第一章　特殊平行四边形课件2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 1. 有一个角是　　　　的平行四边形叫做矩形.  2. 定理:矩形的四个角都是　　　　角.  3. 定理:矩形的对角线　　　　.  4. 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的　　　　. 直角 直 相等 一半 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　) A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 B 1 2 3 4 5 2. (2023·十堰)如图,将四根细木条用钉子钉成一个矩形活动框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得到的四边形的变化,下列判断错误的是 (　　) A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. 对角线BD的长减小 C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变 C 1 2 3 4 5 3. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.若∠AOB=50°,则∠OAD的度数为　　　　.  4. 如图,E是矩形ABCD的边AD上的一点,F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,连接AF,GH.若AF=3,则GH的长为　　　　. 25° 3 1 2 3 4 5 5. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AB,CD上的点,且AE=CF,连接DE,BF. (1) 求证:四边形FBED是平行四边形; (2) 已知AO=6,∠ADB=30°,求AD的长. (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD,AB∥CD.∵ AE= CF,∴ AB-AE=CD-CF,即BE=DF.又∵ BE∥DF,∴ 四边 形FBED是平行四边形　 (2) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠BAD=90°,AO=BO=DO=6.∴ BD=12. ∵ ∠ADB=30°,∴ AB=BD=6.∴ AD===6 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的应用 1. 菱形的四条边　　　　,已知菱形的一边,可以直接求出菱形的　　　. 2. 菱形的对角线　　 　　,已知菱形的两条对角线,可以利用三角形的面积公式求出菱形的　　　　.  3. 判定一个四边形是菱形的方法:(1) 从边考虑:有一组　　　　相等的平行四边形是菱形;　　 　边相等的四边形是菱形.(2) 从对角线考虑:对角线　　 　　的平行四边形是菱形. 相等 周长 互相垂直 面积 邻边 四 互相垂直 1. 如图,小静对∠MON进行了下列操作:① 在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;② 分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;③ 连接AC,BC,AB,OC.若OC=2,S四边形OACB=4,则AB的长为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 1 2 3 4 5 2. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且AD交EF于点O,则∠AOF的度数为 (　　) A. 60° B. 90° C. 100° D. 110° B 1 2 3 4 5 3. 如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD.若AB=2,∠A=120°,则四边形ABCD的面积为　　　　.  　　 4. 如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O.将菱形ABCD沿EF折叠,使点C与点O重合.若AC=8,BD=6,则图中涂色部分的面积为　　　　. 2 18 1 2 3 4 5 5. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为O. (1) 求证:四边形ABCD是菱形; (1) ∵ AB=AD,∴ ∠ABD=∠ADB.∵ BD平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD.∴ ∠ADB=∠CBD.∵ AC⊥BD, AB=AD,∴ BO=DO.在△AOD和△COB中,∴ △AOD≌ △COB.∴ OA=OC.∴ 四边形ABCD是平行四边形.又∵ AC⊥BD,∴ 四边形ABCD是菱形　 1 2 3 4 5 (2) 若CD=3,BD=2,求四边形ABCD的面积. (2) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ OD=BD=.∴ 在 Rt△OCD中,OC==2.∴ AC=2OC=4. ∴ S菱形ABCD=AC·BD=4 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 1. 定理:对角线　 　　　的平行四边形是菱形.  2. 定理:　　　　边相等的四边形是菱形. 互相垂直 四 1. 下列四边形中,依据所标数据,不一定为菱形的是 (　　) 　　　　 2. 如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB=10,AC=12.若要使▱ABCD是菱形,则BD的长为 (　　) A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 B 1 2 3 4 5 C 3. 如图,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是三边的中点,则图中有　　 个菱形.    4. 如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF.若只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,则这个条件可以是　 (写出一个即可). 3 答案不唯一,如AB=AD 1 2 3 4 5 5. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别在AD,BC上,且BE平分∠ABC,EF∥AB.求证:四边形ABFE是菱形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC.又∵ EF∥ AB,∴ 四边形ABFE是平行四边形.∵ BE平分∠ABC, ∴ ∠ABE=∠FBE.∵ AD∥BC,∴ ∠AEB=∠FBE.∴ ∠ABE=∠AEB.∴ AB=AE.∴ 四边形ABFE是菱形 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 1. 定理:对角线　　　　的平行四边形是矩形.  2. 定理:有　　　　个角是直角的四边形是矩形. 相等 三 1. 下列条件中,不能判定▱ABCD是矩形的为 (　　) A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 2. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.给出下列条件:① ∠1+ ∠3=90°;② ∠1+∠2=90°;③ AC=BD;④ BC2+CD2=AC2.其中,能判定▱ABCD是矩形的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 C 3. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形,工人师傅的此种检验方法依据的道理是_________________ 　 .  4. 如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC, DB.有下列条件:① AB=BE;② DE⊥DC;③ ∠ADB=90°;④ CE⊥DE.添加 其中一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是　　　　(填序号). 对角线相等的平行 四边形是矩形 1 2 3 4 5 ② 5. 如图,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.请判断四边形AECF的形状,并说明理由. 四边形AECF是矩形　 理由:∵ 四边形ABCD是平行四 边形,∴ AD=BC,AD∥BC.∵ BE=DF,∴ AD-DF=BC-BE, 即AF=EC.∵ AF∥EC,∴ 四边形AECF是平行四边形. ∵ AC=EF,∴ 四边形AECF是矩形. 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第1课时　菱形的性质 1. 有一组邻边相等的　　　　　形叫做菱形.  2. 定理:菱形的四条边　　　　.  3. 定理:菱形的对角线互相　　　　. 平行四边 相等 垂直 1. 菱形不一定具有的性质是 (　　) A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 2. (2023·湘潭)如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD.若∠1=20°,则∠2的度数为 (　　) 　　　　 A. 20° B. 60° C. 70° D. 80° D 1 2 3 4 5 C 3. 如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,且PE=2,连接PC.若菱形的周长为24,则△BCP的面积为　　　　.    4. 如图,四边形ABCD是菱形,AB=BD=4,则AC的长为　　　　. 6 4 1 2 3 4 5 5. 如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. (1) 求证:△ABE≌△ADF; (2) 若AE=4,CF=2,求菱形ABCD的边长. (1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB=AD,∠B=∠D. ∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB=∠AFD=90°. 在△ABE和△ADF中,∴ △ABE≌△ADF　 (2) 设菱形ABCD的边长为x,则AB=CD=x.∵ CF=2,∴ DF=x-2.∵ △ABE ≌△ADF,∴ BE=DF=x-2.在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即42+(x-2)2=x2,解得x=5.∴ 菱形ABCD的边长是5 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 1. 定理:有一组邻边相等的　　　　是正方形.  2. 定理:对角线互相垂直的　　　　是正方形.  3. 定理:有一个角是直角的　　　　是正方形.  4. 定理:对角线相等的　　　　是正方形. 矩形 矩形 菱形 菱形 1. 当一个四边形的四条边都相等,四个角都相等时,这个四边形是 (　　) A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 2. 如图,在正方形ABCD中,BD与AC相交于点O.嘉嘉作DP∥OC,CP∥OD,在正方形ABCD外,DP,CP交于点P;淇淇作DP=OC,CP=OD,在正方形ABCD外,DP,CP交于点P.两人的作法中,能使四边形OCPD是正方形的为 (　　) A. 只有嘉嘉的 B. 只有淇淇的 C. 两人的均能 D. 两人的均不能 B 1 2 3 4 5 C 3. 小颖将能够活动的菱形学具变形成如图①所示的形状,并测得AC=5, ∠B=60°.接着,她又将这个菱形学具变形成如图②所示的形状,当A'C'= 　　　　时,变形后的菱形学具为正方形.  4. 如图所示为一张矩形纸片ABCD,要折叠出一个正方形,小明把矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去,使边AB与边AD上的AF重合,则四边形ABEF是一个　　 　,他判定的依据是　 　　　　　　　　　　　　. 5 1 2 3 4 5 正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 5. 如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,过点A,D分别作BC与AB的平行线,相交于点E,连接EC,AD. (1) 求证:四边形ADCE是矩形; (1) ∵ AB=AC,D是边BC的中点,∴ BD=CD,AD⊥BC. ∴ ∠ADC=90°.∵ 由题意,知AE∥BD,DE∥AB,∴ 四边形AEDB为平行四边形.∴ AE=BD=CD.又∵ AE ∥DC,∴ 四边形ADCE是平行四边形.∵ ∠ADC=90°, ∴ 四边形ADCE是矩形　 1 2 3 4 5 (2) 当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是正方形. (2) 设AC与DE相交于点O.∵ DE∥AB,∠BAC=90°, ∴ ∠DOC=∠BAC=90°,即AC⊥DE.∵ 由(1),知四边 形ADCE是矩形,∴ 四边形ADCE是正方形 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 1. 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的　　 　　叫做正方形.  2. 正方形既是　　　形,又是　　　形,它具有　　　　与　　　　的所有性质.  3. 定理:正方形的四个角都是　　　　,四条边　　　　.  4. 定理:正方形的对角线　　　　且　　 　　　　. 平行四边形 矩 菱 矩形 菱形 直角 相等 相等 互相垂直平分 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (　　) A. 对角线相等 B. 对角线平分每一组对角 C. 对角线互相平分 D. 轴对称图形 2. 如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为 (　　) A. 10cm B. 13cm C. 15cm D. 24cm B 1 2 3 4 5 B 3. 如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上,则∠CEF的度数为　　　　.  　　 4. (2023·攀枝花)如图,正方形ABCD的边长为3,P是对角线BD上的一点, PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,连接PC.当PE∶PF=1∶2时,PC=　　　　. 45° 1 2 3 4 5 5. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EOF=90°.求证:CE=DF. ∵ 四边形ABCD为正方形,∴ OD=OC,∠ODF=∠OCE= 45°,∠COD=90°.∴ ∠DOF+∠COF=90°.∵ ∠EOF =∠COE+∠COF=90°,∴ ∠COE=∠DOF.又∵ OC=OD, ∠OCE=∠ODF,∴ △COE≌△DOF.∴ CE=DF 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定的应用 1. 矩形的四个角都是　　　　,矩形的对角线　　　　.  2. 对角线相等的　　 　　 是矩形;有三个角是直角的四边形是 　　 . 直角 相等 平行四边形 矩形 1. 在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,对角线AC,BD相交于点O.下列结论一定成立的是 (　　) A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=BC D. AB=AC 2. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且OA=OB.若AD=4, ∠AOD=60°,则▱ABCD的面积为 (　　) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 B 1 2 3 4 5 D 3. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=8,以点C为圆心,BA长为半径画弧,然后以点A为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,BD,CD,则四边形ABCD是　　　　形,BD=　　　　.    4. 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,BD=12,AC=16,E是边CD上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG长的最小值为　　　　. 矩 1 2 3 4 5 8 4.8 5. (2023·乐山改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AB上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF,CD. (1) 求证:四边形ECFD是矩形; (2) 若CF=2,CE=4,则CD=　　　　.  (1) ∵ DF∥AC,DE∥BC,∴ 四边形ECFD是平行四边形. 又∵ ∠ACB=90°,∴ 四边形ECFD是矩形 1 2 3 4 5 2 $$