第四章　图形的相似课件2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 阶段训练(6~7) 一、 选择题 1. (2023·重庆A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是 (　　) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16 2. 如图,在△ABC和△DEF中,∠BAC=∠EDF,∠B=∠E,AM⊥BC于点M, DN⊥EF于点N.若AM=6,DN=3,则的值为 (　　) A. B. 4 C. 2 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 3. 小颖想测量教学楼前一棵树的高度,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她测量树的影长时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),她先测得在墙壁上的影长为1.2m,又测得落在地面上的影长为2.6m,则这棵树的高度是 (　　) A. 3.25m B. 4.25m C. 4.45m D. 4.75m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 若△ABC∽△A'B'C',AB=5,BC=4,CA=3,△A'B'C'的最长边是10,则△A'B'C'的面积是 (　　) A. 24 B. 12 C. 9 D. 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 击地传球是篮球运动中的一种传球方式,利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截.如图,传球选手从点A处将球传出,经地面点O处反弹后被接球选手在点C处接住,将球所经过的路径视为直线,此时∠AOB=∠COD.若点A距地面的高度AB为1.5m,点C距地面的高度CD为1m,传球选手与接球选手之间的距离BD为5m,则OB的长为 (　　) A. m B. 2m C. 2.5m D. 3m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题 6. (2023·泰州)若两个相似图形的周长比为3∶2,则面积比为　　　　.  7. 已知△ABC∽△A'B'C',相似比为1∶2,若△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是　　　　.  8. 古希腊数学家曾利用立杆测影的方法,在金字塔影子的顶部直立一根木杆,借助太阳光测金字塔的高度.如图,木杆EF长2米,它的影长FD是4米,同一时刻测得OA是268米,则金字塔的高度BO是　　　　米.  9∶4 12 134 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图,在▱ABCD中,连接AC,E是AD上一点,AE∶DE=1∶2,连接BE交AC于点F.若S△BCF=9,则四边形CDEF的面积是　　　　.    10. 如图,点P在▱ABCD的边BC上,E,F分别为PA,PD上的 点,且PA=3PE,PD=3PF,△PEF,△PDC,△PAB的面积分 别记为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2=　　　　. 11 18 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题 11. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,∠ADE=∠C,且AD∶AC= 2∶3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F,求AG与GF的比. ∵ ∠ADE=∠C,∠DAE=∠CAB,∴ △ADE∽△ACB. ∵ AF是∠BAC的平分线,∴ ==.∴ AG∶GF= 2∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,小明(EB)和爸爸(FC)的身高分别是1.5m,1.8m,两人配合测量树的高度AD.小明在距离树0.3m的点B处(AB=0.3m)看树的顶端D的视线为ED,原地再看爸爸的头顶,视线为EF,爸爸可以前后移动.当EF⊥ED时,爸爸站着不动,小明测得AC=9.5m.已知点A,B,C在同一条直线上,树和两人都垂直于这条直线,求树的高度AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图,过点E作EG⊥CF于点G,延长GE交AD于点H,则易得GH⊥AD.∵ CF⊥AC,AD⊥AC,BE⊥AC,∴ 易得四边形CBEG和四边形AHEB是矩形. ∴ AH=BE=CG=1.5m,BC=EG=9.5-0.3=9.2(m),AB=HE=0.3m.∵ EF⊥ED, ∴ ∠FED=90°.∵ ∠FGE=∠EHD=∠FED=90°,∴ ∠EFG+∠FEG= ∠FEG+∠DEH=90°.∴ ∠EFG=∠DEH.∴ △EFG∽ △DEH.∴ =.设DH为xm.∴ =,解得x=9.2. ∴ DH=9.2m.∴ AD=DH+AH=9.2+1.5=10.7(m).∴ 树的 高度AD为10.7m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,将△ABC沿AB方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF的重叠部分为△DBG. (1) 求证:△ABC∽△DBG; (1) ∵ 将△ABC沿AB方向平移得到△DEF, ∴ △ABC≌△DEF.∴ ∠CAB=∠FDE.∵ ∠CBA=∠GBD,∴ △ABC∽△DBG　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若△DBG的面积是△ABC的面积的,AB=3,求△ABC平移的距离. (2) ∵ △ABC∽△DBG,∴ =.∵ △DBG的 面积是△ABC的面积的,∴ ==.∵ AB=3,∴ DB =.∴ △ABC平移的距离=AD=AB-DB=3- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,小亮想利用标杆和皮尺测量自己小区大门前的遮雨玻璃的水平宽度AB,他在大门前的水平地面上选择一条直线CH,AB∥CH,在CH上距点C8米的点D处竖立标杆DE,DE⊥CH,他沿着DH的方向走了2米到点N处,发现他的视线从点M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的点B处,继续沿原方向再走2米到点Q处,发现他的视线从点P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的点A处,求遮雨玻璃的水平宽度AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意,知CD=8米,DN=2米,NQ=2米,∴ QD=4米.∵ 易得四边形MNQP为矩形,∴ PM∥NQ,PM=NQ.∴ PM=2米.∵ AB∥CH,∴ AB∥PM.∴ 易得△ABE∽△PME.∴ =.∵ AC∥ED∥PQ,∴ =.∴ =.∴ AB= 4米.∴ 遮雨玻璃的水平宽度AB为4米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第四章　图形的相似 6　利用相似三角形测高 1. (2022·德州)如图,把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m处离地面的高度为0.6m,则石坝的高度为 (　　) A. 2.7m B. 3.6m C. 2.8m D. 2.1m A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,为测量学校旗杆高度,数学活动小组在观测者与旗杆之间的水平地面上直立一根标杆,观测者适当调整位置,使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上.已知观测者的眼睛离地面的高度为1.6m,观测者与标杆的水平距离为3m,观测者与旗杆的水平距离为18m,标杆高度为3m,则旗杆高度为 (　　) A. 7m B. 8.4m C. 8.6m D. 10m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. (教材P105习题4.10第4题变式)如图,阳光通过窗口AE射到室内,在地面上留下3米宽的亮区BC.若亮区BC到窗口下的墙脚的距离CD=5米,窗口高AE=1.5米,则窗口底部离地面的高度DE为　　　　米.  　　 4. 如图,有一块广告牌OE,小明站在距广告牌OE10m远的点A处恰好看到广告牌顶端,眼睛距地面1.5m,他的前方5m处有一堵墙DC.若墙高DC=2m,则广告牌OE的高度为　　　　m. 2.5 2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 数学活动小组欲测量某纪念塔的高度MN.如图,在距纪念塔MN水平距离为29m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB,恰好使得观测点E,直杆顶点A和塔顶点N在同一条直线上.若DB=2m,DE=1.5m,NM⊥EF,求塔高MN. 由题意,得AC⊥EF,NF⊥EF,∴ AC∥NF.∴ 易得△EAC ∽△ENF.∴ =.由题意,易知AB=5.5m,BM=CF=29m, DB=EC=2m,DE=BC=MF=1.5m,∴ AC=4m,EF=31m.设 NF=xcm.∴ =,解得x=62.∴ NF=62m.∴ MN=63.5m. ∴ 塔高MN为63.5m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 雨过天晴,小李跑到室外呼吸新鲜空气,广场上点E处有一处积水.如图,若小李站在距积水2米的点D处,他正好从水面上看到前方距他10米的一棵树的顶端A的倒影.已知点D,E,B在同一条直线上,AB⊥BD,CD⊥BD,小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米,求树AB的高(∠CED=∠AEB,积水水面大小忽略不计). 由题意,得∠CDE=∠ABE=90°,∠CED=∠AEB.∴ △CDE∽△ABE.∴ =.∵ CD=1.6米,DE=2米,BE =10-2=8(米),∴ AB=6.4米.∴ 树AB的高是6.4米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,某大道旁有一根电线杆AB和一块矩形广告牌HCDF,某天在太阳光照射下,电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处,而矩形广告牌端点F的影子刚好落在地面上的点E处.已知BC=5米,矩形广告牌的长HF=4米,高HC=3米,DE=4米,则电线杆AB的高度是 (　　) A. 6.75米 B. 7.75米 C. 8.25米 D. 10.75米 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. (2023·湖州)某数学兴趣小组测量一棵树的高度,采用以下方法:如图,观测者把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上的点F处,把镜子水平放在支架EF上的点E处,然后沿着直线BF后退至点D处,这时恰好在镜子里看到树的顶端A,已知CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD于点B,BF =6米,DF=2米,EF=0.5米,CD=1.7米,则这棵树AB的高度是　　　　米.  4.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 小明想利用所学的数学知识测量某雕塑的高度.如图,他在点C处平放一面镜子,在镜子上做一个标记,来回走动,走到点D处时,看到雕塑顶点A在镜子中的像与镜子上的标记重合,这时,测得小明眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米.然后小明从点D处沿DH方向走了19米,到达雕塑影子的末端G处.已知小明身高FG=1.6米,影长GH=3.2米,则雕塑的高AB为 　　　　米. 31.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度CD.如图,小明站立在地面上的点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶E,标杆顶端A和楼顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知小明的身高EF=1.5m,标杆AB=2.5m,BD=23m,FB=2m. (1) 求大楼的高度CD; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 如图①,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则易得四边形EFBJ和四边形EFDH都是矩形.∴ EF=BJ=DH=1.5m,BF=EJ=2m,BD=JH=23m.∴ EH=EJ+JH=25m.∵ AB=2.5m,∴ AJ=AB-BJ=1m.根据题意,得AJ∥CH, ∴ 易得△EAJ∽△ECH.∴ =.∴ CH=12.5m.∴ CD=CH+DH=12.5+ 1.5=14(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 小明站在原来的位置,他的同学通过移动标杆,可以用同样的方法测得大楼CD上的点G的高度GD=11.5m,则相对于第一次测量,标杆AB应该向大楼方向移动多少米? (2) 如图②,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.设BF= xm.易得EF=RB=TD=1.5m,ER=BF=xm,ET=FD=25m. 根据题意,得AR∥GT,∴ 易得△EAR∽△EGT.∴ =. ∴ =,解得x=2.5.∵ 2.5-2=0.5(m),∴ 标杆AB应 该向大楼方向移动0.5m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第四章　图形的相似 3　相似多边形 1. 下列各组图形中,一定相似的是 (　　) A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 2. (教材P87随堂练习第1题变式)如图所示的三个矩形中,相似的是 (　　) A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图,有两个形状相同的星星图案,x的值为 (　　) A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 　 　 4. (教材P88习题4.4第3题变式)如图,E,P,F分别是AB,AC,AD的中点,则四边形AEPF与四边形ABCD　　　　(填“是”或“不是”)相似多边形.  D 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图,各组图形中相似的是　　　　　　(填序号). ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上的一点,BE=BC,过点E作EF⊥ AB,EG⊥BC,垂足分别为F,G,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 　　　　.  　 　 7. (教材P88习题4.4第1题变式)如图,在一个长为8cm、宽为4cm的大矩形中截去一个小矩形,使得留下的矩形(图中涂色部分)与原矩形相似,则留下的矩形的面积是　　　　cm2. 1∶ 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (1) 如图①,正五边形ABCDE与正五边形A'B'C'D'E'相似吗?为什么? (2) 如图②,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别为边AB,CD上的点,且梯形AEFD∽梯形EBCF.若AD=4,BC=9,试求AE∶EB的值. (1) 相似　 ∵ 正五边形ABCDE和正五边 形A'B'C'D'E'的每个内角都等于108°,它 们的对应边的比都为12∶8=3∶2,∴ 正五 边形ABCDE∽正五边形A'B'C'D'E'　 (2) ∵ AD∥BC,梯形AEFD∽梯形EBCF,∴ =.∵ AD=4,BC=9,∴ EF =6.∴ AE∶EB=AD∶EF== 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图,正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE.若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是 (　　) A. 2DE=3MN B. 3DE=2MN C. 3∠A=2∠F D. 2∠A=3∠F B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 将边长为4的等边三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张,各得到一个新图形,它们的对应边间距均为1,则新图形与原图形相似的有 (　　)　　　　 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 一块矩形绸布的宽AB=1m,长AD=am,按照如图所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗与原矩形绸布相似,那么a的值应当是　　　　.  　　 12. (2023·威海)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠,使AD落在边CD上,点A落在点H处,折痕为DE;使BC落在边CD上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为　　　　. +1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边向下作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是∶2,连接EB,GD. (1) 求证:EB=GD; (1) ∵ 菱形AEFG∽菱形ABCD,∴ ∠EAG=∠BAD. ∴ ∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,即∠EAB= ∠GAD.∵ 在菱形AEFG和菱形ABCD中,AE=AG, AB=AD,∴ △AEB≌△AGD.∴ EB=GD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若∠DAB=60°,AB=2,求GD的长. (2) 如图,连接BD交AC于点P,则BP⊥AC.∵ ∠DAB= 60°,∴ ∠PAB=30°.∵ 菱形AEFG∽菱形ABCD, 相似比是∶2,AB=2,∴ AE=,BP=AB=1.∴ 在 Rt△ABP中,由勾股定理,得AP==. ∴ EP=AE+AP=2.∴ 在Rt△BEP中,由勾股定理, 得EB===.∵ 由(1), 知EB=GD,∴ GD= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. (教材P88随堂练习第2题变式)矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20. (1) 如图①,若矩形ABCD内有宽为1的环形区域,则图中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗?请说明理由. (1) 不相似　理由:∵ AB=30,A'B'=30-1-1=28,BC=20,B'C' =20-1-1=18,而≠,∴ 矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似.　 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 如图②,当x的值为多少时,图中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似? (2) 要使矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似,则=或 =.若=,则=,解得x=1.5.若= ,则=,解得x=9.综上所述,当x的值为1.5或9 时,题图②中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形中周长比、面积比的性质 1. (2022·贵阳)如图,在△ABC中,D是边AB上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB= 1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是 (　　) A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4　　 2. (2023·南通)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则S△ADE∶S△ABC等于 (　　) A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图所示为一块直角三角尺,∠C=90°,∠B=30°,AC=7cm,DF=5cm,且△ABC∽△DFE,则这块三角尺中△ABC与△DFE的周长比为　　 　. 　 　 4. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为　　　,面积比为　　　　.  14∶5 2∶1 4∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,在菱形ABCD中,E为CD上一点,AE,BD相交于点O.若S△AOB∶ S△DOE=25∶9,则CE∶BC=　　　　.  2∶5 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB上一点,DE∥BC,BE⊥AB. (1) 求证:△DEB∽△BAC; (2) 若BE=2,CA=3,△DEB的面积为1,求△BAC的面积. (1) ∵ DE∥BC,∴ ∠EDB=∠ABC.∵ BE⊥AB, ∴ ∠EBD=∠C=90°.∴ △DEB∽△BAC　 (2) 由(1),可得△DEB∽△BAC,∴ = ==.∵ S△DEB=1,∴ =.∴ S△BAC= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在△ABC和△DBE中,===. (1) 若△ABC与△DBE的周长之差为10cm,求△ABC的周长; (1) ∵ ===,∴ △ABC∽△DBE,且△ABC的周长∶ △DBE的周长=5∶3.设△ABC的周长为5xcm,△DBE的周 长为3xcm.∵ △ABC 与△DBE的周长之差为10cm,∴ 5x- 3x=10,解得x=5.∴ △ABC的周长为5×5=25(cm)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2,求△DBE和△ABC的面积. (2) 设△DBE的面积为Scm2,则△ABC的面积为(170-S)cm2. 根据题意,得S∶(170-S)=32∶52,解得S=45.∴ △DBE的面积 为45cm2,△ABC的面积为170-45=125(cm2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是 (　　) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶25 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. (2023·抚顺)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作BE∥AC,交DA的延长线于点E,连接OE,交AB于点F,则四边形BCOF的面积与 △AEF的面积的比值为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (2022·杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE, EF.已知四边形BFED是平行四边形,=. (1) 若AB=8,求线段AD的长; (1) ∵ 四边形BFED是平行四边形,∴ DE∥BF. ∴ DE∥BC.∴ 易得△ADE∽△ABC.∴ = =.∵ AB=8,∴ AD=2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若△ADE的面积为1,求▱BFED的面积. (2) ∵ △ADE∽△ABC,∴ ===. ∵ △ADE的面积为1,∴ △ABC的面积为16.∵ 四 边形BFED是平行四边形,∴ EF∥AB.∴ 易得△EFC∽△ABC.∴ 易得==.∴ △EFC的面积为9.∴ ▱BFED的面积为16-9-1=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在等边三角形ABC中,D是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),以CD为边向右作等边三角形EDC,AC与DE交于点F,连接AE. (1) 求证:△ADF∽△BCD; (1) ∵ △ABC和△EDC均为等边三角形,∴ ∠EDC=∠B= ∠BAC=60°.∴ ∠ADF+∠BDC=120°,∠BDC+∠BCD= 120°.∴ ∠ADF=∠BCD.又∵ ∠DAF=∠B,∴ △ADF∽ △BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若AB∶BD=5∶2,且AB=20,求△ADF的面积. (2) 如图,过点C作CH⊥AB于点H.∵ △ABC是等边三角形, AB∶BD=5∶2,AB=20,∴ BD=8,AC=BC=AB=20.∴ AD=12. ∵ 在Rt△BCH中,∠B=60°,∴ ∠BCH=30°.∴ BH=BC= 10.∴ CH==10.∴ S△BCD=BD·CH=×8× 10=40.∵ 由(1),知△ADF∽△BCD,∴ = ==.∴ S△ADF=,即△ADF的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第四章　图形的相似 阶段训练(4~5) 一、 选择题 1. 已知△ABC的三边长分别为1,,,△DEF的三边长分别为,, ,则△ABC与△DEF (　　) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判定是否相似 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 人们常依据黄金分割进行构图,使画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版,如图,要拍摄草坪上的小狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于画面中的位置 (　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图,在△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,添加下列一个条件,仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是 (　　) A. ∠CAB=∠D B. AD∥BC C. = D. = D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图,点D,E分别在△ABC的边BA,CA的延长线上,且=,连接DE.有下列结论:① DE∥BC;② ∠D=∠B;③ ∠E=∠B.其中,一定正确的是 (　　) A. ①② B. ①③ C. ③ D. ①②③ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图,在等边三角形ABC中,AB=9,D是边AB上一点,且BD=3,P是边BC上一动点(D,P两点均不与端点重合),作∠DPE=60°,PE交边AC于点E.若CE=a,当满足条件的点P有且只有一个时,a的值为 (　　) A. B. 6 C. 9 D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题 6. 科学家发现,蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比,已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm,则蝴蝶身体的长度为　　　　cm.  7. 如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C,D,E均为格点,则图中能用字母表示的各三角形中,　　　　∽△ABC.  (2-2) △DEB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 三角形甲与三角形乙相似,相似比为2∶3,三角形乙与三角形丙相似,相似比为3∶4,则三角形甲与三角形丙　　　　(填“相似”或“不相似”),相似比为　　　　.  9. (2023·常德)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于点E,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转到如图②所示的位置.连接BD,CE,则图②中的值为　　　　.  相似 1∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P,Q分别为AB,BC上的动点,将△PQB沿PQ折叠,使点B的对应点D恰好落在边AC上.当△APD与 △ABC相似时,AP的长为　　　　. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题 11. 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE.找出图中的相似三角形,并证明. △ADE∽△CDB　∵ △ABC为等边三角形,∴ AB=BC =AC,∠A=∠C=60°.∵ =,AE=BE,∴ =,==. ∴ =.又∵ ∠A=∠C,∴ △ADE∽△CDB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图①,在边长为1的5×5的正方形网格上有两个格点三角形(顶点都在格点上). (1) △ABC与△DEF是否相似? (1) 易得DE==,DF==,EF=5,AB= ,AC=2,BC==,∴ ==,=,= =.∴ ===.∴ △ABC∽△DEF　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 请在图②③④中画出与△ABC相似的格点三角形. (2) 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的中线,AE⊥CD,EF∥ CB. (1) 求证:△ACE∽△BAC; (1) ∵ ∠ACB=90°,CD是△ABC的中线,∴ 易得BD =AD=CD.∴ ∠CAD=∠ACD.∵ AE⊥CD,∴ ∠AEC =∠ACB=90°.∴ ∠ACD+∠CAE=90°=∠CAD+ ∠B.∴ ∠CAE=∠B.∴ △ACE∽△BAC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若AC=,CE=1,求BD及EF的长. (2) ∵ △ACE∽△BAC,∴ =,即=.∴ AB=5. ∵ CD是△ABC的中线,∴ AD=BD=CD=AB=.∴ DE=DC-EC=.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==2.∵ EF ∥BC,∴ 易得△DEF∽△DCB.∴ =,即=.∴ EF= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,四边形ABCD是菱形,点E在AB的延长线上,连接AC,DE,DE分别交BC,AC于点F,G,且CD·AE=AC·AG.求证: (1) △ABC∽△AGE; (1) ∵ CD·AE=AC·AG,∴ =.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=CD.∴ =.∵ ∠BAC=∠GAE, ∴ △ABC∽△AGE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) AB2=DE·GD. (2) ∵ △ABC∽△AGE,∴ ∠ACB=∠E.∵ 四边 形ABCD是菱形,∴ AB=AD,BC∥AD.∴ ∠ACB =∠CAD=∠E.∵ ∠ADG=∠EDA,∴ △ADG∽ △EDA.∴ =.∴ AD2=DE·GD.∴ AB2=DE·GD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第4课时　黄金分割 1. 已知P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,则下列各式不正确的为 (　　) A. AP∶BP=AB∶AP B. AP=AB C. BP=AB D. AP≈0.618AB C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,C是线段AB的黄金分割点,即=.若S1表示以CA为边的正方形的面积,S2表示长为AB、宽为CB的矩形的面积,则S1与S2的大小关系是 (　　) A. S1=S2 B. S1=2S2 C. S1=S2 D. S1=S2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图所示为某品牌行李箱拉杆拉开后的示意图,经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比(约等于0.618).已知CD=80cm,则AB约为　　　　cm(结果保留整数).  49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. (教材P98习题4.8第1题变式)(2023·达州)如图,乐器上的一根弦AB= 80cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 　　 　　cm. (80-160) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 人体上半身长和下半身长的黄金比约为0.618∶1,这时人的身长比例看上去更美观.某演员的身长情况如图所示,她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观,于是她购买了一双6cm的高跟鞋.请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低. 设这双高跟鞋的高度为xcm时,该演员的上半身长 和下半身长的比是黄金比.由题意,得64∶(102+x)= 0.618∶1,解得x≈1.6.∵ 6>1.6,∴ 这双高跟鞋的高度 偏高 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,在▱ABCD中,E为边AD的延长线上的一点,且D为AE的黄金分割点,即=,BE交DC于点F.若AB=+1,求CF的长. ∵ 四边形ABCD为平行四边形,∴ BC∥AE,BC=AD, ∠BCF=∠EAB.∴ ∠CBF=∠AEB.∴ △BCF∽△EAB. ∴ =,即 =.∵ =,AB=+1,∴ CF=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,在△ABC中,AB=AC=3,BC=4.若D,E是边BC的两个黄金分割点,则△ADE的面积为 (　　) A. 10-4 B. 3-5 C. D. 20-8 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 新定义:如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分 割数,那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图,△ABC是 “精准三角形”,AB=AC=2,CD⊥AB,垂足为D,那么BD的长为 　　　　. 解析:过点C作△ABC的中线CM交AB于点M.∵ △ABC是“精准三角形”, ∴ =.∵ AB=2,∴ CM=-1.∵ M是AB的中点,∴ AM=MB=AB=1.令DM=x,则AD=x+1.∵ CD2=CM2-MD2=AC2-AD2,∴ (-1)2-x2=22-(x+1)2. ∴ x=.∴ DM=.∴ BD=MB-DM=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若AE=BC,则E是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由. E是线段AB的黄金分割点　理由:如图,连接EC.∵ DE 是AC的垂直平分线,∴ AE=EC.又∵ AE=BC,∴ EC=BC. ∴ ∠BEC=∠B.∵ AB=AC,∴ ∠B=∠BCA.∴ ∠BEC= ∠BCA.又∵ ∠B=∠B,∴ △CEB∽△ACB.∴ =,即 BC2=BE·AB.又∵ AE=BC,∴ AE2=BE·AB,即=.∴ E 是线段AB的黄金分割点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形(提示:MN=2). 第一步,如图①,在矩形纸片一端折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平. 第三步,如图③,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到AD处. 第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 图③中AB=　　　　(结果保留根号);  (2) 如图③,判断四边形BADQ的形状,并证明; (3) 请写出图④中任意一个黄金矩形,并证明. (2) 四边形BADQ是菱形　由折叠,可知AB= AD,BQ=QD,∠BAQ=∠DAQ,∵ 易得BQ∥ AD,∴ ∠AQB=∠DAQ.∴ ∠AQB=∠BAQ. ∴ AB=BQ,即AD=AB=BQ=QD.∴ 四边形BADQ为菱形　 (3) 答案不唯一,如矩形MNDE　∵ 易得AD=AB=,AN=AC=NC=MN =1,∴ ND=+1.∴ ==.∴ 矩形MNDE是黄金矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第四章　图形的相似 1　成比例线段 第1课时　成比例线段 1. 下列各组图形中,形状不同的图形是 (　　) 　　　　 2. 如图,线段AB∶BC=1∶2,则AC∶BC等于 (　　) A. 1∶3 B. 2∶3 C. 3∶1 D. 3∶2 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 已知线段a=0.3m,b=18cm,c=0.4m,d=24cm,下列说法中,正确的是 (　　) A. b,d,c,a成比例 B. d,b,a,c成比例 C. b,d,a,c成比例 D. b,c,d,a成比例 4. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则AB∶AC=　　 　　, OA∶OD=　　　　.  C 1∶ 1∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. (教材P79随堂练习第3题变式)若a,b,c,d是成比例线段,其中b=2cm,c= 3cm,d=6cm,则线段a的长为　　　　.  6. 已知3x-4y=0(y≠0),有下列变形:① =;② =;③ =;④ =;⑤ 3x=4y.其中,正确的是　　　 　(填序号).  ①②④⑤ 1cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 有下列各组线段:① a=2cm,b=6cm,c=4.5cm,d=13.5cm;② a=7cm,b= 4cm,c=d=2cm;③ a=1.1cm,b=2.2cm,c=3.3cm,d=5.5cm;④ a=20mm,b= 8m,c=28m,d=7cm.其中,能组成比例线段的有　　　　(填序号). ①②④ 解析:① ∵ 2×13.5=4.5×6,∴ 四条线段成比例.② ∵ 4×7=2×2, ∴ 四条线段成比例.③ ∵ 1.1×5.5≠2.2×3.3,∴ 四条线段不成比例.④ a= 0.02m,d=0.07m,b=8m,c=28m.∵ 0.07×8=28×0.02,∴ 四条线段成比例.综上所述,能组成比例线段的有①②④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图,在△ABC中,=,AB=3cm,BC=5.6cm,AC=5cm,求BD,CD的长. 设BD=xcm,则CD=(5.6-x)cm.∵ =,∴ =, 解得x=2.1.∴ BD=2.1cm,CD=5.6-2.1=3.5(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2. (1) 求,,的值; (2) 写出AB,BC,CF,CD,EF,BF这六条线段中的成比例线段(写出一组即可) (1) ∵ 四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3, AD=6.5,∴ CD=EF=AB=3,BC=AD=6.5.∵ BF=2,∴ CF =BC-BF=6.5-2=4.5.∴ ==,==,=　 (2) 答案不唯一,如= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 某公园的某两个项目入口之间的距离为155m,则在一张比例尺为1∶2000的导游图上,它们之间的距离大约相当于 (　　) A. 一支粉笔的长度 B. 一根火柴的长度 C. 一把直尺的长度 D. 一根筷子的长度 11. 若比例式=成立,则称x是m,n的比例中项.当m=16,n=1时,x=　　　 . 12. 已知三个数1,2,,请你再添上一个数,使这四个数能构成一个比例式,则这个数可以是　　　　 .  A ±4 答案不唯一,如2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图,格点图中有2个三角形,若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1,则AB=　　　　,BC=　　　　,DE=　　　　,EF=　　　　,这四条线段　　　　(填“是”或“不是”)成比例线段. 3 2 6 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,在▱ABCD中,DE⊥AB于点E,BF⊥AD,交AD的延长线于点F. (1) AB,BC,BF,DE这四条线段能否成比例?若不能,请说明理由;若能,请写出比例式. (2) 若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC的长. (1) 能　∵ 在▱ABCD中,BC=AD,DE⊥AB,BF⊥AD, ∴ S▱ABCD=AB·DE=AD·BF.∴ =.又∵ BC=AD, ∴ =.∴ AB,BC,BF,DE这四条线段能成比例,比例式为=　 (2) 由(1),得=.∴ BC=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,将一张长与宽的比为∶1的矩形纸片ABCD依次不断对折,可以得到矩形纸片BCFE,AEML,GMFH,LGPN. (1) 矩形ABCD,BCFE,AEML,GMFH,LGPN的长与宽的比改变了吗?请说明理由. (1) 没有改变　理由:设矩形ABCD的宽为a,长为a,则易得 BC=a,BE=AE=a,ME=MF=,HF=LG=a,LN=.∴ BC∶ BE=a∶a=∶1,AE∶ME=a∶=∶1,MF∶HF=a=∶1,LG∶LN=a∶=∶1.∴ 矩形ABCD,BCFE, AEML,GMFH,LGPN的长与宽的比没有改变.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 在这些矩形中,有成比例的线段吗?试写出2组. (2) 在这些矩形中,有成比例的线段　 答案不唯一,如BC∶BE=AE∶ME,MF∶HF=LG∶LN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第3课时　利用三边关系判定三角形相似 1. 把△ABC经过下列变形后得到新三角形,其中,与△ABC相似的是 (　　) A. 各边长都加2 B. 各边长都减2 C. 各边长都乘2 D. 各边长都平方 2. 在△ABC和△A'B'C'中,AB=9cm,BC=8cm,CA=5cm,A'B'=4.5cm,B'C'= 2.5cm,C'A'=4cm,下列说法错误的是 (　　) A. △ABC与△A'B'C'相似 B. AB与A'B'是对应边 C. 两个三角形的相似比是2∶1 D. BC与B'C'是对应边 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 3. 在△ABC中,AB=8,AC=6;在△DEF中,DE=4,DF=3.要使△ABC与△DEF相似,则需添加的一个条件是  (写出一种情况即可). 4. (教材P95习题4.7第3题变式)如图,在网格中,相似的两个三角形是 　　　　(填序号). 答案不唯一,如BC=10,EF=5 ②⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 根据下面各组条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由. (1) AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=21cm; (2) AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A'B'=16cm,B'C'=12.8cm,A'C'=25.6cm. (1) 不相似　理由:∵ ==,==,=,∴ =≠.∴ △ABC与△A'B'C'不相似. (2) 相似　理由:∵ ==,==,==,∴ ==.∴ △ABC∽△A'B'C'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,在△ABC中,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.求证:△ABC∽△FDE. ∵ D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,∴ DE,DF,EF均 为△ABC的中位线.∴ ===,即===2. ∴ △ABC∽△FDE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (教材P94例3变式)如图,E是四边形ABCD内一点,连接AC,EB,EC,ED,满足==. (1) 求证:∠DCA=∠ECB; (1) ∵ ==,∴ △DEC∽△ABC.∴ ∠DCE=∠ACB. ∴ ∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE.∴ ∠DCA=∠ECB　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若∠ABC+∠ADC=180°,求证:B,E,D三点共线. (2) ∵ =,∴ =.∵ ∠DCA=∠ECB,∴ △DCA ∽△ECB.∴ ∠ADC=∠BEC.∵ △DEC∽△ABC,∴ ∠DEC=∠ABC.∵ ∠ABC+∠ADC=180°,∴ ∠DEC +∠BEC=180°.∴ B,E,D三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,八个完全相同的小矩形拼成一个正方形网格,连接小矩形的顶点所得的四个三角形中,是相似三角形的为 (　　) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①和④ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,在正方形网格中,A,B,C,D,M,N都是格点,从A,B,C,D四个格点中选取三个构成一个与△AMN相似的三角形,某同学得到两个三角形: ① △ABC;② △ABD.关于这两个三角形,下列判断正确的是 (　　) A. 只有①是 B. 只有②是 C. ①和②都是 D. ①和②都不是 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,在网格中画出四边形ABCD,连接BD,则∠BDC的度数为　　　 . 135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24. (1) 判断△ABC与△ADE是否相似; (2) 若∠BAC=125°,∠EAC=70°,求∠CAD的度数. (1) ∵ ==,==,==,∴ ==. ∴ △ABC∽△ADE　 (2) ∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠BAC=∠DAE.∵ ∠BAC=125°,∴ ∠DAE= 125°.又∵ ∠EAC=70°,∴ ∠CAD=∠DAE-∠EAC=55° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 已知△ABC与点O,连接OA,OB,OC,分别取OA,OB,OC的中点D,E,F,连接DE,EF,FD. (1) 如图①,点O在△ABC内,求证:△DEF∽△ABC; (1) ∵ D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,∴ DE,DF,EF分 别是△AOB,△AOC,△BOC的中位线.∴ DE=AB,DF= AC,EF=BC.∴ ===.∴ △DEF∽△ABC 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 如图②,点O在边AB上,请按叙述画图,再探讨(1)中的结论是否仍成立,不需要写出过程; (2) 如图①所示　结论仍成立 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 如果点O在△ABC的外部,请在图③中按叙述画图,再探讨(1)中的结论是否仍成立,不需要写出过程. (3) 如图②所示　结论仍成立 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第1课时　利用角的关系判定三角形相似 1. 结合图形及所给条件,下列图形中,没有相似三角形的是 (　　) 2. 如图,△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与点A,C重合), DE与AB相交于点F,则与△BDF一定相似的三角形是 (　　) A. △BEF B. △BDA C. △AFD D. △BDC C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. (教材P90随堂练习第2题变式)下列两个三角形不一定相似的是 (　　) A. 有一个内角是30°的两个等腰三角形 B. 有一个内角是60°的两个等腰三角形 C. 有一个内角是90°的两个等腰三角形 D. 有一个内角是120°的两个等腰三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. (2023·恩施)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AC,AB于点D,E,EF∥AC交BC于点F,=,BF=8,则DE的长为 (　　) A. B. C. 2 D. 3 5. 如图,AB∥CD,AC,BD交于点E.若=,AB=3.5,则CD的长为　　　　. A 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. (2023·大庆)如图,有一张矩形纸片ABCD,点N在边AD上,现将矩形纸片折叠,折痕为BN,点A的对应点记为M.若点M恰好落在边DC上,则图中与△NDM一定相似的三角形是　　　　.  7. (教材P91习题4.5第5题变式)如图,CB⊥AD,ED⊥AD,BC=1m,DE=1.5m, BD=8m,则AB=　　　　m.  △MCB 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图,E是▱ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,图中的相似三角形有　 . △AFD∽△EFC,△EFC∽△EAB,△EAB∽△AFD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (教材P90习题4.5第3题变式)(2023·湘潭)如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AD是斜边BC上的高. (1) 求证:△ABD∽△CBA; (2) 若AB=6,BC=10,求BD的长. (1) ∵ AD是斜边BC上的高,∴ ∠BDA=90°.∵ ∠BAC =90°,∴ ∠BDA=∠BAC.又∵ ∠B=∠B,∴ △ABD∽ △CBA　 (2) ∵ △ABD∽△CBA,∴ =.∴ =.∴ BD=3.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图,D为△ABC的边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F,则下列等式不成立的是 (　　) A. = B. = C. = D. = C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. (2023·东营)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上, ∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 (　　) A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图,在▱ABCD中,AE⊥CD于点E,点F在边AE上,且∠ABF=∠EAD,AB =2,BC=3,CE=1,则点A到BF的距离为　　　　.   13. (2023·乐山)如图,在▱ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC,DE交于点F.若=,则=　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为边AB的中点. (1) 求证:AC2=AB·AD; (1) ∵ AC平分∠DAB,∴ ∠DAC=∠CAB.∵ ∠ADC= ∠ACB=90°,∴ △ADC∽△ACB.∴ AD∶AC=AC∶AB. ∴ AC2=AB·AD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 连接CE,DE,且DE与AC交于点F,若CE∥AD,AD=4,AB=6,求的值. (2) ∵ ∠ACB=90°,E为边AB的中点,AB=6,∴ CE= AB=×6=3.∵ CE∥AD,∴ ∠ADF=∠CEF,∠DAF =∠ECF.∴ △ADF∽△CEF.∴ =.∵ AD=4,∴ =.∴ 易得= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,在▱ABCD中,连接AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC, AC于点F,G. (1) 求证:BF=CF; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC. ∴ 易得△EBF∽△EAD.∵ BE=AB,∴ ==.∴ BF= AD=BC.∴ BF=CF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若BC=6,DG=4,求FG的长. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥CF.∴ 易 得△FGC∽△DGA.∴ =.∵ BC=6,∴ CF=3,AD= 6.∵ DG=4,∴ FG=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第四章　图形的相似 8　图形的位似 第1课时　位似图形及其画法 1. 如图,以点O为位似中心,把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C',则下列说法错误的是 (　　) A. AO∶AA'=1∶3 B. 点A,O,A'在同一条直线上 C. S△ABC∶S△A'B'C'=1∶2 D. BC∥B'C' C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. △ABC与△DEC都是等边三角形,固定△ABC,将△DEC从如图所示的位置绕点C按逆时针方向旋转一周,在△DEC旋转的过程中,△DEC与△ABC位似的位置有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个及以上 3. 在如图所示的5组图形中,属于位似图形的有　　　　组. C 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似,且OE=2AE,则四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为　　　　.  　 　 5. 如图所示为利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案,其中点O为位似中心,且OA=2OD.若图案中鱼身(△ABC)的面积为16,则鱼尾(△DEF)的面积为　　　　. 2∶3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形,位似中心是点O;四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2是位似图形,位似中心是点O.四边形ABCD和四边形A2B2C2D2是位似图形吗? 由题意,得四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1, 四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2,∴ 四边 形ABCD∽四边形A2B2C2D2.∵ 四边形ABCD 和四边形A2B2C2D2对应顶点连线过点O,∴ 四 边形ABCD和四边形A2B2C2D2是位似图形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上. (1) 画出位似中心O; (2) 求△ABC与△A'B'C'的相似比; (3) 以点O为位似中心,再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为. (1) 如图,点O即为所求作　 (2) ∵ OA=6,OA'=12,∴ OA ∶OA'=1∶2.易知△ABC∽ △A'B'C',∴ △ABC与 △A'B'C'的相似比为1∶2　 (3) 如图,△A1B1C1即为所求 作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,在正方形网格中,△ABC和△FDE位似,则下列关于位似中心与相似比的叙述中,正确的是 (　　) A. 位似中心是点B,相似比是2∶1 B. 位似中心是点D,相似比是2∶1 C. 位似中心在点G,H之间,相似比是2∶1 D. 位似中心在点G,H之间,相似比是1∶2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. (2022·威海)12个有公共顶点O的直角三角形拼成了如图所示的图形, ∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,在▱ABCD中,以点C为位似中心作▱PECF,使它与▱ABCD位似,且相似比为2∶3,连接BP,DP.若▱ABCD的面积为20,则△PBE与△PDF的面 积之和为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,△ACC'是由△ABB'经过位似变换得到的. (1) 求△ACC'与△ABB'的相似比,并指出它们的位似中心. (2) △AEE'是△ABB'的位似图形吗?如果是,求出相似比;如果不是,请说明理由. (3) 如果相似比为3∶1,那么△ABB'的位似图形是什么? (1) △ACC'与△ABB'的相似比为2∶1　它们的位似 中心是点A　 (2) △AEE'是△ABB'的位似图形　相似比为4∶1　 (3) 如果相似比为3∶1,那么△ABB'的位似图形是△ADD' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,B'C'∥BC,C'D'∥CD,D'E'∥DE. (1) 求证:四边形BCDE与四边形B'C'D'E'是位似图形; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) ∵ B'C'∥BC,C'D'∥CD,D'E'∥DE,∴ 易得===.又∵ ∠E'AB'=∠EAB,∠E'AD'=∠EAD,∠D'AC'=∠DAC,∠C'AB'=∠CAB,∴ △E'AB'∽△EAB,△E'AD'∽△EAD,△D'AC'∽△DAC,△C'AB'∽ △CAB.∴ ∠AE'B'=∠AEB,=,==,=.∴ == =.∵ E'D'∥ED,∴ ∠AE'D'=∠AED,∠AD'E'=∠ADE.∴ ∠AE'D' -∠AE'B'=∠AED-∠AEB,即∠B'E'D'=∠BED.同理,可得∠E'B'C'= ∠EBC.∵ D'C'∥DC,∴ ∠AD'C'=∠ADC.∴ ∠AD'E'+∠AD'C'=∠ADE +∠ADC,即∠E'D'C'=∠EDC.同理,可得∠D'C'B'=∠DCB.∴ 四边形B'C'D'E'∽四边形BCDE.又∵ 四边形BCDE与四边形B'C'D'E'的对应顶点的连线相交于一点A,∴ 四边形BCDE与四边形B'C'D'E'是位似图形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 如果=3,S四边形BCDE=20,求S四边形B'C'D'E'的值. (2) ∵ =3,∴ =.∴ 四边形BCDE与四 边形B'C'D'E'的相似比为.∵ S四边形BCDE=20, ∴ S四边形B'C'D'E'== 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第四章　图形的相似 8　图形的位似 第2课时　平面直角坐标系中的位似变换 1. (2023·舟山)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2), B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似三角形A'B'C',则顶点C'的坐标是 (　　) A. (2,4) B. (4,2) C. (6,4) D. (5,4) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形.若点A,D的坐标分别为(-2,0),(3,0),则△ABC与△DEF的周长之比是 (　　) A. 9∶4 B. 4∶9 C. 3∶2 D. 2∶3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. (2023·鄂州)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A1B1C1位似,原点O 是位似中心,且=3.若点A的坐标为(9,3),则点A1的坐标为　　　　.  　 4. (教材P118习题4.14第4题变式)在如图所示的平面直角坐标系中有△OAB,点A,B的坐标分别为(1,2),(3,1),以原点O为位似中心将△OAB进行放缩.若放缩后点A的对应点A1的坐标为(-2,-4),则△OAB与△OA1B1的相似比是　　　　,点B的对应点B1的坐标为　　　　. (3,1) 1∶2 (-6,-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6,6),B(-8, 2),C(-4,0),D(-2,4).以原点O为位似中心,将四边形ABCD缩小为原来的,得 到四边形A'B'C'D',点A,B,C,D的对应点分别是A',B',C',D',且点A'在第四象限. (1) 画出四边形A'B'C'D'; (2) 写出点A',C'的坐标. (1) 如图,四边形A'B'C'D'即 为所求作　 (2) A'(3,-3),C'(2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上. (1) 以点O为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍,在y轴左侧画出放大后的△DEF; (2) 点A的对应点D的坐标是　　　　;  (1) 如图,△DEF即为所求作　 (-2,6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 求S△ABO∶S四边形ABED. (3) 由题意,得AB∥DE,∴ △ABO∽△DEO.又∵ 把 △ABC放大为原来的2倍得到△DEF,∴ AB∶DE= 1∶2.∴ S△ABO∶S△DEO=1∶4.∴ S△ABO∶S四边形ABED =1∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (2023·遂宁)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF位似,则位似中心的坐标为 (　　) A. (-1,0) B. (0,0) C. (0,1) D. (1,0) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A'B'O.若点B的坐标为(2,1),则点B'的坐标为 (　　) A. (2,4) B. (2,4)或(-2,-4) C. (4,2) D. (4,2)或(-4,-2) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. (2023·本溪)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2).若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似,且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍,则第一象限内点B'的坐标为　　　　.  (4,6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. (2023·绥化)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,点A,C的坐标分别为(2,0),(a,b),∠C=90°,点C'的坐标为　　 　　.  11. 如图,在平面直角坐标系中,△AOC的三个顶点的坐标分别为A(4,0), O(0,0),C(4,3),AP为△AOC的中线,以点O为位似中心,把△AOP每条边扩 大到原来的2倍,得到△A'OP',则PP'的长为　　　　. (6-2a,-2b) 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1), B(1,-2). (1) 以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似三角形OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1,并分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标. (2) 画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后的△O2A2B2,并写出点A,B的对应点A2,B2的坐标. (3) 判断△OA1B1与△O2A2B2能否是以某一点M为位似 中心的位似图形.若能,请在图中标出位似中心M,并写 出点M的坐标;若不能,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 如图,△OA1B1即为所求作　A1(4,2),B1(2,-4)　 (2) 如图,△O2A2B2即为所求作　A2(0,2),B2(-1,-1)　 (3) 能　如图,点M即为所求作　M(-4,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第四章　图形的相似 *5　相似三角形判定定理的证明 1. 如果点D,E分别在△ABC的两边AB,AC上,下列条件可以推出DE∥BC的是 (　　) A. =,= B. =,= C. =,= D. =,= C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. (2023·内江)如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上, AC∥DG∥EF,H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为 (　　) A. 1 B. C. 2 D. 3 3. (2022·徐州)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,则涂色部分的面积为 (　　) A. 5 B. 6 C. D. C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,连接CE并延长,与BA的延长线交于点F.若AE∶AD=2∶3,CD=4,则AF=　　　　.   　　 5. 如图,在矩形ABCD中,BD为矩形ABCD的对角线,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE交BD于点G,连接BF交AE于点H,连接EF,则的值是　　　　. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (2023·上海)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,连接AC,点F,E分别在线段BC,AC上,连接AF,DE,∠FAC=∠EDA,AC=AD. (1) 求证:DE=AF; (2) 若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠DAC=∠ACF.∵ AD=AC,∠EDA= ∠FAC,∴ △DAE≌△ACF.∴ DE=AF　 (2) ∵ △ACF≌△DAE,∴ ∠AFC=∠DEA.∴ ∠AFB= ∠CED.∵ ∠ABC=∠CDE,∴ △ABF∽△CDE.∴ =.∴ AF·DE= BF·CE.∵ DE=AF,∴ AF2=BF·CE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (教材P102习题4.9第4题变式)如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC= 30cm,点P从点A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点C出发,沿CA以3cm/s的速度向点A运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动时间为xs. (1) 当PQ∥BC时,求x的值. (1) 当PQ∥BC时,AP∶AB=AQ∶AC.由题意,易得AP =4xcm,CQ=3xcm,∴ AQ=(30-3x)cm.∴ =,解得 x=.∴ 当PQ∥BC时,x=　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) △APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由. (2) 能　∵ BA=BC,∴ ∠A=∠C.① 当△APQ∽△CQB 时,有=,即=,解得x1=,x2=0(不合题意,舍去). ∴ AP=cm.② 当△APQ∽△CBQ时,有=,即=,解得x1=5,x2= -10(不合题意,舍去).∴ AP=20cm.综上所述,当AP=cm或20cm时,△APQ与△CQB相似 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. (2022·扬州)如图,在△ABC中,AB<AC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE,点D在边BC上,DE交AC于点F.有下列结论:① △AFE∽ △DFC;② DA平分∠BDE;③ ∠CDF=∠BAD.其中,正确的是 (　　) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ D 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图①,在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线A→B→C匀速运动至点C停止,连接AP.AP的长y(cm)关于点P的运动时间t(s)的函数图象如图②所示.当AP恰好平分∠BAC时,t的值为　　　　. 2+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:由题图②,易得AB=BC=4cm.∵ ∠B=36°,AB=BC,∴ ∠BAC=∠C= 72°.∵ AP平分∠BAC,∴ ∠BAP=∠PAC=∠B=36°.∴ AP=BP,∠APC= 72°=∠C.∴ AP=AC=BP.∵ ∠PAC=∠B,∠C=∠C,∴ △PAC∽△ABC. ∴ =.∴ AP2=AB·PC.由题意,易得AP=AC=BP=(t-4)cm.∴ PC=BC-BP =(8-t)cm.∴ (t-4)2=4(8-t),解得t1=2+2,t2=2-2(不合题意,舍去).∴ t的值为2+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是边AC上一点,AH⊥ BD于点H,连接CH. (1) 求证:△DAH∽△DBA. (1) ∵ AH⊥BD,∠BAC=90°,∴ ∠AHD=∠BAD=90°. ∵ ∠ADH=∠BDA,∴ △DAH∽△DBA　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若AC=6,点D在AC上运动,当点D运动到边AC的什么位置时,∠DHC= 45°?请给出证明,并求出此时CH的长. (2) 当点D运动到边AC的中点时,∠DHC=45°　 由(1),知△DAH∽△DBA.∴ =.∵ D是AC的中点, ∴ DA=DC.∴ =.∵ ∠HDC=∠CDB,∴ △DCH∽△DBC.∴ ∠DHC =∠DCB.∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ ∠DCB=45°.∴ ∠DHC=45°. ∵ △ABC是等腰直角三角形,AC=6,∴ AB=6,DA=DC=3.∴ 易得BD=3, BC=6.∵ △DCH∽△DBC,∴ =.∴ =.∴ CH= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在边BA上以3cm/s的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在边CB上以2cm/s的速度向点B匀速运动,运动时间为t(0<t<2)s. (1) 连接PQ,若△BPQ与△ABC相似,求t的值; (1) 由题意,易得BP=3tcm,QC=2tcm,AB== 10cm,则BQ=(8-2t)cm.① 当△BPQ∽△BAC时,=, ∴ =,解得t=.② 当△BPQ∽△BCA时,=, ∴ =,解得t=.∴ t的值为或 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 如图②,连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值. (2) 如图,过点P作PM⊥BC于点M,设AQ,CP交于点N.∴ ∠CMP =∠PMB=∠ACB=90°.∴ PM∥AC.∴ 易得△BPM∽△BAC. ∵ PB=3tcm,∴ 易得PM=tcm,BM=tcm.∴ MC=cm. ∵ AQ⊥CP,∴ 易得∠NAC+∠NCA=90°.又∵ 易得∠PCM+ ∠NCA=90°,∴ ∠NAC=∠PCM.又∵ ∠ACQ=∠CMP=90°, ∴ △ACQ∽△CMP.∴ =.∴ =,解得t1=,t2=0(不合 题意,舍去).∴ t= 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第四章　图形的相似 1　成比例线段 第2课时　等比性质 1. 已知=,则下列等式中,不一定成立的是 (　　) A. 5x=3y B. = C. x+y=8 D. = 2. (教材P81习题4.2第1题变式)已知===,且b+d-f≠0,则的值为 (　　) A. B. C. D. C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. (1) 已知=,则代数式的值为　　　　;  (2) 已知===,b+d+f=10,则a+c+e=　　　　.  4. 若==(a≠c),则=　　　　.  5. 若==(x,y,z均不为0),则=　　　　. 6 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,====,且四边形A'B'C'D'的周长为60cm,求四边形ABCD的周长. ∵ ====, ∴ =.∵ 四边形A'B'C'D'的周长为60cm,即A'B'+B'C'+C'D'+D'A'=60cm,∴ AB+BC+CD+DA=60× =36(cm),即四边形ABCD的周长为36cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 已知x∶y∶z=2∶3∶4.求: (1) 的值; (2) 的值; (3) 的值. ∵ x∶y∶z=2∶3∶4,∴ 设x=2k,y=3k,z=4k(k≠0). (1) ==　 (2) ==-　 (3) ==-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 已知a,b,c是△ABC的三边长,且==≠0. (1) 求的值; (2) 若△ABC的周长为90,求各边的长. 设===k(k≠0),则a=5k,b=4k,c=6k.　 (1) ==　 (2) 由△ABC的周长为90,得5k+4k+6k=90,解得k=6.∴ a=30,b=24,c=36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 若===k(a+b+c≠0),则函数y=kx+k的图象一定不经过 (　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 若==(x,y,z均不为0),设A=,B=,C=,则A,B,C的大小关系为 (　　) A. A>B>C B. C>B>A C. C>A>B D. B>C>A D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 已知a,b,c是△ABC的三边长,满足==,且a+b+c=12,则△ABC的形状是　　　 　 ,面积为　　　　.  12. (1) 若=,则的值为　　　　;  (2) 若非零实数a,b,c满足===k,则k=　　　　.  13. 如图,若===,且△ABC的周长比△ADE的周长多 12cm,则△ADE的周长为　　　　cm. 直角三角形 6 - -1或2 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 已知==(x,y,z均不为0),则=　　　　;当x+y+z=5时,x=　　 , y=　　　　,z=　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 已知===. (1) 若b-d≠0,求的值; (2) 若2b+3d-4f≠0,求的值; (3) 比较(1)(2)的结论,你能发现什么规律? (1) ∵ ==,∴ ==.∵ b-d≠0,∴ =　 (2) ∵ ===,∴ ===.∵ 2b+3d-4f≠0,∴ =　 (3) 若===k(k≠0),则=k(t,m,n均为常数,tb+md+nf≠0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 设a,b,c是△ABC的三边长,且==,试判断△ABC的形状,并说明理由. △ABC为等边三角形　理由:∵ a,b,c是△ABC的三边长,∴ a+b+c≠0.∵ ==,∴ ====0.∴ a-b=0,b-c=0,c-a=0.∴ a =b=c.∴ △ABC为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形中对应线段的性质 1. 在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm,则该三角形的中线由原图中的3cm变成了 (　　) A. 5cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 2. 若两个相似三角形的对应高之比为2∶5,其中一个三角形的一条角平分线长为7,则另一个三角形对应的角平分线的长为 (　　) A. B. C. 或 D. 无法确定 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 3. 如图,在5×5的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点(除点F)都在边长为1的小正方形的顶点上,边DF,EF过小正方形顶点,∠A=∠D.有下列结论:① △ABC的边AB上的高为1;② △DEF的边DE上的高为;③ △ABC与△DEF的对应中线的比是;④ △ABC与△DEF的对应角平分线的比是.其中,正确的是　　　　(填序号).  ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. (教材P107例1变式)如图,在△ABC中,BC=8,高AD=6,点E,F分别在AB, AC上,点G,H在BC上.当四边形EFGH是矩形,且EF=2EH时,矩形EFGH的 周长为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图所示为折叠晾衣架的侧面示意图,AD和CB相交于点O,点A,B之间的距离为1.2米,AB∥CD,根据图中的数据求CD的长. 由题意,得AB∥CD,∴ ∠DCO=∠ABO,∠CDO=∠BAO. ∴ △CDO∽△BAO.∴ ==0.8.∵ AB=1.2米,∴ CD= 1.2×0.8=0.96(米) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 某板凳的示意图如图所示.其中BA=CD,BC=20cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,横梁EF的长应为多少厘米(材质及其厚度等忽略不计)? 如图,过点C作CM∥AB,分别交EF,AD于点N,M,过点C作 CP⊥AD,分别交EF,AD于点Q,P.由题意,易得四边形ABCM, EBCN是平行四边形.∴ EN=AM=BC=20cm.∴ MD=AD-AM =30cm.由题意,知CP=40cm,PQ=8cm.∴ CQ=CP-PQ=32cm. ∵ EF∥AD,∴ 易得△CNF∽△CMD.∴ =.∴ NF= 24cm.∴ EF=EN+NF=44cm.∴ 横梁EF的长应为44cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图①所示为装了液体的高脚杯示意图,用去一部分液体后如图②所示,此时液面AB的宽为 (　　) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5m有一棵树,小华站在离南岸20m的点P处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),龙舟的长为18.5m.若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为　　　　m(龙舟的宽忽略不计). 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,点D,E分别在AB,AC上.如果以A,D, E为顶点的三角形和△ABC相似,且对应角平分线的比为,求AD,AE的长. 当△ADE∽△ABC时,由对应角平分线的比等于相似比, 可得相似比为.∴ ==,即==.∴ AD=2,AE=1.5. 当△AED∽△ABC时,易得==,即==.∴ AD= 1.5,AE=2.综上所述,AD的长为2,AE的长为1.5或AD的长 为1.5,AE的长为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 有一张锐角三角形纸片余料ABC,它的边BC=120cm,高AD=80cm,为使纸片余料得到充分利用,现把它裁剪成一张邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和一张正方形纸片PMNQ,裁剪时,矩形纸片EFGH的较长边FG在BC上,正方形纸片PMNQ的边MN在矩形纸片的较长边EH上,其余顶点分别在AB,AC上,具体裁剪方式如图所示. (1) 求矩形纸片EFGH较长边EH的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 根据题意,设EF=2xcm,EH=5xcm,则易知AR=(80-2x)cm.∵ 易知EH∥ BC,AD为△ABC的高,∴ 易知AR为△AEH的高,△AEH∽△ABC.∴ = ,即=,解得x=15.∴ EH=15×5=75(cm).∴ 矩形纸片EFGH较长边EH的长为75cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 裁剪正方形纸片PMNQ时,小聪按以下方法进行裁剪:先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀,再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀.请你通过计算判断小聪的剪法是否正确. (2) 设正方形纸片PMNQ的边长为acm.∵ AR=AD-RD=80 -2×15=50(cm),∴ 易知AK=(50-a)cm.由题意,易知△APQ ∽△AEH,AK为△APQ的高,AR为△AEH的高.∴ =, 即=,解得a=30.∵ 与边EH平行的中位线的长为× 75=37.5(cm),37.5≠30,∴ 小聪的剪法不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第四章　图形的相似 小专题(九)　比例式与等积式的证明方法 类型一　平行线法 1. 如图,在▱ABCD中,E为边BC上一点,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC,交DC于点F.求证:=. ∵ GF∥BC,∴ =.∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD.∴ ∠BAG=∠M,∠ABG=∠MDG. ∴ △ABG∽△MDG.∴ =,即=.∴ =,即 = 1 2 3 4 5 6 2. 如图,在△ABC中,D为AB的中点,F为BC延长线上一点,DF交AC于点E.求证:AE·CF=BF·CE. 过点C作CM∥AB,交DF于点M.∵ CM∥AB,∴ ∠BDF =∠CMF.∵ ∠F=∠F,∴ △BDF∽△CMF.∴ =.∵ CM∥AD,∴ ∠A=∠ECM,∠ADE=∠CME.∴ △ADE∽ △CME.∴ =.∵ D为AB的中点,∴ BD=AD,即=. ∴ =,即AE·CF=BF·CE 1 2 3 4 5 6 类型二　三点定形法 3. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点E,点F在边AB上,连接CF,交线段BE于点G,CG2=GE·GD,连接EF.求证: (1) ∠ABD=∠ACF; (1) ∵ CG2=GE·GD,∴ =.又∵ ∠CGD=∠EGC, ∴ △GCD∽△GEC.∴ ∠GDC=∠GCE.∵ AB∥CD, ∴ ∠ABD=∠BDC.∴ ∠ABD=∠ACF　 1 2 3 4 5 6 (2) FE·CG=EG·BC. (2) 由(1),知∠FBG=∠ECG,又∵ ∠BGF=∠CGE, ∴ △BGF∽△CGE.∴ =,即=.又∵ ∠FGE =∠BGC,∴ △FGE∽△BGC.∴ =.∴ FE·CG= EG·BC 1 2 3 4 5 6 类型三　等线代换法 4. 如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,∠DAC=∠B,点E在边AD上,CE= CD.求证: (1) =; (1) ∵ CE=CD,∴ ∠CED=∠CDE.∵ ∠AEC+∠CED=180°, ∠BDA+∠CDE=180°,∴ ∠AEC=∠BDA.∵ ∠DAC=∠B, 即∠EAC=∠B,∴ △ACE∽△BAD.∴ =.∵ AD是△ABC的中线,∴ BD=CD.又∵ CD=CE,∴ BD=CE.∴ =　 1 2 3 4 5 6 (2) AC2=2AE·AD. (2) ∵ ∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴ △ACD∽△BCA. ∴ =.∴ AC2=CD·BC.∵ △ACE∽△BAD,∴ =. ∴ AE·AD=BD·CE.∵ CE=CD,∴ 2AE·AD=2BD·CE= BC·CD.∴ AC2=2AE·AD 1 2 3 4 5 6 类型四　等比(积)过渡法 5. 如图,在△ABC中,点E,F分别在AB,AC上,且=. (1) 求证:△AEF∽△ABC; (1) 在△AEF和△ABC中,∵ =,∴ =. 又∵ ∠EAF=∠BAC,∴ △AEF∽△ABC　 1 2 3 4 5 6 (2) 若点D在BC上,AD与EF交于点G,求证:=. (2) ∵ △AEF∽△ABC,∴ ∠AEF=∠ABC,∠AFE =∠ACB.∵ ∠EAG=∠BAD,∴ △AEG∽△ABD. ∴ =.同理,得=.∴ = 1 2 3 4 5 6 类型五　平方代换法 6. 如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在线段CD上,连接AE,∠ACD=∠B=∠BAE. (1) 求证:=; (1) ∵ ∠ACD=∠BAE,∠BAC=∠BAE+∠CAE,∠AED =∠ACD+∠CAE,∴ ∠AED=∠BAC.∵ ∠BAE=∠B, 即∠DAE=∠B,∴ △AED∽△BAC.∴ =　 1 2 3 4 5 6 (2) 当E为CD的中点时,求证:=. (2) ∵ ∠BAE=∠ACD,即∠DAE=∠DCA,又∵ ∠ADE= ∠CDA,∴ △DAE∽△DCA.∴ =.∵ E为CD的中点, ∴ DE=CE.∴ =.∴ =.∴ =.∵ ∠DAC=∠CAB,∠ACD= ∠B,∴ △ACD∽△ABC.∴ =,即AC2=AD·AB.∴ == 1 2 3 4 5 6 $$第四章　图形的相似 小专题(八)　相似三角形的基本模型 模型一　X字型及其变形 解题思路: (1) 如图①,对顶角的对边互相平行.若AB∥CD, 则△ABO∽△DCO. (2) 如图②,对顶角的对边不平行,且有另一对角相等.若∠OAB=∠OCD,则△ABO∽△CDO. 1 2 3 4 5 6 7 8 1. 如图,∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4,CF=2,求DF的长. ∵ ∠ADE=∠ACB,∠ADE=∠B+∠DFB,∠ACB=∠E+ ∠CFE,∠DFB=∠CFE,∴ ∠B=∠E.∴ △DFB∽△CFE. ∴ =.∴ =.∴ DF=4 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在对角线BD上,且BE=3,连接AE并延长,交DC于点F,求DF的长. ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB∥CD,∠BAD=90°,BC= AD=4.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2+AD2=25. ∴ BD=5.∴ DE=BD-BE=2.∵ DF∥AB,∴ 易得△DEF ∽△BEA.∴ =,即=.∴ DF=2 1 2 3 4 5 6 7 8 模型二　A字型及其变形 解题思路: (1) 如图①,公共角所对的边互相平行.若DE∥BC,则△ADE∽△ABC. (2) 如图②,公共角所对的边不平行,且有另一对角相等.若∠AED=∠B,则△AED∽△ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE=3,AC=5,BC=10,则CF的长为 　　　　. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,连接DE,且∠ADE=∠C. (1) 求证:△ADE∽△ACB; (2) 若AD=2BD,AE=4,AC=9,求BD的长. (1) ∵ ∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴ △ADE∽△ACB　 (2) 由(1),可知△ADE∽△ACB,∴ =.设BD=x,则 AD=2x,AB=3x.∵ AE=4,AC=9,∴ =,解得x=(负 值舍去).∴ BD的长是 1 2 3 4 5 6 7 8 模型三　M字型 解题思路:如图,Rt△ABD与Rt△CEB的斜边互相垂直,则有△ABD∽ △CEB. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图,AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,求AB的长. ∵ AB⊥BD,ED⊥BD,∴ ∠B=∠D=90°.又∵ AC⊥CE, ∴ ∠ACE=90°.∴ ∠A+∠ACB=∠ACB+∠ECD=90°. ∴ ∠A=∠ECD.∴ △ABC∽△CDE.∴ =.∵ C为线 段BD的中点,∴ BC=CD=2.又∵ ED=1,∴ AB=4 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图,在正方形ABCD中,E为边AD上的点,点F在边CD上,且CF=3FD, ∠BEF=90°. (1) 求证:△ABE∽△DEF; (1) ∵ 四边形ABCD为正方形,∴ ∠A=∠D=90°. ∵ ∠BEF=90°,∴ ∠ABE+∠AEB=∠DEF+∠AEB =90°.∴ ∠ABE=∠DEF.∵ ∠A=∠D,∴ △ABE∽ △DEF　 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长. (2) ∵ 四边形ABCD为正方形,∴ AD∥BC,AB=BC= CD=AD=4.∵ CF=3FD,∴ DF=1,CF=3.∵ △ABE∽ △DEF,∴ =,即=.∴ DE=2.∵ AD∥BC, ∴ 易得△EDF∽△GCF.∴ =,即=.∴ CG=6. ∴ BG=BC+CG=4+6=10 1 2 3 4 5 6 7 8 模型四　子母型 解题思路: (1) 如图①,若∠ACD=∠B,则△ACD∽△ABC,可得AC2=AD·AB. (2) 如图②,在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,则△ACD∽△ABC∽△CBD,可得AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,CD2=AD·BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图,∠A=∠BCD,AD=2,BD=4,求BC的长. ∵ ∠B=∠B,∠A=∠BCD,∴ △ABC∽△CBD.∴ =. ∴ BC2=AB·BD,即BC2=(2+4)×4.∴ BC=2 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD为边BC上的中线,DE⊥AC于点E. (1) 请你写出图中所有与△DEC相似的三角形(不包含△DEC); (2) 若AB=10,BC=12,求EC的长. (1) △ADC,△AED,△ADB　 (2) ∵ AB=AC,AD为边BC上的中线,∴ AD⊥BC,BD=CD =BC=×12=6.∴ ∠ADC=90°.∵ DE⊥AC,∴ ∠DEC=90°=∠ADC.∵ ∠C=∠C,∴ △DEC∽△ADC.∴ =.∵ AC=AB=10,CD=6,∴ EC= 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第2课时　利用边角关系判定三角形相似 1. 如图,∠1=∠2,点D在边BC上.添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ∽△ADE的是 (　　) A. ∠B=∠ADE B. ∠2=∠EDC C. = D. =　　 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,根据图中给出的数据判断,下列结论中,正确的是 (　　) A. △AED∽△CED B. △ABE∽△ACB C. △ABC∽△EDC D. △AED∽△CBA 3. 如图,==k,请再添加一个条件,使△ABC∽△ACD,你添加的条件是 　　 　　. C ∠BAC=∠CAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (教材P92随堂练习变式)如图,下列三角形中,　　　　相似,　　　　相似,　　　　相似(填序号). ①⑥ ②④ ③⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. (教材P93习题4.6第1题变式)在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是边 AB上的一点,AD=1,E是边AC上的一点(不与点A,C重合),当AE=　　　 时, 以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 或 解析:∵ ∠C=90°,AC=4,BC=3,∴ AB=5.∵ 以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,∴ △ABC∽△ADE或△ABC∽△AED.∴ =或=.∴ =或=.∴ AE=或AE=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P91例2变式)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且AD=5,DB =7,AE=6,EC=4. (1) △ADE与△ACB相似吗?请说明理由. (2) 若DE=4,求BC的长. (1) △ADE与△ACB相似　理由:∵ AD=5,DB=7,AE=6, EC=4,∴ AB=5+7=12,AC=6+4=10.∴ ==,==. ∴ =.又∵ ∠A=∠A,∴ △ADE∽△ACB.　 (2) ∵ △ADE∽△ACB,∴ ==.∵ DE=4,∴ BC=8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,连接AQ,PQ,求证:△ADQ∽△QCP. 设正方形ABCD的边长为4a,则AD=CD=BC=4a.∵ Q是 CD的中点,BP=3PC,∴ DQ=CQ=2a,PC=a.∴ ==2. 又∵ 易得∠D=∠C=90°,∴ △ADQ∽△QCP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 在△ABC中,∠C=80°,AC=4,BC=6.将△ABC沿虚线剪开,按如图所示的四种方式剪下的涂色三角形与△ABC相似的是 (　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在四边形ABDC中,不等长的两条对角线AD,BC相交于点O,且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OB=OC∶OD=2∶3,则对这四个三角形的关系,下列叙述正确的是 (　　) A. 甲与丙相似,乙与丁相似 B. 甲与丙相似,乙与丁不相似 C. 甲与丙不相似,乙与丁相似 D. 甲与丙不相似,乙与丁不相似 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,AD,BC是△AOB的两条高,AD=2OD,连接CD.有下列结论:① BC =2OC;② △AOB∽△DOC;③ =.其中,正确的是　　　　(填序号).    11. 如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为边CD上的动点, 当△ADP与△BCP相似时,DP=　　 　　.  ①②③ 1或4或2.5 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在边AB,AD上,DE与CF相交于点G,CD2=CG·CF,∠AED=∠CFD. (1) 求证:AB=CD; (1) ∵ CD2=CG·CF,∴ =.∵ ∠FCD=∠DCG, ∴ △CFD∽△CDG.∴ ∠CFD=∠CDG.∵ ∠AED =∠CFD,∴ ∠CDG=∠AED.∴ AB∥CD.∵ AD∥ BC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB=CD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 延长AD至点M,连接CM,当CF=CM时,求证:AE·AB=AD·DM. (2) ∵ CF=CM,∴ ∠CFD=∠M.∵ ∠AED=∠CFD, ∴ ∠AED=∠M.∵ AB∥CD,∴ ∠A=∠CDM.∴ △AED∽△DMC.∴ =.∴ AE·DC=AD·DM. ∵ AB=DC,∴ AE·AB=AD·DM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为B,BA=3cm,BO=4cm,动点E,F同时从点O出发,点E以1.5cm/s的速度沿ON方向运动,点F以2cm/s的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t(t>0)s. (1) 当t=1时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由. (1) △EOF与△ABO相似　 理由:当t=1时,OE=1.5cm,OF= 2cm.∵ BA=3cm,BO=4cm,∴ ==.又∵ ∠EOF=∠ABO =90°,∴ △EOF∽△ABO.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求证:在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA. (2) 在运动过程中,OE=1.5tcm,OF=2tcm.∵ BA=3cm,BO= 4cm,∴ =.又∵ ∠EOF=∠ABO=90°,∴ △EOF∽ △ABO.∴ ∠EFO=∠AOB.又∵ OM⊥ON,∴ ∠AOB+ ∠FOC=90°.∴ ∠EFO+∠FOC=90°.∴ ∠FCO=90°, 即EF⊥OA.∴ 在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第四章　图形的相似 2　平行线分线段成比例 1. 如图,l1∥l2∥l3,下列比例式中,不正确的是 (　　) A. = B. = C. = D. = 2. 如图,直线l1∥l2∥l3,AB=2,BC=6,DE=3,则EF的长为 (　　) A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. (2023·吉林)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是 (　　) A. B. C. D. 4. 如图,DE∥AC,DF∥BC,=,BE=9,则DF的长为 (　　) A. B. 5 C. 6 D. 15 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. (2023·北京)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=2,OF=1,FD =2,则的值为　　　　.    6. 如图所示为一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥ DD1,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在点A,D1之间加绑一 条安全绳(线段AD1),量得AE=0.4m,则AD1=　　　　m. 1.2 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. (教材P84习题4.3第1题变式)如图,直线l1,l2,l3分别截直线l4于点A,B,C,截直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3. (1) 若AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长; (2) 若DE∶EF=2∶3,AC=25,求AB的长. (1) ∵ l1∥l2∥l3,∴ =.∵ AB=3,BC=6,DE=4,∴ =. ∴ EF=8　 (2) ∵ l1∥l2∥l3,∴ =.∵ DE∶EF=2∶3,AC=25,∴ ==,即=.∴ AB=10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,AE=3. (1) 求EC的长; (2) 求证:AD·AG=AF·AB. (1) ∵ DE∥BC,∴ =.又∵ =,AE=3,∴ =. ∴ AC=9.∴ EC=AC-AE=9-3=6　 (2) ∵ DE∥BC,∴ =.∵ EF∥CG,∴ =. ∴ =,即AD·AG=AF·AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图,AB∥CD∥EF,AF交BE于点G.若AC=CG,AG=FG,则下列结论错误的是 (　　) A. = B. = C. = D. = C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,点F在边BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H.下列结论错误的是 (　　) A. = B. = C. = D. = C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图,在△APM的边AP上任取两点B,C,连接MC,过点B作AM的平行线交边PM于点N,过点N作MC的平行线交边AP于点D.若=,则的值为 　　　　　.   　 　 12. 如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段BC=4cm,则线段AC的长是　　　　. 6cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,F是AD上一点,且AF∶FD= 1∶4,连接CF并延长,交AB于点E,则AE∶EB=　　　　. 1∶8 解析:过点D作DG∥EC交AB于点G.∵ AD是边BC上的中线,∴ BD=CD. ∴ 易得BG=EG.∵ DG∥EC,∴ AE∶EG=AF∶FD=1∶4.∴ AE∶EB= 1∶8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. (教材P85习题4.3第4题变式)如图,四边形BDEF是平行四边形,AE= 2CE,AB=6,BC=9.求: (1) BF和BD的长; (2) 四边形BDEF的周长. (1) ∵ 四边形BDEF是平行四边形,∴ DE∥BC,EF∥AB.∵ AE=2CE,∴ 易得=,=.∵ EF∥AB,∴ ==.∵ BC=9,∴ BF=6.∵ DE∥BC,∴ ==.∵ AB=6,∴ BD=2　 (2) ∵ 四边形BDEF是平行四边形,∴ EF=BD=2,DE=BF=6.∴ 四边形BDEF的周长为2×(2+6)=16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,在△ABC中,点F在边AB上,且AF∶BF=1∶2,D是BC延长线上的一点,BC∶CD=2∶1,连接FD,与边AC交于点N.求的值. 过点F作FM∥AC,交BC于点M.∴ CM∶BM= AF∶BF= 1∶2.∴ 易得CM=BC.又∵ BC∶CD=2∶1,∴ CD=BC. ∵ FM∥AC,∴ === 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$