集合与常用逻辑用语讲义-2025届高考数学一轮复习

2025届高考一轮复习:集合与常用逻辑用语 知识点一 集合的定义与表示 【基础指数框架】 1.定义:具有相同性质的元素所构成的整体,称为集合。 2.集合的性质:(1)确定性:即集合的中元素要有客观的标准可以衡量,不能用主观去衡量; (2)互异性:在一个集合中,任何两个元素都是不同的对象; (3)无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序. 3.集合的表示方法:(1)列举法:将集合的元素逐一列举出来的方式; 使用条件:有限集; (2)描述法:将集合表示为;使用条件:无限集; (3)韦恩图:用平面上的矩形或圆形表示一个集合; 使用条件:表示集合关系. 【例题分析】 例1.对于、,规定,集合,则中元素的个数为( ) A.6 B.8 C.15 D.16 例2.下列说法:①集合用列举法可表示为};②实数集可以表示为为所有的实数或;③一次函数和的图像象交点组的集合为,正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 例3.已知、、为非零实数,记代数式的值所组成的集合为,则下列判断中正确的是( ) A.0M B.-4M C.2∈M D.4∈M 例4.(2023•东莞市校级三模)已知全集和它的两个非空子集,的关系如图所示,则下列命题正确的是 A., B., C., D., 【变式训练】 1.(2023秋•金平区期末)下列能构成集合的是 A.汕头电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.汕头市所有的中学生 D.,, 2.集合用描述法可表示为( ) A. B. C. D. 3.下列与集合表示同一集合的是( ) A. B. C. D. 4.下列说法中正确的是( ) ①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合 ② ③不等式的解集为 ④在平面直角坐标系中,第二、四象限内的点构成的集合可表示为 A.①② B.②④ C.②③④ D.①③④ 知识点二 集合的基本关系 【基础指数框架】 1.集合与元素的关系:元素与集合的关系,即,开口朝向集合背靠元素 (1)若元素属于集合,记作; (2)若元素不属于集合,记作; (3)常见数集的表示方法:①实数集:; ②整数集:; ③有理数集:; ④自然数集:; ⑤正整数集:、 ⑥空集: 2.集合之间的关系 (1)元素与集合的关系:(2)集合与集合的关系:(3)空集本身就是集合,无需加 3.子集个数的判断 (1)子集:若集合中所有元素都是集合的元素,则称集合包含于集合(集合包含集合),记作; (2)真子集:如果且就说集合是集合的真子集,记作; (3)若集合含有个元素,则的子集有个,真子集有个,非空真子集有个. 4.集合相等 若集合中所有元素都是集合的元素,同时集合中所有元素都是集合的元素,就说集合等于集合,记作. 5.空集 空集是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 . 【例题分析】 例1.(2024•西秀区校级一模)已知集合,,,,则集合的子集共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.8个 例2.(2024•秦淮区校级二模)已知集合,则的子集个数为 A.4 B.7 C.8 D.16 例3.(2024•迎江区校级四模)集合,,当时,集合的非空真子集个数为 A.8 B.7 C.6 D.4 例4.(2024•扬州模拟)设集合,,则 A. B. C. D. 例5.(2024•聊城模拟)已知集合,,若,则的取值范围为 A. B., C. D., 【变式训练】 1.(2024•金安区校级模拟)已知集合,1,2,,,,,则的子集共有 A.2个 B.4个 C.6个 D.64个 2.(2024•内江三模)集合,的子集个数是 A.5 B.6 C.7 D.8 3.(2024•茂名一模)已知集合,1,2,,,0,,,则集合的子集个数为 A.2 B.3 C.4 D.8 4.(2024•东湖区校级一模)已知集合,,则 A. B. C. D. 5.(2024•抚顺模拟)已知集合,,,若,则实数的值是 A.1 B.0 C. D.3 知识点三 集合的基本运算 【基础指数框架】 1.并集的概念 给定两个集合、,把他们所有的元素合并在一起组成的集合,叫做集合与集合的并集,记作,读作并. 2.交集的概念 给定两个集合、,把所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合,叫做集合与集合的交集,记作,读作交. 3.补集的概念 对于一个集合,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集,简称为集合A的补集,记作,即. 【例题分析】 例1.(2024•新高考 )已知集合,,,0,2,,则 A., B., C.,, D.,0, 例2.(2023•新高考 )已知集合,,0,1,,,则 A.,,0, B.,1, C. D. 例3.(2022•新高考 )若集合,,则 A. B. C. D. 例4.(2021•新高考 )设集合,,3,4,,则 A.,3, B., C., D. 例5.(2022•乙卷)设全集,2,3,4,,集合满足,,则 A. B. C. D. 例6.(2023•全国)集合,,0,1,,,则 A. B., C., D.,0, 例7.(2024•湖北模拟)已知集合,,,则下列表述正确的是 A. B. C. D. 【变式训练】 1.(2022•新高考 )已知集合,1,2,,,则 A., B., C., D., 2.(2024•甲卷)集合,2,3,4,5,,,则 A.,4, B.,4, C.,2, D.,3, 3.(2023•天津)已知集合,2,3,4,,,,,2,,则 A.,3, B., C.,2, D.,2,4, 4.(2023•乙卷)设集合,集合,,则 A. B. C. D. 5.(2021•乙卷)已知集合,,,,则 A. B. C. D. 6.(2021•上海)已知集合,,,,则下列关系中,正确的是 A. B. C. D. 7.(2023•甲卷)设集合,,,,为整数集,则 A., B., C., D. 知识点四 集合新定义与含参问题 【基础指数框架】 1. 如果是离散型集合,要逐个分析集合的元素所满足的条件,或者画韦恩图分析. 2. 如果是连续型集合,要数形结合,注意端点能否取到. 3. 在解集合的含参问题时,一定要注意空集和元素的互异性. 4. 由集合间关系求解参数的步骤; ①弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集; ②看集合中是否含有参数,若,且中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形; ③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组),求出相关的参数的取值范围或值. 5. 经常采用数形结合的思想,借助数轴巧妙解答. 【例题分析】 例1.(2024•盐湖区一模)已知集合,,,若,则的最大值是 A.4 B.3 C.2 D.1 例2.(2024•大理州二模)已知,其中,,则 A.0 B.或 C. D. 例3.(2024•历城区校级模拟•多选)对于集合中的任意两个元素,,若实数同时满足以下三个条件: ①“”的充要条件为“”; ②,,; ③,都有,,,. 则称为集合上的距离,记为.则下列说法正确的是 A.为 B.为 C.若,则为 D.若为,则也为为自然对数的底数) 例4.(2024•宜春模拟•多选)已知,如果实数满足对任意的,都存在,使得,则称为集合的“开点”,则下列集合中以0为“开点”的集合有 A., B., C. D. 【变式训练】 1.(2023•上海)已知集合,,,,且,则 . 2.(2023•新高考 )设集合,,,,,若,则 A.2 B.1 C. D. 3.(2022•滨海县校级模拟)已知集合,,,若,则实数满足 A. B. C., D. 4.(2024•曲靖模拟•多选)已知集合,,定义,,则下列命题正确的是 A.若,,,,则与的全部元素之和等于3874 B.若,表示实数集,表示正实数集,则 C.若,表示实数集,则 D.若,表示正实数集,函数,则2049属于函数的值域 5.(2024•河南模拟•多选)对于的两个非空子集,,定义运算,,则 A. B. C.若,则 D.表示一个正方形区域 知识点五 常用逻辑用语 【基础指数框架】 1.充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可推出,记作,并且说是的充分条件,是的必要条件. 如果“若,则”为假命题,那么由推不出,记作.此时,不是的充分条件,不是的必要条件. 概括地说,如果,则 是的充分条件,是的必要条件. 如果,则是的必要条件,是的充分条件. 2.充要条件 一般地,如果既有,又有,就记作.此时,我们说,是的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件. 概括地说,如果,那么与互为充要条件. 3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看,设集合, 若,则是的充分条件或是的必要条件; 若,则是的必要条件或是的充分条件; 若A=B,则是的充要条件; 若,且,则是的既不充分也不必要条件. 4.命题的否定 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中称为全称量词,用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中称为存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题. 全称量词命题:,它的否定为:. 存在量词命题:,它的否定为:. 【例题分析】 例1.(2024•新高考 )已知命题,,命题,,则 A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 例2.(2024•天津)设,,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例3.(2024•北京)设,是向量,则“”是“或”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例4.(2024•甲卷)已知向量,,则 A.“”的必要条件是“” B.“”的必要条件是“” C.“”的充分条件是“” D.“”的充分条件是“” 例5.(2015•新课标 )设命题,,则为 A., B., C., D., 例6.(2015•浙江)命题“,且”的否定形式是 A.,且 B.,或 C.,且 D.,或 【变式训练】 1.(2023•天津)“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2023•北京)若,则“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2022•浙江)设,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2022•天津)“为整数”是“为整数”的 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 5.(2016•浙江)命题“,,使得”的否定形式是 A.,,使得 B.,,使得 C.,,使得 D.,,使得 6.(2015•湖北)命题“,”的否定是 A., B., C., D., 2 学科网(北京)股份有限公司 $$