导数的概念及其意义、导数的运算 课件-2025届高考数学一轮复习

必备知识 逐点夯实 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算 第四章 一元函数的导数及其应用 核心考点 分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数. 【核心素养】 数学抽象、数学运算、直观想象. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题. 预测 预计2025年高考将会涉及导数的运算及几何意义.以客观题的形式考查导数的定义,求曲线的切线方程.导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查. 必备知识 逐点夯实 知识梳理 归纳 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作_. f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数 f'(x)=. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线 的_,相应的切线方程为_. f'(x0)或y' 斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 微点拨 求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=_ f(x)=x ( ∈Q,且 ≠0) f'(x)=_ f(x)=sin x f'(x)=_ f(x)=cos x f'(x)=_ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=_ f(x)=ex f'(x)=_ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 0 cos x -sin x axln a ex 4.导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 [f(x) g(x)]'=_; [f(x)g(x)]'=_; []'=(g(x)≠0); [cf(x)]'=_. f'(x) g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x) 5.复合函数的定义及其导数 (1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的 函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=_. (2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=_, 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. f(g(x)) y'u u'x 微点拨 在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆. 常用结论 1.f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,则(f(x0))'=0. 2. []'=-(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次函数相切只有一个公共点. 4.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 基础诊断 自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 3 4 2 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.( ) (2)函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos x.( ) (3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).( ) (4)曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.( ) √ 提示: (2) f(x)=sin (-x)=-sin x,则f'(x)=-cos x. (3) 求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值. (4) “在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率;而对于“过某点”的切线,则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程,在曲线上某点处的切线只有一条,但过某点的切线可以不止一条. 2.(2023 全国甲卷)曲线y=在点(1,)处的切线方程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ 【解析】选C.设曲线y=在点(1,)处的切线方程为y-=k(x-1), 因为y=, 所以y'==, 所以k=, 所以y-=(x-1), 所以曲线y=在点(1,)处的切线方程为y=x+. 3.(选择性必修二 P81T6 变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'()cos x-sin x, 则f'()=_. 【解析】f'(x)=-f'()sin x-cos x, 令x=,得f'()=-f'()-, 解得f'()=1-. 1- 4.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的 切线方程为y=2x+b,则a的值为_;b的值为_. 【解析】y'=aex+ln x+1, 所以 解得 -1 核心考点 分类突破 考点一平均变化率与瞬时变化率及导数的概念 1.如图,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是( ) A.[x1,x2] B.[x2,x3] C.[x1,x3] D.[x3,x4] 【解析】选D.由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3], [x3,x4]上的平均变化率分别为,,,, 结合题图可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4]. 2.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则( ) A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 【解析】选ABD.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是==28,A正确; ==(56+7 t)=56,B正确; 当t=5时,s(5)=7 52+8=183,C错误; ==(70+7 t)=70,D正确. 3.(2023 晋城模拟)若函数f(x)在x=1处的导数为2,则=( ) A.2 B.1 C. D.6 【解析】选B.由函数f(x)在x=1处的导数为2,得f'(1)=2,所以 ==f'(1)=1. 4.已知函数y=f(x),若f'(x0)=-3,则=_. 【解析】依题意,得=f'(x0)=-3. -3 5.如图,函数f(x)的图象是折线段f(x),其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4), 则=_. 【解析】由题图可得在x∈[0,2]上,函数图象上每一点处的斜率都是=-2. 由导数的几何意义知=-2. -2 解题技法 1.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 (1)平均变化率=,当 x趋近于0时,所趋于的一个常数就是函数在x=x0处的瞬时变化率,即函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解. (2)平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的,绝对值越大,函数变化越快. 2.求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤 (1)求函数的增量 y=f(x0+ x)-f(x0); (2)求平均变化率=; (3)得导数f'(x0)=,简记作:一差、二比、三极限. 考点二导数的运算 1.(多选题)下列导数的运算中错误的是( ) A.(3x)'=3xln 3 B.(x2ln x)'=2xln x+x C. ()'= D.(sin xcos x)'=cos 2x 【解析】选C.因为()'=, 所以C项错误,其余运算都正确. 2.已知f(x)=cos 2x+,则f'(x)=( ) A.-2sin 2x+2 B.sin 2x+ C.2sin 2x+2 D.-sin 2x+ 【解析】选A.f'(x)=-2sin 2x+2. 3.(2023 济南模拟)已知f(x)=2xln x-f'(1)x,则f(e)=( ) A.e B.0 C.-e D.-1 【解析】选A.f'(x)=2ln x+2-f'(1),令x=1,得f'(1)=2ln 1+2-f'(1),解得f'(1)=1, 所以f(x)=2xln x-x,f(e)=2eln e-e=e. 4.求下列函数的导数. (1)y=(3x3-4x)(2x+1); 【解析】(1)方法一:y=(3x3-4x)(2x+1) =6x4+3x3-8x2-4x, 所以y'=24x3+9x2-16x-4. 方法二:y'=(3x3-4x)' (2x+1)+(3x3-4x) (2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x) 2 =24x3+9x2-16x-4. 4.求下列函数的导数. (2)y=x2sin x; 【解析】(2)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (3)y=ln ; 【解析】(3)y'= ()'=. (4)y=. 【解析】(4)y'=()'==-. 解题技法 导数的运算技巧 (1)连乘积形式函数式求导:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式函数式求导:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式函数式求导:先化为和、差的形式,再求导. (4)根式形式函数式求导:先化为分数指数幂的形式,再求导. (5)三角形式函数式求导:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. 考点三导数的几何意义 角度1 求切线方程 [例1](1)金榜原创 易错对对碰 已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4. ①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为_; ②曲线过点(2,f(2))的切线方程为_. x-y-4=0 x-y-4=0或y+2=0 【解析】①因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1, 又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0. ②设切点坐标为(x0,-4+5x0-4), 因为f'(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2), 又切线过点(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5) (x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1, 所以经过点(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. (2)(2023 临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为 _. 【解析】易得切点为(-e,-e), f'(x)=ln(-x)+1,则f'(-e)=2,所以切线方程为y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0. 2x-y+e=0 (3)(2022 新高考 卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程分别为_,_. y=x y=-x 【解析】因为y=ln |x|,当x>0时y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y'=,所以y'=, 所以切线方程为y-ln x0=(x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e, 所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x; 当x<0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=,所以y'=, 所以切线方程为y-ln(-x1)=(x-x1), 又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=(x+e), 即y=-x. 解题技法 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0); (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1)); 第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程. 角度2 求切点坐标 [例2](1)已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D. 【解析】选A.设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x-,得切线斜率k=x0-=2,所以x0=3. (2)(2023 贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为_. 【解析】因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0). (0,0) 解题技法 求切点坐标的思路 (1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. (2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标. 角度3 求参数的值(范围) [例3](1)(2023 重庆模拟)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切, 则a=_. 【解析】设切点坐标为(t,aln(t+1)),对函数y=aln(x+1)求导得y'=, 所以解得t=e-1,a=e. e (2)(2022 新高考 卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值 范围是_. (-∞,-4)∪(0,+∞) 【解析】因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex, 设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a),切线斜率k=(x0+1+a), 切线方程为:y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0), 因为切线过原点, 所以-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0), 整理得+ax0-a=0, 因为切线有两条,所以 =a2+4a>0, 解得a<-4或a>0, 故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). 解题技法 利用导数的几何意义求参数的方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. 提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线上. 对点训练 1.(2023 大同模拟)已知函数f(x)=2e2ln x+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为( ) A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0 C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0 【解析】选B.因为f(x)=2e2ln x+x2,所以f'(x)=+2x, 所以f(e)=2e2ln e+e2=3e2,f'(e)=4e, 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0. 2.(2023 泸州模拟)已知曲线y=在点( ,-)处的切线方程为y=x+b,则a的值 是( ) A. B.-2 C.- D.2 【解析】选D.令y=f(x)=,则f'(x)=,曲线在点( ,-)处的切线的斜率为f'( )==,解得a=2. 3.设a∈R,函数f(x)=ex+是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点 的横坐标为_. 【解析】由f(x)为偶函数,易得a=1. 所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x. 设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-=,解得x0=ln 2. ln 2 重难突破 两曲线的公切线问题的求法 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解. (2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)), 则f'(x1)=g'(x2)=. 类型一 求两曲线的公切线 [例1](2023 湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,则l的方程 为_. y=ex-1或y=x 【解析】直线l与曲线y=ex-1相切,设切点为(a,ea-1),y'=ex,切线的斜率为ea,切线方程为y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.直线l与y=ln x+1相切, 设切点为(b,ln b+1),y'=,切线的斜率为,切线方程为y-ln b-1=(x-b),即y=x+ln b.直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,可得 解得或 所以l的方程为y=ex-1或y=x. 类型二 切点相同的公切线问题 [例2](2023 金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=ln x的图象在公共点处有共同的 切线,则实数a的值为_. 【解析】设公共点为P(x0,y0)(x0>0),则a=ln x0. 由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax, 由g(x)=ln x,得g'(x)=. 因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0,y0)处有共同的切线,所以f'(x0)=g'(x0), 即2ax0=,得a=, 所以 =ln x0,即ln x0=,得x0=, 所以a===. 类型三 切点不同的公切线问题 [例3]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线, 则b=_. 1-ln 2 【解析】y=ln x+2的切线为y= x+ln x1+1(设切点横坐标为x1), y=ln(x+1)的切线为y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为x2), 所以 解得x1=,x2=-, 所以b=ln x1+1=1-ln 2. 对点训练 1.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.依题意得,f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0), 即-asin 0=2 0+b,解得b=0. 又m=f(0)=g(0),即m=a=1,所以a+b=1. 2.(一题多法)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切, 则a=_. 8 【解析】方法一:因为y=x+ln x, 所以y'=1+,y'|x=1=2, 所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切, 所以a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行). 由 消去y,得ax2+ax+2=0. 由 =a2-8a=0,解得a=8. 方法二:同方法一得切线方程为y=2x-1. 设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,a+(a+2)x0+1). 因为y'=2ax+a+2,所以y'=2ax0+a+2. 由解得 3.若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为 _. [,+∞) 【解析】由y=ax2(a>0)得y'=2ax, 由y=ex得y'=ex. 设公切线与曲线C1切于点(x1,a),与曲线C2切于点(x2,), 则2ax1==,可得2x2=x1+2, 所以a=. 因为a>0,所以x1>0,记f(x)=(x>0), 则f'(x)=, 当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=2时,f(x)min=>0, 所以a的取值范围为[,+∞). 谢谢观赏!! $$