2.3确定圆的条件 讲义 （暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 2.3确定圆的条件（讲义） （暑期自学课） 知识梳理 【知识点】 知识点1 ：确定圆的条件 1.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. 知识点2 ：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 3.三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. 4.三角形外心的位置： （1）锐角三角形：外心在三角形的内部； （2）直角三角形：外心在三角形的外部; （3）钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. 5.外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 典型例题 【例1】下列说法正确的是　　 A．半圆是弧，弧也是半圆 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 【例2】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【例3】如图，外接圆的圆心坐标是（   ） A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0) 【例4】如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 举一反三 【变式1】下列说法错误的是（　　） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能做无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能做两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆 【变式2】过、、三点能确定一个圆的条件是　　 ①，，； ②，，； ③，，． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【变式3】如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF 【变式4】如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为________． 【变式5】已知：．求作：的外接圆内的点P，使，．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 【变式6】如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 小试牛刀 一、选择题（共4题） 1.下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆的内接四边形的对角相等 C．三点确定一个圆 D．三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心 2. 三角形的外心具有的性质是　　 A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 3.已知AB=7cm，则过点A，B，且半径为3cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4.如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1） 二、填空题（共4题） 5.在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点_____（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是_____． 6.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________． 7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 ． 8.如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 三、解答题（共4题） 9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r. 10.平面内有A，B，C，D四个点，试探索： （1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作　 　个圆； （2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作　 　圆； （3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作　 　个圆； （4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？ 11.下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明． 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 12.如图，是的直径，点F，C是上两点，且，连接，，过点C作，交的延长线于点D，垂足为D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长度； ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$