复数讲义-2025届高考数学一轮复习

2025届高考一轮复习：复数 知识点一 复数的概念 【基础指数框架】 1.形如的数叫复数，其中为虚数单位，、分别为复数的实部和虚部； 2.对于复数，当且仅当时为实数，当且仅当时为实数0，当时为虚数，当且时为纯虚数； 3.平面直角坐标系可用来表示复平面，轴称为实轴，轴称为虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数； 4.复数与复平面上的点一一对应； 5.复数与平面向量一一对应. 的模称为复数的模或绝对值，记作或，即； 6.对于复数，称为复数的共轭复数，记作. 【例题分析】 例1．（2024春•铁东区校级月考）复数虚部是　　 A． B．1 C． D． 例2．（2024春•和平区校级月考）已知复数为纯虚数，则实数　　 A． B． C．2 D． 例3．（2024•香坊区校级四模）已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为　　 A．0 B．1 C．2 D． 例4．（2024春•台州期中•多选）在复平面内，下列说法正确的是　　 A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是虚数 例5．（2024•开封模拟•多选）已知复数，（其中是虚数单位，，，若为纯虚数，则　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024春•浦东新区校级月考）已知为虚数单位，则复数的实部为 　　． 2．（2024春•忻城县校级期中）复数为虚数单位）的虚部为　　 A．2 B． C． D． 3．（2024•新乡三模）已知为纯虚数，则　　 A．3 B． C． D． 4．（2024春•重庆期中•多选）下列命题中，真命题为　　 A．复数为纯虚数的充要条件是 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数，则 5．（2024春•兴化市期中•多选）对于复数，则下列结论中错误的是　　 A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则不是复数 知识点二 复数的四则运算 【基础指数框架】 1.对于复数， （1）；； （2）===； （3）=. 【例题分析】 1．（2024•新高考Ⅰ）若，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•北京）若复数满足，则　　 A． B． C． D． 3．（2024•甲卷）设，则　　 A． B．1 C． D．2 4．（2024•甲卷）设，则　　 A． B． C．10 D． 5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2023•新高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C．0 D．1 7．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　　． 8．（2023•天津）已知是虚数单位，化简的结果为 　　． 【变式训练】 1．（2023•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数　　 A． B． C． D． 2．（2023•甲卷）若复数，，则　　 A． B．0 C．1 D．2 3．（2023•乙卷）　　 A．1 B．2 C． D．5 4．（2022•浙江）已知，，为虚数单位），则　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2022•北京）若复数满足，则　　 A．1 B．5 C．7 D．25 6．（2022•甲卷）若，则　　 A． B． C． D． 7．（2022•新高考Ⅰ）若，则　　 A． B． C．1 D．2 8．（2022•乙卷）已知，且，其中，为实数，则　　 A．， B．， C．， D．， 知识点三 复数的几何应用、代数应用与周期性 【基础指数框架】 1.在复数范围内解二次方程 对于二次方程，，； 若，则，如. 2. 周期性：若，则；；；. 3. 几何意义：设,则满足的点的集合表示的图形为以为圆心，半径为的圆. 【例题分析】 例1．（2023•乙卷）设，则　　 A． B． C． D． 例2．（2024•安康模拟）若满足，对应的点关于原点对称的点为，则对应的为　　 A． B． C． D． 例3．（2024•襄城区校级模拟）已知复数是虚数单位，，则的最小值是　　 A． B． C． D．1 例4．（2024•吉林四模）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为　　 A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 例5．（2024•阳泉三模）已知是实系数方程的一个复数根，则　　 A． B． C．1 D．9 例6．（2024•江苏模拟）已知是虚数单位）是方程的根，则　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023•甲卷）　　 A． B．1 C． D． 2．（2024•邵阳模拟）已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为　　 A． B．1 C．2 D．4 3．（2024•全国二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024•泰州模拟）若复数满足，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． 5．（2024•广东模拟）已知，为方程的两个虚根，则　　 A． B． C． D． 6．（2024•枣庄模拟）已知复数是方程的一个根，则实数　　 A． B．5 C． D．6 知识点四 复数的三角表示 【基础指数框架】 1. 复数的三角表示 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，是复数的模;是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数之的辐角. 叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（任何一个不为零的复数辐角有无数多个，且相差的整数倍，我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为）. 2.复数乘、除的三角表示及其几何意义：对于复数， （1）； （2）. 【例题分析】 例1．（2023·全国·高一专题练习）以下不满足复数的三角形式的是（  ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏·高一专题练习）复数化成三角形式，正确的是（  ） A． B． C． D． 例3．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（  ） A．=0 B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 例4．（2023春·全国·高一专题练习）计算：． 【变式训练】 1．（2023·高二课时练习）复数－i的三角形式是（  ） A． B． C． D． 2．（2022春·江西南昌·高一校考期中）复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 3．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ） A．1 B． C． D．i 4．（2023春·全国·高一专题练习）计算： (1)； (2). 知识点五 以复数为背景的综合计算 【例题分析】 例1．（2024•山东模拟•多选）已知，为方程的两根，则　　 A． B． C． D． 例2．（2024春•深圳月考•多选）已知复数，，下列结论正确的有　　 A．若，则 B．若，则 C．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D．若是关于的方程的一个根，则 例3．（2024春•耒阳市期中•多选）若复数，则下列命题是真命题的是　　 A． B． C． D．若是关于的方程的根，则 例4．（2024春•聊城期中•多选）已知，为方程的两个不相等的复数根，则　　 A． B．时，较大的根为 C．时， D． 例5．（2024•江门模拟•多选）下列说法正确的是　　 A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 例6．（2024•天河区校级模拟•多选）已知复数，，则下列结论正确的是　　 A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线 例7．（2024春•青羊区校级月考•多选）已知，是关于的方程的两个根，其中，则　　 A． B． C． D． 例8．（2024春•岳麓区校级月考•多选）下列命题为真命题的是　　 A．复数的虚部为 B．若为虚数单位，则 C．在复数集中，方程有两个解，依次为 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 2 学科网（北京）股份有限公司 $$