湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高一下学期期末大联考数学试题

机密★启用前 2024年上学期高一期末考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.设x1=2十i,22=3十4i,则 21 1 3 C./5 D.55 2.已知正方形ABCD的边长为2，用斜二测画法画出它的直观图，则它的直观图的面积为 A./2 B.4 C.2 D.16√2 3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”， 则下列结论正确的是 A.A与B相等 B.A与B互斥 C.A与B的样本点个数不相等 D.A与B相互独立 4.已知0为第三象限角，向量a=(sin0,1),b=(cos0,2),且a与b+2a共线，则sin0的值为 号 25 5 D、 5 5.设m、n为空间中两条不同直线，a、3为空间中两个不同平面，下列命题正确的是 A.若a⊥3，mCa,nC3,则m⊥n B.若m不垂直于a,nCa,则m必不垂直于n C.若m∥aa∥B,则m∥B D.若m、n是异面直线，mCa,m∥3，nC3,n∥a,则a∥3 【高一数学试题第1页（共4页）】 6.端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽 子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等某学校组织学生进行包棕子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽 和四角棕已知小明只会这两种包法，每次包三角棕的概率为子，每次包四角棕的概率为包一个 三角棕记1分，包一个四角棕记2分，每次的包法互不影响，则小明恰好获得3分的概率为 A 41 B.6 c器 6 06 7.设△ABC的外心为O,且2AO=AB+AC,AC=AO1,则向量CA在向量BC方向上的投影向 量为 A.BC C. 说角△ABC中，角A,B,C的对边分别为u,b,c,若a=c一2 acosB,则s-sC的取值 围为 A.[2√2，+∞) B.(2√2，+∞) C.[22,3] D.(2√2,3) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分， 9.已知：=3一2i是关于x的方程x2十p.x十q=0(p,q∈R)的一个根，下列说法正确的是 A.x=3一2i的实部为3，虚部为一2i B.p=-6 C.9=13 D.若复数之1满足x1十x|=1,则z1的最大值为1十√/13 10.已知函数f(x)=sin2x-3cos2x+3,则 5 Afx)的单调递增区间是[一2十，2x十k小，∈Z B.y=f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移3个单位得到 3 Cy=:)的图象关于直线x老对称 D.当x∈【一2]时，x)的取值范围是[1,5] 【高一数学试题第2页（共4页）】 11.在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=l,底面圆O的半径为r,圆锥SO的侧 面积为12π，则下列说法正确的是 A.当r=3时，过顶点S和两条母线的截面三角形的最大面积为3√7 B.当1=6时，从点A绕圆锥侧面一周到点C的最小长度为2√I3 C.当l=6时，圆锥SO的内切球的表面积为8π D当1=6时，棱长为的正四面体可以在圆能S0内任意轮动 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.样本数据17,13,22,16,11,20,14,24的80%分位数为 13.如图，“六芒星”是由两个边长为3cm的正三角形组成，中心重合于点O,且 三组对边分别平行，现将三角形DEF往垂直于平面ABC的方向移动 2cm,则此时空间几何体ABCDEF的外接球的表面积为 cm, 14.设函数f)=-anx+6).者了≥0，且ab>0.则站+台的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售 部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20,30)，[30,40)， [40,50),[50,60),[60,70]分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用 个颜来组E 该组区间的中点值作代表)： 0.030 0.025 0.020 (2)销售部从年龄在[30,40)，[60,70)内的样本中按比例分配的分0.015 0.010 层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话 )Y203040506070年龄 回访，求这2人取自不同年龄区间的概率. 16.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AD⊥DC,AD=AB=2,DC=2AB,M为AD的 中点，N为DC上靠近D的四等分点，直线MC与BN交于点P. (1)求∠CPN的余弦值： (2)若CP=ACM,求实数入的值. 【高一数学试题第3页（共4页）】 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,2b+c),n=(cosC,cosA), 且m⊥n,D为线段BC上一点. (1)求角A的大小： (2)若AD为角A的角平分线，a=7,△ABC的周长为15，求AD的长. 18.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD= 2,E为线段PD上的动点. (1)若E为PD的中点，求三棱锥D一AEC的体积： (2)若ED=2PE,问AB上是否存在点M,使得PM∥平面AEC？若存在， 请指明点M的位置；若不存在，请说明理由： (3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值. 19.17分)已知函数f(x)=alnr-+a x-1a>0. (1)写出f(x)的单调区间，并用单调性的定义证明： (2)若f(e)=0,解关于x的不等式f(x)>0: (3)证明：f(x)恰有两个零点m,n(m<n),且m十n>2. 【高一数学试题第4页（共4页）】【高一数学试题参考答案　第 １　 页(共６页)】 ２０２４年上学期高一期末考试􀅰数学 参考答案、提示及评分细则 １．【答案】B 【解析】由 z１ ＝ ５,z２ ＝５,可得 z１ z２ ＝ z１ z２ ＝ ５ ５． ２．【答案】A 【解析】可知原图面积为４,由S直 ＝ ２ ４S原 ,可得S直 ＝ ２． ３．【答案】D 【解析】选项C:A 事件与B 事件包含的样本点数均为２;可知A 事件发生与B 事件发生互不影响,所以事件A 与事件B 之间相互独立,且不互斥,故选D． ４．【答案】C 【解析】可知b＋２a＝(cosθ＋２sinθ,４), 由a 与b＋２a 共线得cosθ＋２sinθ＝４sinθ,即tanθ＝ １ ２ , 因为θ为第三象限角,所以sinθ＝－ ５ ５． ５．【答案】D 【解析】对于 A,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m,n 可能平行、相交或异面,故 A错误; 对于B,若m 不垂直于α,且n⊂α,则m 有可能垂直于n,故B错误; 对于C,若m∥α且α∥β,则m∥β或m⊂β,故C错误; 对于D,若m、n 是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则在直线m 上任取一点P,过直线n 与点P 确定平面γ, γ∩α＝c,又n∥α,则n∥c,n⊂β,c⊄β,所以c∥β,又m∥β,m⊂α,c⊂α,m∩c＝P,所以α∥β,故D正确． ６．【答案】A 【解析】恰好是３分的方法有三种:第一种:每次包一个三角粽,包三次,则概率为 ３ ４× ３ ４× ３ ４＝ ２７ ６４ ;第二种:先包 一个三角粽再包一个四角粽,则概率为３ ４× １ ４＝ ３ １６ ;第三种:先包一个四角粽再包一个三角粽,则概率为１ ４× ３ ４ ＝ ３ １６ ,所以恰好获得３分的概率为 ２７ ６４＋ ３ １６＋ ３ １６＝ ５１ ６４ ,故答案为:A． ７．【答案】C 【解析】由２AO→＝AB→＋AC→可知O 为BC 中点,且O 为△ABC 的外心, 所以 AC→ ＝ AO→ ＝ OC→ ,△AOC 为等边三角形, 【高一数学试题参考答案　第 ２　 页(共６页)】 所以向量CA→在向量BC→方向上的投影向量为 CA→ 􀅰cos＜CA→􀅰BC→＞􀅰 BC→ BC→ ＝－ １ ４BC →． ８．【答案】D 【解析】由a＝c－２acosB 及正弦定理得sinA＝sinC－２sinAcosB, 所以sinA＝sin(A＋B)－２sinAcosB,得sinA＝sin(B－A) 所以 A＝B－A 或A＋(B－A)＝π(舍去),所以B＝２A, 因为 △ABC 是锐角三角形,故 ０＜A＜ π ２ ０＜２A＜ π ２ ０＜π－３A＜ π ２ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ,解得π ６＜A＜ π ４ ,故１ ２＜sinA＜ ２ ２ ,４＜４sinA＋ １ sinA＜３２ １２sin２A ４sinA－sinC＝ １２sin２A ４sinA－sin３A＝ １２sin２A ４sinA－sin(A＋２A) ＝ １２sin２A ４sin３A＋sinA＝ １２ ４sinA＋ １ sinA ∈(２２,３)． ９．【答案】BCD 【解析】复数z＝３－２i的实部为３,虚部为－２,选项 A错误; 复数z＝３－２i是方程x２＋px＋q＝０的一个根,则方程x２＋px＋q＝０的另一个复数根是其中一个根的共轭复 数,为３＋２i．由韦达定理可知,－ b a ＝－p＝ (３－２i)＋(３＋２i)＝６, c a＝q＝ (３－２i)(３＋２i)＝１３,解得 p＝－６ q＝１３{ ,故 选项B和选项C正确; 设z１＝x＋yi,x,y∈R,若复数z１ 满足 z１＋z ＝ x＋yi＋３－２i ＝ (x＋３)２＋(y－２)２ ＝１, 则在复平面内点Z１(x,y)在圆C 上,则 z１ 的几何意义为原点O(０,０)到圆C 上点的距离,又OC＝ １３,则 z１ 的最大值为１＋ １３,选项D正确． １０．【答案】ACD 【解析】可知f(x)＝２sin(２x－π３ ) ＋３,则 A:由f(x)单调递增有:－ π ２＋kπ≤２x－ π ３≤ π ２＋kπ ,k∈Z,即x∈ [ －π１２＋kπ, ５π １２＋kπ] ,k∈Z,故 A正确, B:函数y＝２sin２x 向右平移 ２π ３ 个单位,再向上平移３个单位可得y＝２sin(２x＋２π３ ) ＋３,故B错误; C:f(x)的对称轴满足２x－ π ３＝ π ２＋kπ ,k∈Z,即x＝ ５π １２＋ kπ ２ ,k∈Z,所以x＝ １１π １２ 为f(x)的对称轴,故 C 正确; D:当x∈ [ －π１２, π ２ ] 时,有２x－ π ３∈ [ － π ２ ,２π ３ ] ,所以f(x)min＝f( － π ２ ) ＝１,f(x)max＝f( π ２ ) ＝５,故D正确． 【高一数学试题参考答案　第 ３　 页(共６页)】 １１．【答案】BC 【解析】依题意可知πrl＝１２π,所以rl＝１２, 对于 A,r＝３,l＝４,所以cos∠ASB＝ ４２＋４２－６２ ２×４×４ ＝－ １ ８＜０ , 所以∠ASB 为钝角,所以过顶点S 和两条母线的截面三角形的最大面积为 １ ２×４×４＝８ , A错误; 对于BCD,当l＝６时,r＝２,圆锥的高为h＝ l２－r２ ＝４２． 侧面展开图的弧长为２πr＝４π,所以圆心角∠ASC＝ ４π ６＝ ２π ３． 所以AC＝ AS２＋SC２－２AS􀅰SCcos∠ASC＝２ １３,B正确; 设圆锥SO 的内切球的球心为O１,半径为r１,则r１＝ １ ２ 􀅰４􀅰４２ １ ２ (６＋６＋４) ＝ ２, 所以内切球的表面积为４πr２１＝８π,C正确; 棱长为５３ ３ 的正四面体A１－B１C１D１ 如图所示, 正方体的边长为５３ ３ × ２ ２＝ ５６ ６ ,体对角线长为５６ ６ × ３＝ ５ ２２ , 所以棱长为５３ ３ 的正四面体A１－B１C１D１ 的外接球半径为r２＝ ５ ４２． 设△SAB 内切圆的半径为r３,则 １ ２×４×４２＝ １ ２ (４＋６＋６)r３,解得r３＝ ２, 所以r３＜r２,所以棱长为 ５３ ３ 的正四面体在圆锥SO 内不可以任意转动,D错误． 故选:BC． １２．【答案】２２ 【解析】数据按从小到大排序:１１,１３,１４,１６,１７,２０,２２,２４,８×８０％＝６．４,所以８０％分位数为２２． １３．【答案】１６π 【解析】等边三角形外接圆的半径r＝ ３ ２sin π ３ ＝ ３cm 所以空间几何体ABCDEF 的外接球半径R＝ r２＋ (h２ ) ２ ＝ ３ ２ ＋１２ ＝２cm 所以外接球的表面积为S＝４πR２＝１６πcm２ １４．【答案】２２＋２ 【解析】由题意可知:f(x)的定义域为(－b,＋∞), 令x－a＝０解得x＝a;令ln(x＋b)＝０解得x＝１－b; 【高一数学试题参考答案　第 ４　 页(共６页)】 则当x∈(－b,１－b)时,ln(x＋b)＜０,故x－a≤０,所以１－b－a≤０; 当x∈(１－b,＋∞)时,ln(x＋b)＞０,故x－a≥０,所以１－b－a≥０; 故１－b－a＝０,即a＋b＝１． 当ab＞０时,则 １ ab＋ b a ＝ (a＋b)２ ab ＋ b a ＝ a２＋２ab＋b２ ab ＋ b a ＝ a b ＋ ２b a ＋２≥２２＋２ , 当且仅当a＝２－ ２,b＝ ２－１时,等号成立, 所以１ ab＋ b a 的最小值为２２＋２． １５．解:(１)估计平均数为０．１５×２５＋０．２×３５＋０．３×４５＋０．２５×５５＋０．１×６５＝４４．５, ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 估计众数为４５． ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)由已知可得抽取的６人中,年龄在[３０,４０)内的有４人,分别记为A１,A２,A３,A４; 年龄在[６０,７０)内的有２人,分别记为B１,B２; ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 则从这６人中随机抽取２人的样本点为{A１,A２},{A１,A３},{A１,A４},{A１,B１},{A１,B２},{A２,A３}{A２, A４},{A２,B１},{A２,B２},{A３,A４},{A３,B１},{A３,B２},{A４,B１},{A４,B２},{B１,B２},共１５个; １０分􀆺􀆺􀆺 记事件A＝“这２人取自不同年龄区间”,其包含样本点有{A１,B１},{A１,B２},{A２,B１},{A２,B２},{A３,B１}, {A３,B２},{A４,B１},{A４,B２},共８个, 故这２人取自不同年龄区间的概率为P(A)＝ ８ １５． １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １６．解:(１)以D 为原点,DC 为x 轴,DA 为y 轴建立平面直角坐标系, 依题意可知,M(０,１),C(４,０),N(１,０),B(２,２), １分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 则MC→＝(４,－１),BN→＝(－１,－２), ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以cos∠CPN＝ MC→􀅰BN→ MC→ 􀅰 BN→ ＝－ ２ ８５ ８５ ． ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)由已知可得CM→＝(－４,１),CP→＝(－４λ,λ), CN→＝(－３,０),CB→＝(－２,２); ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由N,P,B 三点共线可知,存在m∈(０,１)满足 CP→＝(１－m)CN→＋mCB→, １３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由向量的坐标运算可知,(－４λ,λ)＝(－２m,２m)＋(３m－３,０)＝(m－３,２m), 所以 －４λ＝m－３ λ＝２m{ ,解得:λ＝ ２ ３ ． １５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７．解:(１)∵m＝(a,２b＋c),n＝(cosC,cosA),且m⊥n, ∴acosC＋(２b＋c)cosA＝０, ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由正弦定理得sinAcosC＋２sinBcosA＋sinCcosA＝０, ∴sin(A＋C)＋２sinBcosA＝０, ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB,∴sinB＋２sinBcosA＝０, 在三角形ABC 中,sinB≠０, 【高一数学试题参考答案　第 ５　 页(共６页)】 ∴１＋２cosA＝０,∴cosA＝－ １ ２ ,∴A＝ ２π ３． ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)a＝７,a＋b＋c＝１５⇒b＋c＝８ ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由余弦定理得a２＝b２＋c２－２bccosA,即４９＝(b＋c)２－２bc－２bccos ２π ３ ,解得bc＝１５． １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵AD 为角A 的角平分线,∴∠BAD＝∠CAD＝ π ３ , S△ABD＋S△ACD＝S△ABC⇒ １ ２c 􀅰AD􀅰sin π ３＋ １ ２b 􀅰AD􀅰sin π ３＝ １ ２c 􀅰b􀅰sin ２π ３ ⇒(b＋c)AD＝bc⇒AD＝ bc b＋c , １４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴AD＝ １５ ８． １５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １８．解:(１)因为E 为PD 的中点,所以点E 与点P 到平面ADC 的距离之比为 １ ２ , ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 故VD－AEC＝VE－ADC＝ １ ２VP－ADC＝ １ ２× １ ３×２× １ ２×４＝ ２ ３． ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)存在,取AB 的中点M,连接DM 交AC 于点G,连接EG,则EG 为面AEC 与面PMD 的交线． ８分􀆺􀆺 易得MG＝ １ ２GD , 在三角形PMD 中, PE ED＝ MG GD ,所以PM ∥EG,所以PM ∥平面EAC,即存在点 M,且当 M 为AB 中点时, PM∥平面AEC． １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３)过点P 作l∥AB,因为AB∥CD, 所以l∥CD,面PAB∩面PCD＝l, １２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为PA⊥面ABCD,所以PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA∩AD＝A, 所以CD⊥面PAD, 又因为l∥CD, 所以l⊥面PAD,l⊥PA,l⊥PD, 所以∠APD 是面PAD 与面PAB 所成锐二面角的平面角, １５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为△APD 是等腰直角三角形,所以cos∠APD＝cos４５°＝ ２ ２． １７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １９．解:(１)由题知,x∈(０,１)∪(１,＋∞), ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为f(x)＝alnx－ x＋１ x－１＝alnx－ x－１＋２ x－１ ＝alnx－ ２ x－１－１ , 所以f(x)在(０,１)和(１,＋∞)上单调递增,理由如下: ①∀x１,x２∈(０,１),且x１＜x２, 由f(x１)－f(x２)＝a(lnx１－lnx２)＋ ( ２x２－１－ ２ x１－１) ＝a(lnx１－lnx２)＋ ２[x１－１－(x２－１)] (x２－１)(x１－１) 【高一数学试题参考答案　第 ６　 页(共６页)】 ＝a(lnx１－lnx２)＋ ２(x１－x２) (x２－１)(x１－１)． 因为０＜x１＜x２＜１,所以lnx１－lnx２＜０, ２(x１－x２) (x２－１)(x１－１)＜０ , 又a＞０,故f(x１)－f(x２)＜０,即f(x)在(０,１)上单调递增; ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ②∀x１,x２∈(１,＋∞),x１＜x２,同理可得:f(x１)－f(x２)＜０,即f(x)在(１,＋∞)上单调递增,所以f(x)在 (０,１)和(１,＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调增区间为(０,１),(１,＋∞),无减区间． ５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)由(１)知:f(x)在(０,１)和(１,＋∞)上单调递增, 又因为f( １ e )＝aln １ e－ １ e＋１ １ e－１ ＝－alne－ e＋１ e １－e e ＝－ (alne－e＋１e－１) ＝－f(e)＝０． ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 如图,要使f(x)＞０,只需使 １ e＜x＜１ 或x＞e, 故不等式的解集为 ( １e,１) ∪(e,＋∞)． １０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３)由(１)知:f(x)在(０,１)和(１,＋∞)上单调递增, 又因为f(e １ a ) ＝－ ２ e １ a －１ ＜０,且e １ a ∈(１,＋∞), 取p 满足 p＞e ２ a p＞３{ ,则f(p)＝alnp－１－ ２ p－１ ＞aln(e ２ a ) －１－ ２３－１＝０, 所以f(x)在(１,＋∞)上有唯一零点n, １４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又因为f(e－ １ a ) ＝ ２ １－e－ １ a －２＞０,且e－ １ a ∈(０,１),取q满足 q＜e－ ２ a q＜ １ ３． ì î í ï ï ï ï 则f(q)＝alnq－１＋ ２ １－q ＜aln(e－ ２ a ) －１＋ ２ １－ １ ３ ＝０, 所以f(x)在(０,１)上有唯一零点m,则f(m)＝０, 又因为f( １m ) ＝aln １ m－ １ m＋１ １ m－１ ＝－alnm－ m＋１ m １－m m ＝－ (alnm－m＋１m－１) ＝－f(m)＝０, 因f(x)在(１,＋∞)上单调递增,且 １ m ,n∈(１,＋∞),则必有 １ m＝n ,即mn＝１, 故m＋n＞２ mn＝２． １７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 2024年上学期高一期末考试 离座香酒肩的溶夏可内作香，烟速规利女想原定区城的断有汽吸 速在务程目的香丽国调内滑征，用国雨达座■夏国的签理无丽 数学答题卡 15(本小题再分1挂分) 6本小赠清分5分 姓名 贴条形码区 号号 考生持消暖专形生打面无域品5和民为传湘想笔维除海的触无样足 1青通售，卷生新必裤地健有有已的妆名。通证华的写在说定的型，特准条 编 a 形开1前准证号，节朝4泰人特形地建正纯提以料相但时有气，青盖 注 备风填速 宽工4甲是电球用过的着这业：此件4乙作具5丝生室香4第7常州 特。字律十植，转油读地 项1青养名线在纳睡中养里日年罐宝有■城丹库笔，越性作解线直用写养 话择题《请用2妇们笔演常1 1[A】.Ls]IG1LO】 5[AJ[】IG][0 [A][8]Ic][D] 2[A][B](a1 [o] hIA1[B】tGID 10A][B1 [C][D] [A)[e](cl [D] 7[A][N][C]ID] 11【A1tn】{c)[D 4rA7【8jG1.[D1 8ta]B:ICID时 非薄保题{清使用0.5毫米的黑色字凌苔字笔书写1 2(5分1 3(3分) 45分) 请言养温目的灌■区适内作满，罐比短船型星室置域的害章光签 满存养调目的活整量域内作苦，题生维射心趋度害植域的需素光量 结存务盖目的常制组维片他落，组出壶相信程量量的落率生雪 每一数单第1互（共2红1 请否务帽的香题区域内作青，明出规装边国原更区速时香票发珠 速在各视门的客理调内作者，用性矩利达相国无艺国的落罩无管 速在务而月的等程过墙内作活，量进影制选框回无宽国的签家后 17.本小则请分15分1 1风.（本思满分7分 收木小题清分7分】 害存名有目的常粗温道大作，植出型制成想健家温域的需率光置 速存务端目的常都组域内作活，雄出架触出规量审区过的苦率士量 高一数单第2面〔共2万