1.3 正方形的性质与判定（10考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定（能力提高） 知识点一：正方形的定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 知识点二：正方形的性质 （1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 知识点三：正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 知识点四：正方形的面积 正方形面积=边长的平方； 正方形面积=对角线乘积的一半 知识点五：中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 考点一 有关中点四边形的问题 【例1】如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法： ①若，则四边形EFGH为矩形； ②若，则四边形EFGH为菱形； ③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形； ④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分． 其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（       ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】如图，点 A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形 ③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形 ④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形 所有正确结论的序号是___． 考点二 判定四边形是正方形 【例1】如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可） 【变式1】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是_____． 【变式2】如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 考点三 用正方形性质求角的大小 【例1】如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为______． 【变式1】在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则∠AEC=（       ） A．30度 B．67.5 度 C．22.5 度 D．30度 【变式2】如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（       ） A．50° B．55° C．65° D．70° 考点四 用正方形性质求线段的长 【例1】如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________． 【变式1】如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________． 【变式2】如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 考点五 用正方形性质求面积 【例1】如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____． 【变式1】如图，以Rt 的各边为边分别向外作正方形， ，连接，点为 的中点，连接 ，若要求出的面积，只需知道（       ） A．的面积 B．正方形的面积 C．正方形的面积 D．正方形的面积 【变式2】如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD的4个顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为_________． 考点六 用正方形的性质和判定证明 【例1】如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点． (1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； (2)已知BH＝7，DH＝17，求BC的长． 【变式1】如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______． 【变式2】如图，在正方形中，点在边上（异于点），作线段的垂直平分线分别交于点， (1)补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论 考点七 用正方形性质与判定求线段的长 【例1】如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点．DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG． (1)求证：四边形FBGH是菱形； (2)判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论； (3)若DF＝，求AB的长． 【变式1】如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1）______；（2）______；（3）正方形的边长为______． 【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____． 考点八 用正方形性质与判定求角的大小 【例1】如图，四边形中，．则______． 【变式1】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　     ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 【变式2】如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 考点九 用正方形性质与判定求面积 【例1】如图，是边长为的等边三角形，点为下方的一动点，． （1）若，求的长； （2）求点到的最大距离； （3）当线段的长度最大时，求四边形的面积． 【变式1】如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是a和b，且满足：+|b﹣2|＝0，则正方形ABCD的边长是________，面积是________． 【变式2】图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合． （1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝______． （2）若DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为______． 考点十 有关正方形的综合问题 【例1】将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求正方形ABCD的面积． 【变式2】如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点H，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 正方形的性质与判定（能力提高） 知识点一：正方形的定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 知识点二：正方形的性质 （1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 知识点三：正方形的判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 知识点四：正方形的面积 正方形面积=边长的平方； 正方形面积=对角线乘积的一半 知识点五：中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 考点一 有关中点四边形的问题 【例1】如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法： ①若，则四边形EFGH为矩形； ②若，则四边形EFGH为菱形； ③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形； ④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分． 其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形，矩形，正方形的判定进行逐一判断即可． 【解析】∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线，∴，， 同理， ， ∴EH=GF，GH=EF，∴四边形EFGH是平行四边形， ①若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故①错误； ②若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形，故②错误； ③若AC与BD互相垂直且相等，结合①②的判断可知四边形EFGH是正方形，故③正确； ④若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故④错误， 故选A． 【点拨】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是解题的关键． 【变式1】如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（       ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】原四边形ABCD是矩形时，它的对角线相等，那么中点四边形是菱形（平行四边形相邻的两边都相等）． 【解析】连接AC和BD 、分别是、的中点，是的中位线，， 同理，，，．四边形是平行四边形． 四边形是矩形时，，则， 平行四边形是菱形 故选：C. 【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点． 【变式2】如图，点 A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形 ③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形 ④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形 所有正确结论的序号是___． 【答案】①②③ 【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断． 【解析】∵一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形， ∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形． 故答案为：①②③ 【点拨】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点二 判定四边形是正方形 【例1】如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行线的性质可知，，即易证，得出，由此可证明四边形ABCD为平行四边形．由角平分线的性质可知，即得出，从而证明，即平行四边形ABCD为菱形．故在四边形ABCD为菱形的基础上，添加条件使其为正方形即可． 【解析】∵，∴， ∴在和中，， ∴，∴，∴四边形ABCD为平行四边形． ∵AC平分∠BAD，∴，∴，∴， ∴平行四边形ABCD为菱形． ∴再添加或等，即可证明菱形ABCD为正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形、菱形、正方形的判定．掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 【变式1】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】根据条件先判定四边形为平行四边形，再由可判定其为菱形，最后由可得其为正方形． 【解析】满足的条件应为：且． 理由：∵，，，分别是边、、、的中点 ∴在中，为的中位线，∴且 同理且，则且，∴四边形为平行四边形 又∵∴，∴四边形为菱形 ∵，，∴， ∵，∴，∴ ∴菱形是正方形． 故答案是：且 【点拨】本题考查了中点四边形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行线的判定与性质等，解题的关键是能利用中位线的性质得到且． 【变式2】如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，则，即可得出菱形是正方形． 【解析】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ∴，，，， 四边形为平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形； 当时，，则， 菱形是正方形； 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 考点三 用正方形性质求角的大小 【例1】如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为______． 【答案】 【分析】先根据正五边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【解析】五边形为正五边形， ， ， 四边形为正方形，， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正五边形的内角和、正方形的性质等知识点，熟练掌握正五边形的内角和公式是解题关键． 【变式1】在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则∠AEC=（       ） A．30度 B．67.5 度 C．22.5 度 D．30度 【答案】C 【分析】先连接AC，根据正方形的性质，得出AC=EC，进而得到∠E=∠CAF，再根据平行线的性质，得出∠E=∠DAF，最后根据∠CAD=45°，求得∠AEC的度数． 【解析】如图，连接AC， 则正方形ABCD中，AC=BD，∵CE=BD，∴AC=EC，∴∠E=∠CAF， ∵ADEC，∴∠E=∠DAF，∴∠CAF=∠DAF， ∵∠CAD=45°，∴∠CAF=∠DAF=22.5°， ∴∠AEC=22.5°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形ACE．解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每条对角线平分一组对角． 【变式2】如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（       ） A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】C 【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数． 【解析】在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°， ∵，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF， ∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°， ∵，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°， ∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°， 故选：C． 【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 考点四 用正方形性质求线段的长 【例1】如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】连接交于， 四边形是正方形，，， 点、分别是边，的中点，， 在与中，，，，， ，，，， ，是等腰直角三角形， ∵，∴∴ ∵，∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________． 【答案】 【解析】如图所示，连接EG， 由旋转可知△ABF≌△ADE，∴DE=BF，AE=AF， ∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG=FG， 设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x， ∵∠C=90°，∴CE2+CG2=EG2即x2+22=(8−x)2 解得x=，∴CE的长为， 故答案为：. 【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程. 【变式2】如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后再Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=15，∠BAD=∠D=90°， ∵CE=7，∴DE=15-7=8， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠BAH+∠ABH=90°， 又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH， 在△ABF与△DAE中 ∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AF=DE=8，BF=AE， 在Rt△ABF中，BF===17, ∴15×8=17AH，∴AH=，∴AG=2AH=，AE=BF=17， ∴GE=AE-AG=17-=． 故选：B． 【点拨】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 考点五 用正方形性质求面积 【例1】如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____． 【答案】10 【分析】根据正方形的性质，结合题意易求证，，，即可利用“ASA”证明，得出．最后根据勾股定理可求出，即正方形的面积为10． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴． 根据题意可知：，， ∴，， ∴在和中，， ∴，∴． ∵在中，， ∴正方形ABCD的面积是10． 故答案为：10． 【变式1】如图，以Rt 的各边为边分别向外作正方形， ，连接，点为 的中点，连接 ，若要求出的面积，只需知道（       ） A．的面积 B．正方形的面积 C．正方形的面积 D．正方形的面积 【答案】B 【分析】如图，延长HA交BC于点P，交MN于点Q，可得△DAG≌△BAC，，利用全等三角形的性质以及平行线间的距离相等等性质将阴影部分的面积转化即可． 【解析】如图，延长HA交BC于点P，交MN于点Q，连接CE、AN． 由题意可得：AB=AD，，AC=AG，∴△DAG≌△BAC（SAS），∴∠2=∠4． 由题意可得：，，，∴（SAS）， ∵点H为DG的中点，∠DAG=90，∴∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90，∴∠3+∠4=90，∴HA⊥BC，∴，∴． ∵△ABN≌△EBC，∴． ∵BE//CD，∴，∴， 故选：B． 【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用全等三角形以及平行线间的距离相等等性质，将阴影部分的面积进行转换． 【变式2】如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD的4个顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为_________． 【答案】 【分析】过C点作直线EF与四条平行线垂直，与交于点E，与交于点F，从而可以证得△CDE≌△CBF，得CF＝1，BF＝2．根据勾股定理可求得正方形的面积． 【解析】过C点作EF⊥，交于E点，交于F点，如图所示： ∵，EF⊥，∴EF⊥，EF⊥，即∠CED＝∠BFC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠DCE＋∠BCF＝90°， 又∵∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF， 在△CDE和△BCF中， ∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2， ∵CF＝1，∴＝12＋22＝5，即正方形ABCD的面积为5， 故答案为：5． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是解决问题的关键． 考点六 用正方形的性质和判定证明 【例1】如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点． (1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； (2)已知BH＝7，DH＝17，求BC的长． 【答案】(1)四边形AFHE是正方形，理由见分析； (2)13． 【分析】 （1 ）根据旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，∠EAF＝90°，AE＝AF，从而可得四边形AFHE是正方形； （2 ）连接BD，先在Rt△DHB中利用勾股定理求出BD，再在Rt△BCD中求出BC，即可解答． 【解析】(1)解：四边形AFHE是正方形， 理由：由旋转得：∠AEB＝∠AFD＝90°，∠EAF＝90°， ∴∠AFH＝180°﹣∠AFD＝90°，∴四边形AFHE是矩形， 由旋转得：AE＝AF，∴四边形AFHE是正方形； （2）连接BD， ∵四边形AFHE是正方形，∴∠DHE＝90°，∴∠DHB＝180°﹣∠DHE＝90°， ∵BH＝7，DH＝17，∴BD＝＝＝13， ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠C＝90°，∴BC＝＝＝13， ∴BC的长为13． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理及旋转性质，作辅助线直角三角形是解题关键． 【变式1】如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______． ①②④ 【分析】首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE＝BF，故可判断①；进而得出∠BFA+∠EAD＝90°，即AE⊥BF，故可判断②；利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出④；过点E作EG⊥AB交BF与点H．然后依据直角三角形中斜边大于任何一条直角边即可判断③． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°． ∵CE＝DF，∴AF＝DE． 在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故①正确． ∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°， ∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故②正确． ∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE． ∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF， ∴S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确； 如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD． ∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故③错误． 故答案为：①②④ 【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的应用等知识，得出△BAF≌△ADE，从而得出相应等量关系是解决问题的关键． 【变式2】如图，在正方形中，点在边上（异于点），作线段的垂直平分线分别交于点， (1)补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论 【答案】(1)见分析 (2)见分析 (3)，证明见分析 【分析】 （1）分别以A，B为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，得到的线段即为线段的垂直平分线； （2）作MG⊥CD于点G，首先根据同角的余角相等得到，然后证明出，　可得到AP=MN； （3）连接AQ，PQ，CQ，首先证明出，然后得到，进一步证明出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【解析】解：(1)如图所示， ； (2)如图所示，作MG⊥CD于点G， ∵AH⊥MN，AM⊥MG，∴，∴， 又∵，AB=MG，∴， ∴AP=MN； (3)如图所示，连接AO，PQ，CQ， ∵，，，∴， ∴，， 又∵MN垂直平分AP，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵点H是AP的中点，∴， ∵由(2)可知，，∴． 【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 考点七 用正方形性质与判定求线段的长 【例1】如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点．DF，EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG． (1)求证：四边形FBGH是菱形； (2)判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论； (3)若DF＝，求AB的长． 【答案】(1)见分析 (2)四边形ABCH是正方形，理由见分析 (3)AB=6． 【分析】 （1）由DF是△ABG的中位线，则DF∥BG，同理EG∥BF，得四边形FBGH为平行四边形，再利用SAS证明△ABF≌△CBG，得BF=BG，从而证明结论； （2）连接BH交AC于点O，由（1）知，四边形ABCH是菱形，再根据AB=CB，可知四边形ABCH是正方形； （3）由菱形的性质可知FH=BG=2，则DH=DF+FH=+2=3，设AD=x，则AB=2x，利用勾股定理即可解决问题． 【解析】(1)解：∵点F、G是边AC的三等分点，∴AF=FG=GC， 又∵D为AB中点，∴DF是△ABG的中位线，∴DF∥BG， 同理EG∥BF，∴四边形FBGH为平行四边形， ∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAF=∠BCG=45°， 在△ABF和△CBG中， ∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF=BG， ∴四边形FBGH是菱形； (2)解：四边形ABCH是正方形，理由如下：如图，连接BH交AC于点O， ∵四边形FBGH是菱形，∴OF=OG，OB=OH，FG⊥BH， 由（1）得AF=CG，∴OF+AF=OG+CG，即OA=OC，∴四边形ABCH是菱形， 又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCH是正方形； (3)解：∵DF是△ABG的中位线，∴BG=2DF=2， 又∵四边形FBGH是菱形，∴FH=BG=2，∴DH=DF+FH=+2=3， ∵四边形ABCH是正方形，∴AH=AB，∠DAH=90°，∴AD2+AH2=DH2， 设AD=x，则AB=AH=2x，则x2+（2x）2=（3）2，解得：x1=3，x2=-3（舍）， ∴AB=2x=6． 【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1）______；（2）______；（3）正方形的边长为______． 【答案】     1     45     3 【分析】 （1）由翻折的性质及全等三角形的性质可求出AG=FG； （2）根据正方形的性质及角的和差关系可得； （3）设边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，根据勾股定理列出方程，故可求解． 【解析】（1）根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF， ∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE， ∵DA＝DF，DG＝DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴∠ADG＝∠FDG，AG＝FG=1 （2）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG ∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45° （3）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG，∴GF=GA=1，EC=EF 设正方形边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+， 在Rt△BEG中，GE2=BG2+BE2，∴（1+）2=（x-1）2+（）2 解得x=3，∴正方形的边长为3 故答案为：1；45；3． 【点拨】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握其性质是解决此题关键． 【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____． 【答案】      【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，过C作AB的垂线交AB于F，CF即为CD=CE的最小值，然后运用勾股定理即可求得DE的最小值；当DE最小时，△ADE为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可． 【解析】如图：过C作AB的垂线交AB于F，∴CF是CD的最小值 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴AB= ∵CF⊥AB，∴CF=1，∴CD=CE的最小值为1，AF=1 ∴DE的最小值为 ∵∠GCE=90°、∠CFA=90°，∠CAG=90°，CG=CF=1 ∴四边形AFCG是正方形，∴AF=AG=1 ∴当D点在F点时，△ADE的面积最大，且等腰△AGF的面积 ∴△ADE的面积最大值为：． 故答案为：，． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 考点八 用正方形性质与判定求角的大小 【例1】如图，四边形中，．则______． 【答案】45° 【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题． 【解析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F， ∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，∴四边形AECF为矩形， ∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°， ∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠BAE， 在△BAE和△DAF中，∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD， ∴△BAE≌△DAF（AAS），∴AE＝AF，∴矩形AECF为正方形，∴∠ACB＝45°； 故答案为：45°． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　     ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 【答案】C 【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD＝∠EAG＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠1＝∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＜∠4． 【解析】∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∵∠BAD＝∠2＋∠DAE＝90°，∠EAG＝∠1＋∠DAE＝90°，∴∠1＝∠2， 在Rt△ABE中，AE＞AB，∵四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，∴AG＞AB，∴∠3＜∠4． 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用． 【变式2】如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 【答案】64° 【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，∴∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BEC＝∠DFC， ∵CE=CF，∠ECF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，∴∠EFC=45°， 则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，∴∠BEC＝64°， 故答案为：64°. 【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 考点九 用正方形性质与判定求面积 【例1】如图，是边长为的等边三角形，点为下方的一动点，． （1）若，求的长； （2）求点到的最大距离； （3）当线段的长度最大时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）当时，点到的距离最大为；（3），四边形的面积为． 【分析】 （1）根据含30°的直角三角形的性质求出AC，利用勾股定理求出BC，故可得到CD的长； （2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得到，再得到当时，点到的距离最大为； （3）由（2）可知，当时线段的长度最大，再求出此时CD的长，故可求解． 【解析】是等边三角形， 又， ， ; 取的中点，连接:∠ACB=90°，AB=2, 又点为下方的一动点，当时，点到的距离最大为 连接 为等边三角形，. ， 根据三角形三边关系，即共线时，最大， 的最大长度为 此时，四边形的面积为． 【点拨】此题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质． 【变式1】如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是a和b，且满足：+|b﹣2|＝0，则正方形ABCD的边长是________，面积是________． 【答案】      5 【分析】由题意可求得a与b的值；根据正方形性质得出AB＝CB，∠ABC＝90°，求出∠EAB＝∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE＝CF＝2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积． 【解析】∵+|b﹣2|＝0，∴a-1=0，b-2=0，∴a=1，b=2 如图， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBF＝180°−90°＝90°，∠ABE＋∠EAB＝90°，∴∠EAB＝∠CBF， 在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE＝CF＝2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AB＝． ∴正方形ABCD的面积是AB2=5， 故答案为：；5． 【点拨】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE＝CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 【变式2】图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合． （1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝______． （2）若DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为______． 【答案】 112.5°##112.5度     () 【分析】 （1）先求得∠ADG=∠AEG=45°，利用折叠的性质求得∠DAG=22.5°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）由题意得到△DFG是等腰直角三角形，设DF=FG=a，推出AB=EF=(1+)a，再得到AD=AE=(+2)a，利用矩形面积公式即可求解． 【解析】（1）由题意可知四边形ABEF是正方形，∴∠EAF=∠AEF=45°，∴∠ADG=∠AEG=45°. 根据折叠的性质知AM平分∠DAE，∴∠DAG=22.5°，∴∠AGD=180°-∠DAG-∠ADG=112.5°； 故答案为：112.5°； （2）由（1）知∠ADG=45°，∠DFG=90°，可知△DFG是等腰直角三角形， 设DF=FG=a，则S=a2，EG=DG=a， ∴a2=2S，AB=EF=(1+)a， ∴AD=AE= (1+)a=(+2)a， ∴= AB AD=(1+)a・(+2)a=(3+4)a2=2(3+4)S=(6+8)S． 故答案为：(6+8)S． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活运用勾股定理是解题的关键． 考点十 有关正方形的综合问题 【例1】将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得E，G分别为AD，CD的中点，再根据勾股定理可得AD＝，再根据三角形的性质得到EG＞GC，即可得到结果； 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC， 由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG， ∴E，G分别为AD，CD的中点，故①正确， 设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b， 在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2， ∴b2＝2a2，∴b＝a， ∵AB＝CD＝1，∴AD＝，故④正确， ∵∠EOG＝∠D＝90°，∴EG＞OG， ∵OG＝GC，∴EG＞GC，故②正确， 不妨设BE＝BF，则∠BEF＝∠BFE＝∠DEF＝∠AEB＝60°，这个显然不可能，故③错误． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了利用矩形的性质证明，准确分析判断是解题的关键． 【变式1】如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求正方形ABCD的面积． 【答案】(1)见分析 (2)见分析 (3) 【分析】 (1)由ABCD是正方形得到，，由得到，进一步得到，再根据“边角边”即可证明； (2)由及得到，进而得到，由(1)中全等得到，最后由即可证明； (3)过点B作交AE的延长线于点F，证明为等腰直角三角形，求出，在中由勾股定理求出即可得到正方形的面积． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴， ∵，∴．∴，即． ∵，∴． (2)证明：如下图： ∵，，∴·∴， ∵，∴，∴， ∴． (3)解：如图，过点B作交AE的延长线于点F． ∵，，∴由勾股定理得：． 由(2)知，，∴由勾股定理得：， ∵，∴， ∵，∴，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴．∴， 在中，由勾股定理得：， ． 【点拨】本题借助正方形的性质考查了三角形全等的判定方法、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理求线段长等知识点；本题中第(3)问的关键点是过点B作交AE的延长线于点F，进而构造等腰直角三角形，利用其性质求解． 【变式2】如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点H，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积． 【答案】(1)证明见分析 (2)证明见分析 (3) 【分析】 （1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，AE＝AG，再证∠BAE＝∠DAG，然后证△ADG≌△ABE（SAS即可得出结论； （2）证△AEH≌△AGH（SAS），得EH＝GH，再证C、D、G三点共线，然后由GH＝DG＋DH＝BE＋DH，即可得出结论； （3）设BE＝x，则CE＝4−x，DG＝BE＝x，EH＝BE＋DH＝x＋2，再由勾股定理得出方程，求出x＝，则CE＝4−x＝，然后由三角形面积公式即可得出答案． 【解析】(1)证明：∵四边形是正方形，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴，∴，∴ 在和中，∴，∴． (2)证明：由（1）知，∴ ∵，∴，∴H，D，G三点共线 ∵四边形是正方形，∴， 在和中，∴，∴ ∵，∴ (3)解：∵四边形是正方形，，∴ ∵H恰中点，∴ ∵，∴ 设，则，由（2）知 在中，由勾股定理知 ∴，解得， ∴，∴． 【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$