2.2 用配方法求解一元二次方程（5考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.2 用配方法求解一元二次方程（能力提升） 知识点一：直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点一：用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开； 1、把常数项移到等号的右边； 2、方程两边都除以二次项系数； 3、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 4、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点一：配方法的应用 （1）用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. （2）用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【重点说明】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 考点一 直接开平方法解一元二次方程 【例1】已知，则_________． 【变式1】解方程：． 【变式2】若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（     ） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 【变式3】方程的实数解为__________． 考点二 用直接开平方法解一元二次方程的应用 【例1】给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．若函数，求方程的解． 【变式1】晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； 请用平均数法解方程： 【变式2】如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（   ） A． B．8 C． D．10 【变式3】嘉嘉和琪琪用图中的、、、四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：． （1）嘉嘉说-2，对-2按的顺序运算，请列式并计算结果； （2）嘉嘉说，对按的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求． 考点三 用配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解方程：． 【变式1】如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______． 【变式2】用配方法解方程：2x2－4x－1＝0. 【变式3】用配方法解下列关于x的方程 （1）                                （2） 考点四 配方法在代数中的应用 【例1】我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题： 求证： 不论取任何实数，代数式的值总是正数 当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值． 【变式1】阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 示例：当时，求的最小值． 解：，当，即时，的最小值为6． （1）尝试：当时，求的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？ 【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4，∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式3】我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； (3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 考点五 配方法在几何中的应用 【例1】如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q． （1）写出点Q的坐标是________； （2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围； （3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值. 【变式1】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________． 【变式2】在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（       ） A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点 C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点 【变式3】如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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【解析】，，=8或－10， ≥0，=8．               故答案为：8． 【点拨】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性． 【变式1】解方程：． 【答案】， 【分析】方程整理后，用开平方法进行解方程． 【解析】解： 整理得： 两边开平方得： 即或 所以， 【点拨】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的特点选择合适的方法是提高解题效率的关键． 【变式2】若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（     ） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 【答案】C 【分析】先直接开平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整体求出a2+b2即可． 【解析】∵（a2+b2﹣3）2＝25，∴a2+b2﹣3＝±5， ∴a2+b2＝3±5，∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2 ∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝8． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键． 【变式3】方程的实数解为__________． 【答案】 ； 【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出，舍去负值后进一步开平方即可． 【解析】移项后可得： 或（舍）， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将方程逐步转化为(n为偶数，a为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，注意解题过程中不符合条件的值舍去即可． 考点二 用直接开平方法解一元二次方程的应用 【例1】给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．若函数，求方程的解． 【答案】， 【分析】根据题中新定义的运算，先求出，代入已知条件，然后求解一元二次方程即可． 【解析】解：∵，∴， ∵，∴ ，∴，∴，， ∴的解为：，． 【点拨】题目主要考查求一元二次方程的解，理解新运算的计算方法，并结合一元二次方程是解题关键． 【变式1】晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； 请用平均数法解方程： 【答案】（1）4；2；−1；−7．(2) x1=4，x2=−2 【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的□，@，☆，＃表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【解析】解：(1)解方程(x+2)(x+6)=5，将原方程变形，得[(x+4)−2][(x+4)+2]=5，(x+4)2−22=5， ∴(x+4)2=5+22，∴(x+4)2=9，直接开平方并整理，得x1=−1，x2=−7． 故□，@，☆，＃表示的数分别为4，2，−1，−7． 故答案为：4；2；−1；−7． （2）(x−3)(x+1)=5，原方程可变形，得[(x−1)−2][(x−1)+2]=5 整理，得(x−1)2−22=5 (x−1)2=5+22，即(x−1)2=9 直接开平方并整理，得x1=4，x2=−2 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式2】如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（   ） A． B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】过作垂足分别为由角平分线的性质可得：利用，可以求得 进而求得，利用面积公式列方程求解即可． 【解析】解：如图，过作垂足分别为 平分 ，设 ，， （负根舍去） 故选：B． 【点拨】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键． 【变式3】嘉嘉和琪琪用图中的、、、四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：． （1）嘉嘉说-2，对-2按的顺序运算，请列式并计算结果； （2）嘉嘉说，对按的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求． 【答案】（1），；（2）嘉嘉出的数是1或3． 【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可； （2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解析】解：（1）. （2）根据题意得，，，，. 为整数，嘉嘉出的数是1或3. 【点拨】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值． 考点三 用配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解方程：． 【答案】，， 【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解. 【解析】解：，，， ，，      ∴ ， 【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键. 【变式1】如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______． 【答案】1 【解析】把方程x2＋4x＋n＝0进行配方，得：； 由已知可得：，化简， ∴； 故答案为：1． 【变式2】用配方法解方程：2x2－4x－1＝0. 【答案】x1＝＋1，x2＝1－ 【解析】解：根据配方法解方程即可．移项得，2x2-4x=1，将二次项系数化为1得，， 配方得，x2-2x+1=+1，，∴， ∴． 【变式3】用配方法解下列关于x的方程 （1）                                （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】解：（1）由，，，，得： ，； （2）由，，，， ，得：，． 考点四 配方法在代数中的应用 【例1】我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题： 求证： 不论取任何实数，代数式的值总是正数 当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)证明见分析；（2）4. 【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． （2）根据（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得出m取时代数式的值最小，最小值是4． 【解析】解：（1）； ∴不论取任何实数，代数式的值总是正数． 由（1）得： 时，此代数式的值最小，这个最小值是：． 【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【变式1】阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 示例：当时，求的最小值． 解：，当，即时，的最小值为6． （1）尝试：当时，求的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？ 【答案】（1）3；（2）10，2.5． 【分析】 （1）首先根据，可得，然后应用配方法，即可求出答案． （2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可． 【解析】解：（1）=≥=3， ∴当，即x=1时，y的最小值为3； （2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5， ∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元． 【点拨】此题的考点主要有：1．配方法的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．综合题． 【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4，∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可． 【解析】解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是； （2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5； （3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， ∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，∵﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50， 此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式3】我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； (3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【答案】(1)-2 (2)当时，有最大值 (3)证明见分析 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题中所给方法可得，然后问题可求解； （3）由题意可得，进而问题可求解． 【解析】解：（1）由题意得：， ∵，∴， ∴当时，有最小值． （2）由题意得：， ∵，∴， ∴当时，有最大值． （3）由题意得： = =； ∵，∴， ∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键． 考点五 配方法在几何中的应用 【例1】如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q． （1）写出点Q的坐标是________； （2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围； （3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值. 【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0 【分析】(1)如图，作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，证明△OBQ≌△PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案； (2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可； (3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，继而根据偶次方的非负性即可求得答案 . 【解析】解：(1)如图，作PM⊥x轴于A，QN⊥x轴于B， 则∠PAO=∠OBQ=90°，∴∠P+∠POA=90°， 由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP， ∴∠QOB+∠POA=90°，∴∠QOB=∠P， ∴△OBQ≌△PAO(AAS)，∴OB=PA，QB=OA， ∵点P的坐标为(1，3)， ∴OB=PA=3，QB=OA=1，∴点Q的坐标为(-3，1)； (2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后， 得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)， 而M在第四象限， 所以，解得a>3， 即a的范围为a>3； (3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，∴                        ， ∵， ∴当a=4时，代数式的最小值为0. 【点拨】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键. 【变式1】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】∵，p=3，c=2， ∴，∴a+b=4，∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【变式2】在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（       ） A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点 C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点 【答案】D 【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案． 【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系， 如图，则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，设P(x，y)，则 = = =， ∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小， ∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：， AC边上中线所在直线表达式为：， 又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式， ∴点P是三条中线的交点， 故选：D． 【变式3】如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】设，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面积等于矩形的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解． 【解析】设， 则， ，∴当时，的最大值为， ∴的最大值为：． 故答案为：. 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