第04讲 分式的加法和减法（4大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第04讲 分式的加法和减法 课程标准 学习目标 1. 同分母分式的加减法 2. 分式的通分 3. 异分母分式的加减法 1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算； 2.会找最简公分母，能进行分式的通分； 3.理解并掌握异分母分式加减法的法则； 知识点01 同分母分式的加减法 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减，即. 【即学即练1】 1.计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是分式的加法运算，解题关键是熟练掌握分式的加法运算法则． 根据同分母的分式加法运算方法进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：． 知识点02 最简公分母 通分时,关键是确定公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母称为最简公分母. 【即学即练1】 1.分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的确定，熟练掌握最简公分母的定义是解题关键．先将各分母分解因式，最简公分母是各分母的所有因式的高次幂的乘积． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是． 故答案为：． 方法归纳：(1)当一个分式的分母可因式分解时,应先因式分解,以便于寻找最简公分母和通分; (2)在分式的加减法算式中出现整式时,应将整式当成一个整体,看成是分母为1的“分式”，再变形通分。 知识点03 通分 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程,叫作分式的通分. 分式通分的步骤： (1)求出各分式的最简公分母; (2) 用最简公分母除以各个分母,得到商式; (3)用商式分别乘各个分式的分子和分母. 【即学即练1】 1.通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 知识点04 异分母分式的加法和减法 先通分，变为同分母的分式，然后再相加减. 【即学即练1】 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两分式通分，再约分化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 题型01 同分母分式的加减法 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则正确求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】先将转化成，再按照同分母分式加减法法则进行计算即可． 本题主要考查了同分母分式加减法，把转化成是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为： 题型02 异分母分式的加减法 【典例1】照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离满足．已知f、v．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 题型03 分式的混合运算 【典例1】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的化简，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 先对括号内的进行通分化简，然后根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ． 题型04 分式的化简求值 注意：(1)解化简求值类问题时,必须先化简再求值,切忌直接代入求值;(2)化简时,先考虑因式分解和约分;(3)除法要化成乘法再计算. 【典例1】先化简，再从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值。 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算顺序，先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，时，． 【变式1】先化简，再求值： ， 其 中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．下列三个分式、、的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 2．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4．分式的计算结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 故选：B 5．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】 ，互为倒数， 故选：D． 6. 已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．，是整式，故本选项符合题意； D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，幂的乘方，由，得到，进而得到，即可求解，掌握分式的运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．已知，求的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为，再把变形为，然后整体代入计算即可 【详解】解： ； ∵， ∴ ∴原式， 故选：B 10．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简求值．先把题目给的式子变形，然后将得到的结果进行倒数运算即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 11．一份稿件，甲单独完成需要小时，乙单独完成所用的时间比甲多小时，如果甲、乙合作，录完这份稿件需要（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用分式的除法运算，设录完这份稿件需要小时，由甲单独完成需要小时，则乙单独完成所用的时间小时，根据题意列出方程，然后求解即可，解题的关键读懂题意列出方程． 【详解】设录完这份稿件需要小时，由甲单独完成需要小时，则乙单独完成所用的时间小时， 根据题意得：，解得：， 故选：． 12．已知实数a、b、c满足，下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减法，整式的加减，完全平方公式，掌握分式加减法的计算方法，整数加减的计算方法以及互为相反数的定义是正确解答的关键． 利用代入计算的方法，互为相反数的定义以及分式加减法的计算方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当，时，，即，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，，则，所以或，当时，，此时，当时，，此时，故本选项不符合题意； D、若，而，则，所以，即，故本选项符合题意； 故选：D． 13．若且a，b，c均不为0，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的运算和分式的混合运算的顺序和法则是解题的关键．由已知得：，，，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ = ， ， 故选：A． 14．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则x小时相遇；若同向而行，则y小时甲追上乙，那么乙的速度是甲的速度的（    ）倍． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，设甲的速度为a，乙的速度为b，两地相距S，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可． 【详解】解：设甲的速度为a，乙的速度为b，两地相距S， 根据题意，得， 解得， 故， 故选A． 15．分式的最简公分母是 ． 【答案】6a 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母是． 故答案为： 16．已知分式的值为整数，则满足条件的整数值有 个． 【答案】4 【分析】将化为，根据题意得出的值为整数，即可得解． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∵x为整数， ∴，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握同分母分式的加法：分母不变，只把分子相加． 17．计算：（其中且）＝ ． 【答案】1 【分析】根据零次幂的定义可知（），再进行同分母分式加减法计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了零次幂的意义及同分母分式加法，解题关键是掌握（）． 18．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ， ， ． 【答案】 【分析】求出分式，，的最简公分母为，即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， ，， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母． 19．已知一项工程，甲工程队单独完成需要x天，乙工程队单独完成需要y天，则两队合作需要 天完成． 【答案】 【分析】根据题意得出甲工程队每天完成，乙工程队每天完成，则两队合作，每天可完成，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵甲工程队每天完成，乙工程队每天完成， ∴两队合作，每天可完成， ∴两队合作需要时间：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握工作时间、工作总量、工作效率三者之间的关系． 20．计算：定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 21．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 22．已知，，．求 ． 【答案】1 【分析】 本题考查多项式乘以多项式、分式的混合运算及完全平方公式，三个等式左右分别相乘，利用多项式乘以多项式运算法则计算，得出，利用完全平方公式求出的值即可得答案．熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为： 23．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）找出两分母的最简公分母，通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母为， ；． （2）解：最简公分母为， 故；． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）利用同分母分式相加法则计算即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． ． 25．已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)0或1或3 (3)1或0或 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，，得到，则； （2）先得到，再由y是正整数，得到或或，解之即可； （3）先求出，再由y是正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵y是正整数， ∴或或， ∴或或； （3）解：∵，， ∴， ∵y是正整数， ∴或或 ∴或或． 26． 先化简分式，再从这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，选择，原式 【分析】此题考查了分式的化简求值，先因式分解并约分后，先计算括号内的的运算，再计算除法即可得到化简结果，再根据分式有意义的条件取字母的值，并代入化简结果计算即可． 【详解】解： ∵或或时，分式无意义， ∴选择， ∴原式 27．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真 (2) (3)0，，2， 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的方法把原式化为带分式即可； （3）原式化为带分式，根据与分式的值都为整数，求出即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴，，1，3， 解得：，，0，2， 则所有符合条件的值为0，，2，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 分式的加法和减法 课程标准 学习目标 1. 同分母分式的加减法 2. 分式的通分 3. 异分母分式的加减法 1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算； 2.会找最简公分母，能进行分式的通分； 3.理解并掌握异分母分式加减法的法则； 知识点01 同分母分式的加减法 同分母的分式相加减, 不变,把 相加减，即. 【即学即练1】 1.计算的结果为（    ） A． B． C． D． 知识点02 最简公分母 通分时,关键是 ,一般取各分母的所有因式的 的 作为公分母,这样的公分母称为最简公分母. 【即学即练1】 1.分式与的最简公分母为 ． 方法归纳：(1)当一个分式的分母可因式分解时,应先因式分解,以便于寻找最简公分母和通分; (2)在分式的加减法算式中出现整式时,应将整式当成一个整体,看成是分母为1的“分式”，再变形通分。 知识点03 通分 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式化为 的分式的过程,叫作分式的通分. 分式通分的步骤： (1)求出各分式的 ; (2) 用最简公分母除以 ,得到商式; (3)用商式分别乘各个分式的分子和分母. 【即学即练1】 1.通分 (1) (2) 知识点04 异分母分式的加法和减法 先 ，变为 的分式，然后再相加减. 【即学即练1】 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型01 同分母分式的加减法 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算： ． 题型02 异分母分式的加减法 【典例1】照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离满足．已知f、v．则（     ） A． B． C． D． 【变式1】若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 题型03 分式的混合运算 【典例1】计算：． 【变式1】计算： 题型04 分式的化简求值 注意：(1)解化简求值类问题时,必须先化简再求值,切忌直接代入求值;(2)化简时,先考虑因式分解和约分;(3)除法要化成乘法再计算. 【典例1】先化简，再从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值。 【变式1】先化简，再求值： ， 其 中． 1．下列三个分式、、的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 2．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．分式的计算结果是（    ） A． B． C． D．1 5．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 6. 已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 7. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A． B． C． D． 8．若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 9．已知，求的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 10．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．一份稿件，甲单独完成需要小时，乙单独完成所用的时间比甲多小时，如果甲、乙合作，录完这份稿件需要（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 12．已知实数a、b、c满足，下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．若且a，b，c均不为0，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 14．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则x小时相遇；若同向而行，则y小时甲追上乙，那么乙的速度是甲的速度的（    ）倍． A． B． C． D． 15．分式的最简公分母是 ． 16．已知分式的值为整数，则满足条件的整数值有 个． 17．计算：（其中且）＝ ． 18．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ， ， ． 19．已知一项工程，甲工程队单独完成需要x天，乙工程队单独完成需要y天，则两队合作需要 天完成。 20．计算：定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 21．化简： ． 22．已知，，．求 ． 23．通分： (1)与； (2)与． 24．计算： (1)； (2)． 25．已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 26． 先化简分式，再从这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 27．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$