2.1 认识一元二次方程（5考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.1 认识一元二次方程（基础巩固） 知识点一：一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【重点说明】 识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【重点说明】 (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点四：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解（中考热点） （1）； （2） 考点一 一元二次方程的定义 【例1】下列是关于x的一元二次方程的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程，是一元二次方程的是（       ） A．＝0 B．＝1 C．x2＋y2＝1 D．x2＝1 【变式2】只含有__________个未知数，并且未知数的__________次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为 ． 【变式3】当___________时，方程是一元二次方程． 考点二 一元二次方程的一般形式 【例1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 【变式1】把一元二次方程化为一般形式，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】一元二次方程化为一般形式为 ，它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 【变式3】已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常数项是0，则a＝_____． 考点三 一元二次方程的解 【例1】若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（       ） A．2 B．3 C．12 D．5 【变式1】已知关于x的方程有一个根是1，则代数式的值是___． 【变式2】若是关于的一元二次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】若m是方程的一个根，则的值为_____． 考点四 一元二次方程的解和整体思想应用 【例1】已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值． 【变式1】已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值． 【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值. 【变式3】已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 考点五 综合题型 【例1】已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问： （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【变式1】（1）关于x的一元二次方程的一个根为0，则求a的值； （2）如果关于x的一元二次方程中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：必是该方程的一个根． 【变式2】根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 认识一元二次方程（基础巩固） 知识点一：一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【重点说明】 识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【重点说明】 (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点四：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解（中考热点） （1）； （2） 考点一 一元二次方程的定义 【例1】下列是关于x的一元二次方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解析】A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【变式1】下列方程，是一元二次方程的是（       ） A．＝0 B．＝1 C．x2＋y2＝1 D．x2＝1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【解析】A．不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项不符合题意； C．是二元二次方程，故此选项不符合题意； D．是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；一元二次方程的一般形式是． 【变式2】只含有__________个未知数，并且未知数的__________次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为 ． 【答案】 一     最高     【分析】根据一元二次方程的定义和标准形式进行填空即可． 【解析】根据一元二次方程的定义可知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元一次方程．，它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 故答案为：一；最高；ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和它的标准形式，熟练一元一次方程的定义是解题的关键． 【变式3】当___________时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【解析】∵是一元二次方程，∴且，解得， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 考点二 一元二次方程的一般形式 【例1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【解析】∵一元二次方程2x2+x-5=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5， 故选：B． 【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）． 【变式1】把一元二次方程化为一般形式，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程移项变形即可得到结果. 【解析】∵，∴，∴， 故选：C． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确变形是解题关键． 【变式2】一元二次方程化为一般形式为 ，它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】      3     2     【分析】首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到，然后再确定二次项、一次项系数和常数项． 【解析】方程整理为一般形式为， ∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是， 故答案为：，3，2，． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式3】已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常数项是0，则a＝_____． 【答案】﹣2． 【分析】根据常数项是0列式求出a值，结合一元二次方程的定义a-2≠0，即可得答案. 【解析】∵一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常数项是0，∴a2﹣4＝0，解得：a＝±2， ∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项；解题时注意不要漏掉a≠0这个隐含条件. 考点三 一元二次方程的解 【例1】若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（       ） A．2 B．3 C．12 D．5 【答案】D 【分析】由题意将代入原方程求解即可． 【解析】关于的一元二次方程的一个根是2，，解得. 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】已知关于x的方程有一个根是1，则代数式的值是___． 【答案】-1 【分析】把代入原方程，可得从而可得答案． 【解析】 关于x的方程有一个根是1， 故答案为： 【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的左右两边相等”是解本题的关键． 【变式2】若是关于的一元二次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值． 【解析】把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，解得：m＝±1， ∵m﹣1≠0，∴m≠1，m＝﹣1， 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0． 【变式3】若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2023 【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可． 【解析】，即， ∴ =2023． 故答案为：2023． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义． 考点四 一元二次方程的解和整体思想应用 【例1】已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值． 【答案】1或-5 【分析】根据题意，该方程的根可能是或，分类讨论，把x的值代入原方程求出m的值． 【解析】解：∵方程有一个根的平方等于9，∴这个根可能是或， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上：m的值是1或-5． 【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 【变式1】已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入中，可得,将变形求解即可． 【解析】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴，∴ ∴ = 【点拨】本题考查一元二次方程解的定义，以及代数式化简求值．根据定义解题关键． 【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值. 【答案】0 【分析】根据二次根式有意义的条件，可求出 的值，进而求出 的值，再将 与 的值代入一元二次方程，可求出 的值，最后将 的值代入代数式即可. 【解析】 解 ：根据二次根式有意义的条件，可得 ，解得 ，那么 .将代入方程可得 ，所以 ，则将 的值代入可得. 故本题的正确答案为：0. 【变式3】已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值． 【答案】4 【解析】解：∵m是方程x2−x−2=0的根， ∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m． ∴． 考点五 综合题型 【例1】已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问： （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】 （1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可； 【解析】解：（1）∵是关于x的一元一次方程，∴，解得 （2）∵是关于x的一元二次方程，∴即， ∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义． 【变式1】（1）关于x的一元二次方程的一个根为0，则求a的值； （2）如果关于x的一元二次方程中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：必是该方程的一个根． 【答案】（1）；（2）证明见分析． 【分析】 （1）把x=0代入方程得到a2-1=0，解得a=±1，然后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． （2）由题意得到a+c=b，变形后得到a-b+c=0，可得出x=-1是方程的根． 【解析】解：（1）∵一元二次方程的一个根为0，∴a-1≠0且a2-1=0，∴a=-1． （2）证明：根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0； 当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0， ∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式2】根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可； （2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可； （3）根据使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，列方程即可． 【解析】解：（1）依题意得，4x2＝25，化为一元二次方程的一般形式得，4x2−25＝0． （2）依题意得，x（x−2）＝100，化为一元二次方程的一般形式得，x2−2x−100＝0． （3）依题意得，，化为一元二次方程的一般形式得，． 【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$