第二章　一元二次方程课件2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 小专题(六)　利用一元二次方程解决其他实际问题 类型一　数字问题 1. 一个两位数的个位上的数字与十位上的数字的和为9,并且个位上的数字与十位上的数字的平方和为45,求这个两位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设这个两位数的个位上的数字为x,则十位上的数字为(9-x).由题意,得x2+ (9-x)2=45.整理,得x2-9x+18=0,解得x1=3,x2=6.当x=3时,这个两位数为63;当x=6时,这个两位数为36.综上所述,这个两位数为36或63 2. 如图所示为某月的月历表,在表上可以用一个虚线框框出位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若框出的9个数中最大数与最小数的积为192,求这9个数的和. 根据月历表可以得出,框出的9个数中最 大数与最小数的差为16.设最小数为x,则 最大数为(x+16).根据题意,得x(x+16)= 192,解得x1=8,x2=-24(不合题意,舍去).∴ 这9个数分别为8,9,10,15,16,17,22,23,24. ∴ 这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　传播问题 3. 为了宣传垃圾分类,小王写了一封倡议书,用社交平台转发的方式传播,他设计了如下的转发规则:将倡议书发表在自己的社交平台上,然后邀请x人转发,每人转发之后,又邀请不同的x人转发.已知经过两轮转发后,共有111人参与了本次活动. (1) x的值是多少? (1) 由题意,得1+x+x2=111.整理,得x2+x-110=0,解得x1=10,x2=-11(不合题意,舍去).∴ x的值为10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 再经过几轮转发后,参与人数会超过10000? (2) 第三轮转发后,参与人数为1+10+100+1000=1111,第四轮转发后,参与人数为1+10+100+1000+10000=11111.∵ 11111>10000,∴ 再经过两轮转发后,参与人数会超过10000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 冬春季是传染病高发季节.据统计,去年冬春之交,有一人患了流感,在没有采取医疗手段的情况下,经过两轮传染后,共有64人患流感. (1) 求每轮传染中平均一人传染的人数; (2) 若不及时控制,则第三轮传染后,患流感的共有多少人? (1) 设每轮传染中平均一人传染了x人.由题意,得1+x+(1+x)x=64,解得x1= 7,x2=-9(不合题意,舍去).∴ 每轮传染中平均一人传染了7人　 (2) 第三轮传染的人数为64×7=448.∴ 第三轮传染后,患流感的总人数为448+64=512 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　循环问题 5. 毕业之际,某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买礼品,每两名同学都相互赠送一件礼品,礼品店共售出礼品42件,则该兴趣小组有多少名同学? 设该兴趣小组有x名同学,则每名同学需送出(x-1)件礼品.由题意,得x(x-1) =42,解得x1=7,x2=-6(不合题意,舍去).∴ 该兴趣小组有7名同学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 在一次酒会上,每两人都只碰一次杯.如果一共碰杯36次,求参加酒会的人数. 设参加酒会的人数为x.根据题意,得x(x-1)=36.整理,得x2-x-72=0,解得x1= 9,x2=-8(不合题意,舍去).∴ 参加酒会的人数为9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 某市要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间都比赛一场),计划安排15场比赛. (1) 应该邀请多少支球队参加比赛? (2) 若某支球队参加3场比赛后,因故不能参加后面的比赛,则实际共比赛多少场? (1) 设应该邀请x支球队参加比赛.由题意,得x(x-1)=15,解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去).∴ 应该邀请6支球队参加比赛　 (2) 3+×(6-1)×(6-2)=13(场).∴ 实际共比赛13场 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型四　说理问题 8. (2023·淮安)为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18米长的篱笆围成.生态园的面积能否为40平方米?如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由. 生态园的面积能为40平方米　∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AB=CD,AD=BC.设AB的长为x米,则BC的长为米. 由题意,得x·=40.整理,得x2-18x+80=0,解得x1=10,x2= 8.∴ 生态园的面积能为40平方米,AB的长为10米或8米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 如图所示为一个“三角点阵”,从上向下数有无数多行,其中第1行有1个点,第2行有2个点……第n行有n个点.容易发现“三角点阵”中前4行的点数和是10. (1) 请用一元二次方程说明“三角点阵”中前多少行的点数和是276; (1) 设“三角点阵”中前x行的点数和是276.由题意,得1+2+ 3+…+x=276,即=276.整理,得x2+x-552=0,解得x1=23, x2=-24(不合题意,舍去).∴ “三角点阵”中前23行的点数和 是276　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 这个“三角点阵”中前n行的点数和能是600吗?如果能,请求出n的值;如果不能,请说明理由. (2) 不能　理由:由题意,得1+2+3+…+n=600,即= 600.整理,得n2+n-1200=0,解得n1=,n2=. 又∵ n为正整数,∴ n1,n2均不符合题意.∴ 这个“三角点 阵”中前n行的点数和不能是600. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第二章　一元二次方程 阶段训练(1~5) 一、 选择题 1. 若方程□-3=x是关于x的一元二次方程,则“□”可以是 (　　) A. -2x B. 22 C. 2x2 D. y2 2. 一元二次方程2x2-2x=1的一次项系数和常数项依次是 (　　) A. -2和-1 B. -2和1 C. 2和-1 D. 2和1 3. (2023·吉林)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是 (　　) A. 33 B. 23 C. 17 D. C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 4. 用公式法解一个一元二次方程的根为x=,则此方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 (　　) A. 6,5,1 B. 3,5,-1 C. 3,5,1 D. 3,-5,1 5. 方程5x2-3x-1=0的根的情况是 (　　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. 如果关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,那么该方程可以为 (　　) A. (x+5)(x-7)=0 B. (x-5)(x+7)=0 C. (x+5)(x+7)=0 D. (x-5)(x-7)=0 7. 如果关于x的一元二次方程mx2+x+m=0有两个实数根,那么 (　　) A. 两根之和为1 B. 两根相等 C. 两根互为倒数 D. 两根互为相反数 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. 定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐方程”;如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“美好方程”.如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐方程”又是“美好方程”,那么mn的值为 (　　) A. 2 B. 0 C. -2 D. 3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 二、 填空题 9. 关于x的方程(m-1)·+x+1=0是一元二次方程,则m的值是　　　 . 10. 若关于y的一元二次方程y2+4y+3=0,通过配方法可以化成(y+a)2=b的形式,则a+b=　　　　.  11. (2023·雅安)已知关于x的方程x2+mx-4=0的一个根为1,则该方程的另一个根为　　　　.  12. (2023·金昌)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c的值可以为　　 　　(写出一个即可).  -1 3 -4 答案不唯一,如0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. 已知k为实数,现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-(k+2)x+k =0进行了讨论.甲说:“这一定是关于x的一元二次方程.”乙说:“这有可能是关于x的一元一次方程.”丙说:“当k≥-1时,该方程有实数根.”丁说:“只有当k≥-1且k≠0时,该方程有实数根.”其中,正确的是　　　　. 乙和丙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三、 解答题 14. 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) (x-5)2=36; (2) 4x(x+1)-x(x-2)=2. (1) 方程(x-5)2=36的一般形式为x2-10x-11=0,二次项系数是1,一次项系数是-10,常数项是-11　 (2) 方程4x(x+1)-x(x-2)=2的一般形式为3x2+6x-2=0,二次项系数为3,一次项系数为6,常数项为-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 用适当的方法解下列一元二次方程: (1) x2+4x-2=0; (2) x(2x-5)=6x-15; (3) 3x2-5x-2=0. (1) x1=-2,x2=--2　 (2) x1=,x2=3　 (3) x1=2,x2=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 已知m,n是一元二次方程x2-11x-9=0的两个实数根.求下面各式的值. (1) +; (2) m2-9m+2n+17. (1) 根据根与系数的关系,得m+n=11,mn=-9,∴ +==-　 (2) ∵ m是一元二次方程x2-11x-9=0的一个根,∴ m2-11m-9=0.∴ m2=11m +9.∵ m+n=11,∴ m2-9m+2n+17=2m+9+2n+17=2(m+n)+26=2×11+26=48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. (2023·荆州)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根. (1) 求k的取值范围; (2) 当k=1时,用配方法解方程. (1) ∵ 关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根, ∴ Δ=[-(2k+4)]2-4k(k-6)>0,且k≠0,解得k>-且k≠0　 (2) 当k=1时,原方程为x2-6x-5=0.移项,得x2-6x=5.配方,得x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14.开平方,得x-3=±,解得x1=3+,x2=3- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0. (1) 若b=5,a=4,求方程的两根; (2) 当b=a+3时,利用根的判别式判断方程根的情况; (3) 若方程的两个实数根满足x1=2x2,写出一组满足条件的a,b的值. (1) 若b=5,a=4,则方程为x2+5x+4=0.∴ (x+1)·(x+4)=0,解得x1=-1,x2=-4　 (2) 关于x的一元二次方程x2+bx+a=0,∵ b=a+3,∴ Δ=b2-4a=(a+3)2-4a=a2+ 6a+9-4a=(a+1)2+8>0.∴ 方程有两个不相等的实数根　 (3) 由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-b,x1x2=a.又∵ x1=2x2,∴ 2x2+x2=-b,2=a.∴ b2=a.∴ 可以取a=2,b=3(a,b的取值不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$第二章　一元二次方程 4　用因式分解法求解一元二次方程 1. 用因式分解法解下列方程,变形正确的是 (　　) A. (x+3)(x-1)=1,可得x+3=1或x-1=1 B. (x-3)(x-4)=0,可得x-3=0或x-4=0 C. (x-2)(x-3)=6,可得x-2=2或x-3=3 D. x(x+2)=0,可得x+2=0 2. 解方程x(x+5)=x的最适当的方法是 (　　) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 若二次三项式x2+px+q能分解成(x+3)(x-1)的形式,则方程x2+px+q=0的两个根为 (　　) A. x1=-3,x2=1 B. x1=-3,x2=-1 C. x1=3,x2=-1 D. x1=3,x2=1 4. 关于方程(x-1)(x-2)=x-2,下列说法中,不正确的是 (　　) A. 与方程x2+4=4x的根相同 B. 两边同时除以x-2,得x-1=1,可以解得x=2 C. 该方程有两个相等的实数根 D. 移项并分解因式,得(x-2)2=0,可以解得x1=x2=2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. (教材P47例题变式)方程2x(x-3)=5(3-x)的根是　　　　　　　.  6. 如图所示为某名同学解方程的步骤,他是在第　　　　(填序号)步开始 出错的,方程正确的解为　　　　　　　.  7. 一个三角形的两边长为4和6,第三边的长是方程x(x-5)=2x-10的根,则这个三角形的周长为　　　　. x1=-,x2=3 ② x1=-,x2=-4 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 用因式分解法解下列方程: (1) 3(x-2)2=x(x-2); (2) (x-1)2+3=3x; (3) (x+2)2-10(x+2)+25=0. (1) x1=2,x2=3　 (2) x1=1,x2=4　 (3) x1=x2=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图,阳光小区附近有一块长为100m、宽为80m的矩形空地,在空地上有两条宽度相同的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场,两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等,求步道的宽. 设步道的宽为am.由题意,得100a+80a-a2=(7a)2.化简, 得a2=3.6a,解得a1=0,a2=3.6.∵ a>0,∴ a=3.6.∴ 步道的 宽为3.6m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 方程(x-2)(x+3)=-6的解是 (　　) A. x1=x2=2 B. x1=x2=-3 C. x1=2,x2=-3 D. x1=0,x2=-1 11. 用因式分解法解关于x的方程x2-px-6=0,等号左边的式子分解后有一个因式为x+3,则p的值为 (　　) A. 5 B. -5 C. -1 D. 1 12. 若关于x的方程x2+2x-3=0与=有一个解相同,则a的值为 (　　) A. 1 B. 1或-3 C. -1 D. -1或3 D C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 对于实数m,n,定义运算“⊗”如下:m⊗n=m2-2mn.若(x+1)⊗(x-2)=5,则x的值为　　　　.   14. 如图,数轴上点A对应的数为3x+1,点B对应的数为x2+2x.若AB=5,且点A在原点的左侧,则x的值为　　　　. 0或4 -2 解析:根据题意,得x2+2x-(3x+1)=5.整理,得x2-x-6=0,解得x1=-2,x2=3.当x= -2时,3x+1=-5<0,符合题意;当x=3时,3x+1=10>0,不合题意,舍去.∴ x的值为-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 如图①,将一张长20cm、宽10cm的矩形硬纸板裁剪掉图中涂色部分之后,恰好折成如图②所示的有盖纸盒,纸盒的底面积为48cm2.求该有盖纸盒的高. 设当有盖纸盒的高为xcm时,纸盒的底面 积是48cm2.依题意,得·(10-2x)=48. 化简,得x2-15x+26=0,解得x1=2,x2=13.当 x=2时,10-2x=6>0,符合题意;当x=13时,10-2x=-16<0,不合题意,舍去.∴ 该有盖纸盒的高为2cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 阅读材料: 解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0时,我们可以将x2-1视为一个整体,设x2-1=y,则(x2-1)2=y2.∴ 原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1= 1,∴ x2=2.∴ x=±.当y=4时,x2-1=4,∴ x2=5.∴ x=±.∴ 原方程的根为x1=,x2=-,x3=,x4=-. 根据材料解答下面的问题: (1) 在由原方程得到方程①的过程中,利用　　　　法达到降次的目的,体现了　　　　的数学思想;  换元 转化 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 解方程:x4-x2-6=0. (2) 设x2=y,则x4=y2.∴ 原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=3,y2=-2.当y=3时,x2= 3,∴ x=±.当y=-2时,x2=-2,没有实数根.∴ 原方程的根为x1=,x2=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第1课时　几何问题与古代数学问题 1. 取一张长与宽之比为5∶2的矩形纸板,剪去四个边长为5cm的小正方形(如图),并用剩下的纸板做一个无盖的长方体包装盒.要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度忽略不计),这张矩形纸板的长为 (　　) A. 24cm B. 30cm C. 32cm D. 36cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,四边形ABCD、四边形EBGF、四边形HNQD均为正方形,BG,NQ, BC的长分别是某个直角三角形的三边长,其中BC的长是斜边长.若HM∶ EM=8∶9,HD=2,则AB的长为 (　　) A. B. C. 3 D. 2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. (教材P53习题2.9第2题变式)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm, BC=6cm,点P从点A出发,沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动;同时点Q从点B出发,沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.经过　　　　s,△PBQ的面积为12cm2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意如下:请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.求这批椽的数量. 设这批椽的数量为x株,则每株椽的价钱为3(x-1)文.依题意,得3(x-1)x= 6210.整理,得x2-x-2070=0,解得x1=46,x2=-45(不合题意,舍去).∴ 这批椽的数量为46株 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,有一矩形仓库,短边的长为5m,现要将它改建为简易住房,改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分,其中客厅和卧室都为正方形,且卧室的面积大于卫生间的面积.若改建后卫生间的面积为6m2,试求矩形仓库长边的长. 设矩形仓库长边的长为xm.由题意,得(x-5)[5-(x-5)]= 6.整理,得x2-15x+56=0,解得x=7或x=8.∵ 卧室的面积 大于卫生间的面积,∴ x=7不合题意,舍去.∴ 矩形仓 库长边的长为8m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为边BC上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1cm2,矩形PDFE的面积为S2cm2,运动时间为t(0<t<8)s,当S1=2S2时,t的值为 (　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 B 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?大意如下:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步.问:长比宽多多少步?经过计算,长比宽多　　　　步.  12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 小明同学是古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》.根据如图所示的信息,可知周瑜去世时的年龄是　　　　岁. 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图所示为一块五边形空地ABCDE,∠B=∠C=∠D=90°,AB=4米,BC =8米,CD=10米,DE=2米,准备在五边形空地ABCDE内设计一个矩形区域FGCH铺设木地板,剩下区域铺设地砖,点F,G,H分别在边AE,BC,CD上. (1) 求五边形空地ABCDE的面积; (1) 如图,过点E作EM⊥BC于点M,则易得四边形EMCD为 矩形.∴ EM=CD=10米,CM=DE=2米.∴ BM=BC-CM=6米. ∴ S五边形ABCDE=S梯形ABME+S矩形EMCD=×(4+10)×6+2×10 =62(平方米),即五边形空地ABCDE的面积是62平方米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若矩形区域FGCH的面积为35平方米,求BG的长; (2) 如图,过点A作AN⊥EM于点N,交FG于点P.设BG=x米, 则CG=(8-x)米.∵ 易得四边形ABGP、四边形ABMN为矩 形,∴ MN=AB=4米,AN=BM=6米,PG=AB=4米,AP=BG= x米.∴ EN=EM-MN=6米.∴ EN=AN.∴ ∠NEA=∠NAE= 45°.∴ 易得∠AFP=∠FAP=45°.∴ FP=AP.∴ FP=BG= x米.∴ FG=PG+FP=(4+x)米.根据题意,得(4+x)(8-x)=35,解 得x1=1,x2=3.∴ BG的长为1米或3米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 如果铺设木地板的成本为每平方米200元,铺设地砖的成本为每平方米100元,那么投资7300元能否完成地面铺设? (3) 假设投资7300元能完成地面铺设.设BG=y米,则0≤y≤6. 根据题意,得200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300.整理, 得y2-4y-21=0,解得y1=7,y2=-3,均不符合题意.∴ 投资7300 元不能完成地面铺设 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图,正方形ABCD的边长为4cm,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿B→ C→D向点D运动,点Q从点A出发,以1cm/s的速度沿A→B向点B运动.若P, Q两点同时出发,运动时间为ts,连接PD,PQ,DQ. (1) 当t为何值时,△PQD的面积为7cm2? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 当点P在边BC上时,如图①,此时0<t≤2.根据题意,得AB=BC=CD=AD= 4cm,AQ=tcm,QB=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm.∵ S△PQD=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△DPC,∴ 4×4-×4t-×2t(4-t)-×4(4-2t)=7.整理,得t2-2t+ 1=0,解得t1=t2=1.当点P在边CD上时,如图②,此时2<t<4,DP=4-(2t-4)=(8-2t)cm.∵ S△PQD=7cm2,∴ (8-2t)×4=7,解得 t=.综上所述,当t=1或时,△PQD的面积为 7cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当点P在边BC上运动时,是否存在t的值使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由. (2) 存在　① 当PD=DQ时,根据勾股定理,易得42+(4-2t)2= 42+t2,解得t1=,t2=4(不合题意,舍去).② 当PD=PQ时,根据勾 股定理,易得42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2.整理,得t2+8t-16=0,解得 t1=4-4,t2=-4-4(不合题意,舍去).综上所述,当t=或4- 4时,△PQD是以PD为腰的等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程 第2课时　公式法的实际应用 1. 如图,某农家乐老板计划在一块长为130m、宽为60m的空地上挖出两片形状、大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为5750m2,两片垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为 (　　) A. 4.5m B. 5m C. 5.5m D. 6m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,学校围墙外有一圆形花坛,在不改变占地面积的情况下,准备将其改造成半圆形.若改造后半圆形花坛的半径比原来圆形花坛的半径多5米,则原来圆形花坛的半径是 (　　) A. (5+5)米 B. (5+2)米 C. (5-5)米 D. (2+5)米 3. 学校计划在长为12m、宽为9m的矩形地块正中间建一座矩形大棚,大棚的占地面积为88m2.建成后,大棚外围留下宽度都相同的区域,这个宽度应设计为　　　　m.  A 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图,某社区决定在一块长(AD)16m、宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分铺草坪.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为　　　　m.  　 　 5. 如图,矩形ABCD是由三个矩形拼接成的.如果AB=8,涂色部分的面积是24,另外两个小矩形全等,那么小矩形的长为　　　　. 1 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (教材P44习题2.6第1题变式)(2023·常州)如图,在打印图片之前,为确定打印区域,需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离).若纸张大小为16cm×10cm,考虑到整体的美观性,要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的70%,则需如何设置页边距? 设页边距为xcm.根据题意,得(16-2x)(10-2x)=16× 10×70%,解得x1=1,x2=12(不合题意,舍去).∴ 设置 页边距为1cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,要设计一本数学读物的封面,封面是长为27cm、宽为21cm的矩形,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,那么应如何设计四周的彩色边衬的宽度(结果保留根号)? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据题意,得封面的长与宽的比为9∶7.设正中央矩形的长为9acm,则可得正中央矩形的宽为7acm.∴ 上、下边衬的宽与左、右边衬的宽的比为(27-9a)∶(21-7a)=9∶7.设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm.由题意,得正中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm,∴ (27-18x)(21-14x)=×27×21,解得x1=,x2=(不合题意,舍去).∴ 9x=,7x=.∴ 上、下边衬的宽均为cm,左、右边衬的宽均为cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 用一根长为80cm的铁丝围成一个面积为acm2的矩形.小亮说:“a的值可能是200.”小倩说:“a的值可能是300.”小强说:“a的值可能是400.”小英说:“a的值可能是500.”其中,说法错误的是 (　　) A. 小亮 B. 小倩 C. 小强 D. 小英 9. 如图,矩形ABCD的周长是10cm,以AB,AD为边,分别向外作 正方形ABEF和正方形ADGH.若正方形ABEF和正方形ADGH 的面积之和为17cm2,则矩形ABCD的面积是　　　　cm2. D 4 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (教材P45习题2.6第2题变式)(2023·东营)如图,李伯伯想用长为70m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1) 当羊圈的边AB的长为多少米时,能围成一个面积为640m2的羊圈? (1) 设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640.化简,得 x2-36x+320=0,解得 x1= 16,x2=20.当x=16时,72-2x=72-32=40,符合题意;当x=20时, 72-2x=72-40=32,符合题意.∴ 当羊圈的边AB的长为16m或 20m时,能围成一个面积为640m2 的羊圈　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 羊圈的面积能达到650m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. (2) 不能　理由:由题意,得x(72-2x)=650.化简,得 x2-36x+ 325=0.∵ Δ=(-36)2-4×325=-4<0,∴ 一元二次方程没有实 数根.∴ 羊圈的面积不能达到 650m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 小明家有一块长为8m、宽为6m的矩形空地,妈妈准备在该空地上建造一个花园,并使花园的面积为矩形空地面积的一半.小明设计了如图所示的四种方案供妈妈挑选(花园为图中阴影部分,单位:m).请你帮小明求出各方案中x的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一:根据题意,得(8-x)(6-x)=×8×6,解得x1=12,x2=2.经检验,x=12不合题意,舍去.∴ x=2.方案二:根据题意,得(8-2x)(6-2x)=×8×6,解得x1=6, x2=1.经检验,x=6不合题意,舍去.∴ x=1.方案三:根据题意,得×(8-x)(6-x) ×2=×8×6,解得x1=12,x2=2.经检验,x=12不合题意,舍去.∴ x=2.方案四:根据题意,得×[(8-2x)+8](6-x)=×8×6,解得x1=12,x2=2.经检验,x=12不合题意,舍去.∴ x=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程 第1课时　公式法与根的判别式 1. 下列一元二次方程的根是x=的为 (　　) A. 3x2+5x+1=0 B. 3x2-5x+1=0 C. 3x2-5x-1=0 D. 3x2+5x-1=0 2. 若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根,则k的值可以是 (　　) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. 用公式法解方程4x2+12x+3=0,得 (　　) A. x= B. x= C. x= D. x= 4. (教材P43习题2.5第1题变式)关于x的一元二次方程x(x-3)=a2x的根的情况是 (　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. 方程(2x-1)(x+3)=2x化成一般形式为　　　　　　,用公式法解此方程 时,b2-4ac=　　　　,x1=　　　　　,x2=　　　　　.  6. (2023·上海)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,则a的取值范围是　　　　.  7. 有一个数值转换机,其流程如图所示.若输入a=-6,则输出x的值为　　 . 2x2+3x-3=0 33 a>9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8. 用公式法解下列方程: (1) 3x2-4x+1=0; (2) 3x2+1=2x; (3) x(2x-3)=5-7x. (1) x1=1,x2=　 (2) x1=x2=　 (3) x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9. 已知关于x的一元二次方程x2-3x+2a=0有两个不相等的实数根. (1) 若a=1,求方程的根; (2) 求a的取值范围. (1) 当a=1时,方程为x2-3x+2=0,∴ x==,即x1=2,x2=1　 (2) ∵ 关于x的一元二次方程x2-3x+2a=0有两个不相等的实数根,∴ Δ= (-3)2-4×2a>0,解得a< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10. (2023·兰州)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)的值为 (　　) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 11. (2023·泸州)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是(　　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12. 若直线y=x-a不经过第二象限,则关于x的方程ax2-2x+1=0的实数解的个数是 (　　) A. 0或1 B. 0或2 C. 1或2 D. 0或1或2 13. (2023·广州)已知关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则 -()2的化简结果是　　　　.  14. 若关于x的一元二次方程x2-ax+1=0有两个相等的实数根,且这个方程的实数根也是关于x的一元二次方程(a-2)x2+bx+1=0的根,则关于x的方程 (a-2)x2+bx+1=0的根为　　　　　　.  D -1 x1=-1,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. 在△ABC中,BC=2,AB=2,AC=b.若关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则边AC上的中线长为　　　　. 2 解析:先由根的判别式求出AC=b=4,然后由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形,AC是斜边,最后由直角三角形斜边上的中线的性质即可得出边AC上的中线长=AC=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. (2023·杭州)已知x2+bx+c=0是一元二次方程.现给出下列四组条件: ① b=2,c=1;② b=3,c=1;③ b=3,c=-1;④ b=2,c=2. 请选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程. ∵ 这个方程有两个不相等的实数根,∴ b2-4c>0,即b2>4c.∴ ②③均可.若选②解方程,则这个方程为x2+3x+1=0,∴ x=,即x1=,x2=.若选③解方程,则这个方程为x2+3x-1=0,∴ x=,即x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. 已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1) 求证:该一元二次方程有两个不相等的实数根; (1) ∵ Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=1>0,∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2) 若该方程的两个根x1,x2(x1<x2)是某个等腰三角形的两边长,且该三角形的周长为10,试求m的值. (2) 由求根公式,得x=,∴ x1=m,x2=m+1.∴ x1≠x2.① 若x1为腰长,x2为底边长,则2m+m+1=10,解得m=3.② 若x2为腰长,x1为底边长,则m+2(m+ 1)+2=10,解得m=.综上所述,m的值为3或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程 第1课时　二次项系数为1的配方 1. 用配方法解方程x2-3x=4,应把方程的两边同时 (　　) A. 加上 B. 加上 C. 减去 D. 减去 2. (教材P37例1变式)用配方法解一元二次方程x2-2x=35时,步骤如下: ① x2-2x+1=36;② (x-1)2=36;③ x-1=±6;④ x=±7,即x1=7,x2=-7.其中,开始出现错误的步骤是 (　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 用配方法解方程x2+11=8x的过程中,配方正确的是 (　　) A. x2-8x+(-4)2=5 B. x2-8x+(-4)2=31 C. (x+4)2=5 D. (x-4)2=-11 4. 若关于x的一元二次方程x2-6x+k=0通过配方法可以化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,则k的值不可能是 (　　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 10 5. 把方程x2-2x-3=0化成(x+m)2=n的形式,则m+n的值是　　　　.  A D 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 如图所示为一个简单的数值运算程序,若输出的结果为-10,则输入的x的值为　　　 　　　.  7. 用配方法解方程x2-4x-1=0:配方,得x2-4x+4=1+4,即(x-　　 　　)2=5. ∴ x-　　　=±.∴ x=　　　±.∴ x1=2+,x2=2-. -1+或-1- 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. (教材P37随堂练习变式)用配方法解下列方程: (1) x2+6x=7; (2) x2-5x-6=0; (3) x2+2x-4=0; (4) x2+8x+3=5x+7. (1) x1=1,x2=-7　 (2) x1=6,x2=-1　 (3) x1=-+,x2=--　 (4) x1=1,x2=-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 将关于x的一元二次方程x2-2px+p2-2p+5=0经过配方化成(x-m)2=n的形式.由此说明当p满足什么条件时,方程有两个不相等的实数根,并求出此时方程的根. 将x2-2px+p2-2p+5=0移项,得x2-2px+p2=2p-5.配方,得(x-p)2=2p-5.当2p-5>0,即p>时,方程有两个不相等的实数根.开平方,得x-p=±,解得x1=p +,x2=p- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0可以通过配方法化成(x-n)2=8的形式,则方程x2-6x+m=4可以配方成 (　　) A. (x-3)2=9 B. (x-3)2=12 C. (x+3)2=9 D. (x+3)2=12 11. 已知M=a-1,N=a2-a(a为任意实数),则M,N的大小关系为 (　　) A. M<N B. M=N C. M>N D. 无法确定 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 已知代数式x2-2x+6可以利用完全平方公式变形为(x-1)2+5,进而可知 x2-2x+6的最小值是5.依此方法,代数式y2+y-4的最小值是　　　　.  13. 某社区计划利用如图所示的直角墙角(涂色部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在点P处有一棵桂花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米,30米,要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积　　　　(填“能”或“不能”)为625平方米. - 不能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图所示为某年10月的月历,在其中用一个方框框出4个数(如图中虚线框所示),设这4个数从小到大依次为a,b,c,d. (1) 若用含a的式子分别表示出b,c,d,则其结果如下:b=　 　　,c=　 　　, d=　　　　.  (2) 按这种方法所框出的4个数中,ab的最大值为　　　　.  a+1 a+7 a+8 552 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 嘉嘉说:“按这种方法可以框出4个数,使得bc的值为135.”淇淇说:“按这种方法可以框出4个数,使得ad的值为84.”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确. (3) 假设嘉嘉的说法正确.根据题意,得(a+1)(a+7)=135. 整理,得a2+8a-128=0,解得a1=8,a2=-16(不合题意,舍去). ∵ 10月8日为周六,∴ 无法框出符合题意的4个数.∴ 嘉 嘉的说法错误.假设淇淇的说法正确.根据题意,得a(a+ 8)=84.整理,得a2+8a-84=0,解得a3=6,a4=-14(不合题意,舍 去).∵ 10月6日为周四,∴ 符合题意.∴ 淇淇的说法正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. (1) 根据要求,解答下列问题: ① 方程x2-2x+1=0的解为　　 　　;  ② 方程x2-3x+2=0的解为　　　 　;  ③ 方程x2-4x+3=0的解为　　 　　.  (2) 根据以上方程及其解的特征,请猜想: ① 方程x2-9x+8=0的解为　　　 　;  ② 关于x的方程　　　 　　　的解为x1=1,x2=n.  x1=x2=1 x1=1,x2=2 x1=1,x2=3 x1=1,x2=8 x2-(1+n)x+n=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性. (3) 移项,得x2-9x=-8.配方,得x2-9x+=-8+,即=.∴ x-=±,即x1=1,x2=8.∴ 猜想的结论正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第1课时　一元二次方程 1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为 (　　) A. x2--2=0 B. x2-2xy+y2=0 C. (x-3)2=0 D. x2=x2-5x+6 2. 若方程mx2-x=2x2-mx+1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 (　　) A. m≠2 B. m≠0 C. m≠-2 D. m≠±2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 下列一元二次方程中,常数项为0的是 (　　) A. x2+x=1 B. 2x2-x+2=0 C. 3(x2+x)=3x+1 D. x2+x=2x2 4. 《九章算术》中有一问题,译文如下:现有一竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有4尺,若牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽,问:绳索有多长?若设木柱的长度为x尺,根据题意,可列方程为 (　　) A. 82+x2=(x-4)2 B. 82+(x+4)2=x2 C. 82+(x-4)2=x2 D. x2+82=(x+4)2 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. (教材P32习题2.1第2题变式)把方程(3x+1)(2x-1)=x2+2化为一般形式为 　　　　　　,其中二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　,常数项是　　　　.  6. 已知两个相邻偶数的积是168,设这两个相邻偶数中较大的数是x,则可列方程为　　　　　　(写成一般形式). 7. 如图,在一张边长为3的正方形纸的两边均剪去宽为x的矩形,剩余部分的面积为5.请列出关于x的方程(化为一般形式). 5x2-x-3=0 5 -1 -3 x2-2x-168=0 根据题意,得(3-x)2=5,化简,得x2-6x+4=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1) 当m为何值时,此方程是一元一次方程? (2) 当m为何值时,此方程是一元二次方程?写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. (1) 根据一元一次方程的定义,可知m2-1=0且-(m+1)≠0,∴ m=1.∴ 当m=1时,此方程是一元一次方程　 (2) 根据一元二次方程的定义,可知m2-1≠0,解得m≠±1.∴ 当m≠±1时,此方程是一元二次方程,它的二次项系数为m2-1,一次项系数为-(m+1),常数项为m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 将方程(3x-2)(2x-3)=x2-5化为一般形式后,其一次项系数与常数项的和为 (　　) A. -8 B. 16 C. -2 D. 24 10. 若关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为 (　　) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 11. 若(m-1)x|m+1|+6x-1=0是关于x的一元二次方程,则代数式(m+2)2024的值为　　　　. C D 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 判断下列方程是否为一元二次方程,若是,则指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 3y=4y(2-y); (2) a(a+5)=5; (3) x2(3+x)+1=5x; (4) 3+2m2=2(2m-3). (1) 整理,得4y2-5y=0,是一元二次方程,二次项系数为4,一次项系数为-5,常数项为0　 (2) 整理,得a2+5a-5=0,是一元二次方程,二次项系数为1,一次项系数为5,常数项为-5　 (3) 整理,得x3+3x2-5x+1=0,不是一元二次方程　 (4) 整理,得2m2-4m+9=0,是一元二次方程,二次项系数为2,一次项系数为 -4,常数项为9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 列出符合下面题意的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式. (1) 把一根长为100cm的铁丝折成一个面积为525cm2的矩形.设矩形的长为xcm. (2) 一个两位数等于它的两个数位上数字的积的3倍,十位上的数字比个位上的数字小2,求这个两位数.设十位上的数字为x. (1) ∵ 矩形的长为xcm,∴ 易得宽为(50-x)cm.根据题意,得x(50-x)=525.整理,得x2-50x+525=0　 (2) ∵ 十位上的数字为x,∴ 个位上的数字为x+2.根据题意,得10x+x+2= 3x(x+2).整理,得3x2-5x-2=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 有这样一道题:把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把这道题目改编为下面两道小题,请解答. (1) 现给出下列方程:① x2-x-2=0;② -x2+x+2=0;③ x2-2x=4;④ -x2+2x+4 =0;⑤ x2-2x-4=0.其中,是由方程x2-x=2转化为一元二次方程的一般形式的为　　　　　(填序号).  ①②④⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 将方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数和常数项之间有什么关系? (2) 若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a,常数项为-4a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第2课时　一元二次方程的根及其估算 1. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1,则a+b+c的值是 (　　) A. 0 B. -1 C. 1 D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表: 可以看出方程的一个正数解应在整数a和b之间(a<b),则整数a,b分别是 (　　) A. -1,0 B. 0,1 C. 1,2 D. -1,5 C x -1 0 1 2 3 4 x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 下表是某同学求代数式x2-x的值的情况: 根据表格,可知方程x2-x=2的解是 (　　) A. x1=x2=-1 B. x1=x2=0 C. x1=x2=2 D. x1=-1,x2=2 4. 根据下表估算一元二次方程3x2-7x=1的一个根的范围是　　 　　. D x -2 -1 0 1 2 3 … x2-x 6 2 0 0 2 6 … 2.4<x<2.5 x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3x2-7x -0.88 -0.23 0.48 1.25 2.08 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. (教材P35习题2.2第1题变式)一块矩形铁片的面积是1m2,长比宽多3m,求铁片的长.小明的解题过程如下:设铁片的长为xm,列方程为x(x-3)=1.整理,得x2-3x-1=0.小明列方程后,想知道矩形铁片的长是多少,下面是他的探索过程. 第一步: ∴ 　　　　<x<　　　　.  -1 3 3 4 x 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第二步: ∴ 　　　　<x<　　　　.  (1) 请将上面的过程补充完整; (2) 通过以上探索,估计矩形铁片长的整数部分为　　　,十分位为　　 . -0.01 0.36 3.3 3.4 x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.69 -0.36     3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 关于x的二次三项式ax2+bx+c,其部分对应值如下表: 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个整数根分别是　　　　　　. x1=-3,x2=2 x … -4 -2 -1 0 1 3 … ax2+bx+c … 6 -4 -6 -6 -4 6 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 填写下表: (1) 根据上表,写出方程x2-5x+6=0的根; (2) 根据上表,写出方程x2-4x+2=0的两个根x1,x2(x1<x2)分别在哪两个整数之间. x -2 -1 0 1 2 3 4 x2-5x+6               x2-4x+2               20 12 6 2 0 0 2 14 7 2 -1 -2 -1 2 (1) x1=2,x2=3　 (2) x1在0和1之间,x2在3和4之间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 观察下表: 则方程x2-bx-5=0的解的取值范围是 (　　) A. -2<x<-1或4<x<5 B. -2<x<-1或5<x<6 C. -3<x<-2或5<x<6 D. -3<x<-2或4<x<5 A x -3 -2 -1 … 4 5 6 x2-bx-5 13 5 -1 … -1 5 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 观察下表(精确到0.01): 则一元二次方程x2-3x=4.6的一个近似解为 (　　) A. x≈-1.123 B. x≈-1.117 C. x≈-1.089 D. x≈-1.073 x -1.13 -1.12 -1.11 -1.10 x2-3x 4.67 4.61 4.56 4.51 x -1.09 -1.08 -1.07 … x2-3x 4.46 4.41 4.35 … B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 观察下表: 从表中你能得出方程5x2-24x+28=0的根是多少吗?如果能,写出方程的根;如果不能,请写出方程根的范围. 根据表格中的数据,知方程有一个根是x1=2,另一个根x2的范围是2.5<x2< 3 x 0 0.5 1 1.5 2 5x2-24x+28 28 17.25 9 3.25 0 x 2.5 3 3.5 4 … 5x2-24x+28 -0.75 1 5.25 12 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知一个三角形的两边长分别为8,6,第三边最长,设第三边的长为x,满足一元二次方程x2-16x+60=0.估算第三边的长. 由题意,知8<x<14.列表如下: 由表,可估算第三边的长为10 x 8 9 10 11 12 13 14 x2-16x+60 -4 -3 0 5 12 21 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 某种爆竹点燃后,其上升高度h(m)和时间t(s)之间满足关系h=v0t-gt2(0<t≤2,重力加速度以10m/s2计算,即g=10).这种爆竹点燃后以20m/s的初速度(v0=20)上升,试用估算的方法求这种爆竹在地面点燃后,经过多长时间离地15m. 根据题意,得15=20t-×10t2.整理,得t2-4t+3=0.通过估算,得t1=1,t2=3.∵ 0< t≤2,∴ t=1.∴ 这种爆竹在地面点燃后,经过1s离地15m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,利用一面足够长的墙,用长80m的篱笆围成一个矩形场地(篱笆全部用完),怎样围才能使矩形场地的面积为750m2? 设AD=BC=xm,则AB=(80-2x)m.根据题意,得x(80-2x)=750. 整理,得x2-40x+375=0.通过估算,得x1=15,x2=25.当x=15时, AD=BC=15m,AB=50m;当x=25时,AD=BC=25m,AB=30m. ∴ 当平行于墙面的边长为50m,两个邻边长都为15m或平 行于墙面的边长为30m,两个邻边长都为25m时,矩形场地 的面积为750m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第2课时　销售利润问题与平均变化率问题 1. 为了鼓励全民阅读,某校图书馆开展阅读活动.自阅读活动开展以来,进馆阅读人次逐月增加,第一个月进馆200人次,前三个月累计进馆728人次,若进馆人次的月增长率相同,求进馆人次的月增长率.设进馆人次的月增长率为x,依题意可列方程为 (　　) A. 200(1+x)2=728 B. 200(1+x)+200(1+x)2=728 C. 200(1+x+x2)=728 D. 200+200(1+x)+200(1+x)2=728 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 某商场将进货价为45元/件的某种服装以65元/件的价格售出,平均每天可售出30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查发现,每件降价1元,则每天可多售出5件.若每天要盈利800元,则每件应降价 (　　) A. 12元 B. 10元 C. 11元 D. 9元 3. 某地区在2022年植树造林2000亩(亩:我国古代地积单位),计划2024年植树造林2880亩.若设植树造林面积的年平均增长率为x,则x的值为 (　　) A. 10% B. 11% C. 20% D. 120% B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 某工厂生产的某种产品按质量分为十个档次,第一档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润为6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天的产量减少5件.若生产的这种产品一天的总利润为1120元,且同一天生产的产品的质量为同一档次,则该产品的质量为第　　　　档次.  5. (教材P55习题2.10第3题变式)某楼盘商品房成交价由某年1月的每平方米10000元下降到同年3月的每平方米8 100元.若该年前4个月房价每月的下降率保持一致,则小康爸爸　　　　(填“可能”或“不可能”)在该年4月用60万元在该楼盘买下一套80平方米的商品房. 六 可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 某国新能源汽车近几年出口量逐年增加,2021年出口量为20万辆,2023年出口量增加到45万辆. (1) 2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少? (2) 按照这个增长速度,则2024年该国新能源汽车出口量为多少? (1) 设年平均增长率为x.根据题意,可得20(1+x)2=45,解得x1=0.5=50%,x2= -2.5(不合题意,舍去).∴ 2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%　 (2) 由(1),得45×(1+50%)=67.5(万辆),∴ 2024年该国新能源汽车出口量为67.5万辆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 某茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克240元,按每千克400元出售,平均每周可售出200千克,后来经过市场调查发现,单价每降低10元,平均每周的销售量可增加40千克.若该茶叶专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元,请解答: (1) 每千克茶叶应降价多少元? (1) 设每千克茶叶应降价x元,则平均每周可售出千克.依题意,得(400-240-x)=41600.整理,得x2-110x+2400=0,解得x1=30,x2= 80.∴ 每千克茶叶应降价30元或80元　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该茶叶专卖店应按原售价的几折出售? (2) ∵ 为尽可能让利于顾客,∴ x=80.∴ ×10=8.∴ 该店应按原售价的八折出售 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 某厂家2023年1~5月的自行车产量统计图如图所示,3月自行车产量不小心被墨汁覆盖.若2月到4月该厂家自行车产量的月增长率都相同,则3月自行车产量为 (　　) A. 218辆 B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为30元/个,每星期可卖出1000个.市场调查反映,若每个涨价1元,则每星期少卖出100个;若每个降价1元,则每星期多卖出100个.已知进价为20元/个,当鼠标垫售价为　　　　元/个时,这星期的利润为9600元.  32或28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 某商场某种商品的进价为每件30元,当售价为每件40元时,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销. (1) 若该商品的售价连续两次下调相同的百分率后,售价降至每件32.4元,求两次售价下降的百分率. (1) 设两次售价下降的百分率是x.由题意,得40(1-x)2=32.4,解得x1=0.1= 10%,x2=1.9(不合题意,舍去).∴ 两次售价下降的百分率是10%　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件. ① 每天要想获得504元的利润,每件应降价多少元? ② 能否一天获得520元的利润?请说明理由. (2) ① 设每件应降价y元.由题意,得(40-y-30)=504.整理,得y2-4y+3=0,解得y1=3,y2=1.∵ 要尽快减少库存,∴ 每件应降价3元　 ② 不能　理由:设每件降价z元时,一天能获得520元.由题意,得(40-z-30)=520.整理,得z2-4z+5=0.∵ Δ=(-4)2-4×1×5=16-20=-4< 0,∴ 方程没有实数根.∴ 不能一天获得520元的利润. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. (2022·毕节)某网店从工厂购进A,B两款钥匙扣,进货价和销售价如下表(利润=销售价-进货价): (1) 该网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,则分别购进两款钥匙扣多少件? 类　别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价/(元/件) 30 25 销售价/(元/件) 45 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1) 设购进A款钥匙扣x件,购进B款钥匙扣y件.依题意,得解得∴ 购进A款钥匙扣20件,购进B款钥匙扣10件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少? (2) 设购进m件A款钥匙扣,则购进(80-m)件B款钥匙扣.依题意,得30m+ 25(80-m)≤2200,解得m≤40.设再次购进的A,B两款钥匙扣全部售出后获得的总销售利润是w元,则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960.∵ 3>0,∴ w随m的增大而增大.∴ 当m=40时,w取得最大值,最大值为3×40+960= 1 080,此时80-m=80-40=40.∴ 当购进40件A款钥匙扣、40件B款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1080元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3) 该网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,那么平均每天可售出4件.经调查发现,每件每降价1元,平均每天可多售出2件.将B款钥匙扣的销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元? (3) 设将B款钥匙扣的销售价定为a元/件,则每件的销售利润是(a-25)元,平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件.依题意,得(a-25)(78-2a)=90.整理,得a2-64a+1 020=0,解得a1=30,a2=34.∴ 将B款钥匙扣的销售价定为30元/件或34元/件时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第二章　一元二次方程 小专题(五)　一元二次方程的解法 类型一　直接开平方法 1. 用直接开平方法解方程(2x-3)2=4时,可以将其转化为2x-3=2或2x-3=-2,其依据的数学知识为 (　　) A. 完全平方公式 B. 平方根的意义 C. 等式的性质 D. 一元二次方程的求根公式 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解题思路:解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的方程,用直接开平方法求解. 2. 方程(x+1)2=4的解是 (　　) A. x1=-3,x2=3 B. x1=-3,x2=1 C. x1=-1,x2=1 D. x1=1,x2=3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 用直接开平方法解下列方程: (1) 4x2-121=0; (2) (3x+2)2=16; (3) 3(2x-1)2-27=0; (4) (2022·齐齐哈尔)(2x+3)2=(3x+2)2. (1) x1=-,x2=　 (2) x1=-2,x2=　 (3) x1=2,x2=-1　 (4) x1=1,x2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 类型二　配方法 4. 用配方法解一元二次方程x2-6x+1=0,此方程可化为 (　　) A. (x-3)2=8 B. (x+3)2=8 C. (x+3)2=3 D. (x-3)2=3 5. 用配方法解一元二次方程x2+8x=1时,应该在等式两边都加上　　　　,配方得　　 　　,该方程的根为　 . A 解题思路:当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解较简便. 16 (x+4)2=17 x1=-4+,x2=-4- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 用配方法解下面的方程: (1) x2+12x+25=0; (2) x(x-4)=2-8x. (1) x1=-6+,x2=-6-　 (2) x1=-2+,x2=-2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 类型三　因式分解法 7. 方程(x-3)(2x-4)=0的根是 (　　) A. x1=-3,x2=2 B. x1=3,x2=2 C. x1=3,x2=-2 D. x1=-3,x2=-2 8. 用因式分解法解方程9x2=(x-2)2时,因式分解结果正确的是 (　　) A. 4(2x-1)(x-1)=0 B. 4(2x+1)(x-1)=0 C. 4(2x-1)(x+1)=0 D. 4(2x+1)(x+1)=0 B 解题思路:能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程,用因式分解法求解. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 用因式分解法解下列方程: (1) 2(x+1)-x(x+1)=0; (2) (x-1)2=5-5x; (3) (x+8)(x+1)=-12. (1) x1=-1,x2=2　 (2) x1=1,x2=-4　 (3) x1=-5,x2=-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 类型四　公式法 10. 用公式法解一元二次方程3x2=2x-3时,首先要确定a,b,c的值,下列结论正确的是 (　　) A. a=3,b=2,c=3 B. a=3,b=-2,c=3 C. a=3,b=2,c=-3 D. a=-3,b=2,c=3 B 解题思路:如果一个一元二次方程容易化为一般形式且系数的绝对值较小,那么可选择用公式法求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下:∵ a=1,b=-4,c= -2(第一步),∴ Δ=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步).∴ x= (第三步).∴ x1=-2+,x2=-2-(第四步).小明解答过程开始出错的步骤是 (　　) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 用公式法解下面的方程: (1) 2x2-7x+2=0; (2) 4x2-3x-5=x-2. (1) x1=,x2=　 (2) x1=,x2=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 类型五　换元法 13. 已知实数m,n满足(m2+n2)2-2(m2+n2)=3,则m2+n2的值为 (　　) A. 3 B. -1 C. -1或3 D. -3或1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 为解方程(x2-1)2-4(x2-1)+3=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=m,则原方程可化为m2-4m+3=0,解此方程得m1=1,m2=3.当m=1时,x2-1= 1,所以x=±;当m=3时,x2-1=3,所以x=±2.所以原方程的根为x1=,x2= -,x3=2,x4=-2.以上解方程的方法叫做换元法,利用换元法达到了降次的目的,体现了数学的转化思想.运用上述方法解下面的方程: (1) (x2-x)(x2-x-4)=-4; (1) 设x2-x=a,则原方程可化为a2-4a+4=0,解得a1=a2=2.当a=2时,x2-x=2,即x2-x-2=0.因式分解,得(x-2)(x+1)=0,解得x1=2,x2=-1.∴ 原方程的解是x1=2, x2=-1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) x4+x2-12=0. (2) 设x2=y,则原方程化为y2+y-12=0.因式分解,得(y-3)(y+4)=0,解得y1=3,y2 =-4.当y=3时,x2=3,解得x=±;当y=-4时,x2=-4,没有实数根.∴ 原方程的解是x1=,x2=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程 第2课时　二次项系数不为1的配方 1. 用配方法解方程2x2-x-2=0时,应先变形为 (　　) A. = B. =0 C. = D. = D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图①是小思做的,图②是小博做的,对于两人的做法,下列说法正确的是 (　　) A. 两人都正确 B. 小思正确,小博不正确 C. 小思不正确,小博正确 D. 两人都不正确 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 将一元二次方程3x2-x-1=0配方,得=　　 　　;开平方,得x-= 　　　　,解得x1=　　　　,x2=　　　　.  4. 某同学解方程2x2-3x+1=0的步骤如下:2x2-3x+1=0 x2-x+ =0 x2-x=- (x-3)2=-+9 x-3=± x1=, x2=.上述解题步骤中,开始出现错误的步骤是　　　　(填序号). ± ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 用配方法解下列方程: (1) 2x2-4x-5=0; (2) 3x2-1=6x; (3) (x+1)(2x-3)=1. (1) x1=1+,x2=1-　 (2) x1=1+,x2=1-　 (3) x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 把关于x的方程2x2-6x+p=0配方,得到(x+m)2=.求: (1) 常数p与m的值; (2) 此方程的根. (1) ∵ (x+m)2=,∴ x2+2mx+m2=.∴ x2+2mx+m2-=0.∴ 2x2+4mx+2m2-1= 0.根据题意,得4m=-6,2m2-1=p.∴ m=-,p=　 (2) 由(1),得原方程为2x2-6x+=0.整理,得x2-3x=-.配方,得=.∴ x-=±,解得x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 用配方法解一元二次方程2x2-2x-1=0,估计较大实数根的两个相邻的整数为 (　　) A. 3,4 B. 2,3 C. 1,2 D. 0,1 8. 小明用配方法解关于x的方程2x2-ax+b=0,得x-=±,则a+b的值为 (　　) A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 若x=0是关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+2m2+2m-8=0的一个根,则 m=　　　　.  10. 已知等腰三角形ABC的两边长a,b满足2a2+2b2+200=24b+32a,则这个等腰三角形的周长为　　　　. 22或20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,都要先把二次项系数化为1,再进行配方.现请阅读下面方程的解法: 2x2-2x-3=0. 解:(x)2-2x+1=3+1, (x-1)2=4, x-1=±2, x1=-,x2=. 请根据上面的方法解方程3x2-2x=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (x)2-2×x+()2=2+()2,(x-)2=4,x-=±2,x1= ,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 阅读材料: 通过对实数的学习,我们知道x2≥0,根据完全平方公式(a±b)2=a2± 2ab+b2,可得完全平方公式的值为非负数.这一性质在数学中有着广泛的应用,例如:求多项式2x2+8x-3的最小值时,我们可以这样处理: 解:原式=2(x2+4x)-3=2(x2+2x·2+22-22)-3=2(x+2)2-11. ∵ 2(x+2)2≥0, ∴ 2(x+2)2-11≥-11. ∴ 当x=-2时,2(x+2)2-11的值最小,为-11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 请根据上面的解题思路,解决下列问题: (1) 求多项式3x2-6x+2的最小值,并写出对应的x的值; (2) 求多项式4-x2+2x的最大值; (3) 求多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值. (1) 原式=3(x2-2x)+2=3(x2-2x+1-1)+2=3(x-1)2-1.∵ 3(x-1)2≥0,∴ 3(x-1)2-1≥-1.∴ 当x=1时,3(x-1)2-1的值最小,为-1　 (2) 原式=-(x-1)2+5.∵ -(x-1)2≤0,∴ -(x-1)2+5≤5.∴ 当x=1时,4-x2+2x的值最大,为5　 (3) 原式=(x+1)2+(y-2)2+4.∵ (x+1)2≥0,(y-2)2≥0,∴ 当(x+1)2=0,(y-2)2=0,即x=-1,y=2时,x2+2x+y2-4y+9的值最小,为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二章　一元二次方程 小专题(四)　一元二次方程根的判别式的应用 类型一　判定方程根的情况 1. (2023·广元)关于x的一元二次方程2x2-3x+=0根的情况,下列说法中,正确的是 (　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解题思路: (1) 运用根的判别式时,要准确找出a,b,c,所以方程必须先化成一元二次方程的一般形式. (2) 求出Δ=b2-4ac的值,再将该值与0比较后作出判断. 2. (2023·河南)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是 (　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 下列方程中,没有实数根的是 (　　) A. x2+9x=0 B. 3x2-4x-1=0 C. 3x2-7x+1=0 D. 4x2-5x+7=0 4. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足-<0,则方程根的情况是 (　　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 A D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5. 一元二次方程x2+7=5x的根的判别式的值为　　　　,方程根的情况是 　　　　　　.  6. 定义运算:m☆n=n2-mn-1,例如:3☆2=22-3×2-1=-3.方程2☆x=0的根的情况为　 .  7. 已知a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是　　　　 　　　　. -3 没有实数根 有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8. 某同学判断关于x的方程x2+2(k-2)x+k2+4=0的根的情况如下: 解:Δ=4(k-2)2-4×1×(k2+4)=-16k.∵ -16k<0,∴ Δ<0.∴ 原方程没有实数根. 请你判断该同学的解答是否正确,并说明理由. 不正确　理由:当k>0时,-16k<0,原方程没有实数根.当k=0时,-16k=0,原方程有两个相等的实数根.当k<0时,-16k>0,原方程有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9. 定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,则称该方程为“和谐方程”. (1) 有下列方程:① x2+2x+1=0;② x2-2x+1=0;③ x2-x-2=0;④ x2+x=0.其中,属于“和谐方程”的是　　　　(填序号).  (2) 求证:“和谐方程”总有实数根. ①③④ (2) ∵ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”,∴ b=a+c.∴ Δ=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.∴ “和谐方程”总有实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 类型二　确定方程中字母参数的取值 10. (2023·北京)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 (　　) A. -9 B. - C. D. 9 C 解题思路:根据一元二次方程的根的情况确定根的判别式的值或取值范围,通过构造含有参数的方程或不等式(组)求解.具体解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11. (2023·聊城)若关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,则m的取值范围是 (　　) A. m≥-1 B. m≤1 C. m≥-1且m≠0 D. m≤1且m≠0 12. 若关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则+c的值 (　　) A. 等于0 B. 等于1 C. 等于2 D. 无法确定 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13. 若关于x的方程ax2-3x+c=0有两个不相等的实数根,则下列选项中,满足条件的是 (　　) A. a=1,c=3 B. a=-2,c=-4 C. a=-1,c=3 D. a=5,c=1 14. 若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0没有实数根,则m的值可以为 　　　 　(写出一个即可).  15. 若关于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+a2+a-2=0有两个不相等的实数 根,则a的取值范围是　　　　.  C 答案不唯一,如10 a< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16. 若关于x的一元二次方程x2-4x+m+4=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=m2x+m-3的图象不经过第　　　　象限.  17. 若关于x的一元二次方程(k-5)x2-2x+2=0有实数根,则整数k的最大值为　　　　. 二 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. 已知关于x的方程x2-(m-2)x+m2=0. (1) 若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围; (2) 若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的解. (1) ∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ Δ>0,即Δ=[-(m-2)]2-4×m2>0,解得m<1　 (2) ∵ 方程有两个相等的实数根,∴ Δ=0,即Δ=[-(m-2)]2-4×m2=0,解得m =1.∴ 方程可化为x2+x+1=0,解得x1=x2=-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. 关于x的一元二次方程x2-2x+2m-1=0有实数根. (1) 求m的取值范围; (2) 请选择一个符合条件的m的值,并求此时方程的根. (1) 根据题意,得Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0,解得m≤1　 (2) 答案不唯一,如当m=1时,方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$第二章　一元二次方程 *5　一元二次方程的根与系数的关系 1. (2023·天津)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 (　　) A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6 C. x1x2= D. x1x2=7 2. 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根,则另一个根是 (　　) A. x=-3 B. x=3 C. x=1 D. x=-1 3. 已知一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1,x2,则+的值为 (　　) A. -3 B. - C. 1 D. A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 4. (教材P50随堂练习第1题变式)已知关于x的一元二次方程x2+3x-m=0,则该方程两个根的和等于　　　　.  5. 已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2.若x1x2+2x1+ 2x2=1,则实数k=　　　　.  6. 已知α,β是一元二次方程x2-2023x-2024=0的两个根,则α2-2024α-β的值为　　　　. -3 -5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. (2022·随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1) 求k的取值范围; (2) 若x1x2=5,求k的值. (1) 根据题意,得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得k>　 (2) 根据题意,得x1x2=k2+1.∵ x1x2=5,∴ k2+1=5,解得k1=-2,k2=2.∵ k>,∴ k=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 设x1,x2是一元二次方程2x2-7x+5=0的两个根,利用一元二次方程的根与系数的关系,求下面各式的值: (1) x2+x1; (2) (x1-x2)2. ∵ x1,x2是一元二次方程2x2-7x+5=0的两个根,∴ x1+x2=,x1x2=. (1) x2+x1=x1x2·(x1+x2)==　 (2) (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 已知关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0. (1) 求证:方程恒有两个不相等的实数根; (2) 若此方程的一个根是1,求另一个根及m的值. (1) 由题意,得Δ=[-(m+2)]2-4(2m-1)=(m-2)2+4.∵ 在实数范围内,m无论取何值,(m-2)2+4>0,∴ Δ>0.∴ 关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0恒有两个不相等的实数根　 (2) 把x=1代入方程,得12-1×(m+2)+2m-1=0,解得m=2.方程化为x2-4x+3=0.设方程的另一个根为t.根据根与系数的关系,得1+t=4,解得t=3.∴ 另一个根为3,m的值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根,且这个菱形的面积为11,则这个菱形的边长为 (　　) A. B. 2 C. D. 2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1,x2,且满足(x1+2)(x2+2)-2x1x2+4=0,则m的值为 (　　) A. -1 B. 9 C. 9或-1 D. 1或8 解析:∵ 方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根,∴ Δ=(-2m)2-4(m2-4m-1)= 16m+4≥0,解得m≥-.∵ 方程的两个实数根为x1,x2,∴ x1+x2=2m,x1x2=m2-4m-1.∵ (x1+2)(x2+2)-2x1x2+4=0,∴ x1x2+2(x1+x2)+4-2x1x2+4=0.∴ 2(x1+x2) -x1x2+8=0.∴ 4m-m2+4m+1+8=0,即m2-8m-9=0,解得m1=9,m2=-1(不合题意,舍去).∴ m的值为9. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 在解关于x的一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是　　　　　　.  x2+2x-20=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. (2022·内江)已知x1,x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两个实数根,且+=+2x2-1,则k的值为　　　　. 2 解析:∵ x1,x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两个实数根,∴ x1+x2=2,x1x2= k-1,-2x1+k-1=0.∴ =2x1-k+1.∵ +=+2x2-1,∴ = 2(x1+x2)-k.∴ =4-k,解得k=2或k=5.当k=2时,关于x的方程为x2-2x +1=0,Δ=0,符合题意;当k=5时,关于x的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程没有实数根,不合题意.∴ k的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有实数根. (1) 求m的取值范围; (2) 如果x1,x2是方程的两个实数根,且满足+-x1x2=33,求m的值. (1) ∵ 关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有实数根,∴ Δ=[-2(m+ 1)]2-4(m2-3)≥0.∴ m≥-2　 (2) 由根与系数关系,得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2-3.∵ +-x1x2=33,∴ (x1+ x2)2-3x1x2=33.∴ 4(m+1)2-3(m2-3)=33.整理,得m2+8m-20=0,解得m1=-10,m2 =2.∵ m≥-2,∴ m=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. (2023·通辽)阅读材料: 材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2 =-,x1x2=. 材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根为m,n,求m2n+mn2的值. 解:∵ 一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根为m,n,∴ m+n=1,mn=-1.∴ m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题: (1) 一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=　 　,x1x2=　 　; (2) 已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为m,n,求+的值; (2) ∵ 一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为m,n,∴ m+n=,mn=-.∴ + ====- - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 已知实数s,t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求-的值. (3) ∵ 实数s,t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,∴ s与t可以看成是方程2x2-3x-1=0的两个实数根.∴ s+t=,st=-.∴ (s-t)2=(s+t)2-4st=-4×=. ∴ s-t=±.∵ -==,∴ 当s-t=-时,-==-;当s-t=时, -==.综上所述,-的值为-或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$