1.3 空间向量及其运算的坐标表示（4知识点+10题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 明确学习目标 课标要求 1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标. 2.掌握空间向量运算的坐标表示．、 3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题． 重点难点 掌握空间向量运算的坐标表示；会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3.画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 4.右手直角坐标系：让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 5.建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． 知识点2 空间几何点的坐标表示 1.空间直角坐标系点的坐标概念 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 3.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)． 4.空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 对称性 对称点的坐标 关于X轴对称 (x,-y,-z) 关于Y轴对称 (-x,y,z) 关于Z轴对称 (-x,-y,z) 关于原点对称 (-x,-y,-z) 关于Oxy平面对称 (x,y,-z) 关于Oxz平面对称 (x,-y,z) 关于Oyz平面对称 (-x,y,z) 空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“关于谁对称，谁不变，谁不在谁变号”的原则 知识点3 空间向量的坐标及坐标运算 1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 2．线性运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 3.线段向量表示：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 4.空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 5.理解 (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 知识点4 空间向量位置关系和模长夹角公式 1.两向量位置关系 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 2.平行和垂直的证明 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 3. 空间向量的长度、夹角公式：若，，则 （1），． （2）． 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 4. 空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 2提升学科能力 题型一 空间直角坐标系 例1．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 18．已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 空间向量的点坐标表示 例2．平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ． 3．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 题型三 空间直角坐标系中的对称点 例3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为 A．（﹣1，0，﹣1） B．（1，0，﹣1） C．（0，﹣1，1） D．（1，0，﹣1） 2．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 3．已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 题型四 空间向量加减运算的坐标表示 例4．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．向量，则的坐标是 . 题型五 空间向量数量积的坐标表示 例5．已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 跟踪训练5 1．若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 2．若，则 ． 3．已知，，. (1)求的值； (2). 题型六 空间向量平行的坐标表示 例6．已知，，且∥，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．设，，，，则 . 2．设若，则 . 3．已知向量，，且与平行，则 . 题型七 空间向量垂直的坐标表示 例7．已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．已知，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知向量，，若与互相垂直，则 ． 3．已知空间向量，若与垂直，则 . 题型八 空间向量的模长 例8．设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 跟踪训练8 1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 空间向量的投影向量的坐标表示 例9．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练9 1．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 3．在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 题型十 空间向量夹角余弦值的坐标表示 例10．已知向量，，，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练10 1．已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3质量检测评价 一、单选题 1．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．5 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 5．若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 二、多选题 7．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．与方向相反的单位向量的坐标是 C． D．在上的投影向量的模为 三、填空题 9．点关于轴的对称点的坐标是 ，关于坐标平面的对称点的坐标是 . 10．，，则在方向上的数量投影为 . 11．已知空间向量.若四点共面，则 . 四、解答题 12．已知空间中三点，，.设，. (1)求；(2)若与互相垂直，求实数的值. 13．已知空间向量，，. (1)若，求；(2)若，求的值. 14．已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 明确学习目标 课标要求 1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标. 2.掌握空间向量运算的坐标表示．、 3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题． 重点难点 掌握空间向量运算的坐标表示；会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3.画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 4.右手直角坐标系：让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 5.建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． 知识点2 空间几何点的坐标表示 1.空间直角坐标系点的坐标概念 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 3.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)． 4.空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 对称性 对称点的坐标 关于X轴对称 (x,-y,-z) 关于Y轴对称 (-x,y,z) 关于Z轴对称 (-x,-y,z) 关于原点对称 (-x,-y,-z) 关于Oxy平面对称 (x,y,-z) 关于Oxz平面对称 (x,-y,z) 关于Oyz平面对称 (-x,y,z) 空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“关于谁对称，谁不变，谁不在谁变号”的原则 知识点3 空间向量的坐标及坐标运算 1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 2．线性运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 3.线段向量表示：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 4.空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 5.理解 (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 知识点4 空间向量位置关系和模长夹角公式 1.两向量位置关系 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 2.平行和垂直的证明 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 3. 空间向量的长度、夹角公式：若，，则 （1），． （2）． 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 4. 空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 2提升学科能力 题型一 空间直角坐标系 例1．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果． 【详解】向量在基底下的坐标为，则， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的坐标为． 故选：A． 跟踪训练1 1．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 2．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 3．已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据给出的空间向量，即可写出空间向量的坐标. 【详解】（1）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （2）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （3）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （4）由题意， 是单位正交基底，， ∴. 题型二 空间向量的点坐标表示 例2．平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设， ∵，又， ∴， 解得，即. 故选：B. 跟踪训练2 1．如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 2．已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标、向量的相等、向量的运算分析运算即可得解. 【详解】解：设，则，， ∴由得：， ∴，解得：， ∴点坐标为：. 故答案为：. 3．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案. 【详解】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 故答案为： 题型三 空间直角坐标系中的对称点 例3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据空间点的对称性，直接求坐标. 【详解】根据空间点的对称性，可知点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为相反数，所以对称点的坐标为. 故选：A 跟踪训练3 1．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为 A．（﹣1，0，﹣1） B．（1，0，﹣1） C．（0，﹣1，1） D．（1，0，﹣1） 【答案】A 【详解】试题分析：因为关于坐标原点的对称点，所以关于坐标原点的对称点的坐标为故应选A． 考点：空间直角坐标系． 2．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 3．已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 【答案】(1)，. (2)，，. 【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标； （2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标. 【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，. 题型四 空间向量加减运算的坐标表示 例4．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】因为，.所以. 故选：A 跟踪训练4 1．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点坐标可求得向量，计算可得结果. 【详解】易知，所以； 因此可得. 故选：C 3．向量，则的坐标是 . 【答案】 【分析】由空间向量加法的坐标运算得答案． 【详解】向量，则. 故答案为： 题型五 空间向量数量积的坐标表示 例5．已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【答案】C 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】， 所以. 故选：C 跟踪训练5 1．若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【详解】由，， 得，， 所以． 故选：C． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算法则，以及空间向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故答案为：. 3．已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 题型六 空间向量平行的坐标表示 例6．已知，，且∥，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件，即可求出结果． 【详解】因为，，所以，， 因为∥，所以，解得. 故选：B． 跟踪训练6 1．设，，，，则 . 【答案】 【分析】由向量平行相关知识可得答案. 【详解】由题得，则，所以 故答案为： 2．设若，则 . 【答案】6 【分析】由空间向量平行得比例关系求解即可. 【详解】∵，易知，∴， ∴，∴. 故答案为：6. 3．已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 题型七 空间向量垂直的坐标表示 例7．已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 跟踪训练7 1．已知，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：C. 2．已知向量，，若与互相垂直，则 ． 【答案】 【分析】 利用向量垂直数量积等于零即可求解. 【详解】由题意得：， ∵与互相垂直， ∴，则， 解得. 故答案为：. 3．已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 题型八 空间向量的模长 例8．设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则计算差向量，再由模长公式计算即得. 【详解】由可得， 故. 故选：D. 跟踪训练8 1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量的坐标运算及垂直的性质计算可得的值，再利用模长公式计算即可得解. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 2．已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线得到方程，求出，，求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：C. 3．已知向量，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量的坐标运算直接验证各选项的准确性. 【详解】向量，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：BC 题型九 空间向量的投影向量的坐标表示 例9．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 跟踪训练9 1．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解. 【详解】， 故在上的投影向量为. 故选：D 249．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的概念计算即可得解. 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 3．在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出向量，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算、模的坐标运算公式求解即可得出结果. 【详解】根据题意可得，所以， 则； 因此向量在上的投影向量为， 因此投影向量的坐标为. 故答案为： 题型十 空间向量夹角余弦值的坐标表示 例10．已知向量，，，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积运算求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，且. 又， 所以，即有， 所以，. 又，所以. 故选：C. 跟踪训练10 1．已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解. 【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项错误. 故选：D. 2．已知，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的数量求出，再利用向量夹角公式求解即得. 【详解】向量，，由，得，解得，， 因此，而，则， 所以向量与的夹角为. 故选：D 3．已知向量，，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，向量的夹角，即可对选项做出判断. 【详解】因为向量，， 所以，故，所以选项A正确； ，， 所以，故选项B正确； ，所以，， 所以，故选项C错误； ，所以，， 又，故，所以选项D正确. 故选：C 3质量检测评价 一、单选题 1．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】，. 故选：A. 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为且， 所以，即，所以，解得. 故选：B 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 4．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 5．若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 6．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 二、多选题 7．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断. 【详解】对于A，向量，，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由数量积的定义得，C错误； 对于D，，所以，D正确. 故选：AD. 8．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．与方向相反的单位向量的坐标是 C． D．在上的投影向量的模为 【答案】AB 【分析】A选项，验证是否等于0即可；B选项，与方向相反的单位向量为，即可判断选项正误；C选项，验证是否存在非零实数，使即可；D选项，在上的投影向量的模为，据此可判断选项正误. 【详解】由题， . A选项，，则，故A正确； B选项，，则，故B正确； C选项，设，则，即不存在，故C错误； D选项，，则，故D错误. 故选：AB 三、填空题 9．点关于轴的对称点的坐标是 ，关于坐标平面的对称点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系的中对称的性质直接求解. 【详解】在空间直角坐标系中， 点关于轴的对称点的横坐标不变， 纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即； 点关于坐标平面的对称点的横、纵坐标不变， 竖坐标变为原来的相反数，即. 故答案为：； 10．，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】/ 【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可. 【详解】由题意，，所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 11．已知空间向量.若四点共面，则 . 【答案】 【分析】根基空间向量共面定理结合空间向量坐标表示的线性运算即可得解. 【详解】因为四点共面，所以共面， 所以存在唯一实数对，使得， 即，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．已知空间中三点，，.设，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可； （2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可. 【详解】（1），，，，， ，， 于是， . （2）， ， 又与互相垂直，， 即， ，解得. 13．已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 14．已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$