2.2 用配方法求解一元二次方程（5考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.2 用配方法求解一元二次方程（基础巩固） 知识点一：直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点一：用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开； 1、把常数项移到等号的右边； 2、方程两边都除以二次项系数； 3、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 4、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点一：配方法的应用 （1）用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. （2）用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【重点说明】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 考点一 直接开平方法解一元二次方程 【例1】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（       ） A． B． C． D． 【变式1】方程的根是（     ） A．5和 B．2和 C．8和 D．3和 【变式2】解方程： 【变式3】已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为______． 考点二 用直接开平方法解一元二次方程的应用 【例1】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程． 如．．．都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解． 如：解方程的思路是：由可得． 解决问题： 解方程 解： ，或 解方程： 【变式1】小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的值比原方程的值小1．则原方程的根为________． 【变式2】李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 【变式3】如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长？ (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为60cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由． 考点三 用配方法解一元二次方程 【例1】 用配方法解方程：． 【变式1】一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7 【变式2】若把方程化为的形式，则的值是（       ） A．5 B．2 C． D． 【变式3】方程的根是___________． 考点四 配方法在代数中的应用 【例1】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】代数式的最小值是_______． 【变式2】若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是 . 【变式3】已知，那么的值是______ 考点五 配方法在几何中的应用 【例1】已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定 【变式1】已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（       ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【变式2】已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值． 【变式3】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10，∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知：y＝x2﹣4x+7，求证：y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 用配方法求解一元二次方程（基础巩固） 知识点一：直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点一：用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开； 1、把常数项移到等号的右边； 2、方程两边都除以二次项系数； 3、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 4、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点一：配方法的应用 （1）用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. （2）用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【重点说明】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 考点一 直接开平方法解一元二次方程 【例1】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【解析】∵（x+1）2=16，∴x+1=±4，∴x+1=4或x+1=-4， 故选：D． 【点拨】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 【变式1】方程的根是（     ） A．5和 B．2和 C．8和 D．3和 【答案】C 【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案． 【解析】，(x-3)2=25， ∴x-3=±5，∴x=8或x=-2， 故选：C． 【点拨】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键． 【变式2】解方程： 【答案】x=1或x= -3 【分析】移项，利用直接开平方法，求解即可． 【解析】解：∵，∴，∴x+1=2或x+1=-2， 解得x=1或x= -3． 【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【变式3】已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为______． 【答案】5 【分析】根据直接开平方解得，再根据计算即可； 【解析】∵（x2+y2﹣1）2＝16，∴，∴或， ∵，∴； 故答案是5． 【点拨】本题主要考查了直接开平方法解方程，准确计算是解题的关键． 考点二 用直接开平方法解一元二次方程的应用 【例1】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程． 如．．．都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解． 如：解方程的思路是：由可得． 解决问题： 解方程 解： ，或 解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将化简即可得到两个根，再分别解一元一次方程求出方程的解即可； （2）根据例题的解答方法求解即可. 【解析】解：（1），，或-2，0，故答案为：-2,0； （2），，或. 【点拨】此题考查解一元二次方程的方法，运用平方根的特征将一元二次方程直接开方化为一元一次方程，正确理解题目中解方程的方法是解题的关键. 【变式1】小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的值比原方程的值小1．则原方程的根为________． 【答案】 【分析】先根据题意求出c的值，从而可得原方程，再利用直接开方法解方程即可得． 【解析】由题意得：是关于x的方程的一个根，则，解得， 所以原方程为，即，解得， 故答案为：． 【点拨】本题考查了方程的根的定义、利用直接开方法解一元二次方程，依据方程的根的定义求出c的值是解题关键． 【变式2】李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见分析． 【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可． 【解析】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下： ，，． 不论为何值都不等于，． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题． 【变式3】如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长？ (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为60cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1)10cm (2)能，理由见分析 【分析】 （1）根据已知正方形的边长即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【解析】解：（1）大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为，则，解得：， ，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理，解一元二次方程，能根据题意列出算式是解此题的关键． 考点三 用配方法解一元二次方程 【例1】 用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程即可． 【解析】解：x2﹣x=﹣，x2﹣x+=﹣+，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=1． 【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【变式1】一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7 【答案】D 【解析】移项，得：x2﹣6x＝﹣2，配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7， 故选：D． 【点拨】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键． 【变式2】若把方程化为的形式，则的值是（       ） A．5 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】将配方得，，则， 故选：A． 【变式3】方程的根是___________． 【答案】 【解析】∵． ∴配方得出，， ∴， 故答案为：． 考点四 配方法在代数中的应用 【例1】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【分析】 （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可． 【解析】解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3， ∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋3≥3， ∴x2＋2x＋4的最小值是3． （2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5， ∵（x－1）2≥0，∴－（x－1）2≤0，∴－（x－1）2＋5≤5， ∴4－x2＋2x的最大值是：5． （3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得， S＝AB·BC＝x（20－2x）＝－2x2＋20x＝－2（x2－10x）＝－2（x2－10x＋25－25）＝－2（x－5）2＋50， ∵－2（x－5）2≤0，∴－2（x－5）2＋50≤50， ∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是：50m2． 【变式1】代数式的最小值是_______． 【答案】##0.25 【解析】解：因为≥0， 所以当x=1时，代数式的最小值是， 故答案是：． 【变式2】若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是 . 【答案】30 【解析】x2-10x+m=0，移项，得x2-10x=-m， 配方，得x2-10x+25=-m+25，（x-5）2=25-m， ∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式， ∴25-m=0，n=5，∴m=25，∴． 故答案为：30． 【变式3】已知，那么的值是______ 【答案】-5 【解析】∵， ∴ ， 故答案为：-5． 考点五 配方法在几何中的应用 【例1】已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定 【答案】B 【解析】∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，解得a＝1，b＝4 ∵3＜c＜5，△ABC是等腰三角形， ∴c＝4，故△ABC的周长为：1+4+4＝9， 故选：B． 【变式1】已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（       ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP=， 配方得，当时，OP最小即可． 【解析】， OP=， ∴，OP最小， 故选择：B． 【变式2】已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值． 【答案】a=4，b=2． 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可 【解析】解：a2+b2-8a-4b+20=0，a2-8a+16+b2-4b+4=0， 配方得：(a-4)2+(b-2)2=0 ，a-4=0，b-2=0， 所以a=4，b=2． 【点拨】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 【变式3】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10，∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知：y＝x2﹣4x+7，求证：y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 【答案】（1）见分析；（2）当t＝时，S有最大值． 【分析】 （1）根据例题中的配方求最值； （2）根据三角形的面积公式求出S和t的关系式，再利用配方求最值． 【解析】解：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3． ∵（x﹣2）2≥0．∴y≥0+3＝3．∴y＞0．∴y是正数． （2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t（0≤t≤）． ∴S＝PC•CQ＝（6﹣2t）•t＝﹣t2+3t ＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+． ∵（t﹣）2≥0．∴当t＝时，S有最大值． 【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$