2.1 认识一元二次方程（5考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.1 认识一元二次方程（能力提升） 知识点一：一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【重点说明】 识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【重点说明】 (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点四：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解（中考热点） （1）； （2） 考点一 一元二次方程的定义 【例1】已知关于的方程是一元二次方程，求的值． 【变式1】方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ） A．m≠±l B．m≥-l且m≠1 C．m≥-l D．m＞-1且m≠1 【变式2】已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0． 求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程； （2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解． 【变式3】若方程是关于的一元二次方程，求m的值． 考点二 一元二次方程的一般形式 【例1】一元二次方程化成一般式后的值为（        ） A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，4 【变式1】把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 【变式2】如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有(    ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【变式3】已知关于的一元二次方程． 求的取值范围； 已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项． 考点三 一元二次方程的解 【例1】已知a是方程的一个根，则的值为（       ）． A． B．2022 C．2021 D．无法计算 【变式1】若，是方程的两根，则的值为______． 【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（       ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式3】定义新运算：，若，是关于一元二次方程的两实数根，则的值为_________． 考点四 一元二次方程的解和整体思想应用 【例1】若是方程的一个根，求的值． 【变式1】若关于x的一元二次方程有一个根为，且，求的值． 【变式2】先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根． 【变式3】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___． 考点五 综合题型 【例1】（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围． （2）如果是方程的一个根，求的值． 【变式1】关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______． 【变式2】阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 认识一元二次方程（能力提升） 知识点一：一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【重点说明】 识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【重点说明】 (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点四：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解（中考热点） （1）； （2） 考点一 一元二次方程的定义 【例1】已知关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【解析】由关于的方程是一元二次方程，得．解得． 【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式1】方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ） A．m≠±l B．m≥-l且m≠1 C．m≥-l D．m＞-1且m≠1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得． 【解析】∵方程是关于x的一元二次方程，∴，解得， 由有意义得，解得：，∴且， 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式2】已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0． 求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程； （2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）k≠1且k≠2；（2）k=2， x=﹣5． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k-1）（k-2）≠0，由此求得k的值； （2）根一元一次方程的定义得到k-2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可． 【解析】解：（1）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）≠0，解得k≠1且k≠2； （2）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，解得k=2. 此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5． 【点拨】考查了一元一次方程、一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件． 【变式3】若方程是关于的一元二次方程，求m的值． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m2=2，再求出答案即可． 【解析】解：根据题意得 ，解得. 所以当方程是关于的一元二次方程时，． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 考点二 一元二次方程的一般形式 【例1】一元二次方程化成一般式后的值为（        ） A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，4 【答案】A 【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得． 【解析】， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 则化成一般式后的值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键． 【变式1】把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 【答案】二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项 【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可. 【解析】解：原方程整理得，∴. ∴各项与各项的系数分别为：二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项. 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号． 【变式2】如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有(    ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可． 【解析】∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，∴a+b=k，ab=18， ∵a，b，k均为整数，∴a=±1，b=±18，k=±19； a=±2，b=±9，k=±11； a=±3，b=±6，k=±9； 故k的值共有6个， 故选C． 【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握． 【变式3】已知关于的一元二次方程． 求的取值范围； 已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，求出即可； （2）把x=-2代入方程，即可求出k，再把k的值代入即可． 【解析】解：∵方程是一元二次方程，∴，即； 把代入方程得：，解得：， 代入方程得：，即， 故二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【点拨】考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解以及一元二次方程的一般形式，一元二次方程（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 考点三 一元二次方程的解 【例1】已知a是方程的一个根，则的值为（       ）． A． B．2022 C．2021 D．无法计算 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程的解的定义，得到，然后将其变形得到a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整体代入代数式求值即可． 【解析】∵a是关于x的一元二次方程的一个根，∴， ∴a2=2022a-1，a2+1=2022a， ∴原式=2022a-1-2021a+ =a-1+= =-1 =2021，C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想． 【变式1】若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据题意，，变形代入计算即可． 【解析】∵，是方程的两根，∴， ∴ = =1， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键． 【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（       ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解. 【解析】可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选：D. 【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键. 【变式3】定义新运算：，若，是关于一元二次方程的两实数根，则的值为_________． 【答案】0 【分析】由a、b是关于一元二次方程的两实数根，可得出a2-a=-m、b2-b=-m，根据定义新运算的定义式，将b*b-a*a展开，代入数据即可得出结论． 【解析】∵a、b是关于一元二次方程的两实数根，∴a2-a=-m，b2-b=-m， ∴b*b-a*a=b（b-1）-a（a-1）=b2-b-（a2-a）=-m-（-m）=0． 故答案为：0． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及实数的运算，根据一元二次方程的解找出a2-a=-m，b2-b=-m，是解题的关键． 考点四 一元二次方程的解和整体思想应用 【例1】若是方程的一个根，求的值． 【答案】． 【分析】把代入原方程，得到关于的一元二次方程，2-5+1=0，化简得到+=5,代入直接求值即可． 【解析】解：由题意得，，则． 两边同除以，得， 所以，两边同时平方，得， 所以，所以． 【点拨】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 【变式1】若关于x的一元二次方程有一个根为，且，求的值． 【答案】0． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c的值，再把代入已知方程求得b的值，最后代入，计算求出结果即可． 【解析】解：中， ∵且，解得：，∴， ∵关于的一元二次方有一个根为，∴， ∴，∴． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，求出a、c、b的值是解此题的关键． 【变式2】先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）． 【解析】解：原式=． ∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6． ∴原式=． 【变式3】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程，， ，，， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 考点五 综合题型 【例1】（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围． （2）如果是方程的一个根，求的值． 【答案】（1）且；（2）9 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可； （2）把代入中得到，再由进行求解即可． 【解析】解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴且； （2）∵是方程的一个根，∴，即 ∴． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识． 【变式1】关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______． 【答案】##1.5## 【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可． 【解析】∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n， ∴，，∴， ∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54， ∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54 ∴ 解得或 ∵ab≠0，∴a，b均为非零实数， ∴ 故答案为： 【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键． 【变式2】阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1 【分析】 （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 【解析】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$