1.4.1 利用空间向量研究直线、平面的位置关系（4知识点+9题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 明确学习目标 课标要求 1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量． 4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系. 5.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行和垂直关系． 重点难点 1.会求直线的方向向量和平面的法向量； 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系. 3.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行和垂直关系． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间中直线的向量表示 1．直线方向向量：设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．直线的确定：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 3. 理解 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点2 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 4.理解 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 5.求平面法向量的步骤 (1)设元：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)列式：联立方程组并求解． (3)取值：设定一个坐标为非零常数，便可得到平面的一个法向量． 知识点3 线线、线面和面面的平行关系 1.直线和直线平行 (1).方向向量：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2).用向量证明线线平行的两种思路： ①(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． ②(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 2.直线和平面平行 (1)线面平行：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (2)注意点： ①证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． ②特别强调直线在平面外． (3)利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： ①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． ②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． ③先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 3.平面和平面平行 (1)面面平行：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. (2)证明面面平行的方法 ①利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． ②将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 线线、线面和面面的垂直关系 1.直线与直线垂直 (1)线线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)注意点： ①两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． ②基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. (3)证明两直线垂直的基本方法 ①坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． ②基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.直线与平面垂直 (1)线面垂直：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (2)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： ①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3.平面与平面垂直 (1)面面垂直：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. (2)证明面面垂直的两种方法 ①常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． ②法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 2提升学科能力 题型一 空间中直线方向向量的相关计算 例1．已知点，，则直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．已知，分别为直线，的一个方向向量，且 ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．若直线的方向向量分别为，则（    ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 24．已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量： ． 题型二 空间中平面法向量的概念及辨析 例2．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．设直线的方向向量，平面α的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．5 D．4 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 题型三 平面法向量的求解 例3．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 跟踪训练3 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .    2．已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 3．四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 题型四 利用空间向量判定线面位置关系 例4．若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 跟踪训练4 1．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 2．在正方体中，分别为棱的中点，则（   ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 3．如图，正方体中，是的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线异面，直线平面 D．直线与直线相交，直线平面 题型五 利用空间向量证明平行关系 例5．在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 跟踪训练5 1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 3．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 题型六 利用空间向量证明线线垂直 例6．棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：；(2)求. 跟踪训练6 1．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 2．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：. 3．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面；(2)证明： 题型七 利用空间向量证明线面垂直 例7．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 跟踪训练7 1．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    2．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.    题型八 利用空间向量证明面面垂直 例8．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 跟踪训练8 1．在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 2．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.求证：平面平面. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：；(2)求证：平面平面． 题型九 利用空间向量解决动点探究性问题 例9．如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，． (1)求证：平面； (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由． 跟踪训练9 1．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 3．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知一直线经过点A（2，3，2），B（﹣1，0，﹣1），下列向量中是该直线的方向向量的为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 7．空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 三、多选题 8．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 9．【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）    A． B． C． D．为平面的一个法向量 10．已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 四、填空题 11．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ . 12．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 13．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①；②三棱锥的体积为定值；③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面.其中所有正确结论的序号是 . 五、解答题 14．如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.    (1)求证：∥平面CEP； (2)求证：平面平面DEP. 15．如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 16．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 17．如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 明确学习目标 课标要求 1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量． 4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系. 5.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行和垂直关系． 重点难点 1.会求直线的方向向量和平面的法向量； 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系. 3.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行和垂直关系． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间中直线的向量表示 1．直线方向向量：设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．直线的确定：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 3. 理解 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点2 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 4.理解 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 5.求平面法向量的步骤 (1)设元：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)列式：联立方程组并求解． (3)取值：设定一个坐标为非零常数，便可得到平面的一个法向量． 知识点3 线线、线面和面面的平行关系 1.直线和直线平行 (1).方向向量：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2).用向量证明线线平行的两种思路： ①(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． ②(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 2.直线和平面平行 (1)线面平行：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (2)注意点： ①证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． ②特别强调直线在平面外． (3)利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： ①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． ②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． ③先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 3.平面和平面平行 (1)面面平行：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. (2)证明面面平行的方法 ①利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． ②将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 线线、线面和面面的垂直关系 1.直线与直线垂直 (1)线线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)注意点： ①两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． ②基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. (3)证明两直线垂直的基本方法 ①坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． ②基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.直线与平面垂直 (1)线面垂直：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (2)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： ①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3.平面与平面垂直 (1)面面垂直：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. (2)证明面面垂直的两种方法 ①常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． ②法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 2提升学科能力 题型一 空间中直线方向向量的相关计算 例1．已知点，，则直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量中直线的方向向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：由题意得： ，则直线的方向向量为 逐项分析即可知只有C符合要求. 故选：C 跟踪训练1 1．已知，分别为直线，的一个方向向量，且 ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B 2．若直线的方向向量分别为，则（    ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】计算，根据其结果，即可判断出答案. 【详解】由题意得， ∴，∴， 故选：B 3．已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量： ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据直线方向向量的求法求得. 【详解】由于，， 所以直线的一个方向向量. 故答案为：（答案不唯一） 题型二 空间中平面法向量的概念及辨析 例2．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 跟踪训练2 1．设直线的方向向量，平面α的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．5 D．4 【答案】A 【分析】由法向量的概念结合向量共线定理即可求解. 【详解】由，则，则存在非零常数λ，使得，即，解得. 故选：A. 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】首先分析题意，利用空间向量知识进行解答. 【详解】分析题意,，得出，即，所以，即. 故选:D. 3．已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 【答案】1 【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案. 【详解】因为直线AB与平面平行，所以与垂直， 即，解得. 故答案为：1 题型三 平面法向量的求解 例3．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【分析】分别写出点的坐标，根据正方体中平面可判断A；利用两个非零向量垂直则数量积为0可判断B；根据点在x轴上的投影点为可判断C；根据点关于平面对称点坐标为可判断D. 【详解】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 跟踪训练3 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，设，可得,,的坐标，由此可得向量,的坐标，由此可得关于,,的方程组，利用特殊值求出,,的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则, ,， 则,， 设平面的一个法向量为,,， 则有，令，可得， 则， 故答案为：（答案不唯一） 2．已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设法向量，由且，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】设平面的一个法向量，则， 令，则，故， 所以平面的一个法向量（答案不唯一）. 3．四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【答案】即为平面的法向量，是平面的法向量 【分析】先证出是三条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量. 【详解】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，.    易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 题型四 利用空间向量判定线面位置关系 例4．若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】∵，则， ∴，故. 故选：B. 跟踪训练4 1．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 2．在正方体中，分别为棱的中点，则（   ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 【答案】AC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 对于A，，，即有，因此，A正确； 对于B，，向量不共线，直线不平行，而直线平面， 平面，又平面平面，因此直线是异面直线，B错误； 对于C，，设平面的法向量， 则，取，得，显然， 而平面，因此平面，C正确； 对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，D错误. 故选：AC 3．如图，正方体中，是的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线异面，直线平面 D．直线与直线相交，直线平面 【答案】BCD 【分析】 根据异面直线的概念逐一判断异面的问题，根据垂直、平行的判断逐一判断平行和垂直问题. 【详解】 连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直； 在正方体中因为，面，面，则面， 又，面，面，则面， 又面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面，故A正确； 以为原点，建立如图坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，明显不存在实数使， 故直线与直线不平行，故B不正确； 因为面，面，面，， 故直线与直线异面正确， 又，， 所以，所以直线与平面不垂直，故C不正确； 由图知明显直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故D不正确； 故选：BCD. 题型五 利用空间向量证明平行关系 例5．在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 跟踪训练5 1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量法可证 【详解】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 3．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【详解】证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. 题型六 利用空间向量证明线线垂直 例6．棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论. （2）求出的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则,，，，，，， 因为，， 所以， 所以，即. （2）因为，所以 因为，且， 所以. 跟踪训练6 1．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； 【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 2．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明即可. 【详解】因为平面，平面‖平面, 所以平面， 因为平面，所以, 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以，所以， 故 3．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 题型七 利用空间向量证明线面垂直 例7．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】方法一：由已知可得和是等腰直角三角形，则可证得，再由长方体的性质可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过证明，可得答案； 【详解】方法一：因为是的中点， 所以和是等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以， 又平面，且， 所以平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 所以， 所以，， 又平面，且， 所以平面. 跟踪训练7 1．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 2．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【详解】（1） 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.    【答案】证明见解析 【分析】 由题设构建空间直角坐标系，法一：求出平面ABE的法向量，坐标公式判断，即可证结论；法二：向量垂直的坐标表示证，，根据线面垂直的判定证结论. 【详解】 由底面，，易知两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC，设， 则，    ∵，∴为正三角形，则， ∴， 法一：设平面ABE的法向量为，则， 令，，而，显然，则， ∴也是平面ABE的一个法向量，即平面ABE. 法二：，则，， ∴，，即，故平面ABE. 题型八 利用空间向量证明面面垂直 例8．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 跟踪训练8 1．在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 所以，所以， 则平面平面． 2．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明． （2）运用线面垂直的性质定理可证得，进而运用线面垂直的判定定理可证得平面PAC，进而可证得面面垂直. 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示，    因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 题型九 利用空间向量解决动点探究性问题 例9．如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，． (1)求证：平面； (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析． 【分析】（1）分别取的中点，连接，说明面即为截面，证明后可证得线面平行； （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，由重心公式求得坐标，由向量的数量积为0求得值． 【详解】（1）分别取的中点，连接， 则在直四棱柱中，，且是中点，所以平面，即为截面， 又是中点，则与平行且相等，从而是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，即平面； （2）不存在，理由如下： 是菱形且，所以都是等边三角形，， 易知，由已知得平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 因此有，，，， 则的重心为，， 若平面，则，无解． 因此不存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心． 跟踪训练9 1．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由平面，平面ABCD，所以，因为，所以四边形MDBN为平行四边形，所以可证明结论. （2）建系，设，由平面AMN，解出，再由向量的模长公式计算长度. 【详解】（1）证明：连接BD，如图(1).    因为平面，平面ABCD， 所以. 因为， 所以四边形MDBN为平行四边形. 所以. 又平面，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）由题意知DM，DC，DA两两垂直. 以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)的空间直角坐标系，    则，，，，， 假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE. 易知，，. 设，， 则. 由平面AMN，得即 解得. 此时，所以. 故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为. 3．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知一直线经过点A（2，3，2），B（﹣1，0，﹣1），下列向量中是该直线的方向向量的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A（2，3，2），B（﹣1，0，﹣1）， 则， ， 则选项中是该直线的方向向量的为D． 故选：D． 2．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】若，则， 可得，解得. 故选：D. 4．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 5．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 7．空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 【答案】C 【分析】根据法向量的定义即可求解A，根据向量相等可得平行四边形，进而可得线线平行，进而根据线线平行得线面平行，即可由线面平行的性质求解BCD. 【详解】由于是平面的法向量，且，不在平面内，则//平面，A正确， 对于B，由于,则四边形为平行四边形，故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 则平面,平面,则平面,故B正确， 对于C, 由于,则四边形为平行四边形，,显然矛盾，故C错误， 对于D，由于,由选项B可得，由于四边形为平行四边形， 故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 由于, 因此,故四边形为矩形， 故选：C    二、多选题 8．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【分析】由法向量是否共线判断A；计算数量积判断B；由直线与平面平行的意义判断C；由法向量的意义，列式计算判断D. 【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确. 故选：BD 9．【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）    A． B． C． D．为平面的一个法向量 【答案】BC 【分析】以点为坐标原点，、、 所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、 、、、. 对于A选项，，，则，故A错误； 对于B选项，，，则，故B正确； 对于C选项，，故，故C正确； 对于D选项，，故不是平面的一个法向量，故D错误. 故选：BC. 10．已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】AB 【分析】建系，设，，可得，对于A：利用向量可知∥平面，结合转换顶点法分析判断；对于B：利用空间向量说明线面垂直；对于C：利用空间向量说明线面平行；利用空间向量说明面面垂直. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设 设， 则，即， 对于选项A：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，且平面，则∥平面， 可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于选项B：因为，平面的法向量， 若∥，则，解得， 即当时，平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 令，解得， 即当时，∥平面，故C错误； 对于选项D：令，解得， 即当时，平面平面，故D错误； 故选：AB. 【点睛】方法点睛：利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 三、填空题 11．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ . 【答案】2 【详解】 因为M(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以＝(a－1，4，1).因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥，则n＝6(a－1)－3×4＋6＝0，解得a＝2. 12．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 【答案】1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故选：B. 13．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及空间向量的应用，逐项判定，即可求解. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，则， 因为，所以，即，所以①正确； 由，因为的面积为定值，点到平面的距离也是定值， 所以为定值，所以②正确； 又由 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，由，解得，所以③正确； 又因为，，则， 所以不存在点，使得平面，所以④错误. 故选：①②③. 四、解答题 14．如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.    (1)求证：∥平面CEP； (2)求证：平面平面DEP. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）建系，利用空间向量可得∥，进而结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）利用空间向量可得，进而结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1） 因为P，Q均为AB，DC的中点，则∥，所以， 且平面ABCD，故以P为坐标原点，以PA、PQ、PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．    设，，则， 因为，则， 所以∥，即∥， 且平面EPC，平面EPC， 所以∥平面EPC. （2） 因为，则， 则，， 可得， 且，平面EPD，所以平面EPD. 又因为平面AEQ，所以平面平面DEP. 15．如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    （2）由（1）知， 所以，所以. 16．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 17．如图，在正方体中，分别是的中点    (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，满足，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证； （2）根据向量法判断线面是否平行即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. （2）假设存在，使平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则， 解得， 故存在，满足，使平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$