第四章 基本平面图形-回顾与思考 课件 2024-2025学年 北师大版数学七年级上册

第四章　基本平面图形 回顾与思考 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 要点回顾 典例讲练 目录 CONTENTS 1. 过平面内一点能画 条直线，两点 ⁠一条 直线. 2. 两点之间的所有连线中， 最短.两点之间 ⁠ 的长度，叫作这两点之间的距离. 3. 线段的中点到两端点的距离 .如果点 M 是线段 AB 的 中点，那么 ＝ ＝ AB . 4. （1）1°＝ '，1'＝ ″； 无数　 确定　 线段　 线段　 相等　 AM 　 MB 　 60　 60　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个 ⁠ 的角，这条射线叫作这个角的平分线. 相 等　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 5. （1）一条直线上有 n 个点，在这条直线上一共 有 条线段，一共有2 n 条射线； （2）平面内的 n 条直线两两相交，最多有 ⁠个 交点. 6. 从一个 n 边形（ n ≥4）的某个顶点出发，可以作 ⁠ 条对角线，这些对角线把 n 边形分为 ⁠个 三角形. 　 　 （ n － 3）　 （ n －2）　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 要点一　线段与角的计数问题 如图1，线段上有3个点时，共有3条线段；如图2，线段上 有4个点时，共有6条线段；如图3，线段上有5个点时，共有10 条线段. （1）当线段上有6个点时，共有 条线段； 【解析】（1）当线段上有6个点时，共有 ＝ ＝15 （条）线段.故答案为15. 15　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）当线段上有 n 个点时，共有 条线段（用含 n 的代数式表示）； 【解析】（2）根据题意，得当线段上有 n 个点时，共有 条线段.故答案为 . 　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）当 n ＝100时，共有 条线段. 【思路导航】每一个点与另外的一个点组成一条线段，据此得 出线段条数与点个数的关系，进而求解. 【解析】（3）当 n ＝100时，共有 ＝4950（条）线段.故 答案为4950. 【点拨】在探究图形个数时，先根据计数方法归纳总结出计算 公式，再代入数据求解. 4950　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，已知∠ AOB ＝90°，则其中以点 O 为顶点的锐角共 有 个. 9　 【解析】逆时针方向，以 OA 为始边的角有4个，以 OE 为始边的角有3个，以 OD 为始边的角有2个，以 OC 为始边的角有1个，其中有1个角为直角，故锐角共有4＋3＋2＋1－1＝9（个）.故 答案为9. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，请 仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 图1 图2 图3 图4 … 数学 七年级上册 BS版 返回目录 多边形的顶点 数 4 5 6 7 … n 从一个顶点出 发的对角线的 条数 1 2 3 4 … ⁠ 多边形对角线 的总条数 2 5 9 14 … ⁠ n －3　 ​ 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【观察探究】观察上面的图形和表格，并用含 n 的代数式将上 面的表格填写完整； 【拓展应用】有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间 通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话？ 【拓展应用】解：把76当成多边形的76个顶点，每两人之间通1 次电话（且只通1次电话），他们一共通电话 ＋76 ＝2850（次）. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点二　与线段长度有关的计算问题 如图，已知线段 AB ＝8，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线 段 BC 的中点. （1）求线段 AD 的长； 【思路导航】（1）根据 AD ＝ AC ＋ CD ，只要求出 AC ， CD 的 长即可解决问题； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）因为 AB ＝8，点 C 是 AB 的中点， 所以 AC ＝ BC ＝4. 因为点 D 是 BC 的中点， 所以 CD ＝ BC ＝2. 所以 AD ＝ AC ＋ CD ＝4＋2＝6. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若在线段 AB 上有一点 E ，且 CE ＝ BC ，求 AE 的长. 【思路导航】（2）先求出 CE 的长，再由点 E 在点 C 的左边或右边分类讨论. （2）因为 BC ＝4， CE ＝ BC ， 所以 CE ＝ ×4＝1. 当点 E 在点 C 的左边时， AE ＝ AC － CE ＝4－1＝3； 当点 E 在点 C 的右边时， AE ＝ AC ＋ CE ＝4＋1＝5. 所以 AE 的长为3或5. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解决线段的计算问题的关键是从“形”——线段的位 置转化为“数”——线段的和、差.“数”和“形”相结合，使 得要求的线段向已知线段转化. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 已知线段 AB ＝10cm，点 D 是线段 AB 的中点，直线 AB 上有 一点 C ，且 BC ＝2cm，则线段 DC ＝ ⁠. 【解析】因为点 D 是线段 AB 的中点， 所以 BD ＝ AB ＝ ×10＝5（cm）. 如图1，当点 C 在线段 AB 延长线上时， DC ＝ DB ＋ BC ＝5＋2＝7（cm）； 7cm或3cm　 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 如图2，当点 C 在线段 AB 上时， DC ＝ DB － BC ＝5－2＝3（cm）. 图2 综上所述，线段 DC ＝7cm或3cm.故答案为7cm或3cm. 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 如图1，已知点 A ， B 在直线 l 上，且线段 AB ＝16cm. （1）如图2，点 C 在线段 AB 上，且 BC ＝6cm，点 M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长. （1）解：因为 AB ＝16cm， BC ＝6cm， 所以 AC ＝ AB － BC ＝10cm. 因为点 M 为线段 AC 的中点， 所以 AM ＝ AC ＝5cm. 图1 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 ①线段 AC ＝ cm； ②若点 M 是线段 AC 的中点，则线段 AM ＝ cm. 图1 图2 12或20　 6或10　 （2）若点 C 在直线 l 上，且 BC ＝4cm. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）【解析】①当点 C 在点 B 的左边时， 因为 AB ＝16cm， BC ＝4cm， 所以 AC ＝ AB － BC ＝12cm； 当点 C 在点 B 的右边时， 因为 AB ＝16cm， BC ＝4cm， 所以 AC ＝ AB ＋ BC ＝20cm. 综上所述， AC ＝12cm或20cm. 故答案为12或20. ②当点 C 在点 B 的左边时， 数学 七年级上册 BS版 返回目录 因为点 M 为线段 AC 的中点， 所以 AM ＝ AC ＝ ×12＝6（cm）. 当点 C 在点 B 的右边时， 因为点 M 为线段 AC 的中点， 所以 AM ＝ AC ＝ ×20＝10（cm）. 综上所述， AM ＝6cm或10cm. 故答案为6或10. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点三　角的认识和单位的换算 在3时45分时，钟面上时针与分针的夹角是多少度？ 【思路导航】钟面上每相邻两个大格之间的夹角是30°，先计 算出时针和分针相差大格数，再减去时针偏离的度数，即为时 针和分针夹角的度数. 解：因为钟面上，“3”到“9”的夹角为30°×6＝180°， 时针偏离“3”的度数为30°× ＝22.5°， 所以时针与分针的夹角为180°－22.5°＝157.5°. 【点拨】事实上，对于任意时刻“ m 时 n 分”，时针和分针的夹 角为｜30 m －5.5 n ｜°或者360°－｜30 m －5.5 n ｜°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 填空： （1）30.12°＝ ° ' ″； 【解析】（1）因为1°＝60'，所以0.12°＝7.2'. 因为1'＝60″，所以0.2'＝12″. 所以30.12°＝30°7'12″. 故答案为30，7，12. 30　 7　 12　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）100°12'36″＝ ⁠°. 【解析】（2）因为1'＝60″，所以36″＝0.6'. 所以12'＋0.6'＝12.6'. 因为1°＝60'，所以12.6'＝0.21°. 所以100°12'36″＝100.21°. 故答案为100.21. 100.21　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，现在的时间是9时30分，则时钟面上的时针与分针的 夹角是 ⁠. 105°　 【解析】由题意可知，时钟面上每一个大格的度数为 ＝ 30°.因为现在的时间是9时30分，所以时钟面上的时针与分针 的夹角有3.5个大格.所以时钟面上的时针与分针的夹角是 3.5×30°＝105°.故答案为105°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点四　与角有关的计算问题 如图，已知∠ AOB 内部有三条射线，且 OE 平分∠ AOD ， OC 平分∠ BOD . （1）若∠ AOB ＝100°，求∠ EOC 的度数； 【思路导航】（1）根据角平分线的概念及角的和差计算即可； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）因为 OE 平分∠ AOD ， OC 平分∠ BOD ， 所以∠ EOD ＝ ∠ AOD ，∠ DOC ＝ ∠ DOB . 所以∠ EOC ＝∠ DOE ＋∠ DOC ＝ （∠ AOD ＋∠ DOB ）＝ ∠ AOB ＝50°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若∠ AOB ＝70°，并且将题中“平分”的条件改为∠ EOA ＝ ∠ AOD ，∠ DOC ＝ ∠ DOB ，且∠ DOE ∶∠ DOC ＝3∶2，求∠ EOC 的度数. 【思路导航】（2）设∠ DOE ＝3 x ，∠ DOC ＝2 x ，根据条件分别求出∠ DOE ，∠ DOC 的度数即可解决问题. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（2）因为∠ DOE ∶∠ DOC ＝3∶2， 所以可设∠ DOE ＝3 x ，∠ DOC ＝2 x . 因为∠ EOA ＝ ∠ AOD ， 所以∠ DOE ＝ ∠ AOD . 所以∠ AOD ＝4 x . 因为∠ DOC ＝ ∠ DOB ，所以∠ DOB ＝3 x . 因为∠ AOB ＝70°，所以3 x ＋4 x ＝70°.所以 x ＝10°. 所以∠ EOC ＝∠ EOD ＋∠ DOC ＝5 x ＝50°. 所以∠ EOC 的度数为50°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】在角的计算中，要注意角平分线以及角的和、差、 倍、分关系，将要求的角转化为已知角. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点 O ，若∠ AOB ＝155°，则∠ COD ＝ ，∠ BOC ＝ ⁠. （第1题图） 25°　 65°　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】因为△ AOC 和△ BOD 是一副直角三角尺，所以∠ AOC ＋∠ DOB ＝180°.所以∠ AOB ＋∠ COD ＝∠ DOB ＋∠ AOD ＋ ∠ COD ＝∠ DOB ＋∠ AOC ＝90°＋90°＝180°.因为∠ AOB ＝155°，所以∠ COD ＝180°－∠ AOB ＝180°－155°＝ 25°.所以∠ BOC ＝∠ DOB －∠ COD ＝90°－25°＝65°.故 答案为25°，65°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠后，点 C 落 在点 E 处， BE 交 AD 于点 F ，再将△ DEF 沿 DF 折叠后，点 E 落 在点 G 处.若 DG 刚好平分∠ ADB ，则∠ EDF 的度数 为 ⁠. 18°　 （第2题图） 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】设∠ EDF ＝α.由折叠的性质可知，∠ EDF ＝∠ ADG ＝ α，∠ BDE ＝∠ BDC . 因为 DG 平分∠ ADB ，所以∠ ADG ＝ ∠ BDG ＝α.所以∠ ADB ＝∠ ADG ＋∠ BDG ＝2α，∠ BDE ＝ ∠ EDF ＋∠ ADG ＋∠ BDG ＝3α.所以∠ BDC ＝∠ BDE ＝3α.所以 ∠ ADC ＝∠ ADB ＋∠ BDC ＝2α＋3α＝5α.因为四边形 ABCD 为 长方形，所以∠ ADC ＝90°.所以5α＝90°.所以α＝18°，即 ∠ EDF ＝18°.故答案为18°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. 如图，已知 OA 的方向是北偏东15°， OB 的方向是北偏西 40°， OD 是 OB 的反向延长线. （1）若∠ AOC ＝∠ AOB ，求 OC 的方向； 解：（1）因为 OA 的方向为北偏东15°， 所以∠ AOF ＝15°. 因为 OB 的方向是北偏西40°，所以∠ BOF ＝40°. 所以∠ AOB ＝∠ BOF ＋∠ AOF ＝40°＋15°＝55°. 因为∠ AOC ＝∠ AOB ，所以∠ AOC ＝55°. 所以∠ FOC ＝∠ AOF ＋∠ AOC ＝15°＋55°＝70°. 所以 OC 的方向是北偏东70°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）在（1）的条件下，作∠ AOD 的平分线 OE ，求∠ COE 的 度数. 解：（2）由题意，得∠ AOD ＝180°－40° －15°＝125°. 如图，因为 OE 是∠ AOD 的平分线， 所以∠ AOE ＝ ∠ AOD ＝62.5°. 所以∠ COE ＝∠ AOE －∠ AOC ＝62.5°－ 55°＝7.5°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点五　多边形与圆 如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还 要再钉上几根木条？ 要使一个 n 边形（ n ≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要 再钉上几根木条？ 【思路导航】要使图形不变形，需构建三角形. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：要使木架不变形，则需从一个顶点向其他各顶点作对角线.因为要使六边形木架不变形，所以还要再钉上6－3＝3（根）木条.要使一个 n 边形木架不变形，至少再钉上（ n －3）根木条. 【点拨】从一个 n 边形（ n ≥4）的一个顶点出发，能作（ n － 3）条对角线，这些对角线把 n 边形分成（ n －2）个三角形. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 已知从 n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这 个 n 边形分割成17个三角形，则 n ＝ ⁠. 2. 如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数的比为 1∶2∶4∶5.请完成下面问题： 19　 （1）求扇形丁的圆心角度数； 解：（1）扇形丁的圆心角度数为360°× ＝150°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若这个圆的半径为2，求扇形乙的面积. 解：（2）扇形乙的面积为π×22× ＝ π. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$