第四章图形的相似素能测评课件2024-2025学年 北师大版 数学九年级上册

第四章素能测评 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列四组线段中,成比例的是 ( ) A. a=2,b=3,c=4,d=5 B. a=1,b=2,c=2,d=4 C. a=4,b=6,c=5,d=10 D. a=,b=,c=3,d= 2. 校园里一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”的美.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长为10cm,那么AP的长为 ( ) A. (-1)cm B. (2-2)cm C. (5-5)cm D. (10-10)cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 3. 如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N.若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(2,4),点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的正半轴上,P是BC的中点.若以坐标原点O为位似中心,将矩形OABC放大为原图形的1.5倍,记点P的对应点为P1,则点P1的坐标为 ( ) A. (3,3) B. (3,2)或(-3,-2) C. (3,3)或(-3,-3) D. (2,3)或(-2,-3) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. 如图,在 ABC中,∠ACB=90 .分别以点A和点C为圆心、大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,直线MN与AB相交于点D,连接CD.若AB=3,则CD的长是 ( ) A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 如图,在 ABCD中,F是AD上一点,连接CF,BD,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分 ABC的周长,则BD的长是 ( ) A. B. C. D. C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. 如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60 ,动点E在边AB上(不与点A,B重合),点F在对角线AC上,CE与BF相交于点G,连接AG,DF.若AF=BE,则下列结论错误的是 ( ) A. DF=CE B. ∠BGC=120 C. AF2=EG EC D. 以上都不对 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. 如图,在矩形ABCD中,E是CD的延长线上的一点,连接BE交AD于点F,连接CF,AB=1,BC=2.若 ABF与 CEF的面积相等,则DE的长为 ( ) A. 1 B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. 如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在DC,BC上,且BF=CE,AE平分∠CAD,连接DF,分别交AE,AC于点G,M,P是线段AG上的一个动点,过点P作PN⊥AC于点N,连接PM.有下列结论:① AE垂直平分DM;② PM+PN的最小值为3;③ CF2=GE AE;④ S ADM=6.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 如图, ABC和 A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA'上.若OA∶AA'=1∶2,则 ABC与 A'B'C'的周长之比为 . 12. 如图,用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB,已知AD=BC,==,量得CD的长为6cm,则AB的长为 cm. 1∶3 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13. 如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.折叠该矩形纸片,使AB落在边AD上,点B的对应点为F,折痕为AE,展平后连接EF;继续折叠该纸片,使FD落在边FE上,点D的对应点为H,折痕为FG,展平后连接HG.若矩形HECG∽ 矩形ABCD,AD=1,则CD的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14. 如图,边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一条直线上,则图中涂色部分的面积为 . 15. 如图,在 ABCD中,M为BC的中点,N为AM上一点,且AN=3MN,BN的延长线交AC于点E,交CD于点F.若 ABE的周长为6,则 CFE的周长为 . 15 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 三、 解答题(共55分) 16. (8分)如图,在 ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D. (1) 在边BC上求作点E,使 ACE∽ BCD(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (1) 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 在(1)的条件下,连接DE,若AB=6,DE=2,求CD的长. (2) 如图,∵ AB=AC=6,且易得AE⊥BC,∴ BE=CE. ∵ BD⊥AC,∴ BE=CE=DE=2.∴ BC=4.∵ ACE ∽ BCD,∴ =,即=.∴ CD= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. (8分)如图,四边形ABCD,CDEF,EFGH是三个全等的正方形. (1) ACF与 GCA相似吗?请说明理由. (2) 求∠1+∠2的度数. (1) 相似 理由:设正方形的边长为a,则易得AC= =a.∵ ==,==,∴ = .∵ ∠ACF=∠GCA,∴ ACF∽ GCA. (2) ∵ ACF∽ GCA,∴ ∠1=∠CAF.∵ ∠CAF+∠2=∠ACB=45 ,∴ ∠1+∠2=45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. (9分)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,点F在ED上,且∠CBF=∠D. (1) 求证:FB2=FE FA; (2) 若BF=3,EF=2,求 ABE与 BEF的面积之比. (1) ∵ AB∥CD,∴ ∠A=∠D.又∵ ∠CBF=∠D, ∴ ∠CBF=∠A.∵ ∠BFE=∠AFB,∴ FBE∽ FAB.∴ =.∴ FB2=FE FA (2) ∵ FB2=FE FA,BF=3,EF=2,∴ 32=2 (2+AE).∴ AE=.∴ =.∴ ABE与 BEF的面积之比为5∶4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. (10分)如图,小明和小刚想利用所学知识测量一棵树的高度(树的四周被围起来了,底部不易到达).小明在点F处竖立了一根标杆EF,小刚走到点C处时,看到标杆顶端E和树顶B在同一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC=1.6米;然后,小刚在点C处蹲下,小明平移标杆到点H处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树顶B在同一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=GH=2.4米,CF=2米,FH=1.6米,点C,F, H,A在同一条直线上,点M在DC上,DC⊥AC,EF⊥AC, GH⊥AC,AB⊥AC.根据以上测量过程及测量数据,请 求出这棵树AB的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 如图,过点D作DP⊥AB于点P,交EF于点N,过点M作MQ⊥AB于点Q,交GH于点K.设AB=x米,AC=y米.由题意,易得DP=MQ=AC=y米,DN=CF=2米,MK=CH=1.6+2=3.6(米),AP=DC=NF=1.6米,AQ=HK=MC=0.8米.∵ EF⊥AC,AB⊥AC,∴ EF∥AB,即EN∥BP.∴ 易得 DEN∽ DBP.∴ =.∴ =①.同理,可得GK∥BQ.∴ 易得 GMK∽ BMQ.∴ =.∴ =②.∴ 由①②,解得x=8.8. ∴ 这棵树AB的高度是8.8米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. (10分)如图①,在平面直角坐标系中, ABC三个顶点的坐标分别为A(2, 7),B(6,8),C(8,2). (1) 以点O为位似中心,在第三象限内作出 A1B1C1,使 A1B1C1与 ABC的相似比为1∶2; 第20题 (1) 如图, A1B1C1即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 直接写出点A1,B1,C1的坐标; (3) ABC内部一点M的坐标为(x,y),直接写出点M的对应点M1的坐标; (2) A1(-1,-3.5),B1(-3,-4),C1(-4,-1) (3) 点M1的坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (4) 在如图③所示的四个三角形中,与图②中的三角形相似的是 (填字母),并说明理由. B (4) 理由:设每个小正方形的边长为1.根据勾股定理, 得题图②中三角形的三边长分别为=, =2,=.∴ 三边长之 比为∶2=1∶2∶.易得A中三 角形的三边长之比为2∶∶3= ∶3,B中三角形的三边长之比为2∶4∶2= 1∶2∶,C中三角形的三边长之比为2∶3∶,D中三角形的三边长之比为∶4.根据三边长对应成比例的两个三角形相似,可得与题图②中的三角形相似的是B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. (10分)综合与实践课上,老师让同学们以“特殊四边形的折叠”为主题开展数学活动. (1) 操作一:将正方形纸片ABCD沿AE折叠得到图①;操作二:将点A折叠到点E,得到图②,展开得到两条折痕AE和FG(如图③).根据以上操作:AE与FG的数量关系是 ,位置关系是 . 第21题 AE=FG AE⊥FG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2) 小华将正方形纸片换成矩形纸片继续探究,过程如下:将矩形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,得到图④.若AB=kAD,则图④中折痕AE和FG的数量关系是 ,并证明. 第21题 AE=kFG (2) 如图,过点F作AB的垂线,垂足为H.∴ ∠AHF=∠FHG =90 .由题意,可知FG⊥AE.∵ 四边形ABCD为矩形,∴ ∠DAB=∠D=∠C=∠B=90 .∵ ∠AHF=90 ,∴ 四边形 AHFD为矩形.∴ FH=AD.∵ AB=kAD,∴ AB=kFH.∵ FG ⊥AE,∴ ∠HFG+∠FGA=∠FGA+∠BAE=90 .∴ ∠HFG =∠BAE.在 BAE和 HFG中,∵ ∠BAE=∠HFG,∠ABE =∠FHG,∴ BAE∽ HFG.∴ ==k,即AE=kFG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (3) 在(2)的探究中,若k=2,且E为BC的中点,折痕AE和FG相交于点P,M是边AD上一点,AM=,连接MP,过点P作MP的垂线交AB于点N(如图⑤),求NG的长. (3) ∵ AB=2AD,E为BC的中点,∴ 易得AB=4BE.∵ FG⊥ AE,∴ ∠APG=∠B=90 .又∵ ∠PAG=∠BAE,∴ PGA ∽ BEA.∴ =,即==4.∴ AP=4PG.∵ PM⊥PN, FG⊥AE,∴ ∠MPA+∠APN=∠APN+∠NPG=90 .∴ ∠MPA=∠NPG. ∵ ∠MAP+∠PAG=∠PAG+∠NGP=90 ,∴ ∠MAP=∠NGP.∴ PMA ∽ PNG.∴ ==4.∴ MA=4NG.∴ NG= 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$