平面向量讲义-2025届高考数学一轮复习

2025届高考一轮复习:平面向量 知识点一 平面向量的概念 【基础指数框架】 1.平面向量的相关概念 (1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)向量的表示:用有向线段或表示,但注意有向线段与向量并不等价. (3)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度,记作或. (4)零向量:大小为,方向任意的向量. (5)单位向量:大小为,方向任意的向量. (6)平行向量(共线向量):方向相同或相反的两个向量,基线包括平行或共线两种情况. (7)相等向量:大小相等,方向相同的两个向量. (8)相反向量:大小相等,方向相反的两个向量. 【例题分析】 例1.(2024春•中山市月考)下列说法正确的是 A.若,则 B.若,,则 C.若,则 D.若,则 例2.(2024春•杨浦区校级期中)下列说法错误的是 A.若,,则 B.若,,则 C.若与是非零向量且,则与的方向相同或者相反 D.若,都是单位向量,则 例3.(2024春•广西月考)下列说法错误的是 A. B.,都是单位向量,则 C.若,则 D.零向量方向任意 例4.(2024春•聊城期中)对于任意两个向量,则下列命题中正确的是 A. B. C.若与共线,则存在唯一的实数,使得 D.若,满足,且与同向,则 例5.(2024春•河北区校级月考)关于向量,下列命题中正确的是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【变式训练】 1.(2024春•太和县校级月考)关于平面向量,下列说法正确的是 A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.速度是向量,位移是数量 D.零向量是没有方向的 2.(2024春•保定期中)下列结论正确的是 A.平行向量的方向都相同 B.单位向量都相等 C.零向量与任意向量都不平行 D.两个单位向量之和可能仍然是单位向量 3.(2024春•回民区月考)设,是两个非零向量,则下列描述正确的有 A.若,则存在实数,使得. B.若,则. C.若,则,反向. D.若,则,一定同向 4.(2024春•五华区校级月考)如图,在中,向量是 A.共线向量 B.相等的向量 C.模相等的向量 D.有相同起点的向量 5.(2024春•福建月考)下列说法正确的是 A.若,,则 B.若,则 C.对任意非零向量,是和它同向的一个单位向量 D.零向量没有方向 知识点二 平面向量的线性运算 【基础指数框架】 1.平面向量的线性运算 (1)向量的加法:首尾相连,由头指尾,即; (2)向量的减法:起点相同,由后指前,即; (3)向量的数乘:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做数乘,记作.它的长度和方向规定如下: ①; ②时,的方向与的方向相同;当时,与的方向相反;时,. (4)常见结论 ①,当与共线且同向时,当与共线且反向时,. ②,当与共线且反向时,当与共线且同向时,. ③在中,记,,,. ④在中,记,,中点为,则. 【例题分析】 例1.(2024春•潮安区校级期中)已知四边形为正方形,则下列等式中成立的是 A. B. C. D. 例2.(2024春•东莞市期中) A. B. C. D. 例3.(2023春•潮阳区校级期中)在四边形中,,,,则四边形的形状是 A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 例4.(2023春•顺德区校级期中)已知,,,则 A.、、三点共线 B.、、三点共线 C.、、三点共线 D.、、三点共线 【变式训练】 1.(2024春•电白区期中)化简的结果等于 A. B. C. D. 2.(2024春•宝安区月考)在中, A. B. C. D.0 3.(2023春•东莞市校级月考)下列各式中结果为零向量的是 A. B. C. D. 4.(2023春•龙华区校级期中)如图,在正六边形中, A. B. C. D. 知识点三 平面向量的基本定理 【基础指数框架】 1.平面向量基本定理:如果是平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使得; 2.平面向量的共线定理:向量与非零向量共线,则有且只有一个实数,使. 3.三点共线:若点三点共线,点不在所在直线上,则存在唯一的与,使得,且. 【例题分析】 例1.已知,是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是( ) A., B., C., D., 例2.(2024•汕头模拟)已知四边形是平行四边形,,,则 A. B. C. D. 例3.(2022•新高考 )在中,点在边上,.记,,则 A. B. C. D. 例4.(2023•花都区校级模拟)如图,在中,点为线段的中点,点,分别是线段上靠近,的三等分点,则 A. B. C. D. 例5.(2024•福田区校级模拟)点是平行四边形的中心,为的中点,若,则 A.1 B. C. D. 【变式训练】 1.设是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的一组是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 2.(2024•番禺区校级模拟)已知在中,点在边上,且,则 A. B. C. D. 3.(2024•顺德区模拟)在中,,若,线段与交于点,则 A. B. C. D. 4.(2024•中山市校级模拟)中,为中点,设向量,,,则 A. B. C. D. 5.(2020•海南)在中,是边上的中点,则 A. B. C. D. 6.(2023春•顺德区校级期中)已知,,,则 A.、、三点共线 B.、、三点共线 C.、、三点共线 D.、、三点共线 知识点四 平面向量的数量积 【基础指数框架】 1. (为与的夹角,夹角必须有公共起点); 2.若,则; 3.,即; 4.在上的投影为;在上的投影向量为; 5.若与所称之角为锐角,则且与不共线;若与所称之角为钝角,则且与不共线. 【例题分析】 例1.(2022•甲卷)设向量,的夹角的余弦值为,且,,则 . 例2.(2020•新课标 )已知单位向量,的夹角为,与垂直,则 . 例3.(2020•新课标 )设,为单位向量,且,则 . 例4.(2024•新高考 )已知向量,满足:,,且,则 A. B. C. D.1 例5.(2020•新课标 )已知向量,满足,,,则, A. B. C. D. 例6.(2023•新高考 )已知向量,满足,,则 . 例7.(2022•上海)若平面向量,且满足,,,则 . 例8.(2021•新高考 )已知向量,,,则 . 例9.(2021•甲卷)若向量,满足,,,则 . 例10.(2023•赤坎区二模)已知向量,满足,,则 A. B. C. D. 例11.(2024•广东模拟)若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为 A. B. C. D. 例12.(2023•深圳一模)已知,为单位向量,且,则与的夹角为 A. B. C. D. 例13.(2020•北京)已知正方形的边长为2,点满足,则 ; . 例14.(2024•白云区模拟)已知,是夹角为的两个单位向量,若向量在向量上的投影向量为,则 A. B.2 C. D. 【变式训练】 1.(2021•上海)如图正方形的边长为3,求 . 2.(2021•浙江)已知非零向量,,,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2020•新课标 )已知单位向量,的夹角为,则在下列向量中,与垂直的是 A. B. C. D. 4.(2022•乙卷)已知向量,满足,,,则 A. B. C.1 D.2 5.(2024•潮阳区模拟)若都为非零向量,且,,则向量的夹角为 A. B. C. D. 6.(2024•东莞市一模)在中,,,,则 A. B.16 C. D.9 7.(2023•广州二模)已知两个非零向量,满足,,则 A. B. C. D. 8.(2023•乙卷)正方形的边长是2,是的中点,则 A. B.3 C. D.5 9.(2023•甲卷)向量,,且,则, A. B. C. D. 10.(2024•湛江一模)已知向量,均为单位向量,,若向量与向量的夹角为,则 A. B. C. D. 11.(2024•海珠区模拟)已知单位向量与的夹角为,则与的夹角为 A. B. C. D. 12.(2024•荔湾区模拟)已知,,则在上的投影向量为 A. B. C. D. 13.(2024•罗湖区模拟)已知,若与的夹角为,则在上的投影向量为 A. B. C. D. 知识点五 平面向量的坐标运算 【基础指数框架】 1.平面向量的正交分解与坐标运算 (1)设,,则 ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥. (2)在平面直角坐标系中,已知点,,. (3)夹角问题:,. 【例题分析】 例1.(2022•乙卷)已知向量,,则 A.2 B.3 C.4 D.5 例2.(2022•港澳台)已知向量,.若,则 A. B. C. D. 例3.(2020•新课标 )设向量,,若,则 . 例4.(2024•新高考 )已知向量,,若,则 A. B. C.1 D.2 例5.(2023•新高考 )已知向量,.若,则 A. B. C. D. 例6.(2023•北京)已知向量,满足,,则 A. B. C.0 D.1 例7.(2022•新高考 )已知向量,,,若,,,则 A. B. C.5 D.6 例8.(2021•港澳台)已知向量,,则的最大值是 A.7 B.5 C.4 D.1 例9.(2021•新高考 •多选)已知为坐标原点,点,,,,,则 A. B. C. D. 【变式训练】 1.(2023•上海)已知向量,,则 . 2.(2022•甲卷)已知向量,.若,则 . 3.(2021•乙卷)已知向量,,若,则 . 4.(2021•乙卷)已知向量,,若,则 . 5.(2021•甲卷)已知向量,,.若,则 . 6.(2023•甲卷)已知向量,,则, A. B. C. D. 7.(2023•港澳台)设向量,,若,则 A.5 B.2 C.1 D.0 8.(2024•佛山模拟)已知平面向量,,则在上的投影向量为 A. B. C. D. 知识点六 以向量为背景的多结论问题 【基础指数框架】 1.若求平面向量的数量积,常见的处理方法有以下四种: (1)方法一:定义直接展开:; (2)方法二:线性运算代换:若,则; (3)方法三:建系坐标代换:若,则; (4)方法四:利用三角函数进行代换:在中,为直角,,在任意中,可利用正弦定理进行转换; 适用条件: ①若已知、和夹角,可用方法一; ②若、与存在未知数且能线性代换,可用方法二; ③若存在直角三角形、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、直角梯形等特殊图形,可用方法三; ④若存在直角三角形或知道两角一边,可利用方法四. 2.以平面向量的数量积为背景的最值问题常见处理方法 (1)方法一:三角函数法:若代数式可化为的性质,可利用三角函数的值域进行求解; (2)方法二:基本不等式法:若代数式可化为的形式,可利用基本不等式进行求解; (3)方法三:二次函数法:若代数式可化为的形式,可利用二次函数进行求解; (4)方法四:投影法:若中,已知或,则或可利用向量投影进行求解; 注意事项:①不管使用哪种方法求最值,均需讨论最值何时能取到; ②若换元,则需注意新变量的取值范围. 3.常见结论 在中,记,,,,. (1). (2)若,则. (3)若,或者平分与的夹角,则. 【例题分析】 题型一:利用三角函数求最值 例1.(2023 全国 高三专题练习)已知中,,点P在平面ABC内,,则的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 例2.(2023 全国 高一专题练习)若,且,则的最大值为( ) A. B. C. D. 例3. 已知矩形的边长,,点,分别在边,上,且,则的最小值为_. 题型二:利用基本不等式求最值 例1.(2023春 重庆北碚 高一西南大学附中校考阶段练习)平面向量,满足,且,则与夹角的余弦值的最大值是( ) A. B. C. D. 例2.(2023 全国 高一专题练习)在中,,边的中点为D,且,则的最大值为( ) A. B. C. D. 例3.(2023春 广东云浮 高一校考阶段练习)在中,D为BC上一点.若,则的最小值为( ) A. B. C. D. 例4.(2022秋 湖南岳阳 高三统考阶段练习)已知面积为6的直角中,为斜边上的两个三等分点,则的最小值为( ) A. B. C.8 D. 题型三:利用二次函数求最值 例1.(2023春 全国 高一专题练习)如图,在等腰直角中,斜边,为线段BC上的动点,且,则的最小值为( ) A. B. C.4 D.6 例2.(2023 全国 高一专题练习)是边长为6的等边三角形,点,分别在边,上,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 例3.(2023 全国 高一专题练习)边长为2的正六边形中,M为边CD上的动点,则的最小值为( ) A. B.6 C.4 D. 例4.(2021春 陕西渭南 高一校考阶段练习)如图,在矩形中,点E是的中点,点F在上. (1)若点F是上靠近C的三等分点,设,求的值; (2)若,求的最值. 例5.(2023春 江苏盐城 高一盐城中学校考阶段练习)在 ABC中,AB=2,AC=3,,,. (1)求角A和DE的长; (2)若M是线段BC上的一个动点(包括端点),求的最值. 题型四:利用投影法求最值 例1.(2023春 广东佛山 高一佛山市第三中学校考阶段练习)如图,正六边形边长为1,记,从点这六点中任取两点为的起点和终点,则的最大值为_. 例2.(2022春 上海杨浦 高一上海市控江中学校考期中)已知是边长为1的正六边形的边上的任意一点,则的取值范围是_. 例3.(2022 上海 统考模拟预测)已知是边长为2的正六边形内的一点,则的取值范围是_. 知识点七 奔驰定理与四心问题 【基础指数框架】 1.奔驰定理:已知为内任意一点,则有. 推论:若为内任意一点,且,则_. 2.三角形内心: ①定义:三角形内接圆圆心,三角形内角角平分线的交点,内心到三角形各边距离相等. ②性质:若为三角形的内心,则 . 证明:由奔驰定理知 ,即. 3.三角形外心: ①定义:三角形外接圆圆心,三角形各边的垂直平分线的交点,到顶点距离相等(). ②性质:若为三角形的外心,则. 证明:由奔驰定理知 ,即. 4.三角形重心: ①定义:三角形三条中线的交点,重心将中线分为的线段. ②性质:若为三角形的重心,. 5.三角形垂心: ①定义:三角形三条高线的交点. ②性质:若为三角形的垂心,. 证明:为三角形的垂心, (同理可证) 【例题分析】 例1.(2023 全国 高一专题练习)已知在所在平面内,,则是的_心. 例2.(2023 全国 高一专题练习)已知为内一点,且满足,则为的_心. 例3.(2021 高一课时练习)设点O是所在平面内一点,且,则点O是的_心. 例4.(2022 高三专题练习)点为所在平面内一点,满足,则为的_心. 例5.(2022 高三专题练习)已知O,N,P在所在平面内,且,,且,则点O,N,P依次是的_(填三角形的四心) 【变式训练】 1.(2021春 高一课时练习)点O是 ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的_心. 2.(2021春 高一课时练习)设点O是三角形ABC所在平面上一点,若,则点O是三角形ABC的_心. 3.(2022春 广东广州 高一广州市海珠中学校考期中 多选)在中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为的重心,则下述结论中正确的是( ) A. B. C. D. 4.(2022春 广东广州 高一广州市海珠中学校考期中 多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知是内的一点,,,的面积分别为,,,则.若是锐角内的一点,,,是的三个内角,且点满足.则( ) A.为的外心 B. C. D. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$