1.3 正方形的性质与判定（10考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定（基础巩固） 知识点一：正方形的定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 知识点二：正方形的性质 （1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 知识点三：正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 知识点四：正方形的面积 正方形面积=边长的平方； 正方形面积=对角线乘积的一半 知识点五：中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 考点一 和正方形有关的概念问题 【例1】下列命题错误的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形为菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．直角三角形的两直角边长是3和4，则斜边长是5 D．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直 【变式1】如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ） A．①表示有一个角是直角 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示四个角都相等 D．④表示对角线相等 【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 判定四边形是正方形 【例1】如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件______________，使矩形是正方形（填一个即可） 【变式1】如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形． 【变式2】平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 考点三 用正方形性质求角的大小 【例1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（       ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（       ） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【变式2】如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则的度数为______． 考点四 用正方形性质求线段的长 【例1】如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长． 【变式1】如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为（       ） A． B．2 C． D．1 【变式2】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为______cm． 考点五 用正方形性质求面积 【例1】如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是__________． 【变式1】如图，正方形的边长为4，点E、F分别在和上，，则的面积为________． 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为(     ) A．4 B． C． D．2 考点六 用正方形的性质和判定证明 【例1】如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧交于点,连接，点是射线上一动点，交延长线于点，于点． （1）求证： （2）当点与点重合时，若，，求四边形的面积． 【变式1】如图，已知正方形的边长为，对角线与相交于点，点在边的延长线上，若，则__________． 【变式2】如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且． (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若，求四边形BEDF的周长． 考点七 用正方形性质与判定求线段的长 【例1】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____． 【变式1】如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为_____． 【变式2】如图，点在正方形的边上，若的面积为则线段的长为_______． 考点八 用正方形性质与判定求角的大小 【例1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【变式1】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【变式2】如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A＋∠C___________∠1＋∠2． 考点九 用正方形性质与判定求面积 【例1】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（       ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ___． 考点十 有关正方形的综合问题 【例1】如图，已知、分别是正方形边、边上的动点，，． （1）求证：； （2）设的面积为，的长为．试求出与之间的函数表达式． 【变式1】如图，四边形是轴对称图形，且直线l是对称轴，，则下列结论①；②是等边三角形；③；④四边形是正方形.其中正确的是______.(只填写序号） 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，G为CD边中点．交BG延长线于点F，且，BF交AC于点E，连接DE，CF． (1)求证，四边形CFDE是矩形； (2)若四边形CFDE是正方形，且，求AB的长． 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【解析】∵有一个角是平行四边形是矩形，∴①表示有一个角是直角是正确的；∴A的描述正确，不符合题意； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴②表示有一组邻边相等是正确的；∴B的描述正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形是矩形，∴③表示四个角都相等是错误的；∴C的描述错误，符合题意； ∵对角线相等的菱形是正方形，∴④表示对角线相等是正确的；∴D的描述正确，不符合题意； 故选C． 【点拨】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的关键． 【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解析】四边形是平行四边形， A、当时，它是菱形，选项不符合题意， B、当时，它是菱形，选项不符合题意， C、当时，它是矩形，选项不符合题意， D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意， 故选：． 【点拨】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 考点二 判定四边形是正方形 【例1】如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件______________，使矩形是正方形（填一个即可） 【答案】或 【分析】根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形. 【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件 或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件. 【点拨】本题考查正方形的判定，找出正方形与矩形的性质差异，即为可添加的条件. 【变式1】如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形． 【答案】 【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件． 【解析】由于四边形 是菱形，如果 ，那么四边形是正方形． 故答案为： ． 【点拨】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理． 【变式2】平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可． 【解析】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数， 其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数， 所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是， 故选：D． 【点拨】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 考点三 用正方形性质求角的大小 【例1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【解析】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形，∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【变式1】如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（       ） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，，证明，即可解决问题． 【解析】在正方形中，，，， ，， ，． 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 【变式2】如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则的度数为______． 【答案】15°##15度 【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得出∠BDC、∠CDE的度数，然后根据角的和差计算即可． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形， ∴，∠CDE=60°， ∴∠BDE=∠CDE-∠BDC=15°． 故答案为：15°． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键． 考点四 用正方形性质求线段的长 【例1】如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长． 【答案】(1)见分析 (2) 【分析】 （1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案； （2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB 在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）； (2)解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6， ∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14， 在Rt△FCE中，EF＝＝＝10． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键． 【变式1】如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】连接CF，利用正方形的性质，得到AD＝DC＝2，∠ D＝90°，利用勾股定理求出CF的长度，再利用中位线定理得到GH的长度． 【解析】如图，连接CF， ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝DC＝2，∠ D＝90° ∵点F分别是AD的中点，∴DF＝AD＝1 在Rt△CDF中， ∴ ∵点G，H分别是的中点，∴是△EFC的中位线，∴＝CF＝ 故选：C 【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握并应用中位线定理是解题的关键． 【变式2】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为______cm． 【答案】 【解析】如图1，如图2，连接AC， 图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC， ∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=20cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴． 故答案为： 【点拨】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型． 考点五 用正方形性质求面积 【例1】如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是__________． 【答案】2 【分析】由正方形的性质可得AC=AF，∠CAF=90°，由“AAS”可证△ACE≌△FAB，可得CE=AB=2，即可求解． 【解析】∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°， ∴∠CAE+∠FAB=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠ACE=∠FAB，且∠E=∠ABF，AC=AF， ∴△ACE≌△FAB（AAS）， ∴CE=AB=2，∴S阴影=×AB×CE=2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=AB是本题的关键． 【变式1】如图，正方形的边长为4，点E、F分别在和上，，则的面积为________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由勾股定理得出BE＝3，同理DF＝3，得出AE＝AF＝1，则△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°， ∴BE3， 同理DF＝3，∴AE＝AF＝1， ∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×41×1﹣24×3； 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为(     ) A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果． 【解析】设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： =2． 故选：D． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点六 用正方形的性质和判定证明 【例1】如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧交于点,连接，点是射线上一动点，交延长线于点，于点． （1）求证： （2）当点与点重合时，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）四边形的面积是25． 【分析】 （1）根据题意证明，根据角平分线的性质即可求解； （2）根据题意证明四边形是正方形，再根据正方形的面积公式即可求解． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，  由题意知 ，， 交延长线于点，于点． （2）解：∵，∴，， 且，四边形是正方形， ，点与点重合，      ∴四边形的面积是：． 【点拨】此题主要考查特殊平行四边形的证明，解题的关键是熟知角平分线的性质及正方形的判定定理． 【变式1】如图，已知正方形的边长为，对角线与相交于点，点在边的延长线上，若，则__________． 【答案】8 【分析】先由正方形的性质可得∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，由∠CAE＝15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E＝∠BAE＝∠BAC−∠CAE＝30°．然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE＝2AD＝8． 【解析】∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O， ∴∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°， ∵∠CAE＝15°，∴∠E＝∠BAE＝∠BAC−∠CAE＝45°−15°＝30°． ∵在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，∴AE＝2AD＝8． 故答案为8． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正方形的性质，平行线的性质．求出∠E＝30°是解题的关键． 【变式2】如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且． (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若，求四边形BEDF的周长． 【答案】(1)证明见分析 (2) 【分析】 （1）连接，先根据正方形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行线的判定可证，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）连接，交于点，先根据正方形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据菱形的周长公式即可得． 【解析】(1)证明：如图，连接， 四边形是正方形，， 在和中，， ，， ，即，， 四边形是平行四边形， 又，即，四边形是菱形． (2)解：如图，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， ，， 在中，， 则四边形的周长为． 【点拨】本题考查了菱形的判定、正方形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 考点七 用正方形性质与判定求线段的长 【例1】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____． 【答案】 【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解析】如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2， ∴AC＝2，CG＝3，∴CF＝6，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°， 由勾股定理得，AF＝， ∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【变式1】如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为_____． 【答案】4 【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互补关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，推出DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4． 【解析】过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F， ∵∠ABC=90°，DE⊥AB，∴四边形DEBF为矩形， ∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠FCD+∠BCD=180°，∴∠A=∠FCD， 又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴DE=DF， ∴四边形DEBF为正方形，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、正方形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】如图，点在正方形的边上，若的面积为则线段的长为_______． 【答案】5 【分析】根据题意由△ABE的面积可知正方形的面积为2×8=16，因此正方形的边长为4，根据勾股定理可求得BE=5． 【解析】 ， 正方形 故答案为： 考点八 用正方形性质与判定求角的大小 【例1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【解析】在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF，所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【变式1】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 【变式2】如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上．比较大小，∠A＋∠C___________∠1＋∠2． 【答案】= 【分析】根据平角等于180°以及四边形内角和对于360°求解即可. 【解析】 在四边形ADCE中， ∴∠A＋∠C=∠1＋∠2 故答案为：= 【点拨】本题考查四边形内角和等于360°，平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考点九 用正方形性质与判定求面积 【例1】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【解析】在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， ，， 又，， 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4，， 故选：C． 【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式1】如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】连接OC，OB，OA，OD， ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE， 同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH， ∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE， ∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8， ∴6+8=7+S四边形DHOG， 解得S四边形DHOG=7． 故答案为7． 【点拨】本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论. 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ___． 【解析】 【分析】根据题意，，进而可知△PBD的面积等于的面积，根据正方形的面积进而即可求得△PBD的面积． 【解析】四边形是正方形，，， 是∠DCE的平分线，，， ，正方形． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． 考点十 有关正方形的综合问题 【例1】如图，已知、分别是正方形边、边上的动点，，． （1）求证：； （2）设的面积为，的长为．试求出与之间的函数表达式． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】 （1）由正方形的性质可得到AB=AD，，运用HL证明即可得到结论； （2）由（1）可得BE=DF，进而得CF=CE，根据可得结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC， 又，∴（HL），∴; （2）解：由（1）知，，∴BE=DF 又BC=DC，∴CE=CF=x，∴BE=DF=6-x ∴ = 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及三角形面积公式等知识，得到是解答此题的关键． 【变式1】如图，四边形是轴对称图形，且直线l是对称轴，，则下列结论①；②是等边三角形；③；④四边形是正方形.其中正确的是______.(只填写序号） 【答案】①③ 【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案． 【解析】因为是四边形的对称轴，， 则，，，则，， 同理可得：，所以四边形是菱形，但无法确定是否是正方形， 根据菱形的性质，可以得出以下结论： 所以①，故①正确； ②BD不一定等于AB，故不一定是等边三角形，故②错误； ④四边形是正方形，故④错误； ③在和中，，，故③正确． 故答案为①③． 【点拨】此题主要考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，轴对称图形中对应角相等，对应边相等． 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，G为CD边中点．交BG延长线于点F，且，BF交AC于点E，连接DE，CF． (1)求证，四边形CFDE是矩形； (2)若四边形CFDE是正方形，且，求AB的长． 【答案】(1)见分析 (2) 【分析】 （1）由“ASA”可证△DGF≌△CGE，可得．可得四边形CFDE为平行四边形．四边形ABCD是平行四边形，再证BE=EF=AB=CD，可得结论； （2）由勾股定理可求CG的长，可得结论． 【解析】(1)证明：∵，G为CD边中点，，，． ∴△DGF≌△CGE．∴．∴四边形CFDE为平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴．∴． 又，∴．∴四边形CFDE为矩形， (2)解：∵四边形CFDE是正方形，∴，．∴． 在Rt△BGC中，由勾股定理，得．即． ∴．∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$