1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（5知识点+8题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 明确学习目标 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题． 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 3.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 重点难点 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题; 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 点到直线的距离 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 2.理解 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 3.用向量法求点到直线的距离的步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 知识点2 点、直线、平面到平面的距离 1.点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 2.理解 (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 3.用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)写坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)列式：距离d＝. 知识点3 两异面直线所成的角 1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 2.理解 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 3.求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 知识点4 直线与平面所成的角 1.直线和平面所成角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 2.理解 (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3.利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 知识点5 两个平面的夹角 1.平面和平面所成的角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 2.理解 (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 3.求两平面夹角的两种方法 (1)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉 或π－〈n1，n2〉. (2)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角． 2提升学科能力 题型一 点到直线的距离的向量求法 例1．已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 跟踪训练1 1．已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 . 【答案】 【分析】求出的坐标，求出，根据点O到直线的距离为即可求解. 【详解】因为，，， 所以, 所以，. 所以, 所以. 所以点O到直线的距离为. 故答案为：. 2．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 3．直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 题型二 异面直线的距离的向量求法 例2．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 跟踪训练2 1．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 2．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    3．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【答案】 【分析】根据异面直线距离的向量法即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为． 题型三 点到面的距离的向量求法 例3．四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 跟踪训练3 1．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不平行，理由见解析. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解. （2）由（1）中坐标系，求出，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【详解】（1）显然直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，同理，即四边形为平行四边形，有， 即，解得，即，则， 设平面的法向量，则，取，得， 而，则点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而平面的法向量为 由，得与不垂直， 所以与平面不平行. 2．如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理和性质定理证明即可. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由点到平面的向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵在四棱锥中，平面，分别是的中点， 四边形是菱形，，． ∴， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，， ∴平面， ∵平面，∴平面； （2）连接，由题意得，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， ∴点E到平面的距离为：． 3．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 题型四 利用空间向量求异面直线夹角 例4．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】取的中点，连接, 四边形为的菱形，所以， 由于平面平面，且两平面交线为，,平面， 故平面,又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2，则, 故, 则，又 故， 故直线所成角的正弦值， 故选：C 跟踪训练4 1．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 2．《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则 ，异面直线所成角的余弦值是 . 【答案】 【分析】过分别作，的高，垂足分别为，，证明，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】过分别作，的高，垂足分别为，，如图所示： 平面平面，，由得：， 又平面平面，面，故平面， 又面，故可得， ∵，，又，故，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则由题意可知，，，，， ∴，，， ∴， ， 即异面直线所成角的余弦值是． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法， 定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； 向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 3．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【详解】记在底面内的投影为，则底面， 又、平面，故、， 则，， 又，则， 所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以， 设直线与直线的所成角为， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 题型五 利用空间向量求线面角 例5．如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)30° 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再证明，最后得到，即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和法向量，根据线面角的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）连接，在正方体中，因为平面， 平面，所以. 因为，，所以，且均在同一平面内， 所以，因为为的中点，所以为的中点. （2）在正方体中，，，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，则.于是. 设直线与平面所成的角为，则 因为，所以直线与平面所成角的大小为30°. 跟踪训练5 1．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 2．如图所示，已知E，F分别是正方体的棱上的两点． (1)求证：平面． (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方体的性质得到，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用空间向量的方法求线面角. 【详解】（1）连接， 平面即是平面，要证平面，即证平面， 因为为正方体，所以，平面， 因为平面，所以 因为，平面， 所以平面，即平面. （2） 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，,，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，所以. 3．如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，，利用数量积的坐标表示求出，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）依题意可得，，，，，，， 则，， 所以， 所以； （2）因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则，所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型六 利用空间向量求面面角 例6．如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，，，. (1)证明：. (2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）的中点，的中点，证明四边形为平行四边形，由已知的面面垂直，证得，由，，勾股定理可得. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，所以， 取的中点，的中点，连接， 则，，所以，， 从而四边形为平行四边形， 则，， 在中，，且为的中点，所以， 因为平面平面， 且平面平面， 平面，所以平面， 又，所以平面. 又平面，所以， ，， 由，，得. （2）由平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 平面内过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，不妨设，则， ，， 由图可知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，由， 令，则，， 则， 所以二面角的正弦值为. 跟踪训练6 1．如图，四棱锥中，平面，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）设，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）设， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 由（1）得，，， 故， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为平面， 所以即为平面的一条法向量， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为. 2．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 3．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面可得，再由，所以，从而可证平面； （2）以为轴的空间直角坐标系，利用两平面的夹角的空间向量法求解. 【详解】（1）因为为的中点，，所以， 因为平面平面，所以， 又平面； 所以平面； （2）若，则两两垂直， 建立如图所示分别以为轴的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为，则有 即令，则， 所以平面的一个法向量为， 易知平面平面的法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 题型七 已知角度或夹角余弦值求参数 例7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 跟踪训练7 1．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建系标点，设，可得，利用空间向量求异面直线的夹角，列式求解即可. 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 2．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】构建空间直角坐标系，令，结合线面角大小及向量法列方程求参数，最后利用棱柱体积公式求体积. 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 3．如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可. 【详解】    如图所示，易知， 所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以, . 故选：A 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 题型八 利用空间向量求动点探索性问题 例8．如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）设，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，设，用空间向量法结合直线与平面所成角为，列出方程求解即可； （2）假设能找到这样的点，设，且，根据平面与平面的夹角为及空间向量，列方程解出，即可说明存在，计算出即可． 【详解】（1）设， 因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故两两垂直， 如图，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为菱形中，， 所以，设， 则，， 所以 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 所以， 因为直线与平面所成角为， 所以，即，解得． （2）假设能找到这样的点， 设，且， 则， 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 则， 由平面与平面的夹角为， 可得，即，解得， 所以能找到这样的点， 此时，，故． 跟踪训练8 1．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，． 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可. 【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴ （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 2．在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 3．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在实数，理由见解析 【分析】 （1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由二面角的余弦值得到方程，求出答案. 【详解】（1） 因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2） 取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.    设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为， 且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：D 2．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 3．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一，作出直线在平面的射影为，得线面所成角，推导三余弦公式，代入计算即得；法二，建系，写出相关点和相关向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， ,故. 故选：A. 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以， 故选:A 4．正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离，即可根据体积公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面法向量为， 则，取，则， 故到平面的距离为， 而, 故, 故， 故选：B 5．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再利用点到平面距离的向量法，即可求出结果. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 故选：C. 6．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 二、多选题 7．已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【分析】根据向量的线性运算即可求解A,利用数量积的运算律即可求解B，建立空间直角坐标系，利用坐标运算，以及夹角公式即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】对于A, , ,故A错误， 对于B， , 故，B正确， 对于C，建立如图所示空间直角坐标系，    则, 可得,故， 所以直线与夹角的余弦值为，C错误， 对于D，由， 可得， 其中为点到平面的距离，故D正确， 故选：BD 8．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 【答案】BC 【分析】对于A：利用平面几何知识说明即可； 对于B：只需要证明即可； 对于C：建立空间直角坐标系，计算与平面的法向量，再代入线面角的计算公式； 对于D：计算平面和平面法向量，在代入面面角的计算公式. 【详解】因为，，，为的中点，所以，,四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故B正确； 如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，，，所以， 又因为四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点， 所以，与不垂直，故A错误； 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，所以， 又因为为中点，所以且，， 则有，所以， 互相垂直， 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得，，即， 则，令，得，，即， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； ，则 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC 9．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用数量积为0得线线垂直，根据线面垂直的判定定理证明，判断A正确；求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解，判断B正确；利用二面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理及同角三角函数关系求解，判断C错误；利用等体积法求点面距离，判断D正确. 【详解】对于AB，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：    正方体的边长为1，，，，，，， ，所以，， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 又，平面，所以平面，故A正确； 设平面的一个法向量为，， 则，即，不妨令，得，故， 又因为， 设直线与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，如图：    连接交于，连接， 因为，O为BD的中点， 所以，，平面，平面， 所以是二面角的平面角， 又， 故， 所以二面角的正弦值为，故C错误； 对于D，如图：    设点到平面的距离为，因为， 所以，， 因为，所以， 所以，即点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则11．正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 . 【答案】 五边形； /. 【分析】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量平行证明五点共面，可判断截面形状；求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量公式，结合图形直观判断可得. 【详解】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以四点共面，且四点共面， 又两平面有不共线的三个公共点，所以两平面重合， 即过，，做该正方体的截面为五边形. 设平面的法向量为， 则，取，得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 记二面角的平面角为，由图可知为钝角， 所以. 故答案为：五边形；. 12．如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为 ，异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【答案】 / / 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，根据平面法向量夹角求二面角，根据直线方向向量的夹角求线线角. 【详解】 取的中点，连接，则在正三棱柱中，平面， 四边形为矩形，以为坐标原点， 以的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示坐标系， 平面的一个法向量为，不妨设正三棱柱的棱长为， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，， ，， 所以二面角的正弦值为； ， ， 异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：，. 四、解答题 13．如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． (1)证明：； (2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得. 【详解】（1）由底面，平面，得， 而，即直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 显然，即，所以. （2），， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3），， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 14．如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可； （2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解. 【详解】（1）   如图建系，设 则, , 设平面法向量为, , , 可得 即得， 因为所以,不在平面内，所以平面. （2）设平面法向量为, , 可得, 即得, 设二面角为， 则, 因为所以 15．已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【分析】（1）由，得到，再由平面，证得，进而证得平面，结合，得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，，，， 则，可得， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 是平行四边形，平面，，，，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角的大小为， 故， 整理得，解得或，所以或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 明确学习目标 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题． 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 3.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 重点难点 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题; 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 点到直线的距离 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 2.理解 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 3.用向量法求点到直线的距离的步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 知识点2 点、直线、平面到平面的距离 1.点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 2.理解 (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 3.用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)写坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)列式：距离d＝. 知识点3 两异面直线所成的角 1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 2.理解 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 3.求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 知识点4 直线与平面所成的角 1.直线和平面所成角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 2.理解 (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3.利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 知识点5 两个平面的夹角 1.平面和平面所成的角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 2.理解 (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 3.求两平面夹角的两种方法 (1)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉 或π－〈n1，n2〉. (2)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角． 2提升学科能力 题型一 点到直线的距离的向量求法 例1．已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 跟踪训练1 1．已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 . 2．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 题型二 异面直线的距离的向量求法 例2．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 2．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 3．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 题型三 点到面的距离的向量求法 例3．四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练3 1．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离．(2)与平面平行吗？请说明理由． 2．如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．   (1)证明：平面；(2)求点E到平面的距离． 3．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离；(2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离；(4)求平面与平面的距离. 题型四 利用空间向量求异面直线夹角 例4．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则 ，异面直线所成角的余弦值是 . 3．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 题型五 利用空间向量求线面角 例5．如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小. 跟踪训练5 1．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知E，F分别是正方体的棱上的两点． (1)求证：平面． (2)求直线与平面所成角的大小． 3．如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型六 利用空间向量求面面角 例6．如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，，，. (1)证明：. (2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的正弦值. 跟踪训练6 1．如图，四棱锥中，平面，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 3．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 题型七 已知角度或夹角余弦值求参数 例7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 跟踪训练7 1．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 2．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 3．如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 题型八 利用空间向量求动点探索性问题 例8．如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 跟踪训练8 1．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 2．在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 3．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 4．正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 5．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 7．已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 8．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 9．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题 10．如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 11．正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 . 12．如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为 ，异面直线与所成的角的余弦值为 ． 四、解答题 13．如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． (1)证明：；(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 14．如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 15．已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$