 菱形ADCE的面积=△ABC的面 积=AC·AB=×6×8=24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. (9分)如图,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,且FC= AE,连接AF,BF. (1) 求证:四边形DEBF是矩形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ DC∥AB, DC=AB.∵ FC=AE,∴ DC-FC=AB-AE,即DF=BE. ∵ DF∥BE,∴ 四边形DEBF是平行四边形.又∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB=90°.∴ 四边形DEBF是矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 若AF平分∠DAB,AE=6,DF=10,求BF的长. (2) ∵ AF平分∠DAB,∴ ∠DAF=∠BAF.∵ DC∥ AB,∴ ∠DFA=∠BAF.∴ ∠DFA=∠DAF.∴ AD=DF =10.在Rt△AED中,由勾股定理,得DE== =8.由(1),得四边形DEBF是矩形,∴ BF=DE =8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. (10分)如图,在矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G, H分别在矩形ABCD的边AB,DC,AD上,AH=2,连接CF. (1) 当DG=2时,求证:四边形EFGH是正方形; (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠A=∠D=90°. ∴ ∠DGH+∠DHG=90°.∵ 四边形EFGH是 菱形,∴ EH=HG.∵ AH=2,DG=2,∴ AH=DG. ∴ Rt△AEH≌Rt△DHG.∴ ∠AHE=∠DGH.∴ ∠AHE+∠DHG=90°. ∴ 易得∠EHG=90°.∴ 四边形EFGH是正方形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 若△FCG的面积为2,求DG的长. (2) 如图,过点F作FQ⊥DC,交DC的延长线于点Q,连接 EG,则∠FQG=90°.∴ ∠A=∠FQG=90°.由矩形和菱 形的性质,知AB∥DC,EH∥GF,EH=GF.∴ ∠AEG= ∠QGE,∠HEG=∠FGE.∴ ∠AEH=∠QGF.又∵ EH= GF,∠A=∠FQG,∴ △AEH≌△QGF.∴ AH=QF=2.∵ S△FCG=CG·QF=CG×2=2,∴ CG=2.∵ DC=8,∴ DG= DC-CG=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. (10分)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连接AE,AF,过点F作AE的平行线,交对角线AC的延长线于点G,连接EG. (1) 求证:四边形AEGF是菱形; (1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB=AD,∠B=∠D, ∠BAC=∠DAC.在△ABE和△ADF中, ∴ △ABE≌△ADF.∴ AE=AF,∠BAE=∠DAF.∴ ∠BAC-∠BAE= ∠DAC-∠DAF,即∠EAG=∠FAG.∵ FG∥AE,∴ ∠EAG=∠FGA.∴ ∠FAG=∠FGA.∴ AF=FG=AE.∵ FG∥AE,∴ 四边形AEGF是平行四边形.又∵ AF=AE,∴ 四边形AEGF是菱形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 若∠B=∠BAE=30°,求证:四边形AEGF是正方形. (2) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ BC∥AD.∴ ∠B+ ∠BAD=180°.∵ ∠B=∠BAE=30°,△ABE≌ △ADF,∴ ∠BAE=∠DAF=30°,∠BAD=180°- ∠B=150°.∴ ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF= 150°-30°-30°=90°.∵ 四边形AEGF是菱形, ∴ 四边形AEGF是正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. (10分)综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. (1) 操作一:如图①,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图①中一个度数为30°的角:　　 　　.  第21题 答案不唯一,如∠EMB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ. ① 如图②,当点M在EF上时,∠MBQ=　　　　,∠CBQ=　　　　;  ② 改变点P在AD上的位置(不与点A,D重合),如图③,判断∠MBQ与∠CBQ之间的数量关系,并说明理由. 第21题 15° 15° ② ∠MBQ=∠CBQ　理由:∵ 四边形ABCD是 正方形,∴ AB=BC,∠A=∠C=90°.由折叠的性 质,可得AB=BM,∠A=∠BMP=90°.∴ BM=BC, ∠BMQ=∠C=90°.又∵ BQ=BQ,∴ Rt△BMQ ≌Rt△BCQ.∴ ∠MBQ=∠CBQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (3) 在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时,直接写出AP的长. (3) 由折叠的性质,可得DF=CF=CD=4cm,AP=PM.∵ Rt△BMQ≌ Rt△BCQ,∴ MQ=CQ.当点Q在线段CF上时,∵ 易知AD=CD=8cm,FQ= 1cm,∴ MQ=CQ=3cm,DQ=5cm.∵ PQ2=PD2+DQ2,PQ=PM+MQ=AP+MQ, PD=AD-AP,∴ 易得AP=cm.当点Q在线段DF上时,∵ FQ=1cm,∴ MQ= CQ=5cm,DQ=3cm.∵ PQ2=PD2+DQ2,∴ 易得AP=cm.综上所述,AP的长为cm或cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$